1. Formänderungsenergie

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Johann Simen
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1 1. Formänderungsenergie 1.1 Grundlagen 1. Grundlastfälle 1.3 Beispiele.1-1

2 1.1 Grundlagen Zugstab: F L F x E, A F W u u An einem am linken Ende eingespannten linear elastischen Stab greift am rechten Ende die Kraft F an..1-

3 1.1 Grundlagen Der Stab hat die Länge L, die konstante Querschnittsfläche A und den Elastizitätsmodul E. Die Kraft verrichtet die Arbeit: Die Normalspannung σ im Stab ist konstant. Mit F = σ A folgt: W = 1 Au=1 0 L = 1 0 L A dx= 1 V d u dx A dx= 1 0 dv =E F W = 1 F u L d dx u du dx A dx.1-3

4 1.1 Grundlagen Die Größe E F = 1 V dv = V e F dv heißt Formänderungsenergie und der Integrand e F = 1 Formänderungsenergiedichte. Die von der äußeren Kraft verrichtete Arbeit ist als Formänderungsenergie im Stab gespeichert: W =E F.1-4

5 1.1 Grundlagen Räumlicher Spannungszustand: Untersucht wird die Arbeit, die die an einem Quader mit achsenparallelen Kanten angreifenden Kräfte verrichten. Diese Arbeit ist gleich der im Quader gespeicherten Formänderungsenergie. Die gesamte Formänderungsenergie in einem Körper ergibt sich als Integral der Formänderungsenergiedichte über den gesamten Körper..1-5

6 1.1 Grundlagen (x A, D, z F ) t(f) (x B, D, z F ) u(f) (x A, C, z F ) F u(a) t(d) t(b) z t(a) t(c) u(c) u(e) u f u(d) D u(b) (x B, D, z E ) x A E C B (x A, C, z E ) t(e) (x B, C, z E ).1-6

7 1.1 Grundlagen Für die Arbeit W gilt zunächst: D W = C z F z E x B x A x B x A x B x A t B u B t A u A dz d z F z E D C D C t D u D t C u C dz dx t F u F t E u E d dx z F z E f u dz d dx.1-7

8 1.1 Grundlagen Mit t= n folgt in Komponenten: D W = C x B x A x B x A z F z E x B u B x B v B xz B w B x A u A x A v A xz A w A dz d z F x D u D D v D z D w D z E x C u C C v C z C w C dz dx D xz F u F z F v F z F w F C xz E u E z E v E z E w E d dx x B x A D C z F f x u f v f z w dz d dx z E.1-8

9 1.1 Grundlagen Ersetzen der Differenzen durch Integrale ergibt: x W = B D x A C z F z E z F x B D x A C z E z F x B D x A C z E x B D z F x A C z E x u x u x xz u z x v xz w dz d dx x x v w z dz d dx z v z w dz d dx z z x B f x u f v f z w dz d dx= D z F e F dz d dx x A C z E.1-9

10 1.1 Grundlagen Mit der Produktregel ergibt sich daraus für die Formänderungsenergiedichte: = e F x x x x xz z f u x x x z z f v x xz x z z z f z w z u x v w z x v x u xz w x u z z w v z.1-10

11 1.1 Grundlagen Mit den Gleichgewichtsbedingungen und den kinematischen Beziehungen folgt: e F = 1 x x z z x x z z xz xz = 1 { } T { }= 1 { } T {S } { }= 1 { } T {E } { } 0 Die Formänderungsenergiedichte ist positiv. Sie ist null, wenn die Verzerrungen null sind, d.h. für eine Starrkörperbewegung..1-11

12 1.1 Grundlagen Für die Formänderungsenergie gilt: E F = V e F dv = 1 V { } T { } dv Sie ist gleich der Arbeit der äußeren Kräfte: W =E F Wenn am Körper nur eine einzige Kraft angreift, gilt: W = 1 F u= 1 V { } T { }dv Daraus lässt sich die Verschiebung u am Lastangriffspunkt ermitteln: u= 1 { } T { } dv F V.1-1

13 1. Grundlastfälle Normalkraft: Betrachtet wird ein Stab mit veränderlichem Querschnitt, der durch eine Normalkraft N belastet wird. Mit σ x = N A und ϵ x = σ E gilt: E N F = 1 V N L E A dv = 1 0 N E A dx Wenn Querschnittsfläche und Normalkraft konstant sind, gilt: E F N = 1 N L E A.1-13

14 1. Grundlastfälle Bei Fachwerken muss über alle Stäbe summiert werden: E N F = 1 k E k A k N k L k Biegemoment: Im Hauptachsensstem gilt für die Spannungen in einem Querschnitt: x x,, z = M x I z M z x I z.1-14

15 1. Grundlastfälle Daraus folgt für die Formänderungsenergiedichte: Die Formänderungsenergie ergibt sich durch Integration über das Volumen. Mit dv = dadx und I = A e B F = 1 x E = 1 z da, I z = A M E I z M M z E I I z z 1 da, I z = A M z E I z z da=0 folgt: L E B F = 1 0 M M z E I E I z dx.1-15

16 1. Grundlastfälle Querkraftschub: b(z) Für die Schubspannung in einem Querschnitt senkrecht zur Balkenachse gilt: xz = Q z x S z I x b z τ xz z τ x A(z) S z = A z z da x = Q x S z I z x h z A() h() S z = A da.1-16

17 1. Grundlastfälle Dabei sind S (z) und S z () die statischen Momente der ab z bzw. laufenden Fläche. Die Formänderungsenergiedichte berechnet sich zu e S F = 1 G xz x = 1 Integration über das Volumen ergibt: Q z S G I b Q S z I z h E S F = V S S z 1 Q z G I b Q I z h L dv = 0 1 Q z G I A S b da Q I z A S z h da dx.1-17

18 1. Grundlastfälle Mit den Schubverteilungszahlen k = A I z A S z h da, k z = A I A S b da folgt für die Formänderungsenergie: L E S F = 1 0 k z Q z G A k Q G A dx.1-18

19 1. Grundlastfälle Schubverteilungszahlen: z t «d t «d k, k z 6/5 10/9 6/

20 1. Grundlastfälle Torsion: M x L M x Mit den Verdrehungen θ A und θ B gilt: x B W =M x B A = x A A x B d M x dx dx= M x dx x A G I T x B Damit gilt für die Formänderungsenergie: L E T F = 1 0 M x G I T dx Dabei ist I T das Torsionsträgheitsmoment..1-0

21 1. Grundlastfälle Überlagerung: Wird ein Träger durch mehrere dieser Grundlastfälle belastet, so ergibt sich die gesamte Formänderungsenergie durch Addition der einzelnen Beiträge: E F =E N F E B F E S F E T F Bei langen schlanken Balken (L > 5h) kann der Beitrag des Querkraftschubs vernachlässigt werden..1-1

22 1.3 Beispiele Fachwerk: Gegeben: 3 a = 1000mm E = 10000MPa A = 50mm A x a 1 F 45 a B a/ F = 10kN Gesucht: Formänderungsenergie Vertikalverschiebung des Lastangriffspunkts.1-

23 1.3 Beispiele Stabkräfte (mit Knotenpunktverfahren): N A1 =N B1 = F, N 3 = F, N 1 =N 13 = F, N A =N B3 = F Formänderungsenergie: E N F = a [ E A N A1 N B1 N 3 1 N A N 1 N 13 = a F E A [ = a F 4 E A ] = a F N B3 ] [ 3 EA ].1-3

24 1.3 Beispiele Vertikalverschiebung des Lastangriffspunkts: Aus W =E F folgt: 1 F v=e F = 3 4 F a E A v= 3 F a E A =,914 F a E A Zahlenwert: N 1000 mm v=, N / mm =0,5550 mm 50 mm Ein positives Vorzeichen gibt an, dass die Verschiebung in Richtung der Kraft erfolgt..1-4

25 1.3 Beispiele Balkensstem: Gegeben: C F a = 500mm a E = 10000MPa A = 480mm I = mm 4 F = 10kN Gesucht: Formänderungsenergie A a B Horizontalverschiebung des Lastangriffspunkts.1-5

26 1.3 Beispiele Schnittlasten: Biegemoment Normalkraft C C M N F x x x M 1 A B -af A x 1 N B -af Balken AB : N x 1 =F BalkenBC : N x =0 Balken AB : M x 1 = a F BalkenBC : M x = a F 1 x a.1-6

27 1.3 Beispiele Formänderungsenergie: E F = 1 Ergebnis: N a E A 1 B M dx 1 C M dx A E I B E I Die Berechnung der Integrale erfolgt am einfachsten mit Hilfe einer Koppeltafel: B M dx= a3 F, C M dx= 1 a 3 F A E I E I B E I 3 E I E F = F a a 1 E A I 3 Dabei ist i =I / A der Trägheitsradius. a I = F a 3 E I 7 6 I A a = F a 3 E I 7 6 i a.1-7

28 1.3 Beispiele Horizontalverschiebung des Lastangriffspunkts: Aus W =E F folgt: u F= E F u= F a3 E I 7 6 i a Zahlenwert: i = mm mm = mm, i a = = 1 30 u= N 5003 mm N / mm mm =3,571 mm 30 Der Beitrag der Normalkraft ist vernachlässigbar klein..1-8

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