( und ) Winter Montag, 23. Januar 2017, Uhr, HCI G 7. Name, Vorname: Studenten-Nr.:

Transkript

1 Baustatik I+II Sessionsprüfung ( und ) Winter 2017 Montag, 23. Januar 2017, Uhr, HCI G 7 Name, Vorname: Studenten-Nr.: Bemerkungen 1. Die Aufgaben dürfen in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. 2. Der Lösungsweg der Aufgaben muss klar ersichtlich sein. Resultate ohne zugehörigen Lösungsweg werden nicht bewertet. 3. Für jede Aufgabe ist der entsprechende Papierbogen A3 zu verwenden. Notizen in der Aufgabenstellung werden bei der Bewertung nicht berücksichtigt. 4. Alle ausgeteilten Unterlagen (Aufgabenstellung und alle Papierbögen A3) sind nach Prüfungsende mit Namen und Studenten-Nr. versehen abzugeben. 5. Die Eigenlasten der Strukturen sind zu vernachlässigen. 6. Hilfsmittel: 10 Seiten selbständig handschriftlich verfasste Zusammenfassung, Taschenrechner ohne externe Kommunikationsmöglichkeiten, Schreibzeug, Zirkel und Lineal. 7. Eine Integrationstabelle liegt der Aufgabenstellung bei. 8. Vorzeichenkonvention: Winter 2017 Seite 1/13

2 Aufgabe 1 (11.5 Punkte) Bild 1: Räumliche Struktur: (a) Grundriss; (b) räumliche Ansicht; (c) Querschnitt; (d) Verbindungselement in Punkt B. Winter 2017 Seite 2/13

3 Das statische System und die Belastung sind in Bild 1 (a) im Grundriss und in Bild 1 (b) in einer räumlichen Ansicht dargestellt. Das System besteht aus drei Stäben AD, BD und CD mit der Länge l, welche im Punkt D in einem 120 Winkel miteinander biege- und torsionssteif verbunden sind. Das System ist im Punkt A unverschieblich, im Punkt C in X-Richtung und im Punkt B in X- und Y-Richtung verschieblich gelagert. An den Stäben AD und CD wirkt eine gleichmässig verteilte Torsionsbelastung m x und im Punkt D wirkt eine Einzellast Q. Der Querschnitt ist in Bild 1 (c) dargestellt. Es sind folgende Aufgaben zu lösen: a) Berechnen Sie die Lagerkräfte und die Schnittgrössenverläufe in Funktion von Q und l. Dabei gilt: mx 1 = Q 6 3 b) Bestimmen Sie die Verdrehung θ um die Stabachse im Punkt A (siehe Bild 1 (b)). Geben Sie das Resultat zuerst in Funktion von Q, l, EI y, GA V und GI x an und bestimmen Sie anschliessend den numerischen Wert. Welche Verformungskomponente könnten Sie vernachlässigen? Verwenden Sie hierfür folgende numerische Werte: l = 20m Q = 4000kN h = 2000mm 1 b = 20mm 1 b = 200mm 2 Bei der Bestimmung der Schubsteifigkeit kann angenommen werden, dass der Schubspannungsverlauf in den Stegen konstant ist. Es kann von einem isotropen linear elastischen Material mit den folgenden Kennwerten ausgegangen werden: E = 200GPa v = 0.2 τ max = 115MPa c) In Bild 1 (d) ist ein Verbindungselement dargestellt. Dieses Element muss 1/10 der Schubkraft in B aufnehmen können. Bestimmen Sie die erforderliche Dicke t in analytischer Form in Funktion von V z, h 2 und τ max. Bestimmen Sie anschliessend den Wert numerisch wenn h 2 = 100 mm beträgt. Winter 2017 Seite 3/13

4 Aufgabe 2 (8.5 Punkte) Bild 2: Fachwerk: (a) Ideales Fachwerk; (b) Randbedingungen für die Stützlinienkonstruktion in Aufgabe c). Winter 2017 Seite 4/13

5 Der in Bild 2 (a) dargestellte Träger ist als ideales Fachwerk ausgebildet. An den Knoten des Obergurtes greifen Einzellasten vom Betrag F an. Nutzen Sie zum Lösen der Aufgaben die Vorlagen auf dem Lösungsbogen. a) Bestimmen Sie die Stabkräfte. Gibt es Kraftkomponenten welche über eine Anzahl von Stäben konstant sind? b) Bestimmen Sie die quantitativ die Einflusslinie für die Stabkraft S Die wandernde Einzellast wirkt am Obergurt zwischen den Punkten 1 und 7. Die Teilaufgaben c) und d) beziehen sich auf Bild 2 (b). c) Bestimmen Sie die Stützlinie für die gegebene Belastung, welche durch die Auflagerpunkte A und B verläuft. Es gilt: H = F Ihr Entwurf wird nun als Seilkonstruktion ausgeführt. Verwenden Sie: F = 100kN d) Bestimmen Sie den erforderlichen Durchmesser für das Stahlseil (f sy = 235 MPa). Es kann von einem idealen Kreisquerschnitt ausgegangen werden. Es stellt sich heraus, dass die resultierende Seilkraft zu gross ist. Was können Sie machen um die Belastung trotzdem aufnehmen zu können? Winter 2017 Seite 5/13

6 Aufgabe 3 (9 Punkte) Bild 3: Ablauf der Dachverstärkung: (1) Originalzustand: Dach unter Eigenlast; (2) Dach mit Unterspannung; (3) Dach mit Unterspannung im Endzustand. Winter 2017 Seite 6/13

7 In Bild 3 wird die Belastungsgeschichte eines Dachs dargestellt, welches mit einer Unterspannung verstärkt werden muss. Bild 3 (1) zeigt das Dach im Originalzustand unter Eigenlast g bevor die Unterspannung installiert wird. Das Dach kann als einfacher Balken mit der Biegesteifigkeit EI modelliert werden. Die Verformungen infolge Normal- und Querkraft dürfen vernachlässigt werden (EA und GA V ). Bild 3 (2) zeigt das verstärkte Dach. Die Unterspannung besteht als Pendelstäben mit der Steifigkeit EA resp. 5 /2 EA. Die Vorspannkraft P 0 wird auf den Stab S 1 aufgebracht. Bild 3 (3) zeigt den Endzustand in welchem zusätzlich die Nutzlast q wirkt. Der Querkraftwiderstand des Dachs kann als gegeben betrachtet werden und beträgt: V = gl. Rd Im Weiteren darf angenommen werden, dass der Biegewiderstand des Dachs und der Normalkraftwiderstand der Unterspannung nicht massgebend sind. Verwenden Sie folgende Beziehung zwischen der Biege- und Dehnsteifigkeit: EA= 27 EI. 2 l Es sind folgende Aufgaben zu lösen: a) Bestimmen Sie die Schnittkraftverläufe M und V sowie die Normalkraft in Stab S 1 des Systems infolge q. Geben Sie die Resultate in Funktion von q und l an. b) Bestimmen Sie die Vorspannkraft P 0, so dass das Moment infolge Eigengewicht M(g) im Drittelspunkt des Dachs verschwindet (Zustand 2). c) Wie gross darf q max werden, so dass kein Querkraftversagen auftritt. Bestimmen Sie die zugehörige totale Kraft im Stab S 1. Geben Sie die Resultate in Funktion von g und l an. d) Wie gross darf die Vorspannkraft P 0 sein, so dass zu keinem Zeitpunkt ein Querkraftversagen auftritt? Geben Sie das Resultat in Funktion von g und l an. Winter 2017 Seite 7/13

8 Aufgabe 4 (11.5 Punkte) Bild 4: Rahmenkonstruktion: (a) statisches System mit möglichen Lastangriffsfeldern; (b) statisches System mit Lastanordnung q für Teilaufgaben b), c). Winter 2017 Seite 8/13

9 Das in Bild 4 dargestellte System besteht aus biegesteif miteinander verbundenen Stäben und ist in den Knoten A, C und E eingespannt. Alle Stäbe besitzen die Biegesteifigkeit EI. Die Last q wirkt feldweise entweder zwischen den Punkten AB, CD, oder DE. Normalkräfte und Querkräfte sind mit EA sowie GA nicht verformungswirksam. Betrachten Sie Bild 4 (a): a) Ordnen Sie die Last q so an, dass Sie im Punkt i ein maximal positives Biegemoment erhalten. Beachten Sie dabei, dass die Last jeweils nur in einem Feld gleichzeitig wirkt. Ermitteln Sie dazu qualitativ die entsprechende Einflusslinie. Betrachten Sie Bild 4 (b): b) Bestimmen Sie den Momentenverlauf M für das System infolge der Last q, welche zwischen den Punkten A und B angreift. Leiten Sie davon den Quer- und Normalkraftverlauf ab. c) Zeichnen Sie die Verformungsfigur infolge der Last q. Bestimmen Sie den maximalen Wert quantitativ. Winter 2017 Seite 9/13

10 Aufgabe 5 (10.5 Punkte) Bild 5: Rahmenkonstruktion: (a) statisches System vor der Verstärkungsmassnahme; (b) Materialverhalten des Riegel und der Stützen; (c) statisches System nach der Verstärkungsmassnahme; (d) Materialverhalten der Verstärkungselemente; (e) elastische Normalkraft- und Momentenverteilung des verstärkten Systems. Winter 2017 Seite 10/13

11 Der in Bild 5 (a) dargestellte Zweigelenkrahmen soll horizontal verstärkt werden. Das System besteht aus zwei Stützen AB und DE und einem Riegel BD. Die Stützen sowie der Riegel besitzen die Biegesteifigkeit EI und können als dehn- und schubstarr modelliert werden (EA und GA V ). In den Punkten A und E sind die Stäbe gelenkig gelagert. In Punkten B und D sind sie miteinander biegesteif verbunden. Deren Biegeverhalten ist durch das Momenten-Krümmungsdiagramm in Bild 5 (b) gegeben. Der Widerstand der Stützen beträgt M und derjenige des Riegels M. Das System wird mit einer Horizontalkraft H in Punkt B belastet. 2 u u Das mit Diagonalen verstärkte System ist in Bild 5 (c) und das Materialverhalten der Pendelstützen ist in Bild 5 (d) dargestellt. Der Zugwiderstand beträgt Nu = 2 M u/ l ; der Druckwiderstand ist zu vernachlässigen (der Stab knickt bei Druckbelastung aus). In Bild 5 (e) ist der elastische Normalkraft- und Momentenverlauf des verstärkten Systems gegeben. Es sind folgende Aufgaben zu lösen: a) Bestimmen Sie die Traglast H u für den Zweigelenkrahmen vor und nach der Verstärkungsmassnahme. Geben Sie die Resultate in Funktion von M u und l an. b) Wo wird sich das erste Fliessgelenk ausbilden? Bestimmen Sie die zugehörige Last H y1 und die zugehörige horizontale Verschiebung u y1 im Punkt B. c) Bestimmen Sie die horizontale Verschiebung im Punkt B u y3 bei Erreichen der Traglast. d) Zeichnen Sie das H-u-Diagramm; Verwenden Sie dazu die Vorlage. Für die Zeichnung darf vereinfacht angenommen werden, dass sich beide Fliessgelenke im Riegel gleichzeitig ausbilden (der in Teilaufgabe b) bestimmte Zeitpunkt). Nehmen Sie nun an, dass für die Verstärkungsmassnahme spezielle Diagonalelement verwendet werden, welche nicht ausknicken (der plastische Widerstand kann auch auf Druck erreicht werden). e) Bestimmen Sie hierfür die Traglast H u. Erklären Sie qualitativ mit Hilfe einer Skizze des H-u-Diagramms wie sich das Lastverformungsverhalten ändert. Winter 2017 Seite 11/13

12 Aufgabe 6 (9 Punkte) Bild 6: Rahmen: (a) statisches System I; (b) statisches System II. Winter 2017 Seite 12/13

13 Der in Bild 6 (a) dargestellte Rahmen besteht aus drei Stäben. Der Stab AB und die Pendelstütze CD besitzen die Länge l; der Riegel BC die Länge 2l. Die Stütze AB ist im Punkt A gelenkig gelagert und im Punkt B biegesteif mit dem Riegel verbunden. In den Punkten B und C greifen je eine Einzellast vom Betrag F an. Die Biegesteifigkeit der Stäbe AB und CD beträgt EI; deren Dehn- und Schubsteifigkeit kann als unendlich betrachtet werden (EA und GA V ). Der Riegel kann als komplett starr modelliert werden. Es ist anzunehmen, dass die Knickfigur der Stütze AB parabolisch verläuft und Knicken aus der Ebene konstruktiv verhindert ist. Die Normalkräfte der Stützen dürfen am unverformten System bestimmt werden. In Bild 6 (b) ist der Stab CD als Stütze ausgebildet. Ansonsten sind beide Systeme identisch. Es sind folgende Aufgaben zu lösen: a) Welches System hat die höhere Knicklast (Bild 6 (a)/ Bild 6 (b))? Begründen Sie Ihre Antwort. Im Folgenden soll das Knickverhalten der Stütze AB am System I (Bild 6 (a)) untersucht werden. b) Bestimmen Sie für die Stütze AB mittels der Methode nach Vianello die Knicklast F cr. Wie gross ist die zugehörige Knicklänge l cr? Geben Sie das Resultat zuerst in analytischer und anschliessend in numerischer Form an. Verwenden Sie hierzu folgende numerische Werte: l = 5m 2 EI = 38000kNm H = 200kN F = 5000kN c) Bestimmen Sie numerisch die Momentenverteilung nach Theorie II. Ordnung. Wo tritt das maximale Moment auf? Winter 2017 Seite 13/13