Sphärische Zwei - und Dreiecke

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT DORTMUND Sphärische Zwei - und Dreiecke Proseminar innerhalb des Lehramtsstudiums im Fach Mathematik Meryem Öcal Matrikelnummer Studiengang LABG 2009 Prüfer: Prof. Dr. Lorenz SCHWACHHÖFER 18. Januar 2017

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3 1 Einleitung Wie bereits in dem letzten Vortrag erwähnt, befinden wir uns nun in der Sphärischen Geometrie, welche sich in einigen Punkten stark von der ebenen euklidischen Geometrie unterscheidet. Eines davon ist zum Beispiel die Eigenschaft, dass sich zwei Großkreise immer schneiden werden, sodass das Parallelenaxiom nicht mehr gilt. Viele aus der euklidischen Geometrie bekannten Sätze haben auf der Sphäre keine Gültigkeit mehr, wobei man sagen kann, dass es sie allerdings in abgewandelter Form gibt. In dieser Ausarbeitung möchten wir uns speziell mit den sphärischen Zwei- und Dreiecken auseinandersetzen, die durch verschiedenen S-Geraden, die durch den Mittelpunkt der Sphäre verlaufen, erzeugt werden können. Die Primärliteratur für diese Ausarbeitung beruht auf dem Buch von Andreas Filler, Euklidische und nicht-euklidische Geometrie des Wissenschaftsverlag und setzt für das Verständnis Kenntnisse der beiden Vorlesungen "Lineare Algebra 1 und 2" voraus. 3

4 2 Sphärische Zweiecke und ihr Flächeninhalt Durch zwei voneinander verschiedenen S-Geraden wird die Sphäre in vier Teile zerlegt, die als spärische Zweiecke bezeichnet werden, wobei die jeweils gegenüberliegenden Zweiecke zueinander kongruent sind und der Winkel a in der einen Ecke eines sphärischen Zweiecks dem Winkel a 0 in der anderen Ecke entspricht. Abbildung 1: Sphärisches Zweieck Um eine Aussage über den Flächeninhalt sphärischer Zweiecke zu treffen, müssen wir zunächst klären, was wir unter dem Flächeninhalt einer Figur der Sphäre allgemein verstehen wollen. Dabei führen wir den Begriff Flächenmaß nicht im Sinne einer herkömmlichen Definition ein, sondern geben drei Eigenschaften vor, die der Flächeninhalt besitzen soll. 4

5 2.1 Axiome des Flächeninhalts von Figuren auf der Sphäre (i) Kongruente Flächenstücke haben den gleichen Flächeninhalt (ii) Ist ein Flächenstück f aus zwei Flächenstücken f 1 und f 2 zusammengesetzt, so ist der Flächeninhalt F von f gleich der Summe der Flächeninhalte von f 1 und f 2 (iii) Der Flächeninhalt der Sphäre ist 4 p R 2 Nehmen wir an, dass die betrachteten Sphären von nun an in dieser Ausarbeitung den Radius 1 haben und wir alle Winkel im Bogenmaß betrachten. 2.2 Satz Für den Flächeninhalt F eines sphärischen Zweiecks Z mit einem Winkel a gilt F = 2 a (1) Beweis. Wir zerlegen das Zweieck Z in n kongruente Zweiecke Z n. Diese haben dann jeweils das Winkelmaß a n = a n (2) und wegen (i) und (ii) den Flächeninhalt F n = F n (3) 5

6 Es sei nun k n eine natürliche Zahl derart, dass die folgende Gleichung erfüllt ist: k n a n apple 2p < (k n + 1) a n (4) dh. das k wird so gewählt, dass man die maximale Anzahl von diesen n kongruenten Zweiecken erreicht, die man um die gesamte Sphäre legen kann, sodass für (k + 1) a n das Ganze größer als 2p sein soll. Dann gilt wegen (ii) auch k n F n apple O <(k n + 1) F n (5) wobei O der Flächeninhalt der Sphäre sei und wegen (3) folgt k n F n apple O < (k n + 1) F n (6) () k n n F apple O < k n+1 n F Setzen wir nun (2) in (4) ein, dann folgt: k n n a apple 2p < k n+1 n a (7) () k n n apple 2p a < k n + 1 n (8) 6

7 Es folgt: k n n apple 2p a < k n n + 1 n (9) Dann ist k n n 2p a apple 1 n < 2p 9 a >= k n n >; 2p a 1 n < k n n apple 2p a Betrachten wir nun die Grenzwerte dieser Ungleichung, dann folgt aus der Analysis durch das Sandwichkriterium (10) k n lim n! n = 2p a (11) und schließlich aus (6): k n n apple O F < k n + 1 n (12) () k n n apple O F < k n n + 1 n (13) n! () 2p a apple O F apple 2p a + 0 (14) =) O F = 2p a (15) 7

8 oder wegen (iii) und (15) gilt: O F = 4p F = 2p a (16) () 4p = 2p a F (17) () 2a = F (18) 8

9 3 Sphärische Dreiecke Als Sphärische Dreiecke werden Teile der Sphäre bezeichnet, die durch drei sphärische Strecken begrenzt sind. Der Unterschied zu der euklidischen Geometrie ist, dass man durch drei Punkte nicht nur ein Dreieck darstellen kann, sondern vier (s. Abbildung 2). Abbildung 2: Sphärische Dreiecke Um die Vielfalt dieser Figuren etwas einzuschränken und um drei Punkten der Sphäre möglichst eindeutig ein Dreieck zuzuordnen, betrachten wir im folgenden nur eine spezielle Klasse sphärischer Dreiecke, nämlich die Eulerschen Dreiecke. 3.1 Definition Sphärische Dreiecke, deren sämtliche Seiten und Winkel kleiner als p sind, heißen Eulersche Dreiecke. In Abbildung 2 ist dementsprechend nur a) ein Eulersches Dreieck. Für Eulersche Dreiecke gelten einige Sätze, die wir bereits aus der ebenen Geometrie kennen. 9

10 3.2 Lemma Wenn A,B,C 2 Sphäre S ist und keiner liegt einem der anderen gegenüber, dh. A 6= C, B 6= C, A 6= B und nicht alle drei auf einem Großkreis. Dann gibt es genau ein Eulersches Dreieck mit Ecken ABC. Beweisidee. Abbildung 3: Sphärische Dreiecke 3.3 Satz In jedem Eulerschen Dreieck sind die Längen zweier Seiten a und b sowie die Maße der gegenüberliegenden Winkel entweder paarweise gleich oder der längeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber. Beweis. Es sei 4ABC ein Eulersches Dreieck mit den Winkeln a,b,g sowie den Seiten a,b,c und g die Mittelsenkrechte von c. 1.Fall: C liegt in g Liegt der Punkt C auf g, so wird das 4ABC durch eine Spiegelung an g auf sich selbst 10

11 Abbildung 4: C liegt in g abgebildet und es gilt daher: a = b sowie a = b. 2.Fall: C liegt in einer der beiden von g begrenzten Halbsphären Abbildung 5: C liegt in einer der beiden von g begrenzten Halbsphären Nehmen wir an, der Punkt C liegt in der durch g begrenzten Halbsphäre, zum Beispiel in der, die auch den Punkt A enthält. Durch die Mittelsenkrechte g wird eine Ebene e festgelegt, die auf der (euklidischen) Geraden AB senkrecht steht und die (euklidische) Strecke AB halbiert. Es sei h die Schnittgerade der Ebenen ABC und e, sowie S der Schnittpunkt der (euklidischen) Geraden h und BC (s. Abbildung 6). 11

12 Abbildung 6: Schnittfläche von 4ABC Es gilt AS < AS + SC (19) und da das 4ABC gleichschenklig ist AC < BS + SC (20) (für die euklidische Abstände). Aufgrund des Zusammenhangs zwischen der Länge von Sehnen und dem Maß der zugehörigen Zentriwinkel folgt daraus b < a und zwar gilt: Je länger die Sehne AB ist, desto größer ist der Zentriwinkel. Da B und C auf unterschiedlichen Halbsphären bezüglich g liegen, schneiden sich a und g in einem Punkt D (s. Abbildung 5) und die sphärische Strecke AB teilt den Winkel a; das liegt daran, dass D im Inneren von a liegt. Daher ist ]DAB < a und aufgrund der Eigenschaft, dass 4ABC gleichschenklig ist, gilt ]DAB =b und somit b < a. 12

13 3.4 Satz Die Summe der Längen zweier Seiten eines jeden Eulerschen Dreiecks ist stets größer als die Länge der dritten Seite: AB + BC > AC (21) Abbildung 7: Dreiecksungleichung, Beispiel 1 Beweis. Um die Dreiecksungleichung zu beweisen müssen wir zwischen zwei Fällen unterscheiden. 1.Fall: AB + BC p Abbildung 8: Dreiecksungleichung, Beispiel 2 13

14 Falls AB + BC p ist, gilt die Behauptung wegen der Definiton des Eulerschen Dreiecks sofort. Und zwar ist der Grund dafür, dass Eulersche Dreiecke nur durch S-Gerade aufgespannt werden können, die durch den Mittelpunkt der Sphäre gehen (diese werden dann als Großkreise bezeichnet) und diese zusammenaddiert größer gleich p sind. 2.Fall: AB + BC < p Abbildung 9: Dreiecksungleichung, Beispiel 3 Anderfalls verlängern wir die Seite AB um die zu BC gleichlange Strecke BD. Nach Satz 6 sind die bei D und C liegenden Winkel des 4BCD kongruent, somit ist das 4ACD dann ebenso ein Eulersches Dreieck, das durch die Strecke BC geteilt wird. Bei C liegt daher ein größerer Winkel des 4ACD als bei D, demnach gilt AD > AC (22) () AB + BC > AC (23) Anhand von einigen Beispielen lässt sich leicht verdeutlichen, dass die Sätze 3.3 und 3.4 für beliebige, d.h. also auch nicht-eulersche Dreiecke im allgemeinen, nicht gelten (s. z.b. Abbildung 2) 14

15 3.5 Satz Zwei sphärische Dreiecke, die in zwei Seiten und dem von diesen beiden Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, sind kongruent. Beweis. Um den Satz zu beweisen, möchten wir eine geeignete sphärische Bewegung konstruieren, welche das eine Dreieck in das andere überführt. Abbildung 10: Beweis zu Satz Schritt Man konstruiere zunächst eine Bewegung, die A 0 in A überführt. 2.Schritt Nun erzeuge man eine Drehung um A, so dass der Großkreis AB 00 auf Großkreis AB gedeckt wird. An dieser Stellen können wir auf zwei Fälle treffen: 1.Fall AC 00 wird auf AC überführt =)C = C p 2.Fall AC 00 wird auf "AC gespiegelt" überführt. Dann muss eine Spiegelung an der S-Geraden AB erfolgen =)C = C p 15

16 4 Flächeninhalt, Winkelsumme und Seitensumme Eulerscher Dreiecke; Polardreiecke Zunächst einmal konstruieren wir eine Sphäre, die durch drei Großkreise, welche durch drei festgelegten Punkten, die nicht alle unbedingt auf einem Großkreis liegen, in acht Eulersche Dreiecke zerlegt wird. Diese acht Eulerschen Dreiecke bestehen aus dem Ausgangsdreieck 4ABC, den drei Scheiteldreiecken 4AB d C d, 4A d BC d und 4A d B d C und den drei Nebendreiecken 4A d BC, 4AB d C und 4ABC d, sowie das Gegendreieck 4A d B d C d, wobei A d,b d,c d die zu A,B,C diametralen Punkte sind (siehe Abbildung 11) Abbildung 11: Scheiteldreiecke, Nebendreiecke, Gegendreieck Als diametral werden zwei Punkte auf einem Kreis oder einer Kugeloberfläche bezeichnet, welche Antipoden sind, dh. die Verbindungsstrecke beider Punkte beinhaltet den Kreis- bzw. Kugelmittelpunkt, wobei die Länge dieser Verbindungsstrecke dem Durchmesser entspricht. Die Eigenschaften diametraler Punkte sind, dass zum einen die beiden Punkte den größtmöglichen Abstand auf der Kreisoberfläche zueinander haben und zum anderen genau ein diametraler Punkt A d zu Punkt A existiert. 16

17 Wir leiten im folgenden eine Formel für den Flächeninhalt Eulersche Dreiecke her, die vor allem deshalb interessant ist, weil sie eine fundamentale und überraschende Folgerung hinsichtlich der Winkelsumme sphärischer Dreiecke ermöglicht. Das 4ABC und sein Gegendreieck 4A d B d C d gehen durch eine Abbildung auseinander hervor, die jedem Punkt der Sphäre seinen diametralen Punkt zuordnet. Da eine solche Abbildung eine Bewegung ist, sind diese beiden Dreiecke kongruent und somit flächengleich. Das gleiche gilt für 4A d BC und 4AB d C d, 4AB d C und 4A d BC d, 4ABC d und 4A d B d C Wir bezeichnen den Flächeninhalt von 4ABC und 4A d B d C d mit F, 4A d BC und 4AB d C d mit F 1, 4AB d C und 4A d BC d mit F 2 4ABC d und 4A d B d C mit F 3. Da die Dreiecke 4ABC, 4A d BC, 4A d B d C und 4AB d C eine Halbsphäre bedecken, gilt F + F 1 + F 2 + F 3 = 2 p (24) Die Dreiecke 4ABC und 4A d BC bilden zusammen ein sphärisches Zweieck mit dem Winkel a, die 4ABC und 4AB d C ein solches mit dem Winkel b und schließlich 4ABC und 4ABC d eines mit dem Winkel g. Abbildung 12: Sphärische Zweiecke aus dem Ausgangsdreieck 4ABC und den Nebendreiecken 17

18 Dementsprechend gilt nach Satz 2.2: F + F 1 = 2 a (25) F + F 2 = 2 b (26) F + F 3 = 2 g (27) Man addiere nun die Aussagen (25), (26), (27) zueinander, dann folgt: (F + F 1 )+(F + F 2 )+(F + F 3 ) = 2 a + 2 b + 2 g = 2 (a + b + g) Daraus folgt dann also die nächste Bezeichnung 3 F + F 1 + F 2 + F 3 = 2 (a + b + g), (28) und durch Subtraktion der beiden Gleichungen (28), (24) bekommen wir die folgende Rechnung: (3 F + F 1 + F 2 + F 3 ) (F + F 1 + F 2 + F 3 ) = 2 F () 2 (a + b + g) 2 p = 2 F (29) () a + b + g p = F Somit ist also die letzte Bezeichnung dieses Abschnittes die gesuchte Flächeninhaltsformel sphärischer Dreiecke, den wir in dem folgenden Satz festhalten: 4.1 Satz Für den Flächeninhalt F sphärischer Dreiecke 4ABC mit den Winkeln a,b,g gilt: F = a + b + g p. (30) Als wichtige Folgerung aus dieser Formel erhalten wir den nächsten Satz. 18

19 4.2 Satz Die Winkelsumme eines Eulerschen Dreiecks ist stets größer als p. Anmerkung: Satz 4.2 gilt auch für nicht-eulersche Dreiecke. Die Begründung mit Hilfe der Flächeninhaltsformel (30) ist für diesen Fall jedoch nicht möglich, da sich diese auf Eulersche Dreiecke bezieht. Ein Beweis von Satz 4.2 für nicht-eulersche Dreiecke kann mittels Zerlegung in Eulersche Dreiecke geführt werden. 4.3 Definition Ist 4ABC ein Eulersches Dreieck mit den Innenwinkeln a,b,g, so heißt die Größe e := a + b + g p sphärischer Exzeß dieses Dreiecks. Der sphärische Exzeß eines Dreiecks gibt somit den Überschüss der Winkelsumme über p an. Die Flächeninhaltsformel (30) kann daher auch in der Form F = e (31) geschrieben werden. Da der Flächeninhalt jedes Eulerschen Dreiecks immer kleiner als der einer Halbsphäre ist, muss der sphärische Exzeß stets kleiner als 2p sein. Im folgenden werden wir uns mit dem Polardreieck eines Eulerschen Dreiecks beschäftigen und zwei Sätze beweisen, mit deren Hilfe wir eine interessante Aussage über die Summe der Seitenlängen in einem sphärischen Dreieck treffen können und die wir auch für die Herleitung der Grundformeln der sphärischen Trigonometrie benötigen. 19

20 4.4 Definition Als Polardreieck eines Eulerschen Dreiecks 4ABC wird das Eulersche Dreieck A 0 B 0 C 0 bezeichnet, dessen Eckpunkte polar zu den Großkreisen sind, auf denen die Seiten des Ausgangsdreiecks 4ABC liegen und sich jeweils in der dem Dreieck 4ABC gegenüberliegenden Halbsphäre befinden. Die Konstruktion dieser Polarpunkte A 0,B 0,C 0 geht wie folgt: Möchte man den Polarpunkt A 0 zu A erzeugen, betrachtet man vorab die Ebene AB und geht dann zum Mittelpunkt senkrecht dazu hoch bzw. runter. Man nehme nämlich genau den Punkt, der durch den Schnitt dieser Senkrechten und der Sphäre erzeugt wird, der auf der anderen Halbsphäre als A liegt. Dieser Schnitt ist dann genau der gesuchte Polarpunkt A 0. Abbildung 13: Konstruktion Polarpunkte im Beispiel von A Genauso verfahre man mit den anderen beiden Ebenen AC und BC um die Polarpunkte B 0, und C 0 rauszubekommen. 20

21 Der Neigungswinkel der Ebenen OAB und OAC in Abbildung 14 hat dasselbe Maß, wie der Winkel a des sphärischen Dreiecks 4ABC. Diesen Neigungswinkel bestimmen wir so, indem wir eine Gerade in der Ebene E 1 nehmen, die senkrecht auf der Schnittgeraden AO der Ebenen E 1 und E 2 steht und wiederholen diesen Vorgang mit einer Geraden aus der Ebene E 2. Der Winkel zwischen diesen beiden Geraden ist der Neigungswinkel a. Abbildung 14: Neigungswinkel, Polardreieck 4A 0 B 0 C 0 Dieses Verfahren wenden wir nun in zwei Punkten an, nämlich einmal im Punkt A des Dreiecks 4ABC und einmal im Punkt O, also im Mittelpunkt der Sphäre S. Wir bekommen nun an beiden Punkten 2 Vektoren raus: im Punkt A sind das die beiden Vektoren v 1 2 E 1 und v 2 2 E 2 und im Punkt O die beiden Vektoren w 1 und w 2. Dabei ist w 1 parallel zu v 1 und w 2 parallel zu v 2. Demnach ist der Winkel zwischen w 1 und w 2 ebenfalls der Neigungswinkel a. Nehmen wir jetzt eine dritte Ebene E 3, die senkrecht zu AO steht und durch den Ursprung geht, sehen wir, dass w 1 und w 2 2 E 3 ist. 21

22 Verlängern wir daraufhin die Vektoren w 1 und w 2 so, dass sie den Großkreis in E 3 an den Punkten B 1 und C 1 schneiden, wobei w 1 der Vektor zu B 1 und w 2 der Vektor zu C 1 wird, erkennen wir, dass die Punkte B 0,C 0,B 1,C 1 genau auf diesem Großkreis in E 3 liegen, da die Gerade OB 0 auf der Ebene OAC senkrecht steht, muss sie nämlich auch auf OC 1 senkrecht stehen, analog stehen OC 0 und OB 1 aufeinander senkrecht, wie in Abbildung 15 gezeigt wird. Abbildung 15: Großkreis durch B,C, B 1,C 1 Betrachten wir nun die Winkel in diesem Großkreis. Aufgrund dessen, dass ein Kreis die Bogenlänge 2p hat, und OB 0 zu OC 1 und OB 1 zu OC 0 senkrecht stehen, also jeweils die Länge p 2 haben, ergibt sich die folgende Rechnung: p 2 + p 2 + a + a0 = 2p () a 0 = 2p p a (32) () a 0 = p a und auf analoge Weise ließe sich herleiten b 0 = p b (33) c 0 = p g (34) 22

23 Wird zu dem Dreieck 4A 0 B 0 C 0 das Polardreieck gesucht, so ergibt sich gerade wieder das ursprüngliche Ausgangsdreieck 4ABC, denn wir verfahren genauso wie oben beschrieben, betrachten nur andere Ebenen, nämlich die Ebenen OA 0 B 0, OB 0 C 0 und OA 0 C 0. Damit gelten die Beziehungen (32)- (34) auch für die Seiten des Ausgangsdreiecks und die Winkel des Polardreiecks. Wir fassen die Ergebnisse dieser Herleitung in zwei Sätzen zusammen. 4.5 Satz Jedes Eulersche Dreieck ist das Polardreieck seines Polardreiecks. 4.6 Satz Die Seiten (Winkel) eines Eulerschen Dreiecks ergänzen sich mit den entsprechenden Winkeln (Seiten) seines Polardreiecks zu p. Unmittelbar aus diesem Satz und Satz 4.2 ergibt sich die folgende Aussage über die Seitensumme Eulerscher Dreiecke. 23

24 4.7 Satz Die Seitensumme eines jeden Eulerschen Dreiecks ist kleiner als 2 p. Beweis. Sei 4ABC ein eulersches Dreieck mit den Seiten a,b,c und den Winkeln a,b,g, wobei das Dreieck 4A 0 B 0 C 0 das Polardreieck mit den Seiten a 0,b 0,c 0 und den Winkeln a 0,b 0,g 0 zu diesem ist. Alle Winkel seien auch hier im Bogenmaß gemessen. Dann kann man die Bezeichnungen (32)-(34) mit Hilfe von Satz 4.6 umschreiben in a = p a 0 (35) b = p b 0 (36) c = p g 0 (37) addiert man nun diese Gleichungen zueinander folgt a + b + c = 3p (a 0 + b 0 + g 0 ), (38) wobei a 0 + b 0 + g 0 die Winkelsumme des Polardreiecks 4A 0 B 0 C 0 ist. Nach Satz 4.2 ist diese Winkelsumme größer als p und somit die Gleichung (38) insgesamt kleiner 2p. 24