6.5. Satz von Gauss 107

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1 6.5. Satz von Gauss Satz von Gauss nter einem Vektorfeld F, definiert auf einer offenen Teilmenge D R n, versteht man eine Zuordnung, die jedem Punkt p D einen Vektor F(p) R n zuordnet. Das Vektorfeld ist stetig bzw. differenzierbar, wenn diese Zuordnung stetig bzw. differenzierbar von p abhängt Definition nter der Divergenz eines differenzierbaren Vektorfeldes F: D R n versteht man die Funktion div(f)(p) := Spur(dF p ) = n j f j (p) für p D, wobei f j die Komponenten des Vektorfelds bezeichnen. Weil die Spur eine linearen bbildung nicht von der Wahl der Koordinaten abhängt, ist auch die Definition der Divergenz davon unabhängig Beispiele Ist F(x,y,z) = j= cx cy (für eine Konstante c R), dann ist cz divf(p) = 3c für alle p R 3. Das Vektorfeld F(x,y,z) = Divergenz divf(x,y,z) = 3x+sin(x). x 2 +y 2 xy zsin(x) hat die Den im letzten Kapitel behandelten Satz von Green können wir jetzt, wie angekündigt, mit dem Begriff der Divergenz neu umformulieren. In dieser Fassung werden wir den Satz dann anschliessend auf räumliche Vektorfelder übertragen Satz Sei F:D R 2 R 2 ein stetig differenzierbares Vektorfeld und sei D ein Normalgebiet. Für jeden Punkt p bezeichne n(p) einen Einheitsvektor, der bei p auf senkrecht steht und nach aussen zeigt. Bezeichne schliesslich ds das Linienelement. Dann gilt: divf(x,y)dxdy = F(p),n(p) ds. ( ) g(x,y) Beweis des Satzes. Sei F(x,y) = für alle (x,y) D. Dann ist f(x,y) divf(x,y) = x g(x,y)+ y f(x,y). Das Gebietsintegral über divf stimmt also mit der linken Seite der Gleichung von Satz überein (bis auf das Vorzeichen von f). Schauen wir uns nun die rechte Seite genauer an. Nehmen wir an, der Rand des Gebietes sei parametrisiert durch γ:[a,b] D, wobei die Orientierung( so gewählt ) x(t) sei, dass das Innere von immer links von γ(t) liege. Ist etwa γ(t) = für y(t) alle t [a, b], so erhalten wir den äusseren Normalenvektor n(γ(t)) durch Drehung

2 8 Kapitel 6. Vektoranalysis des Geschwindigkeitsvektors γ(t) um 9 und Normierung auf Länge. Das heisst also: ( ) ẏ(t) n(γ(t)) =. γ(t) ẋ(t) Daraus ergibt sich für p = γ(t), wenn wir auch noch die eindimensionale Substitutionsregel verwenden: F(p),n(p) ds = F(γ(t)),n(γ(t)) γ(t) dt = [g(x,y)ẏ(t) f(x,y)ẋ(t)]dt = g(x,y)dy f(x,y)dx. Dieser usdruck ist gerade der Integrand, der uns auf der rechten Seite der Gleichung von Satz begegnet (wiederum bis auf das Vorzeichen von f). Damit ist die Behauptung auf den Satz von Green zurückgeführt. q.e.d. Sei jetzt K ein stetig differenzierbares Vektorfeld, definiert auf einer offenen Teilmenge D des 3-Raumes. Sei weiter ein offenes Gebiet in R 3, das von einer orientierbaren, stückweise glatten kompakten Fläche M = umschlossen wird. ls Orientierung der Fläche wählen wir jeweils für p M denjenigen Einheitsnormalenvektor n(p) N p (M), der vom Gebiet aus nach aussen zeigt. Mit df bezeichnen wir wie früher das Flächenelement, oder benutzen die in der Physik übliche Schreibweise d F(p) = n(p)df(p). Der Gausssche Integralsatz besagt nun folgendes: Satz divk(x,y,z)dxdydz = K(p),n(p) df(p) = K(p) d F(p). Beweis. Für den Beweis beschränken wir uns auf den Fall, dass in x-, y- und z-richtung ein Normalgebiet ist. nalog zum zweidimensionalen Fall ist damit gemeint, dass etwa in z-richtung das Gebiet durch zwei Funktionsgraphen berandet wird: = {(x,y,z) R 3 (x,y),α (x,y) < z < α 2 (x,y)}, wobei R 2 offen und α,α 2 : R stückweise stetig differenzierbar seien. Sei jetzt f 3 (x,y,z) die dritte Komponente des Vektorfeldes K und bezeichne n 3 (p) die z-komponente des äusseren Normalenvektors an einen Punkt p. Wir zeigen nun: ( ) z f 3 (x,y,z)dxdydz = f 3 (p)n 3 (p)df(p). Entsprechende ussagen gelten auch für die erste und zweite Komponente von K, und addiert man die drei Gleichungen zusammen, erhält man die Behauptung. Beginnen wir zunächst mit der rechten Seite von( ). Der Rand von, dargestellt als z Normalgebiet, besteht aus den zwei Funktionsgraphen von α und α 2 und eventuell noch einem die Ränder dieser Flächen verbindenden Zylinder über. Weil

3 6.5. Satz von Gauss 9 aber der äussere Normalenvektor der Zylinderwand aber auf der z chse senkrecht steht, ist an solchen Punkten p die z-komponente n 3 (p) =. Die Zylinderwand trägt also nichts zum Integral bei. Schauen wir uns jetzt Funktionsgraphen von α genauer an. Das Flächenelement zu diesem Funktionsgraphen ist (wie bereits in Beispiel berechnet) df = + x α (x,y) 2 + y α (x,y) 2 dxdy. Weil diese Fläche das Gebiet von unten berandet, weist der äussere Normalenvektor in negative z-richtung, genauer ist n(p) = xα (x,y) y α (x,y). + x α (x,y) 2 + y α (x,y) 2 lso ist n 3 (p)df(p) = dxdy. Entsprechend erhalten wir für den oberen Rand, den Funktionsgraphen von α 2 df = + x α 2 (x,y) 2 + y α 2 (x,y) 2 dxdy, und n(p) = xα 2 (x,y) y α 2 (x,y). + x α 2 (x,y) 2 + y α 2 (x,y) 2 Hier ist jeweils n 3 (p)df(p) = +dxdy. Setzen wir dies in die rechte Seite von ( ) ein, finden wir f 3 (x,y,α 2 (x,y)) f 3 (x,y,α (x,y))dxdy. ndererseits ist, weil ein z Normalgebiet ist: z f 3 (x,y,z)dxdydz = Damit ist ( ) gezeigt. α2 (x,y) α (x,y) z f 3 (x,y,z)dzdxdy = f 3 (x,y,α 2 (x,y)) f 3 (x,y,α (x,y))dxdy. q.e.d. Hier nun zwei konkrete Beispiele Beispiel Sei K(x,y,z) = c und = {(x,y,z) y 2 +z 2 r 2,a x b} ein Zylinder (mit Innerem). Dann ist divk(x,y,z) = für alle (x,y,z), das Integral auf der linken Seite verschwindet also. Der Rand von besteht aus drei Teilen, der Zylinderwand W und den Scheiben S = {(a,y,z) y 2 +z 2 r 2 } und S 2 = {(b,y,z) y 2 +z 2 r 2 }. Für p W gilt jeweils n(p) K(p), also liefert W

4 Kapitel 6. Vektoranalysis hier keinen Beitrag. Für p S ist n(p) = (,,) und daher K(p),n(p) = c. Entsprechend ist für p S 2 der äussere Normalenvektor n(p) = (,,) und daher K(p),n(p) = c. Setzen wir dies ein, erhalten wir K(p),n(p) df(p) = c(πr 2 πr 2 ) = Beispiel Sei jetzt = {(x,y,z) x 2 +y 2 +z 2 r 2 } eine Kugel von Radius cx r und K(x,y,z) = cy (c R). Dann ist divk(x,y,z) = 3c, also konstant. Für cz einen Punkt p = (x,y,z) auf der Kugeloberfläche M ist n(p) = p = p und daher p r K(p), n(p) = cr. Die ussage des Gaussschen Integralsatzes lautet also in diesem Fall: divk(x,y,z)d 3 (x,y,z) = 3cVolumen() = crflächeninhalt(m). nd tatsächlich gilt ja für die Kugel von Radius r Volumen() = 4π 3 r3 = 3 rflächeninhalt(m). Fassen wir das Vektorfeld als die Momentaufnahme einer Strömung auf, so dass K(p) jeweils die Geschwindigkeit der Strömung an dieser Stelle angibt, dann misst das Integral K(p),n(p) df(p), wieviel Strömung insgesamt durch den Rand des Gebietes nach aussen abfliesst (bzw. bei negativem Vorzeichen hineinfliesst). In Beispiel oben fliesst beispielsweise gleichviel Strömung von der linken Seite in den Zylinder hinein, wie auf der rechten Seite aus dem Zylinder wieder austritt. Der Satz von Gauss liefert folgende Integraldefinition der Divergenz: Folgerung IstpeininnererPunkt vondundbezeichnet (B n ) n N einefolge von Kugeln um p in D, deren Radien r n gegen konvergieren, dann ist: div K(p) = lim K(p),n(p) df(p) = lim K(p) d F(p). n Vol(B n ) B n n Vol(B n ) B n Beweis. Weil die Divergenz von K eine stetige Funktion ist, gibt es nach dem Integralmittelwertsatz zu jeder Kugel B n einen Punkt ξ n B n mit divk(x,y,z)d 3 (x,y,z) = divk(ξ n ) d 3 (x,y,z) = divk(ξ n )Vol(B n ). B n B n Nach dem Satz von Gauss ist also divk(ξ n ) = Vol(B n ) B n K(p),n(p) df(p).

5 6.5. Satz von Gauss Lassen wir nun n gegen unendlich gehen, konvergiert ξ n gegen p und es folgt die Behauptung. q.e.d. lso gibt die Divergenz im Punkt p an, wieviel Strömung pro Volumeneinheit von p ausgeht (oder dort hineinfliesst, je nach Vorzeichen). Man spricht deshalb auch von der Quelldichte bei p. Beschreibt K die Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit, so kann es keine Quellen oder Senken geben und die Divergenz an jeder Stelle ist gleich Null. Hier noch eine physikalische nwendung des Satzes von Gauss: Ein fester Körper R 3 konstanter Dichte ρ > sei in Wasser eingetaucht. Die Wasseroberfläche liege bei z =. Nehmen wir an, sei eine glatte Fläche. Bezeichne ausserdem Vol() das Volumen von und g die Erdbeschleunigung. Die Gesamtauftriebskraft, verursacht durch das den Körper umgebende Wasser, ist gegeben durch K := ρgzn(p)df(p). Dann gilt das archimedische Prinzip: K = ρg Vol() Die resultierende Kraft zeigt also in z-richtung und ist proportional zum Volumen des Körpers. Beweis. Die uftriebskraft K ist definiert als ein vektorwertiges Integral, anders gesagt, die drei Komponenten f,f 2,f 3 der Kraft K in x, y, und z-richtung sind definiert durch f j := ρgzn j (p)df(p) = ρg zn j (p)df(p), wobei n j (p) die j-te Komponente des Einheitsnormalenvektors n(p) an der Stelle p angibt. Zu zeigen ist also: zn (p)df(p) = zn 2 (p)df(p) = und zn 3 (p)df(p) = Vol(). Für das Vektorfeld K (x,y,z) = (z,,) gilt (divk )(x,y,z) = x z =. lso liefert der Gausssche Integralsatz hier = zn (p)df(p). Entsprechend erhält man für K 2 (x,y,z) = (,z,): = zn 2(p)dF(p). Für das dritte Vektorfeld K 3 (x,y,z) = (,,z) schliesslich gilt (divk 3 )(x,y,z) = z z =. Der Gausssche Integralsatz lautet in diesem Fall: dxdydz = Vol() = zn 3 (p)df(p). Damit ist alles gezeigt. q.e.d..