5.1 Grundlagen zum Prinzip der virtuellen Kräfte

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1 5 Prinzip der virtuellen Kräfte 5. Grundlagen zum Prinzip der virtuellen Kräfte Das Prinzip der virtuellen Kräfte (PvK) stellt eine nwendung des Prinzips der virtuellen rbeit dar. Es dient zur Bestimmung von realen Verformungsgrößen eines Systems, dessen Schnittgrößenverläufe bekannt sind (vgl. [Hir98], [WE97], [WK], [Din]). Ist ein System im Gleichgewicht, so ergeben die virtuellen rbeiten der inneren und äußeren Kräfte in der Summe Null: δw = δw ext + δw int = Virtuelle Kraftgrößen Schnittgrößen, uflagerreaktionen, äußere Kräfte verrichten zusammen mit realen Verformungsgrößen Verschiebungen, Verdrehungen, Krümmungen, Dehnungen virtuelle rbeit. δw = δw + δw = δq w dx + δ d + δm ϕ δn ε dx j ext int i i j + i j δm κ dx = l Die innere virtuelle rbeit ist grundsätzlich negativ, da innere virtuelle Kraftgrößen den realen Verschiebungsgrößen entgegenwirken. Die rbeit der äußeren Kräfte ist dagegen grundsätzlich positiv. Die rbeiten verteilter virtueller Kraftgrößen (virtuelle Linienlast δq, virtuelle Schnittgrößen δn, δm) sind entlang des Balkens zu in tegrieren. Hierfür können Integraltafeln verwendet werden (siehe Kapitel.). Weitere nteile der virtuellen inneren rbeit ergeben sich aus der rbeit der virtuellen Querkräfte auf den realen Schubverzerrungen. ür dünne Balken können diese nteile aus Querkräften vernachlässigt werden. Hier und im Weiteren sollen dünne Balken behandelt werden. Krümmungen und Dehnungen setzen sich im Rahmen dieses Kapitels aus Momentenbzw. Normalkrafteinflüssen und Temperatureinfluss zusammen. l

2 5 Prinzip der virtuellen Kräfte M T κ = + αt EI h N ε = + αt T E Zur Begriffs- und Symbolklärung der ormeln wird auf Kapitel verwiesen. Innere und äußere virtuelle Kraftgrößen können im Grunde beliebig gewählt werden, müssen aber am virtuellen System im Gleichgewicht sein. ür virtuelle Kraftgrößen gelten dieselben Gleichgewichtsbeziehungen wie für reale Kraftgrößen. Virtuelle Lagerkräfte sind ebenfalls als äußere virtuelle Kräfte zu behandeln. Mithilfe von zusätzlichen Gelenken können innere (virtuelle) Kraftgrößen ausgelöst und in äußere (virtuelle) Kraftgrößen umgewandelt werden. Soll eine spezielle Verschiebungsgröße an einem Punkt m des Systems bestimmt werden, so ist am Ort und in Richtung der zu bestimmenden Verschiebungsgröße eine entsprechende virtuelle äußere Kraftgröße anzubringen. Die virtuelle äußere Kraftgröße wird in der Regel zu δ m = bzw. δm m = angenommen. Der Strich über der Kraftgröße symbolisiert, dass es sich um eine virtuelle Größe handelt. Im olgenden sind Beispiele für korrespondierende virtuelle Kraft- und reale Verschiebungsgrößen gegeben. Reale Verformungsgröße Virtuelle Kraftgröße ϕ δm w δ u δ Reale Relativ-Verformung Virtuelle Kraftgröße ϕ δm w δ u δ

3 5. Grundlagen zum Prinzip der virtuellen Kräfte Systematisches Vorgehen zur Bestimmung der Verschiebung w in Trägermitte:. Statisches System unter Streckenlast. Gesucht: Durchsenkung w in q eldmitte. w l / l /. ufbringen einer virtuellen Last am Ort und in Richtung der gesuchten Verformung. Das virtuelle System entspricht dem realen System. l / δ = l /. Berechnung des realen und des virtuellen Momentenverlaufs M und δm. q l²/8 l / M δm. nwendung des PvK und Lösen der Unbekannten Die virtuellen Lagerkräfte verrichten keine rbeit, da die zugeordneten Lagerverschiebungen null sind.

4 5 Prinzip der virtuellen Kräfte 5. Beispielaufgabe q = 5, kn/m P = 5 kn q = 5, kn/m, m EI =. knm² E S = 8.kN sonst E E S, m, m. Berechnen Sie für die gegebene Belastung den Momenten- und Normalkraftverlauf.. Berechnen Sie mit dem Prinzip der virtuellen Kräfte (PvK) die Horizontalverschiebung sowie die Verdrehung am Knoten.. Wie groß muss E S mindestens sein, wenn die Horizontalverschiebung am Knoten maximal cm betragen darf? 5.. Schnittgrößen aus gegebener Belastung uflagerreaktionen P = 5 kn R = 5 = kn q = 5, kn/m R 5 8,8 kn kn kn, Berechnung: H global : H = 5 = kn M,rechts : B V = + = kn V global : V = + = kn V = kn H = kn M = 6 knm E S B V = kn M,global : M = = 6 knm,,

5 5. Beispielaufgabe 5 Normalkraftverlauf -5 kn Stab -: N = - / = - kn - kn + kn - kn V - = N - Stab -: N = -P = -5 kn Stab -: N = -/ = - kn Stab -: N = + N - = kn V -! -V - -N - Momentenverlauf 5 8 = knm knm 5 ( ) knm 8 = Das uflagermoment M geht komplett in den Stab, da der Stab mit einem Momentengelenk am uflager angeschlossen ist. Der Stab ist unbelastet, somit nimmt das Moment linear bis zum Gelenk in Knoten ab.

6 6 5 Prinzip der virtuellen Kräfte 5.. Verschiebungen am Knoten Horizontalverschiebung am Knoten olgend sind die Schnittgrößen unter der virtuellen Kraft δ dargestellt. u Berechnung: δ = H global : H =δ = M,rechts : B V = E S V global : V = V = H = M = B V = M,global : M =δ = - + δn - δm Virtuelle rbeit: Die virtuelle Normalkraft δn verrichtet im Stab auf der realen Dehnung ε rbeit, da dieser eine endliche Dehnsteifigkeit E S besitzt. ür alle anderen Stäbe gilt aufgrund von E, dass die Dehnungen ε = N/E zu Null werden. Verdrehung am Knoten Da sich am Knoten ein Gelenk befindet, sind die Endverdrehungen der beiden angeschlossenen Stäbe voneinander unabhängig und können somit separat bestimmt werden. lternativ könnte die Relativverdrehung der beiden Stäbe an diesem Knoten auch gemeinsam bestimmt werden (hier nicht vorgeführt).

7 5. Beispielaufgabe 7 Berechnung von ϕ u δm u = φ u E S -/ V = H = M = B V = - + δn - δm M : N - = -/ N - : N - = N - N - V - Stab und Stab werden jeweils an einem Ende mit einem Einzelmoment belastet (δm u bzw. M ). Da sie sonst unbelastet sind, nimmt das Moment jeweils bis zu den Gelenken linear ab. Die anderen Stäbe sind unbelastete Pendelstäbe M =.

8 8 5 Prinzip der virtuellen Kräfte Virtuelle rbeit: Berechnung von ϕ re φ z, w x, u δm re = φ re E S V = H = M = B V = + + / - δn δm Der Momentenverlauf ergibt sich analog zu dem Verlauf aus δm u.

9 5. Beispielaufgabe 9 M,links : N - = / N - : N - = - N - N - V - Virtuelle rbeit: 5.. Horizontalverschiebung am Knoten maximal, cm Unter Verwendung der Berechnungen aus Teilaufgabe b) ormel umstellen und nach E S auflösen: Somit ergibt sich bei der orderung nach einer maximalen horizontalen Verschiebung am Knoten von u =, cm ein E S von mindestens 78 kn.

10 5 Prinzip der virtuellen Kräfte ufgabe 5 einfach q q m m = kn q = 5 kn/m EI =. knm² E = 5. kn a) Berechnen Sie für die gegebene Belastung den Momenten-, Querkraft- und Normalkraftverlauf. b) Bestimmen Sie mithilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte alle Verschiebungen sowie die Verdrehung am Knoten. einfach ufgabe 6 T l l T = K l = m EI =. knm² E =. kn α T = * -5 /K h =,5 m a) Bestimmen Sie mithilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte jeweils alle Verschiebungen und Verdrehungen an den Punkten und.

11 5. ufgaben 7 ufgabe mittel ψ m m m m m m = 8 kn EI = 5. knm² E =. kn a) Berechnen Sie für die gegebene Belastung den Momenten- und Normalkraftverlauf. b) Bestimmen Sie mithilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte die vertikale Verschiebung und Verdrehung des Knotens. c) Bestimmen Sie mithilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte die vertikale Verschiebung und Verdrehung des Knotens für den all, dass für die Stäbe + gilt: E und EI. ufgabe 5 mittel s 5 m m m m m = kn s = kn/m EI =. knm² E = 5. kn a) Berechnen Sie für die gegebene Belastung den Momenten- und Normalkraftverlauf. b) Bestimmen Sie mithilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte die vertikale Verschiebung rechts und links vom Gelenk.

12 8 5 Prinzip der virtuellen Kräfte mittel ufgabe 6 m w w m m m = 6 kn w = 5 kn/m EI = 5. knm² E =. kn a) Berechnen Sie für die gegebene Belastung den Momenten- und Normalkraftverlauf. b) Bestimmen Sie mithilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte die horizontale Verschiebung des Knotens. ufgabe 7 mittel M ψ B m m m 6 m = kn M = knm EI =. knm² E =. kn a) Berechnen Sie für die gegebene Belastung den Momenten- und Normalkraftverlauf. b) Bestimmen Sie mithilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte die vertikale Verschiebung des uflagers und die Verdrehung des Knoten B.

13 5 Prinzip der virtuellen Kräfte schwer ufgabe 6 s l B l l l w l = kn w = kn/m s = 5 kn/m l = m EI =. knm² E = 5. kn a) Berechnen Sie für die gegebene Belastung den Momenten- und Normalkraftverlauf. b) Bestimmen Sie mithilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte die Verdrehung des Knotens und die vertikale Verschiebung des Knotens B. schwer ufgabe 7 m w m m m m m m = 5 kn w = kn/m EI =. knm² E = 5. kn a) Berechnen Sie für die gegebene Belastung den Momenten- und Normalkraftverlauf. b) Bestimmen Sie mithilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte alle Verschiebungen des Punktes.

14 5. ufgaben 5 ufgabe 8 M c φ schwer ψ l l l l = kn M = knm EI = 5. knm² E =. kn l = m c φ = 55 knm/rad a) Berechnen Sie für die gegebene Belastung den Momenten- und Normalkraftverlauf. b) Bestimmen Sie mithilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte die Verdrehung der eder und die vertikale Verschiebung des uflagers. ufgabe 9 schwer l c φ 5 n ψ l l l l = kn n = 5 kn/m EI = 5. knm² E =. kn l = m c φ = 5 knm/rad a) Berechnen Sie für die gegebene Belastung den Momenten-, Querkraft- und Normalkraftverlauf. b) Bestimmen Sie mithilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte die Verdrehung der eder und die horizontale Verschiebung des Knotens.