Die Quadratur des Kreises: Transzedenzbeweis von e

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1 Seminar Analysis III Universität Dortmund / Fachbereich Mathematik Die Quadratur des Kreises: Transzedenzbeweis von e Seminar vom von Stephan Wolf (136425) Stephan Wolf: 1888s@web.de

2 INHALTSVERZEICHNIS 2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Deutsch Englisch Konstruierbare Zahlen Definition: Satz über die Abgeschlossenheit der konstruierbaren Zahlen bezüglich der Operationen +,,, / Satz Zusatz 6 4 Was ist Transzendenz Definition: Algebraische Zahl Beispiele zu algebraischen Zahlen Q Definition: Transzedenz Bemerkung Satz Zusatz Transzendenz von e Grundlagen Satz Literaturverzeichnis 13

3 1 EINLEITUNG 3 1 Einleitung 1.1 Deutsch In diesem Seminarvortrag soll es um die Quadratur des Kreises gehen. Also um das Problem die Kreiszahl π mithilfe von Zirkel und Lineal zu konstruieren. Hierbei soll zuerst darauf eingegangen werden, welche Zahlen konstruierbar sind. Anschließend werden wir uns mit dem Zusammenhang von konstruierbaren und algebraischen Zahlen beschäftigen um dann abschließend zu zeigen, dass die e transzendent ist also nicht algebraisch und somit auch nicht konstruierbar. Dies beantwortet natürlich nicht wirklich die Quadratur des Kreises, stellt jedoch eine gute Basis dar, da der Beweis zu Pi dem von e sehr ähnlich ist. 1.2 Englisch In this seminar, will work on the quadrature of the circle. We will conzentrate on the construction of π using compass and straightedge. The intention is to first consider what numbers are constructible. Then we will go on to the context of algebraic numbers and constructible numbers. Then finally to show that e is transcendental therefore not algebraic, and thus can not be constructed. The proof for π is very similar to e. 2 Konstruierbare Zahlen Zuerst soll es darum gehen, was konstruierbare Zahlen sind. Wir beginnen mit der Definition. 2.1 Definition: Die Zahl a R heißt konstruierbar, wenn bei gegebener Strecke der Länge 1 eine Strecke der Länge a konstruierbar ist. Konstruierbar heißt in diesem Zusammenhang, dass man diese Strecke geometrisch, mit Zirkel und Lineal erzeugen kann. 2.2 Satz über die Abgeschlossenheit der konstruierbaren Zahlen bezüglich der Operationen +,,, / Sind die Zahlen a, b R konstruierbar, so auch die Zahlen a + b, a b, a b, a/b wobei b bei der Division gelten muss. Beweis: Seinen 1, a, b K gegeben. Durch einfaches aneinanderlegen der Strecken bekommt man a+b bzw. a-b. Die Strecken a/b & a b lassen sich durch Dreiecke konstruieren, bei a/b nimmt man ein Dreieck, dass je eine Seite der Länge a und b hat und bildet das ähnliche Dreieck, bei dem

4 2 KONSTRUIERBARE ZAHLEN 4 Abbildung 1: Konstruktion von a/b die Seite b nur die Länge 1 hat. Der Beweis zu a b verläuft ähnlich. Man beginnt mit einem Dreieck mit je einer Seite der Länge 1 und der Länge b und bildet dann das ähnliche Dreieck, dessen Seite nicht die Länge 1 hat sondern die Länge a. Dann ist die Seite, die vorher der Länge b entsprach, jetzt von der Länge a/b Abbildung 2: Konstruktion von a b

5 2 KONSTRUIERBARE ZAHLEN Satz Auch a ist konstruierbar, wenn a konstruierbar ist. Beweis: hier geht man wie folgt vor (vgl. Abbildung 3): 1. man konstruiert eine Linie der Länge a+1 mit den Endpunkten A,B und bem Punkt C, der die Strecke in zwei Teile unterteilt (ein Teil der Länge a und ein Teil der Länge 1) 2. Man konstruiert den Kreis mit Radius (a + 1)/2 mit dem Mittelpunkt in der Mitte der Strecke 3. das Dreieck ABD erzeugt durch den Punkt D, dessen Lot dem Punkt C entspricht (vgl Abbildung 3) 4. Die Länge von CD ist dann a, da der Winkel am Punkt D nach dem Satz des Tales rechtwinklig ist und nach Phytagoras gilt: AD 2 + BD 2 = AB 2 (2.1) x 2 + a 2 + x = (a + 1) 2 (2.2) 2x 2 + a = a 2 + 2a + 1 (2.3) Somit haben wir eine Strecke der Länge Wurzel a konstruiert. x 2 = a (2.4) Abbildung 3: Konstruktion von a

6 3 ZUSATZ 6 3 Zusatz Konstruktion der Lösung der quadratischen Gleichung bei gegebenen Strecken a und b. Nach der pq-formel gilt: x 2 + ax + b = (3.1) x ± = a 2 ± a 2 4 b2 (3.2) nach dem Satz 2.2 und dem Satz 2.3 ist dies konstruierbar. Die Konstruktion ist wie folgt: Man konstruiert das rechtwinklige Dreieck mit Hypothenuse a/2 und Kathete b. als nächstes konstruiert man die Schnittpunkte von Hypothenuse und Kreis mit Radius OC = a 2 b2 um O Die Lösungen sind dann: AD = x, AB = x + Abbildung 4: Konstruktion der Lösung von Quadratischen Gleichungen

7 4 WAS IST TRANSZENDENZ 7 4 Was ist Transzendenz 4.1 Definition: Algebraische Zahl Man sagt x ist eine algebraischen Zahl, wenn es n N und a, a 1,...a n Q gibt sodass: a x + a 1 x a n x n = (4.1) also wenn, x eine Nullstelle einer ganz rationalen Funktion (Polynom) ist. 4.2 Beispiele zu algebraischen Zahlen Zum Beispiel ist die Zahl 3 eine algebraische Zahl, da sie sich als: x 2 3 = (4.2) darstellen lässt Q Weiter sind alle p q Q algebraische Zahlen denn: x = p q x q p = (4.3) 4.3 Definition: Transzedenz Eine Zahl heißt transzendent, genau dann wenn sie nicht algebraisch ist. 4.4 Bemerkung Der Tranzedenzbegriff geht auf den Mathematiker Joseph Liouville zurück, der die ersten Transzedenzbeweise geführt hat. Bei diesen Beweisen hat er transzendente Zahlen konstruiert, die für den Alltag aber nicht wichtig sind. Diese Zahlen, die er konstruiert hat nennen sich Liouvillesche Zahlen. Wesentlich interessanter scheint es, dass man sich mit wichtigen, nicht rationalen Zahlen beschäftigt. Daher soll es nun im Folgenden um die Zahlen e und π gehen. Zu diesen beiden Zahlen gibt es mehrere Unterschiedliche Beweise. Den ersten Beweis zu e hat der französische Mathematiker Charles Hermite 1873 geführt. Mit der Inspiration dieses Beweises hat dann Ferdinand Lindemann 1882 die Transzendenz der Zahl π bewiesen. Hier werden wir die Beweise von Hilbert, der die ursprünglichen Beweise vereinfacht hat, nachvollziehen bzw. führen. Der Beweis über die Transzendenz von π beantwortet die Frage der Quadratur des Kreises.

8 4 WAS IST TRANSZENDENZ Satz Konstruierbare Zahlen sind algebraisch. Beweis: Konstruierbare Zahlen lassen sich in unterschiedliche Klassen einteilen: 1. Sie entstehen durch die Operationen aus Satz 2.2 ( sie sind aus Q) 2. Zahlen von der Form a wie in Satz 2.3 entstehen durch den Schnittpunkt von Kreisen und Geraden. Sie sind die Lösungen von quadratischen Gleichungen ax 2 + bx + c =. Was ebenfalls der Definition von algebraisch entspricht. Seinen diese Zahlen nun K 1 3. Wenn man nun diese Punkte nimmt und mit ihnen wieder die Schnittpunkte von Geraden und Kreisen konstruiert bekommt man wieder eine quadratische Gleichung der Form ax 2 + bx + c = wobei a,b und c jetzt aus K 1 sind. Diesen Schritt kann man beliebig fortsetzen, sodass man eine Kette bekommt, aus der man die Konstruierbaren Zahlen K erhält: Q := K K 1 K 2 K 3... K m K (4.4) Jedes dieser K j+1 ist ein zweidimensionaler Vektorraum auf K j. Die Dimension von K j ist daher 2 j. Hierraus können wir schließen, dass die j+1 Elemente aus K j, 1, κ, κ 2, κ 3,..., κ 2j, linear abhängig sind. Es also b l Q gibt sodass: gilt. Somit ist κ algebraisch 4.6 Zusatz Die K i sind Unterkörper 2 m l= b l κ l = (4.5) Beweis: z.z. Abgeschlossenheit der Addition und Multiplikation. Der Rest folgt aus 4.6 Wir führen hier den Beweis per Induktion: Induktionsanfang: K := Q (4.6) Q ist abgeschlossen bzgl Multiplikation und Addition. Den Körper K 1 bilden wir durch Hinzunahme von Zahlen, welche Lösungen einer quadratischen Gleichung mit p, q Q sind. Somit die Form haben: p 2 ± ( p 2 )2 q (4.7) Dies vereinfachen wir zu: q 1 ± q 2 (4.8)

9 4 WAS IST TRANSZENDENZ 9 mit q i aus Q. Durch mehrfaches ausführen von der Konstruktion aus Satz 2.3 und aneinander setzen von den Längen q gehören ebenfalls zu K 1 Elemente der Form: q 1 + n ± q i (4.9) i=2 mit n N. Abgeschlossenheit von K 1 bzgl Addition: Sei k 1 := q 1 ± q 2, k 2 := q 3 ± q 4 beide aus K 1 k 1 + k 2 (4.1) = (q 1 ± q 2 ) + (q 3 ± q 4 ) = q 1 + q }{{} 3 ± q 2 ± q 4 (4.11) Q Ist also in K 1 vgl mit 4.9 Abgeschlossenheit von K 1 bzgl Multiplikation, k 1, k 2 wie oben. k 1 k 2 = (q 1 ± q 2 ) (q 3 ± q 4 ) = q 1 q }{{} 3 ± q1q 2 3 ± q3q 2 2 ± q 2 q 4 (4.12) Q Ist also in K 1 vgl mit 4.9 Induktionsschritt: Angenommen K j ist abgeschlossen bzgl Addition und Multiplikation z.z. K j+1 ist abgeschlossen unter Addition und Multiplikation. Seien nun k i K j+1 und q i K j Abgeschlossenheit von K j+1 bzgl Addition: Sei k 1 := q 1 ± q 2, k 2 := q 3 ± q 4 K j k 1 + k 2 (4.13) = (q 1 ± q 2 ) + (q 3 ± q 4 ) = q 1 + q }{{} 3 ± q2 ± q 4 (4.14) K j Ist also in K j+1 vgl mit 4.9 Abgeschlossenheit von K j+1 bzgl Multiplikation, k 1, k 2 wie oben. k 1 k 2 = (q 1 ± q 2 ) (q 3 ± q 4 ) = q 1 q }{{} 3 ± q1q 2 3 ± q3q 2 2 ± q 2 q 4 (4.15) K j Ist also in K j+1 vgl mit 4.9. Somit sind die K j Unterkörper

10 5 TRANSZENDENZ VON E 1 5 Transzendenz von e 5.1 Grundlagen Für alle k N gilt x k e x dx = k! (5.1) Beweis: x k e x dx = P artielleintegration [ xk e x ] x= + }{{} = = k mal P artielle Integration kx k 1 e x (5.2) k!e x dx = k! (5.3) 5.2 Satz Die Zahl e ist transzendent Beweis: Zu zeigen ist, dass für alle n N, a, a 1,.., a n Z mit a und a n gilt: a n e n + a n 1 e n a 1 e 1 + a (5.4) Zum Beweisen führen wir einen Widerspruchsbeweis, wir nehmen also an, es gäbe solche a i für die diese Gleichung erfüllt ist. Also: a n e n + a n 1 e n a 1 e 1 + a = (5.5) Nun multiplizieren wir auf beiden Seiten mit dem Integral := z k [(z 1)(z 2)...(z n)] k+1 e z dz, (5.6) sodass wir a n e n +a n 1 e n a 1 e 1 +a = (5.7) erhalten. Nun betrachten wir nur die linke Seite. Diese zerlegen wir in die beiden Ausdrücke P 1 und P 2 wobei natürlich P 1 + P 2 = (5.8) gelten soll. Die Zerlegung sieht wie folgt aus: P 1 = a +a 1 e +a 2 e a n e n (5.9) 1 2 n

11 5 TRANSZENDENZ VON E 11 1 P 2 = a 1 e 2 +a 2 e 2 n a n e n (5.1) Es wurden also nur die Integrale aufgeteilt. Wir beginnen mit P 2 Wir betrachten nun die Maxima der beiden Funktionen auf dem Intervall z [; n]: M = max(z(z 1)(z 2)...(z n)) (5.11) m = max((z 1)(z 2)...(z n)e z ) (5.12) Wir können dann P 2 abschätzen, in dem wir die Integrale über die Maxima ausdrücken. 1 < mm k, 2 wenn wir hiermit P 2 ausdrücken erhalten wir: < 2mM k,... n < nmm k (5.13) P 2 < ( a 1 e + 2 a 2 e n a n e n )mm k (5.14) Nun bestimmen wir eine ganze Zahl k, welche erstens durch a n! teilbar ist und für welche zweitens ( a 1 e + 2 a 2 e n a n e n )m M k = 1. k! Weiter können wir nun mit der Voraussetzung 5.1 zeigen, dass P 1 durch k! teilbar ist und einer ganzen Zahl entspricht. Dazu betrachten wir zuerst das integral := = z k [(z 1)(z 2)...(z n)] k+1 e z dz (5.15) n ( c }{{} m z m ) k+1 z k e z dz (5.16) Z m= n = b m z m (k+1)+k e z dz (5.17) }{{} m= Z n = b m (m(k + 1) + k)! (5.18) m= also sind alle Summanden des ersten Terms von P 1 durch mindestens k! teilbar. Betrachten wir nun den j-ten Summanden von P 1 a j e j j z k [(z 1)(z 2)...(z n)] k+1 e z dz (5.19)

12 5 TRANSZENDENZ VON E 12 Substituieren nun z = z + j dz = dz = a j e j = a j mit z := z = a j (z + j) k [((z + j) 1) ((z + j) 2)... ((z + j) n)] k+1 e (z +j) dz (5.2) (z + j) k [((z + j) 1) ((z + j) 2)... ((z + j) n)] k+1 e (z +j)+j dz (5.21) (z + j) k [((z + j) 1) ((z + j) 2)... ((z + j) n)] k+1 e z dz (5.22) Wenn man die eckige Klammer betrachtet, dann ist die niedrigste Klammer im Integranden z k+1 somit lässt sich sich P 1 darstellen als: P 1 = q (k + 1)! + a }{{} (n!( 1) n ) k+1 k! (5.23) Z Dies führt zu der Kongruenz: P 1 k! ±a (n!) k+1 (5.24)

13 6 LITERATURVERZEICHNIS 13 Daher ist P 1 durch k! teilbar und eine ganze Zahl. Es fehlt noch, dass P 1 gilt. Sei (±a (n!) k+1 )/(k + 1) = z 1, Rest(a) mit z 1 Z und a Z, dann ist dieses a ungleich Null, weil a < k (vgl. Definition von k nach 5.14). Daraus folgt dann, nach 5.24, dass P 1 auch nicht ist. Somit können wir nun die folgende Gleichung zum Widerspruch führen. Hiermit haben wir gezeigt, dass die Gleichung 5.5 falsch ist. P 1 + P 2 = (5.25) }{{} k! }{{} k!, Z <1 6 Literaturverzeichnis Winfried Kaballo: Einführung in die Analysis I, 2. Auflage Mathematische Analen Bd.43, S (1893): David Hilbert, Über die Transzendenz der Zahlen e und π