1 Einleitung 1. 2 Notation 1

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1 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Notation 1 3 Definitionen & Hilfssätze Definition (Sehne) Satz (Peripheriewinkelsatz) Lemma Satz (Satz des Thales) Definition (Sehnenviereck) Satz Der erweiterte Sinussatz Satz (Der erweiterte Sinussatz) Korollar Der Satz von Ceva Definition (Ecktransversale) Satz (Satz von Ceva) Satz (Umkehrung des Satzes von Ceva) Korollar I

2 1 Einleitung Ziel dieser Ausarbeitung ist es, den erweiterten Sinussatz und den Satz von Ceva zu erläutern und anschließend zu beweisen. Vorab werden zunächst einige einführende Definitionen gesetzt und wichtige Hilfssätze bewiesen, die für den Beweis des erweiterten Sinussatzes benötigt werden. Der erweiterte Sinussatz ermöglicht es, Aussagen über den Sinus eines Winkels in einem Dreieck zu tre en, ohne dass ein rechter Winkel benötigt wird. Er ist also auf jedes beliebige Dreieck anwendbar. Im Anschluss wird noch ein hilfreiches Korollar bewiesen. Der Satz von Ceva ist eine geometrische Aussage über die Ecktransversalen eines beliebigen Dreiecks, die der italienische Mathematiker Giovanni Ceva 1678 in seinem Werk De lineis rectis bewies. Genauer ist der Satz von Ceva ein Kriterium für den Schnitt von Ecktransversalen eines Dreiecks. Anschließend widmen wir uns der beachtenswerten Fragestellung, ob auch die Umkehrung des Satzes von Ceva gilt. Zu guter Letzt wird noch ein sinnvolles Korollar bezüglich des Satzes von Ceva betrachtet und bewiesen. 2 Notation In dieser Ausarbeitung werden folgende Notationen verwendet: a) Strecke zwischen den Punkten A und B: [AB] b) Länge der Strecke zwischen den Punkten A und B: AB c) Flächeninhalt eines Dreiecks 4ABC: (ABC) 3 Definitionen & Hilfssätze Um den erweiterten Sinussatz möglichst einfach beweisen zu können, benötigen wir zunächst folgende Definitionen und Hilfssätze: 3.1 Definition (Sehne) Eine Sehne ist eine Strecke, deren Endpunkte auf einem Kreisbogen liegen. 1

3 3.2 Satz (Peripheriewinkelsatz) Gegeben sei ein Dreieck 4ABC mit Umkreis und der Sehne [BC] fest auf dem Kreis. Ein Punkt A lässt sich beliebig auf dem Kreisbogen wählen, der Winkel in jenem Punkt A ist immer gleich groß. Abbildung 1: Beweisidee Beweisskizze Zu zeigen ist, dass bei fester Sehne [BC] mitwinkel in Punkt A und Winkel inpunkta 0 folgendes gilt: =. Der Winkel in Punkt A wird Peripheriewinkel genannt, da er den gegebenes Kreisbogen über [BC] zu einem vollständigen Kreis ergänzt. Um den Peripheriewinkelsatz zu beweisen, benötigen wir zunächst einen weiteren Satz: 3.3 Lemma Der Mittelpunktswinkel von M ist doppelt so groß, wie der Peripheriewinkel von A. Es gilt also = 2. 2

4 Abbildung 2: Skizze Beweis Zunächst verbinden wir den Mittelpunkt M des Umkreises von 4ABC mit den Eckpunkten A, B und C, um drei gleichschenklige Dreiecke zu erhalten. Nun gilt [MA] =[MB] =[MC] = r, wobei r dem Umkreisradius entspricht (vgl. Abb. 3). Abbildung 3: Beweisidee Weiterhin gilt + = (vgl. Abb. 2 und 3). Beachte: Es gilt = 2,sowie = 2, da die Basiswinkel von gleichschenkligen Dreiecken gleich groß sind. Nun kann man die Winkel ' und mithilfe der Winkelinnensumme von Dreiecken bestimmen: ' +2 = 180, ' = = 180, =

5 Es gilt o ensichtlich + ' + = 360, = 360 ' = 360 (180 2 ) (180 2 ) = 2( + )=2. Beweis von Satz 3.2 Da [BC] undm konstant sind, folgt, dass der Mittelpunktswinkel konstant ist und somit ist auch der Winkel = 1 2 im frei wählbaren Punkt A konstant. Im Folgenden behandeln wir einen Spezialfall des Peripheriewinkelsatzes: 3.4 Satz (Satz des Thales) Sei [BC] ein fester Durchmesser eines Halbkreises und A 6= B _C ein in beliebiger Punkt auf dem Kreisbogen, so ist jedes Dreieck 4ABC rechtwinklig in A. Beweis Der Beweis folgt aus Lemma 3.3 für den Fall = Definition (Sehnenviereck) Verbindet man vier Kreispunkte mithilfe von Sehnen zu einem Viereck, so erhält man das sogenannte Sehnenviereck. 3.6 Satz Gegenüberliegende Winkel eines Sehnenvierecks ergänzen sich zu

6 Abbildung 4: Beweisidee Beweis Teilt man ein Sehnenviereck mithilfe des Mittelpunktes M in vier gleichschenklige Dreiecke, so erhält man folgende Gleichung aufgrund der W inkelinnensumme von Vierecken: 2( + + ' + ) = 360, + + ' + = 180. Wie auf Abbildung 4 zu sehen ist, wissen wir, dass die Winkel,, ' und in jedem Fall an gegenüberliegenden Winkeln auftreten. So folgt sofort die Aussage des Satzes. 4 Der erweiterte Sinussatz 4.1 Satz (Der erweiterte Sinussatz) Es sei ein Dreieck 4ABC mit Umkreisradius r gegeben. Dann gilt folgende Gleichung: a sin( ) = b sin( ) = b sin( ) =2r. wobei a, b und c die gegenüberliegenden Seiten von den Punkten A, B und C sind und, und Winkel in eben jenen Punkten. 5

7 Abbildung 5: Beweisskizze 1. Fall Abbildung 6: Beweisskizze 2. Fall Beweis Die obigen Abbildungen 5 und 6 zeigen zwei Dreiecke 4ABC, sowie die zugehörigen rechtwinkligen Hilfsdreiecke 4BCJ. Der rechte Winkel liegt aufgrund von Satz 3.4 in Punkt B, dam 2 [CJ] und somit [CJ]=2r gilt. 1. Fall: Wegen Satz 3.2 folgt für Abbildung 5: =. 2. Fall: Wegen Satz 3.6 folgt für Abbildung 6: + = 180, = 180. Aufgrund der Periodizität des Sinus folgt: sin( )= sin(180 )= sin( ). Wegen der rechtwinkligen Hilfsdreiecke 4BCJ gilt sin( )= Gegenkathete Hypotenuse = sin( ). 6

8 Durch Einsetzen erhält man sin( )=, a sin( ) =2r. a [CJ] = a 2r = sin( ) Die Beweisführung für 4.2 Korollar b sin( ) und c sin( ) erfolgt analog. In einem Dreieck 4ABC mit Umkreisradius r gilt für den Flächeninhalt die Formel (ABC) = abc 4r. Abbildung 7: Beweisskizze Beweis Es gilt (ABC) = 1 2 h a, sowiesin( )= h c, h = sin( ) c. Durch Einsetzen erhält man: (ABC) = 1 2 sin( ) c a = 1 b 2ac sin( ) b = 1 sin( ) 2abc b = 1 2 abc 1 2r = abc 4r. 5 Der Satz von Ceva Um den Satz von Ceva einzuführen, benötigen wir zunächst den Begri der Ecktransversalen: 7

9 5.1 Definition (Ecktransversale) Eine Strecke, die eine Ecke eines Dreiecks4ABC mit einem Punkt auf der gegenüberliegenden Seite verbindet, heißt Ecktransversale. 5.2 Satz (Satz von Ceva) Schneiden sich drei Ecktransversalen [AX], [BY ]und[cz]eines Dreiecks 4ABC in einem Punkt P, dann gilt: BX CY AZ = 1. XC YA ZB Abbildung 8: Skizze Beweis Zunächst benötigen wir die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks 4ABC: 1 2 g h =(ABC) Da bei gleichbleibender Höhe sich der Flächeninhalt eines Dreiecks proportional zur Grundseite ändert, gelten folgende Verhältnisse: BX = (ABX) XC (AXC) = (PBX) (PXC), 1 2 BX h XC h 1 und = 1 2 BX h XC h 2 (ABX) (PBX) (AXC) (PXC) = (ABP ) (CAP), ( 1 2 BX h 1) ( 1 2 BX h 2) = BX. ( 1 2 XC h 1) ( 1 2 XC h 2) XC Beachte: h 1 =Höhe von 4ABX und 4AXC und h 2 =Höhe von 4PBX und 4PXC. 8

10 Analog ergibt sich: CY = (BCP) YA (ABP ). AZ = (CAP) ZB (BCP). Also folgt BX XC CY YA AZ ZB = (ABP ) (CAP) (BCP) (ABP ) (CAP) (BCP) = 1. Nun stellt sich natürlich die Frage, ob die Umkehrung des Satzes ebenso gilt: 5.3 Satz (Umkehrung des Satzes von Ceva) Erfüllen drei Ecktransversalen [AX], [BY ]und[cz]einesdreiecks4abc die Gleichung BX CY AZ = 1, XC YA ZB so schneiden sie sich in einem Punkt P. Abbildung 9: Beweisskizze Beweis Dieser Beweis lässt sich durch einen Widerspruch erbringen. Seien [AX] und[by ] zwei Ecktransversalen eines Dreiecks 4ABC, die sich in Punkt P schneiden. Wähle eine Strecke [CZ 0 ] so, dass sie ebenfalls den Punkt P schneidet. Angenommen Z 6= Z 0. 9

11 1. Fall: Betrachte Z näher an B als Z 0 : BX CY AZ > BX CY AZ0 = 1. XC YA ZB XC YA Z 0 B 2. Fall: Betrachte Z näher an A als Z 0 : BX CY AZ < BX CY AZ0 = 1. XC YA ZB XC YA Z 0 B ) Widerspruch, wodurch Z = Z 0 gelten muss und somit folgt automatisch, dass [AX], [BY ]und[cz]sichinp schneiden. 5.4 Korollar Gegeben sei ein Dreieck 4ABC mit Ecktransversalen [AX], [BY ]und[cz]. Sind die Punkte X, Y und Z Seitenmittem, so schneiden sich die dazugehörigen Ecktransversalen in einem Punkt P. Beweis Da X, Y und Z Seitenmitten sind folgt: BX = 1 2BC = XC, CY = 1 2AC = YA, AZ = 1 2AB = ZB. Also folgt durch Einsetzen: BX CY AZ XC YA = 1 2 BC 1 2 AC 1 2 AB 1 ZB 2 BC 1 2 AC 1 2 AB = 1. Wegen Satz 5.3 folgt die Behauptung. 10