Spannungszustand
|
|
- Ina Hummel
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 1. Spannungszustand 1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor 1.2 Hauptspannungen 1.3 Mohrsche Spannungskreise 1.4 Fließbedingung 1.5 Gleichgewichtsbedingungen 1.1-1
2 1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor Spannungsvektor: Wird ein belasteter Körper geschnitten, so tritt in der Schnittfläche eine Flächenkraft auf, die durch den Spannungsvektor t beschrieben wird. F 1 da P n t Für die Kraft df auf ein infinitesimales Flächenelement da im Punkt P gilt: d F=t da F
3 1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor Die Orientierung der Fläche da wird durch den Einheitsnormalenvektor n beschrieben, der aus dem geschnittenen Körper heraus zeigt. Der Spannungsvektor hängt außer vom Punkt P auch vom Einheitsnormalenvektor n ab: t=t P, n Die Gesamtheit aller Spannungsvektoren t(p, n) an einem Punkt P des Körpers heißt Spannungszustand im Punkt P. Die Gesamtheit der Spannungszustände an allen Punkten P des Körpers heißt Spannungsfeld im Körper
4 1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor Achsenparallele Schnitte: z σ z e z τ yz τ xz τ zy e y τ zx e x y τ xy σ y x σ x τ yx 1.1-4
5 1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor Der Normalenvektor zeigt in Richtung einer Achse des Koordinatensystems. Am positiven Schnittufer zeigt der Normalenvektor in Richtung der Koordinatenachse und am negativen Schnittufer entgegen der Richtung der Koordinatenachse. Für die Spannungsvektoren gilt: ]=[ x [ t P, e x yx [ t P, e y ]=[ xy y zx], zy] ], [ t P, e z ]=[ xz yz z 1.1-5
6 1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor Die Komponente des Spannungsvektors in Richtung des Normalenvektors heißt Normalspannung. Die Komponenten des Spannungsvektors in der Schnittebene heißen Schubspannungen. Bei den Schubspannungen gibt der linke Index die Richtung der Schubspannung und der rechte Index die Richtung des Normalenvektors an. Am positiven Schnittufer zeigen positive Spannungskomponenten in Richtung der positiven Koordinatenrichtung
7 1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor Allgemeine Lage der Schnittebene: z Für den Normalenvektor gilt: x x [ n ]=[n n y y n z]=[cos ] cos z α x α z n α y y Aus n =1 folgt: x 1=n x 2 n y 2 n z 2 =cos 2 x cos 2 y cos 2 z 1.1-7
8 1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor Kräftegleichgewicht am infinitesimalen Tetraeder: t P, n da t P, e x da x t P, e y da y t P, e z da z =0 Volumenkräfte und sonstige Glieder höherer Ordnung sind hier bereits weggelassen. z t (P, -e x ) P t (P, -e y ) t (P, -e z ) da t (P, n ) y x 1.1-8
9 1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor Aus dem Wechselwirkungsgesetz folgt: Damit gilt: t P, n = t P, n t P, n da=t P, e x da x t P, e y da y t P, e z da z Mit da x =n x da, da y =n y da, da z =n z da (siehe nächste Seite) folgt: t P, n =t P, e x n x t P, e y n y t P, e z n z [t x t z]=[ =[ x x xy xz y yx x [ xy y y [ xz yz t zx]n zy]n ]n z yx y yz n z] y z n zx zy z ][nx 1.1-9
10 1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor Projizierte Flächen: 2 da=a h z 2 da z =a h z =a h cos z n da z =da cos z =n z da entsprechend: P α z α z h da y da x =n x da da y =n y da da z h z a x
11 1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor Spannungstensor: Zwischen dem Normalenvektor und dem Spannungsvektor besteht ein linearer Zusammenhang. Ein linearer Zusammenhang zwischen zwei Vektoren wird in der Mathematik als Tensor bezeichnet. Der Spannungstensor σ beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Normalenvektor n und dem Spannungsvektor t: t= n In einem Koordinatensystem wird der Spannungstensor durch die Spannungsmatrix dargestellt: [ t ]=[ ] [ n ]
12 1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor Der lineare Zusammenhang zwischen Spannungsvektor und Normalenvektor wird als Cauchysche Formel bezeichnet. Gesetz der zugeordneten Schubspannungen: Aus dem Momentengleichgewicht folgt (s. Kap. 1.5): xy = yx, xz = zx, yz = zy Der Spannungstensor ist symmetrisch. Das bedeutet, dass die Spannungsmatrix in jedem Koordinatensystem symmetrisch ist: [ ] T =[ ]
13 1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor Normalspannung und Schubspannung: Für eine beliebige Schnittfläche berechnet sich die Normalspannung durch Projektion des Spannungsvektors auf den Einheitsnormalenvektor: n =n t=n n : n =[ n ] T [ ] [ n ] t 2 = n 2 tn 2 Aus folgt für den Betrag der Schubspannung: t σ n tn = t 2 n 2 n τ tn
14 1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor Beispiel: Gegeben ist der Spannungstensor σ im Punkt P sowie der Normalenvektor n einer Schnittebene: 60 0 [ ]=[150 ] MPa, [ n ]= Zu berechnen sind: der Spannungsvektor t und sein Betrag [ 2 1 2] die Beträge von Normalspannung und Schubspannung der Winkel zwischen Spannungsvektor und Normalenvektor
15 1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor Spannungsvektor: 60 0 [ t ]=[150 ] [ MPa ]= Normalspannung und Schubspannung: [ MPa 270] MPa=[ 90] n = 1 3 [ ][ MPa= 3 90] MPa=166,7 MPa t = MPa= MPa=170 MPa
16 1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor Winkel: tn = ,7 2 MPa= 1122 MPa=33,50 MPa cos = [ n ] T [ t ] t =11,36 = n t = =0,
17 1.2 Hauptspannungen Motivation: Der Spannungszustand in einem Punkt wird durch drei Normalspannungen und drei Schubspannungen beschrieben, die vom Koordinatensystem abhängen. Zur Bewertung der Beanspruchung werden Größen benötigt, die nicht vom Koordinatensystem abhängen. Insbesondere stellt sich die Frage, für welche Schnittebenen Normalspannung bzw. Schubspannung ihren größten Wert annehmen
18 1.2 Hauptspannungen Definitionen: Eine Schnittebene, auf der der Spannungsvektor senkrecht steht, heißt Hauptebene. Die Schubspannung in einer Hauptebene ist null. Der Spannungsvektor ist parallel zum Normalenvektor. Die durch den Normalenvektor der Hauptebene definierte Richtung heißt Hauptrichtung. Die zugehörige Normalspannung heißt Hauptspannung
19 1.2 Hauptspannungen Hauptspannung: Hauptebene σ n = t P t [ t =[ σ n 0 0 ] Hauptrichtung
20 1.2 Hauptspannungen Eigenwertproblem: Für eine Hauptebene muss gelten: In dieser Gleichung ist der Normalenvektor n und die Normalspannung σ unbekannt. Aufgabenstellungen dieser Art werden in der Mathematik als Eigenwertprobleme bezeichnet. Für symmetrische Matrizen gilt: [ ] [ n ]= [ n ] Es gibt drei reelle Zahlen σ, für die das Eigenwertproblem erfüllt ist. Sie heißen Eigenwerte. Die zu den Eigenwerten gehörenden Vektoren n sind ebenfalls reell. Sie heißen Eigenvektoren
21 1.2 Hauptspannungen Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht aufeinander. Haben zwei Eigenwerte den gleichen Wert, so ist jeder Vektor, der senkrecht auf dem Eigenvektor zum dritten Eigenwert steht, ein Eigenvektor. Es können also immer drei senkrecht aufeinander stehende Eigenvektoren gefunden werden. Die Länge der Eigenvektoren ist frei wählbar. Werden die Eigenvektoren so gewählt, dass sie die Länge eins haben, dann definieren sie ein kartesisches Koordinatensystem, das sogenannte Hauptachsensystem. Die Einheitsvektoren des Hauptachsensystems werden im Folgenden mit e 1, e 2 und e 3 bezeichnet
22 1.2 Hauptspannungen Berechnung der Hauptspannungen: Die Hauptspannungen sind die Eigenwerte des Spannungstensors. [ ] [e k ]= k [e k ] Aus der Bedingung folgt das homogene lineare Gleichungssystem: [ x k xy xz xy y k yz e ky xz yz z k][ekx 0 e kz]=[0 0] Das Gleichungssystem hat nur dann eine nicht-triviale Lösung, wenn die Determinante null ist
23 1.2 Hauptspannungen Charakteristische Gleichung: x k xy xz xy y k yz xz yz z k =0 Ausrechnen führt auf eine kubische Gleichung für σ k : k 3 I 1 k 2 I 2 k I 3 =0 Die Koeffizienten I 1, I 2 und I 3 werden als Invarianten des Spannungstensors bezeichnet. Sie hängen nicht vom Koordinatensystem ab
24 1.2 Hauptspannungen Die Invarianten berechnen sich zu I 1 = x y z =sp I 2 = x y y z x z 2 xy 2 2 yz xz = x xy xy y y yz z yz x xz z xz I 3 = x y z 2 xy yz xz x 2 yz 2 xy z 2 xz y =det Die kubische Gleichung lässt sich leicht mit dem Taschenrechner oder aufwändig von Hand mit den Formeln von Cardano lösen
25 1.2 Hauptspannungen Die Hauptspannungen werden mit σ 1, σ 2 und σ 3 bezeichnet und so sortiert, dass gilt: σ 1 σ 2 σ 3 Berechnung der Hauptachsen: Die Hauptachsen werden durch die Eigenvektoren definiert, die sich durch Einsetzen der Hauptspannungen in das Gleichungssystem [ x k xy xz xy y k yz e ky 0 xz yz z k][ekx e kz]=[0 0], k=1,, 3 berechnen lassen
26 1.2 Hauptspannungen Da die Determinante des Gleichungssystems null ist, müssen nur zwei der drei Gleichungen betrachtet werden. Die dritte Gleichung ist dann automatisch erfüllt. Die Lösung wird bis auf das Vorzeichen eindeutig durch die zusätzliche Forderung e 2 kx e 2 ky e 2 kz =1 Wenn die ersten beiden Eigenvektoren auf diese Weise berechnet wurden, gilt für den dritten: [ e 3 ]=[ e 1 ] [ e 2 ]
27 1.2 Hauptspannungen Spannungstensor im Hauptachsensystem: Im Hauptachsensystem wird der Spannungstensor durch eine Diagonalmatrix dargestellt: [ ] H =[ ] Für die Invarianten gilt: I 1 = I 2 = I 3 =
28 1.2 Hauptspannungen Beispiel: Für den Spannungstensor sollen die Hauptspannungen und die Hauptachsen berechnet werden. Invarianten: [ ]=[ ] MPa I 1 = MPa=210 MPa I 2 = MPa 2 =6300 MPa
29 1.2 Hauptspannungen I 3 =[ ] MPa 3 = MPa 3 Charakteristische Gleichung: 3 k 210 MPa 2 k 6300 MPa 2 k MPa 3 =0 Hauptspannungen: 1 =150 MPa, 2 =90 MPa, 3 = 30 MPa Kontrolle: I 1 = MPa=210 MPa I 2 = MPa 2 =6300 MPa 2 I 3 = MPa 3 = MPa
30 1.2 Hauptspannungen 1. Hauptachse: 1 =150 MPa [ ][ e 1 x e 1y] = [ 80 20] e 1 z [ ][ e 1 x y] e = [ ] e 1 z [ e 1 x e 1 y] = 1 [ ][ 80 20] e 1 z = [ 1 1] e 1z e 2 1 x e 2 1 y e 2 1 z =3e 2 1 z =1 e 1 z = 1 3 [e 1 ]= 1 3 1] [
31 1.2 Hauptspannungen 2. Hauptachse: [ ][ e 2 x [ ][ e 2 x [ e 2 x e 2 y] e 2 y] 2 =90 MPa e 2 y] = [ 80 20] e 2 z = 1 [ = [ 20] 80 e 2 z 20 40][ 80 20] e = [ 1 2 z 2] e 2 z e 2 2 x e 2 2 y e 2 2 z =6e 2 2 z =1 e 2 z = 1 6 [ e 2 ]= 1 6 [ 1 ]
32 [ 1.2 Hauptspannungen 3. Hauptachse: [ e 3 ]= 1 18 = ] [ 1 2 [ [1 1 1 ] ]= ]
33 1.3 Mohrsche Spannungskreise Der Spannungszustand in einem Punkt wird vollständig durch die Hauptspannungen und die Hauptrichtungen beschrieben. Welche Spannungen in beliebigen Schnittflächen auftreten können, lässt sich anschaulich an den Mohrschen Spannungskreisen ablesen. Im Gegensatz zum ebenen Spannungszustand gehören zum räumlichen Spannungszustand drei Mohrsche Kreise
34 1.3 Mohrsche Spannungskreise τ τ max C A 2α 3 B 2α 1 σ σ 3 σ 2 σ 1 M 23 M 13 M
35 1.3 Mohrsche Spannungskreise Konstruktion: Jeder der drei Mohrschen Kreise schneidet die σ-achse in jeweils zwei Hauptspannungen. Die Mittelpunkte der Mohrschen Kreise liegen auf der σ- Achse. Mögliche Kombinationen von Normalspannung und Schubspannung in einer Schnittebene liegen in dem grünen Gebiet, das sich ergibt, wenn vom Gebiet des größten Kreises die Gebiete der beiden kleineren Kreise abgezogen werden
36 1.3 Mohrsche Spannungskreise Spannungen in einer Schnittebene: Für eine Schnittebene mit dem Normalenvektor [ n ] H T =[ n 1 n 2 n 3 ]=[cos 1 cos 2 cos 3 ] lassen sich die Normalspannung und die Schubspannung wie folgt ermitteln: Die Punkte A und B liegen auf den Kreisen mit den Mittelpunkten M 12 bzw. M 23. Der Winkel 2α 1 wird positiv im Gegenuhrzeigersinn und der Winkel 2α 3 positiv im Uhrzeigersinn aufgetragen. Der Punkt C liegt im Schnittpunkt des Kreises um M 23 durch den Punkt A mit dem Kreis um M 12 durch den Punkt B
37 1.3 Mohrsche Spannungskreise Folgerungen: Die größte Hauptspannung σ 1 ist die größtmögliche Normalspannung und die kleinste Hauptspannung σ 3 kleinstmögliche Normalspannung. Die größtmögliche Schubspannung ist max = ist die Wenn sich die drei Hauptspannungen nur wenig unterscheiden, ist die größtmögliche Schubspannung klein
38 1.3 Mohrsche Spannungskreise Hintergrund: Ausgangspunkt für die Theorie der Mohrschen Spannungskreise ist das Gleichungssystem n 1 2 n 2 2 n 3 2 = 1 1 n n n 3 2 = n 1 2 n n n 3 2 = 2 2 n tn Dieses lineare Gleichungssystem wird nach den Komponenten n 1, n 2 und n 3 des Normalenvektors aufgelöst
39 1.3 Mohrsche Spannungskreise Mit σ = σ n und τ = τ tn folgt nach einiger Rechnung: = n n = n n = n n
40 1.3 Mohrsche Spannungskreise Diese Gleichungen beschreiben Kreisscharen in der σ-τ- Ebene mit den Mittelpunkten M 23 = 2 3 2, 0, M 13 = 3 1 2, 0 und M 12 = 1 2 2, 0. Die rechten Seiten der Gleichungen definieren die Radien der Kreise in Abhängigkeit von n 1, n 2 bzw. n 3. Wegen 0 n 2 1 liegt jede der Kreisscharen innerhalb eines Rings. Ein Spannungspunkt (σ, τ) muss in der Schnitt- k menge der drei Kreisscharen liegen
41 1.3 Mohrsche Spannungskreise Ebener Spannungszustand: Beim ebenen Spannungszustand ist eine der drei Hauptspannungen null. Spannungspunkte in einer Schnittebene senkrecht zu der Ebene, die von den Hauptachsen aufgespannt wird, deren Hauptspannungen nicht null sind, liegen auf dem Mohrschen Spannungskreis durch die beiden von null verschiedenen Hauptspannungen. In den folgenden Abbildungen ist jeweils eine solche Schnittebene rot eingezeichnet
42 1.3 Mohrsche Spannungskreise σ 1 = 0: τ τ max 3 2 σ σ 3 σ 2 3 σ
43 1.3 Mohrsche Spannungskreise σ 2 = 0: τ max τ 3 2 σ σ 3 σ 2 3 σ
44 1.3 Mohrsche Spannungskreise τ max τ σ 3 = 0: 3 2 σ σ 3 σ 2 2 σ
45 1.4 Fließbedingung Hydrostatischer Spannungszustand: Ein Spannungszustand, bei dem alle drei Hauptspannungen den gleichen Wert haben, heißt hydrostatischer Spannungszustand: 1 = 2 = 3 = 0 Bei einem hydrostatischen Spannungszustand ist jede Richtung eine Hauptrichtung. Der Spannungstensor wird in jedem Koordinatensystem durch eine Diagonalmatrix dargestellt: [ ]=[ [ ]= 0 0 1]= 0 [ I ]
46 1.4 Fließbedingung Die Mohrschen Kreise sind Punkte. Die Schubspannung ist in jeder Schnittebene null. Da Fließen durch die Schubspannung verursacht wird, kann bei einem hydrostatischen Spannungszustand kein Fließen auftreten. Ein hydrostatischer Spannungszustand kann auch bei einem duktilen Werkstoff einen Trennbruch verursachen. Spannungsdeviator: Jeder Spannungstensor σ lässt sich in einen hydrostatischen Anteil σ h und einen deviatorischen Anteil σ d aufspalten: = h d
47 1.4 Fließbedingung Der hydrostatische Anteil ist definiert durch m 0 0 [ h ]=[ 0 m 0 m] 0 0 mit der mittleren Normalspannung m = 1 3 x y z = = 1 3 sp
48 1.4 Fließbedingung Für den deviatorischen Anteil folgt: [ d ]=[ ] [ h ]=[ x m xy xz xy y m yz xz yz z m] Im Hauptachsensystem gilt: [ d ] H =[ 1 m m m]
49 1.4 Fließbedingung Der deviatorische Anteil des Spannungstensors ist ebenfalls ein symmetrischer Tensor. Er wird als Spannungsdeviator bezeichnet. Für die Invarianten des Spannungsdeviators gilt: I d 1 =sp d =0 I d 2 = 1 m 2 m 2 m 3 m 3 m 1 m = 1 6 [ ] = 1 6 [ x y 2 y z 2 z x 2 ] 2 xy 2 2 yz xz I d 3 =det d
50 1.4 Fließbedingung Fließbedingung: Die Fließbedingung ist ein Kriterium dafür, ob bei einem gegebenen Spannungszustand Fließen auftritt. Für einen einachsigen Spannungszustand gilt: Elastischer Zustand (kein Fließen): Plastischer Zustand (Fließen): Die Verallgemeinerung auf einen räumlichen Spannungszustand ist: Elastischer Zustand (kein Fließen): 2 R e 2 2 =R e 2 f k Plastischer Zustand (Fließen): f =k
51 1.4 Fließbedingung Dabei ist f = f x, y, z, xy, yz, xz eine skalarwertige positive Funktion des Spannungstensors und k eine Konstante, die vom Material abhängt. Da der hydrostatische Anteil keinen Einfluss auf das Fließen hat, muss gelten: f = f d Bei einem isotropen Material muss die Fließbedingung unabhängig vom Koordinatensystem sein. Sie hängt daher nur von den Invarianten des Spannungsdeviators ab: f d = f I d 2, I d
52 1.4 Fließbedingung Die einfachste Fließbedingung lautet (von Mises, 1913): I d 2 =k Einsetzen der Formel für die zweite Invariante des Spannungsdeviators ergibt =6 k Für den einachsigen Spannungszustand mit σ 2 = σ 3 = 0 folgt: =6 k Der Vergleich mit =R e zeigt: Daraus folgt für die Fließbedingung: k= 1 3 R 2 e 1 2 [ ]=R e
53 1.4 Fließbedingung Mit der Vergleichsspannung V, M= 1 2 [ ]= 3 I d 2 = 1 2 [ x y 2 y z 2 z x xy yz 2 2 xz ] lautet die Fließbedingung: V, M =R e
54 1.4 Fließbedingung Die Vergleichsspannung σ V, M nach von Mises stimmt mit der Vergleichsspannung σ V, GH nach der Gestaltänderungshypothese (Maxwell 1856, Huber 1904, Hencky 1924) überein: V, M = V,GH Die Vergleichsspannung nach von Mises ergibt bei duktilen Werkstoffen eine gute Übereinstimmung mit der Beobachtung
55 1.4 Fließbedingung Fließbehinderung: Verantwortlich für das Fließen bei duktilen Werkstoffen ist die Schubspannung. Bei einem räumlichen Spannungszustand kann trotz großer Normalspannungen die größtmögliche Schubspannung klein sein, so dass kein Fließen auftreten kann. Dieser Fall wird als Fließbehinderung bezeichnet. Bei Fließbehinderung kann auch bei einem duktilen Werkstoff ein Trennbruch auftreten
56 1.4 Fließbedingung Oktaederspannungen: Die Vergleichsspannung nach von Mises ist eine fiktive Spannung, d.h. es gibt keine Schnittebene, in der diese Spannung als Spannungskomponente auftritt. Zur Ermittlung einer Spannungskomponente, an der abgelesen werden kann, ob Fließen auftritt, werden zunächst Schnittebenen gesucht, deren Normalspannung σ n mit der mittleren Normalspannung σ m übereinstimmt. Im Hauptachsensystem gilt: m =
57 1.4 Fließbedingung Aus m = n = 1 n n n 3 2 folgt: Die mittlere Normalspannung σ m tritt als Normalspannung in Ebenen mit dem Normalenvektor auf. [ n ] H = 1 3 [ ±1 ±1 ±1] T Das sind insgesamt acht Ebenen, die den Flächen eines Oktaeders entsprechen. Die mittlere Normalspannung wird daher auch als Oktaedernormalspannung σ okt bezeichnet
58 1.4 Fließbedingung 3 σ okt τ okt
59 1.4 Fließbedingung Die Schubspannung in einer Oktaederfläche berechnet sich zu okt = = 2 3 I d 2 = 1 3 x y 2 y z 2 z x xy 2 2 yz xz = I d 2 = 2 3 V, M Sie wird als Oktaederschubspannung bezeichnet. Fließen tritt ein für okt = 2 (Nádai, 1933). 3 R e
60 1.5 Gleichgewichtsbedingungen In diesem Kapitel wird der Nachweis der Symmetrie des Spannungstensors nachgeholt. Es wird gezeigt, dass die Symmetrie aus dem Momentengleichgewicht für einen aus dem Körper herausgeschnittenen Quader folgt. Das Kräftegleichgewicht für den Quader führt auf ein System von partiellen Differenzialgleichungen für die Spannungskomponenten. Da die Symmetrie des Spannungstensors nachgewiesen werden soll, müssen die Gleichungen zunächst ohne Verwendung der Symmetrie formuliert werden
61 1.5 Gleichgewichtsbedingungen Betrachtetes Element: Aus dem Körper wird ein beliebiger Quader mit achsenparallelen Kanten herausgeschnitten. Die Flächen werden mit A, B, C, D, E und F bezeichnet. Auf den Flächen greifen die Spannungsvektoren t an. Am Volumen greift eine Volumenkraft f an. y z x
62 1.5 Gleichgewichtsbedingungen (x A, y D, z F ) t(f) (x B, y D, z F ) (x A, y C, z F ) F t(d) z t(a) y t(c) f D t(b) (x B, y D, z E ) x A E C B (x A, y C, z E ) t(e) (x B, y C, z E )
63 1.5 Gleichgewichtsbedingungen Kräftegleichgewicht : y D F=0 : y C z F z E Mit t= n folgt: y D y C z F z E x B x A x B x A x B t B t A dz dy x A y D x B t F t E dy dx y C x B B A e x dz dy x A y D y C z F z E x B F E e z dy dx x A z F z E x A t D t C dz dx y D y C z F z E f dz dy dx=0 D C e y dz dx y D y C z F z E f dz dy dx=
64 1.5 Gleichgewichtsbedingungen In Komponenten lautet diese Gleichung: y D y C z F z E [ x B x A x B yx B yx dy x zx B zx A ]dz A z F z E [ xy D xy C y D y C dx zy D zy C ]dz x B x A y D y C [ xz F xz E yz F yz E z F z E x B ]dy dx x A y D y C z F z E [ f x f y f z 0] ]dz dy dx=[
65 1.5 Gleichgewichtsbedingungen Für die Differenzen gilt: [ x B x A x B yx B yx x zx B zx A ]= A x [ x yx, zx]dx [ xy D xy C y D y D y C y zy D zy C ]= C y [ xy y zy]dy [ xz F xz E yz F yz E z F z E z ]= F z E z [ xz yz z ]dz
66 1.5 Gleichgewichtsbedingungen Einsetzen ergibt: x B y D z F [ x x A y C z E x yx zx] y [ xy y zy] z ] [ [ xz yz z f dy dx=[0 0 f z] dz 0] x f y Das Integral ist nur dann für beliebige Integrationsintervalle null, wenn der Integrand null ist: [ x x yx zx] [ xy y y zy] [ xz f x z yz f y 0 z f z]=[0 0] ] [
67 1.5 Gleichgewichtsbedingungen Momentengleichgewicht: Das Momentengleichgewicht um den Ursprung des Koordinatensystems lautet: y D y C z F z E x B x A [ x y D y C B y z ] [ [ x y z F x B x A yx B y zx B ] [ z ] [ xz F yz F z F ] [ ] [ x A yx A x B dz dy x zx A ] A z F z E x xz E x B y yz E dy z E] [ z E ] dx x A [ x z y D y C y D z F z E ] [ xy D x y D zy D ] [ z [ ] [ x f x y dz z f y f z] y C ] [ xy C y C zy C ] dz dx 0] dy dx=[
68 1.5 Gleichgewichtsbedingungen Für die x-komponente der Gleichung folgt: y D y C z F z E x B x A x B x A x B x A [ y zx B zx A z yx B yx A dz dy z F z E y D y C y D y C [ y D zy D y C zy C z y D y C ] dz dx [ y z F z E z F yz F z E yz E ] dx dy z F z E y f z z f y dz dy dx=
69 1.5 Gleichgewichtsbedingungen Ersetzen der Differenzen durch Integrale ergibt: x z yx x z y y y z dz dy dx z x B y D z F zx y x A y C z E x B y D x A y C Ausdifferenzieren führt auf: x B y D x A y C z F z E z F z E y y zy z z yz y f z z f y dz dy dx=0 [ y zx x zy y z z z f zy yz] dz dy dx x B y D z F z yx x A y C z E x y y yz y z f dz dy dx=
70 1.5 Gleichgewichtsbedingungen Unter Berücksichtigung der aus dem Kräftegleichgewicht gewonnenen Beziehungen folgt: x B y D z F zy yz dz dy dx=0 x A y C z E Diese Gleichung ist nur dann für beliebige Integrationsgrenzen erfüllt, wenn gilt: zy = yz Entsprechend folgt aus den beiden übrigen Komponenten des Momentengleichgewichts: zx = xz, yx = xy
71 1.5 Gleichgewichtsbedingungen Unter Berücksichtigung der Symmetrie des Spannungstensors lauten die aus dem Kräftegleichgewicht gewonnenen partiellen Differenzialgleichungen für die Komponenten des Spannungstensors: x x xy y xz z f x = 0 xy x y y yz z f y = 0 xz x yz y z z f z =
72 1.5 Gleichgewichtsbedingungen Randbedingungen: t 0 Auf dem Rand S t des freigeschnittenen Körpers muss der Spannungsvektor mit der aufgebrachten Flächenlast t 0 übereinstimmen: S S E S t n Für freie Oberflächen gilt: t= n=t 0 auf S t t= n=0 auf S t Am eingespannten Rand S E ist der Spannungsvektor unbekannt
73 1.5 Gleichgewichtsbedingungen Zusammenfassung: Aus dem Momentengleichgewicht folgt die Symmetrie des Spannungstensors. Aus dem Kräftegleichgewicht folgen drei partielle Differenzialgleichungen für die sechs Komponenten des Spannungstensors. Sie allein reichen nicht aus, um das Spannungsfeld in einem Körper zu berechnen. Weitere Gleichungen folgen aus der Kinematik und dem Materialgesetz. Damit können auch Verschiebungsrandbedingungen berücksichtigt werden
3. Ebener Spannungszustand
3. Ebener Spannungszustand Die am Zugstab und am Druckbehälter gewonnenen Erkenntnisse werden nun auf allgemeine ebene Probleme erweitert. Dabei wird untersucht, welche Bedingungen die Spannungen erfüllen
MehrDer Spannungszustand. (traction vector) [N/mm²] k Volumskraftdichte [N/mm³] Mechanik IA
Der Spannungszustand σ na Spannungsvektor (traction vector) [N/mm²] k Volumskraftdichte [N/mm³] σ x σ x x + dx, y, z σ x x, y, z + σ x dx x x dx, y, z σ x x, y, z + σ x dx x etc df (R) = kdxdydz + σ x
MehrDietmar Gross, Werner Hauger, Jörg Schröder und Wolfgang A. Wall
Spannungszustand 2 Dietmar Gross, Werner Hauger, Jörg Schröder und Wolfgang A. Wall Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017 D. Gross et al., Technische Mechanik 2, DOI 10.1007/978-3-662-53679-7_2 35 36 2
Mehr3. Elastizitätsgesetz
3. Elastizitätsgesetz 3.1 Grundlagen 3.2 Isotropes Material 3.3 Orthotropes Material 3.4 Temperaturdehnungen 1.3-1 3.1 Grundlagen Elastisches Material: Bei einem elastischen Material besteht ein eindeutig
Mehr2. Der ebene Spannungszustand
2. Der ebene Spannungszustand 2.1 Schubspannung 2.2 Dünnwandiger Kessel 2.3 Ebener Spannungszustand 2.4 Spannungstransformation 2.5 Hauptspannungen 2.6 Dehnungen 2.7 Elastizitätsgesetz Prof. Dr. Wandinger
MehrSpannungs- und Verzerrungstensoren
10 Spannungs- und Verzerrungstensoren Spannungs- und Verzerrungstensoren 4 2 Motivation / Einführung Spannungsvektor im Stab ist abhängig von Orientierung des fiktiven Schnitts. Spannungsverteilung ist
MehrTheorie zu Serie 2. erstellt von A. Menichelli. 16. Februar 2018
Theorie zu Serie erstellt von A. Menichelli 16. Februar 018 1 Spannungen in D 1.1 Allgemein Die Definition der Spannung ist im allgemeinen die Verteilung einer Kraft auf der Fläche, auf der diese Kraft
Mehr20. und 21. Vorlesung Sommersemester
2. und 21. Vorlesung Sommersemester 1 Der Spezialfall fester Drehachse Aus dem Trägheitstensor sollte der früher behandelte Spezialfall fester Drehachse wieder hervorgehen. Wenn man ω = ω n mit einem Einheitsvektor
Mehr5. Ebene Probleme. 5.1 Ebener Spannungszustand 5.2 Ebener Verzerrungszustand Höhere Festigkeitslehre Prof. Dr.
5. Ebene Probleme 5.1 Ebener Spannungszustand 5.2 Ebener Verzerrungszustand 1.5-1 Definition: Bei einem ebenen Spannungszustand ist eine Hauptspannung null. Das Koordinatensystem kann so gewählt werden,
Mehr= -15 MPa. Zeichnen Sie den Mohrschen Spannungskreis und bestimmen Sie
Webinar: Elastostatik Thema: Mohrscher Spannungskreis Aufgabe: Mohrscher Spannungskreis Gegeben seien die folgenden Spannungen: σ x = -40 MPa, σ y = 60 MPa und τ xy = -15 MPa. Zeichnen Sie den Mohrschen
Mehr1. Formänderungsenergie
1. Formänderungsenergie 1.1 Grundlagen 1. Grundlastfälle 1.3 Beispiele.1-1 1.1 Grundlagen Zugstab: F L F x E, A F W u u An einem am linken Ende eingespannten linear elastischen Stab greift am rechten Ende
Mehr2. Verzerrungszustand
2. Verzerrungszustand Ein Körper, der belastet wird, verformt sich. Dabei ändern die Punkte des Körpers ihre Lage. Die Lageänderung der Punkte des Körpers wird als Verschiebung bezeichnet. Ist die Verschiebung
Mehr8 Spannungszustand. 8.1 Spannungsvektor und Spannungstensor
8 Spannungszustand In Kapitel 6 wurde bereits die innere Beanspruchung stabartiger Bauteile in Form von Schnittgrößen ermittelt. Um jedoch Aussagen über die Beanspruchung des Materials treffen zu können,
MehrInstitut für Allgemeine Mechanik der RWTH Aachen
Prof Dr-Ing D Weichert 1Übung Mechanik II SS 28 21428 1 Aufgabe An einem ebenen Element wirken die Spannungen σ 1, σ 2 und τ (Die Voreichen der Spannungen sind den Skien u entnehmen Geg: Ges: 1 σ 1 = 5
MehrMechanik II: Deformierbare Körper
Aufgabe S1: Gegeben sei ein vollständig mit Wasser gefüllten Behälter mit nur zwei Ausgängen. Die Ausgänge sind mit zwei zylindrischen Kolben geschlossen, die auf der Seite dicht mit der Wand sind, damit
Mehrist orthogonal, denn sie besteht aus zwei Spaltenmatrizen mit dem Betrag 1, deren Skalarprodukt verschwindet. Sie erfüllt deshalb die Bedingung
15.5 Der Mohrsche Spannungskreis 33 cos α sin α [ Q: ] = sin α cos α (15.36) ist orthogonal, denn sie besteht aus zwei Spaltenmatrizen mit dem Betrag 1, deren Skalarprodukt verschwindet. Sie erfüllt deshalb
MehrZugstab
Bisher wurde beim Zugstab die Beanspruchung in einer Schnittebene senkrecht zur Stabachse untersucht. Schnittebenen sind gedankliche Konstrukte, die auch schräg zur Stabachse liegen können. Zur Beurteilung
Mehr2. Materialgesetze und Festigkeitshypothesen
Baustatik III SS 2016 2. Materialgesetze und Festigkeitshypothesen 2.3 Festigkeitshypothesen Vergleichsspannung Die Vergleichsspannung ist eine fiktive einachsige Spannung, die dieselbe Materialbeanspruchung
Mehr3. Prinzip der virtuellen Arbeit
3. Prinzip der virtuellen rbeit Mit dem Satz von Castigliano können erschiebungen für Freiheitsgrade berechnet werden, an denen Lasten angreifen. Dabei werden nicht immer alle Terme der Formänderungsenergie
Mehr2.Übung Werkstoffmechanik Prof. K. Weinberg Universität Siegen Lehrstuhl für Festkörpermechanik
Hookesches Gesetz.Übung Werkstoffmechanik Aus der lastostatik ist das Hookesche Gesetz im -dimensionalen Raum bekannt. σ = ε Wobei σ die Spannung, das lastizitätsmodul und ε die Dehnung oder allgemeiner
MehrDaniel Wachter. Der Mohr sche Kreis
Daniel Wachter Der Mohr sche Kreis 1 Haftungshinweis Diese Angaben basieren auf den Vorlesungen von Prof. Dr. Jürg Dual und Prof. Dr. Edoardo Mazza an der ETH Zürich. Für die Richtigkeit wird keine Garantie
Mehr4. Balken. Brücken Tragflügel KFZ-Karosserie: A-Säule, B-Säule Rahmen: Fahrrad, Motorrad. Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.
4. Balken Balken sind eindimensionale Idealisierungen für Bauteile, die Längskräfte, Querkräfte und Momente übertragen können. Die Querschnittsabmessungen sind klein gegenüber der Länge. Beispiele: Brücken
Mehr6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen
Mathematik für Ingenieure II, SS 009 Dienstag 3.6 $Id: quadrat.tex,v.4 009/06/3 4:55:47 hk Exp $ 6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen 6.3 Quadratische Funktionen und die Hauptachsentransformation
MehrAbitur 2016 Mathematik Geometrie V
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur Mathematik Geometrie V Betrachtet wird der abgebildete Würfel A B C D E F G H. Die Eckpunkte D, E, F und H dieses Würfels besitzen in einem kartesischen
Mehr2 Grundlagen der Elastizitätstheorie
2 Grundlagen der Elastizitätstheorie 2.1 Spannungszustand... 71 2.1.1 Spannungsvektor, Spannungstensor, Indexschreibweise. 71 2.1.2 Koordinatentransformation... 76 2.1.3 Hauptspannungen, Invarianten, Mohrsche
Mehr3. Das Prinzip der virtuellen Arbeit
3.1 Stab 3.2 Scheibe 3. Das Prinzip der virtuellen Arbeit Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.3-1 3.1 Stab Herleitung des Prinzips der virtuellen Arbeit: Am Stab greifen als äußere
Mehr3. Trägheitstensor. Starrkörperdynamik Prof. Dr. Wandinger. 2. Der starre Körper
3. Trägheitstensor Im Beispiel der rollenden Scheibe hängt der Drall linear von der Winkelgeschwindigkeit ab. Bei der Berechnung des Dralls treten Integrale über die Geometrie des starren örpers auf. Es
MehrVerzerrungsenergie. Transformation auf beliebige Achsen x,y,z liefert nach Einsetzen von. Mechanik IA
Verzerrungsenergie Zieht man ein Volumselement mit der Kantenlänge a in Richtung der Spannungshauptachse in die Länge, so wird folgende Arbeit W verrichtet: W = Fds mit F = λσ a und ds = dλε a. λ entspricht
Mehrentspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =
Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.
Mehr4. Das Verfahren von Galerkin
4. Das Verfahren von Galerkin 4.1 Grundlagen 4.2 Methode der finiten Elemente 4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-1 4.1 Grundlagen Das Verfahren
MehrMathematik I für MB und ME
Mathematik I für MB und ME Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Wintersemester 28/29 Übungsaufgaben Serie 4: Lineare Unabhängigkeit, Matrizen, Determinanten, LGS Prüfen Sie, ob die folgenden
MehrMathematik I für MB/ME
Mathematik I für MB/ME Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Wintersemester 25/26 Übungsaufgaben Serie 4: Lineare Unabhängigkeit, Matrizen, Determinanten, LGS Prüfen Sie, ob die folgenden
MehrMathematik II Frühjahrssemester 2013
Mathematik II Frühjahrssemester 213 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Kapitel 7: Lineare Algebra Kapitel 7.5: Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik
Mehr11 Balkenbiegung Technische Mechanik Balkenbiegung
11 Balkenbiegung Balkenbiegung 2 Motivation / Einführung Ziele: Berechnung der Balkendurchbiegung (Deformation) Berechnung der Schnittgrößen für statisch unbestimmte Systeme Balken Definition Stabförmig;
MehrAnalytische Geometrie II
Analytische Geometrie II Rainer Hauser März 212 1 Einleitung 1.1 Geradengleichungen in Parameterform Jede Gerade g in der Ebene oder im Raum lässt sich durch einen festen Punkt auf g, dessen Ortsvektor
MehrAbitur 2013 Mathematik Geometrie V
Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur 1 Mathematik Geometrie V Teilaufgabe b ( BE) Ein auf einer horizontalen Fläche stehendes Kunstwerk besitzt einen Grundkörper aus massiven Beton, der die
Mehreine vom Nullvektor verschiedene Lösung hat. r heisst in diesem Fall Eigenvektor der Matrix A zum Eigenwert λ.
Eigenwert, Eigenvektor In der Regel hat bei einer linearen Abbildung das Bild eines Vektors eine andere Richtung als das Original r. Bei der Untersuchung der geometrischen Eigenschaften von linearen Abbildungen
MehrAbitur 2010 Mathematik LK Geometrie V
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur Mathematik LK Geometrie V Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des R der Punkt A( ) und die Menge der Punkte B k ( k) mit k R. Die Punkte
Mehr1 Krummlinige Koordinatensysteme
1 Krummlinige Koordinatensysteme 1.1 Ebene Polarkoordinaten Ebene Polarkoordinaten sind für zweidimensionale rotationssymmetrische Probleme geeignet. Die Länge der gedachten Verbindungslinie eines Punktes
MehrEinführung zu P01 Elastostatik
Praktikum Simulationssoftware (SiSo) Einführung zu P01 Elastostatik Ulrich Simon, rank Niemeyer, Martin Pietsch Ulmer Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen (UZWR) www.uni-ulm.de/uzwr Statik starrer Körper
MehrMathematik II Frühlingsemester 2015 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren
Mathematik II Frühlingsemester 215 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs215/other/mathematik2 biol Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/
Mehr1. Zug und Druck in Stäben
1. Zug und Druck in Stäben Stäbe sind Bauteile, deren Querschnittsabmessungen klein gegenüber ihrer änge sind: D Sie werden nur in ihrer ängsrichtung auf Zug oder Druck belastet. D Prof. Dr. Wandinger
Mehr3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6. Einleitung Eine quadratische n n Matrix A definiert eine Abbildung eines n dimensionalen Vektors auf einen n dimensionalen Vektor. c A x c A x Von besonderem Interesse
Mehr5. Elastizitätsgesetz
5. Elastizitätsgesetz Das Materialgesetz ist eine Beziehung zwischen den Spannungen, den Verzerrungen und den Temperaturänderungen. Das Materialgesetz für einen elastischen Körper wird als Elastizitätsgesetz
MehrMathematik I+II Frühlingsemester 2019 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren
Mathematik I+II Frühlingsemester 219 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/ farkas 1 / 46 8. Lineare Algebra: 5. Eigenwerte und
MehrMathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5
Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5 Prof. Dr. Norbert Pietralla/Sommersemester 2012 c.v.meister@skmail.ikp.physik.tu-darmstadt.de Aufgabe 1: Berechnen Sie den Abstand d der Punkte P 1 und
MehrKommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler Sommersemester 7 (7.8.7). Gegeben ist die Matrix A 3 3 3 (a) Bestimmen Sie sämtliche Eigenwerte sowie die zugehörigen Eigenvektoren.
Mehr2.3.4 Drehungen in drei Dimensionen
2.3.4 Drehungen in drei Dimensionen Wir verallgemeinern die bisherigen Betrachtungen nun auf den dreidimensionalen Fall. Für Drehungen des Koordinatensystems um die Koordinatenachsen ergibt sich 1 x 1
MehrZylinderkoordinaten 1 E1. Ma 2 Lubov Vassilevskaya
Zylinderkoordinaten E E E3 Berechnung in beliebigen krummlinigen Koordinaten Die Koordinaten sind durch die Beziehungen definiert: x x u, v, w, y y u, v, w, z z u, v, w Für sie sollen stetige partielle
MehrKurzskript zur Vorlesung Mathematik I für MB, WI/MB und andere Prof. Dr. Ulrich Reif
14 Oktober 2008 1 Kurzskript zur Vorlesung Mathematik I für MB, WI/MB und andere Prof Dr Ulrich Reif Inhalt: 1 Vektorrechnung 2 Lineare Gleichungssysteme 3 Matrizenrechnung 4 Lineare Abbildungen 5 Eigenwerte
MehrAbitur 2011 G8 Musterabitur Mathematik Geometrie VI
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur G8 Musterabitur Mathematik Geometrie VI In einem kartesischen Koordinatensystem ist ein Würfel W der Kantenlänge gegeben. Die Eckpunkte G ( ) und D ( ) legen
Mehr1. Ebene gerade Balken
1. Ebene gerade Balken Betrachtet werden gerade Balken, die nur in der -Ebene belastet werden. Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-1 1. Ebene gerade Balken 1.1 Schnittlasten 1.2 Balken
MehrTutoriumsaufgaben. 1. Aufgabe
Sekretariat MS Einsteinufer 5 10587 Berlin 15 Übungsblatt-Lösungen Spannungen Mohrscher Kreis WS 01/14 Tutoriumsaufgaben 1 Aufgabe Vorbetrachtung: Der eingeprägte Spannungszustand im Element wird durch
MehrKapitel 17 Skalar- und Vektorprodukt
Kapitel 17 Skalar- und Vektorprodukt Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 22 Bisher hatten wir die Möglichkeit Vektoren des R n zu addieren und Vektoren mit rellen Zahlen zu multiplizieren. Man
MehrOrientierung der Vektoren b 1,..., b n. Volumen des von den Vektoren aufgespannten Parallelotops
15. DETERMINANTEN 1 Für n Vektoren b 1,..., b n im R n definiert man ihre Determinante det(b 1,..., b n ) Anschaulich gilt det(b 1,..., b n ) = Orientierung der Vektoren b 1,..., b n Volumen des von den
MehrEigenwertprobleme. 25. Oktober Autoren: 1. Herrmann, Hannes ( ) 2. Kraus, Michael ( ) 3. Krückemeier, Paul ( )
Eigenwertprobleme 5. Oktober Autoren:. Herrmann, Hannes (45969). Kraus, Michael (9). Krückemeier, Paul (899) 4. Niedzielski, Björn (7) Eigenwertprobleme tauchen in der mathematischen Physik an Stellen
Mehr5. Geraden und Ebenen im Raum 5.1. Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren
5 Geraden und Ebenen im Raum 5 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren Definition: Die Vektoren a,a,,a n heißen linear abhängig, wenn mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination
MehrTheoretische Physik 1, Mechanik
Theoretische Physik 1, Mechanik Harald Friedrich, Technische Universität München Sommersemester 2009 Mathematische Ergänzungen Vektoren und Tensoren Partielle Ableitungen, Nabla-Operator Physikalische
MehrAbitur 2011 G8 Abitur Mathematik Geometrie V
Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 211 G8 Abitur Mathematik Geometrie V In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( 6 ), B( 8 6 6) und C( 8 6) gegeben. Teilaufgabe 1a (8
MehrKapitel 9 Räumlicher Spannungszustand
Kapitel 9 Räumlicher Spannungszustand 9 9 9 Räumlicher Spannungszustand 9.1 Problemdefinition... 297 9.2 Die Grundgleichungen des räumlichen Problems... 297 9.2.1 Die Feldgleichungen des räumlichen Problems...
MehrFachbereich Mathematik/Informatik 16. Juni 2012 Prof. Dr. H. Brenner. Mathematik für Anwender II. Testklausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik 6. Juni 0 Prof. Dr. H. Brenner Mathematik für Anwender II Testklausur mit Lösungen Aufgabe. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. () Ein Skalarprodukt
MehrGrundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015
Vektorrechnung Fakultät Grundlagen Juli 205 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Übersicht Grundsätzliches Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag 2 Skalarprodukt Vektorprodukt
MehrHauptachsentransformation: Eigenwerte und Eigenvektoren
Hauptachsentransformation: Eigenwerte und Eigenvektoren die bisherigen Betrachtungen beziehen sich im Wesentlichen auf die Standardbasis des R n Nun soll aufgezeigt werden, wie man sich von dieser Einschränkung
MehrÜbungen zu Doppel- und Dreifachintegralen Lösungen zu Übung 15
5. Es sei Übungen zu Doppel- und Dreifachintegralen Lösungen zu Übung 5 f(x, y) : x y, : x, y, x + y, y x. erechnen Sie f(x, y) d. Wir lösen diese Aufgabe auf zweierlei Art. Zuerst betrachten wir das Gebiet
MehrLineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth
Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter
Mehr2. Räumliche Bewegung
2. Räumliche Bewegung Wenn die Bahn des Massenpunkts nicht bekannt ist, reicht die Angabe einer Koordinate nicht aus, um seinen Ort im Raum zu bestimmen. Es muss ein Ortsvektor angegeben werden. Prof.
Mehr6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen
Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag 9.6 $Id: quadrat.tex,v. 9/6/9 4:6:48 hk Exp $ 6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen 6. Symmetrische Matrizen Eine n n Matrix heißt symmetrisch wenn
Mehr5. Raum-Zeit-Symmetrien: Erhaltungssätze
5. Raum-Zeit-Symmetrien: Erhaltungssätze Unter Symmetrie versteht man die Invarianz unter einer bestimmten Operation. Ein Objekt wird als symmetrisch bezeichnet, wenn es gegenüber Symmetrieoperationen
MehrMechanik 2. Übungsaufgaben
Mechanik 2 Übungsaufgaben Professor Dr.-Ing. habil. Jörg Schröder Universität Duisburg Essen, Standort Essen Fachbereich 10 - Bauwesen Institut für Mechanik Übung zu Mechanik 2 Seite 1 Aufgabe 1 Berechnen
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08) Kapitel 2: Der Euklidische Raum Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 30. Oktober 2007) Vektoren in R n Definition
MehrSeite 1. sin 2 x dx. b) Berechnen Sie das Integral. e (t s)2 ds. (Nur Leibniz-Formel) c) Differenzieren Sie die Funktion f(t) = t. d dx ln(x + x3 ) dx
Seite Aufgabe : a Berechnen Sie das Integral b Berechnen Sie das Integral +x x+x dx. π sin x dx. c Differenzieren Sie die Funktion ft = t e t s ds. Nur Leibniz-Formel a + x x + x dx = d dx lnx + x dx =
MehrGrundbau und Bodenmechanik Übung Mohr scher Spannungskreis und Scherfestigkeit 1. G Mohr scher Spannungskreis und Scherfestigkeit. Inhaltsverzeichnis
Übung Mohr scher Spannungskreis und Scherfestigkeit Lehrstuhl für Grundbau, Bodenmechanik, Felsmechanik und Tunnelbau G Mohr scher Spannungskreis und Scherfestigkeit Inhaltsverzeichnis G. Allgemeiner Spannungszustand
MehrAufgaben / Lösungen der Klausur Nr. 4 vom Juni 2002 im LK 12. nx ln(x)dx
Aufgaben / Lösungen der Klausur Nr. 4 vom Juni 2002 im LK 2 Aufgabe ) a) Berechne für alle natürlichen Zahlen n N das Integral e nx ln(x)dx. Mit Hilfe der partiellen Integration für f (x) = nx, somit f(x)
Mehr++ + = 0 so erhält man eine quadratische Gleichung mit zwei Variablen dx+ey+f = 0 1.1
Hauptachsentransformation. Einleitung Schneidet man den geraden Kreiskegel mit der Gleichung = + und die Ebene ++ + = 0 so erhält man eine quadratische Gleichung mit zwei Variablen +2 + +dx+ey+f = 0. Die
MehrAufgabe Summe Note Punkte
Fachhochschule Südwestfalen - Meschede Prof. Dr. Henrik Schulze Klausur Ingenieurmathematik am 9. März 7 - Musterlösung Name Matr.-Nr. Vorname Unterschrift Aufgabe 4 5 6 7 Summe Note Punkte Die Klausur
Mehr2. Räumliche Bewegung
2. Räumliche Bewegung Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM 3 1.2-1 2. Räumliche Bewegung Wenn die Bahn des Punkts nicht bekannt ist, reicht die Angabe einer Koordinate nicht aus, um seinen Ort
Mehr(x 1. Vektoren. g: x = p + r u. p r (u1. x 2. u 2. p 2
Vektoren Mit der Vektorrechnung werden oft geometrische Probleme gelöst. Wenn irgendwelche Aufgabenstellungen geometrisch darstellbar sind, z.b. Flugbahnen oder Abstandsberechnungen, dann können sie mit
MehrMathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010
Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010 Lektion 7 11. Mai 2010 Kapitel 8. Vektoren Definition 76. Betrachten wir eine beliebige endliche Anzahl von Vektoren v 1, v 2,..., v m des R n, so können
Mehr2. Räumliche Bewegung
2. Räumliche Bewegung Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM 3 1.2-1 2. Räumliche Bewegung Wenn die Bahn des Punkts nicht bekannt ist, reicht die Angabe einer Koordinate nicht aus, um seinen Ort
MehrMechanik II: Deformierbare Körper für D-BAUG, D-MAVT Haus- & Schnellübung 5
Aufgabe S1: Auf einem Balken der Länge l 0 und der Querschnittsfläche A 0 wirkt eine Axiallast P. Bestimmen Sie das Elastizitätsmodul des Material, wenn dieser sich um Material hat linear-elastisches Verhalten.
MehrKapitel VI. Euklidische Geometrie
Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und
MehrKlausur Mathematik I
Technische Universität Dresden 15. August 2008 Institut für Numerische Mathematik Dr. K. Eppler Klausur Mathematik I für Studierende der Fakultät Maschinenwesen (mit Lösungshinweisen) Name: Matrikelnummer.:
MehrVorlesung Mathematik 2 für Informatik
Vorlesung Mathematik für Informatik Inhalt: Lineare Algebra Rechnen mit Vektoren und Matrizen Lineare Gleichungssysteme, GauÿAlgorithmus Vektorräume, Lineare Abbildungen Eigenwerte und Eigenvektoren Literatur
MehrPrüfung zur Vorlesung Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, August 2011 D BIOL, D CHAB Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle 1 2 3 4 5 6 Total Vollständigkeit
MehrEigenwerte und Eigenvektoren
Vortrag Gmnasium Birkenfeld Von der mathematischen Spielerei zur technischen Anwendung Vortrag Gmnasium Birkenfeld. Vektoren und Matrizen Wir betrachten einen Punkt P (, ) in der Ebene eines rechtwinklig
MehrWiederholungsblatt Elementargeometrie LÖSUNGSSKIZZE
Wiederholungsblatt Elementargeometrie im SS 01 bei Prof. Dr. S. Goette LÖSUNGSSKIZZE Die Lösungen unten enthalten teilweise keine vollständigen Rechnungen. Es sind aber alle wichtigen Zwischenergebnisse
MehrSysteme von Differentialgleichungen. Beispiel 1: Chemische Reaktionssysteme. Beispiel 2. System aus n Differentialgleichungen 1. Ordnung: y 1.
Systeme von Differentialgleichungen Beispiel : Chemische Reaktionssysteme System aus n Differentialgleichungen Ordnung: y (x = f (x, y (x,, y n (x Kurzschreibweise: y y 2 (x = f 2(x, y (x,, y n (x y n(x
MehrLösungen zur Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT
Prof. N. Hungerbühler ETH Zürich, Winter 6 Lösungen zur Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT. Hinweise zur Bewertung: Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch; machen Sie ein Kreuzchen in das entsprechende
Mehr2. Trägheitstensor. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinetik des starren Körpers Dynamik
2. Trägheitstensor Der Drall hängt ab von der Verteilung der Masse und der Geschwindigkeit über den örper. Die Geschwindigkeitsverteilung ergibt sich aus der Überlagerung einer Translation und einer Rotation.
MehrMathematik 3 für Informatik
Gunter Ochs Wintersemester 5/6 Mathematik 3 für Informatik Lösungen zum Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garnatie auf Fehlerfreiheit c 5. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: a x 4
MehrMathematik I für MB und ME
Übungsaufgaben Aufgaben zur Wiederholung Mathematik I für MB und ME Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Wintersemester 06/07 a) Stellen Sie die Gleichung a b 3+c = a +c, a, b > 0, nach
MehrAbleitungen von skalaren Feldern Der Gradient
Ableitungen von skalaren Feldern Der Gradient In der letzten Vorlesung haben wir das zu einem konservativen Kraftfeld zugehörige Potential V ( r) = F ( s) d s + V ( r0 ) kennengelernt und als potentielle
Mehr10.2 Linearkombinationen
147 Vektorräume in R 3 Die Vektorräume in R 3 sind { } Geraden durch den Ursprung Ebenen durch den Ursprung R 3 Analog zu reellen Vektorräumen kann man komplexe Vektorräume definieren. In der Definition
Mehr3. Fluid-Struktur-Kopplung
3. Fluid-Struktur-Kopplung Bei einer schwingenden Struktur muss die Normalkomponente der Schallschnelle mit der Normalkomponente der Geschwindigkeit an der Oberfläche der Struktur übereinstimmen. Dadurch
Mehr03. Vektoren im R 2, R 3 und R n
03 Vektoren im R 2, R 3 und R n Unter Verwendung eines Koordinatensystems kann jedem Punkt der Ebene umkehrbar eindeutig ein Zahlenpaar (x, y) zugeordnet werden P (x, y) Man nennt x und y die kartesischen
Mehr, v 3 = und v 4 =, v 2 = V 1 = { c v 1 c R }.
154 e Gegeben sind die Vektoren v 1 = ( 10 1, v = ( 10 1. Sei V 1 = v 1 der von v 1 aufgespannte Vektorraum in R 3. 1 Dann besteht V 1 aus allen Vielfachen von v 1, V 1 = { c v 1 c R }. ( 0 ( 01, v 3 =
Mehr