52 5 Gleichgewicht des ebenen Kraftsystems. Festlager

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1 52 5 Gleichgewicht des ebenen Kraftsystems Loslager A estlager B BH Einspannung A M A AH A BV AV Abbildung 5.11: Typische Lagerungen eines starren Körpers in der Ebene (oben) und die zugehörigen Schnittskizzen zur Berechnung der Lagerreaktionen (unten) ür die ein-, zwei- und dreiwertigen Lager werden (unabhängig von der technischen Realisierung) die in der Abbildung 5.11 verwendeten Symbole vereinbart. Die Kräfte und Momente, die von den Lagern auf den starren Körper aufgebracht werden (Lagerreaktionen), sind im Allgemeinen zunächst unbekannt und werden mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen berechnet. Dafür sollten unbedingt Schnittskizzen angefertigt werden, in denen die weggeschnittenen Lager durch die Lagerreaktionen ersetzt werden (siehe Abbildung 5.11). Da der Richtungssinn der zu berechnenden Lagerreaktionen häufig nicht vorausgesagt werden kann, wird er willkürlich festgelegt (durch Einzeichnen der Pfeilspitzen in die Schnittskizze). Die Rechnung korrigiert die Annahme gegebenenfalls über das Vorzeichen des Ergebnisses. 5.3 Statisch bestimmte Lagerung Wenn durch die Lagerung eines starren Körpers in der Ebene seine drei Bewegungsmöglichkeiten behindert werden, so bleibt er auch unter Belastung in Ruhe. Dafür ist mindestens eine der drei folgenden Kombinationen von Lagern erforderlich: Ein dreiwertiges Lager oder ein einwertiges und ein zweiwertiges Lager oder drei einwertige Lager. Bei gegebener Belastung können für diese drei Kombinationen von Lagern für den starren Körper die Lagerreaktionen aus den drei Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden. Dieser all hat besondere praktische Bedeutung: Ein Körper ist statisch bestimmt gelagert, wenn alle Lagerreaktionen allein aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden können.

2 5.3 Statisch bestimmte Lagerung 53 Ist der starre Körper durch mehr als drei Bindungen gefesselt, so liegt ein statisch unbestimmtes Problem vor, das mit den für die Statik getroffenen Annahmen (starrer Körper) nicht zu lösen ist. Unter Einbeziehung der Verformbarkeit der Körper (wird in der estigkeitslehre behandelt) können auch für statisch unbestimmt gelagerte Körper die Lagerreaktionen berechnet werden. Beispiel 1: Die in Abbildung 5.12 skizzierten Tragwerke mit statisch bestimmter Lagerung gestatten die Berechnung sämtlicher (drei) Lagerreaktionen ausschließlich über Gleichgewichtsbetrachtungen. Abbildung 5.12: Beispiele statisch bestimmt gelagerter Tragwerke Beispiel 2: Tragwerke mit statisch unbestimmter (überbestimmter) Lagerung (Abbildung 5.13) können nicht mit den Mitteln der Statik allein berechnet werden: Abbildung 5.13: Beispiele statisch unbestimmt gelagerter Tragwerke Beispiel 3: Eine statisch unterbestimmte Lagerung (Abbildung 5.14) nimmt dem Körper nicht sämtliche Bewegungsmöglichkeiten: Abbildung 5.14: Statisch unterbestimmte Lagerung. Mit den gestrichelt gezeichneten Lagen wird angedeutet, dass trotz der Lagerung eine Starrkörperbewegung möglich ist (Bewegung ohne Verformung).

3 54 5 Gleichgewicht des ebenen Kraftsystems Aus der Tatsache, dass eine der eingangs (auf Seite 52) genannten Lagerkombinationen (ein dreiwertiges, ein ein- und ein zweiwertiges oder drei einwertige Lager) den starren Körper bindet, kann noch nicht zwingend auf die statische Bestimmtheit der Lagerung geschlossen werden (drei Bindungen sind dafür notwendige, nicht auch hinreichende Bedingung, siehe nachfolgendes Beispiel). Beispiel 4: Es ist sofort zu sehen (Abbildung 5.15), dass der durch drei Loslager gebundene Träger sich noch horizontal bewegen kann. Die Kraft-Gleichgewichtsbedingung in horizontaler Richtung ist statisch nicht erfüllbar. Abbildung 5.15: Drei einwertige Lager sind keine Garantie für statisch bestimmte Lagerung Beispiel 5: Schwieriger zu erkennen ist, dass dem durch ein estlager und ein Loslager gefesselten Rahmen (Abbildung 5.16) noch eine (unendlich kleine) Rotation um den Punkt A möglich ist, weil keine der Lagerreaktionen ein Moment um diesen Punkt erzeugen kann. Aber auch dieser Sonderfall äußert sich durch unerfüllbare Gleichungen. Die Summe aller Momente um Punkt A z. B. führt auf A' a = 0. Abbildung 5.16: Schwierig zu erkennen: Statisch unbestimmtes System, weil unendlich kleine Drehungen um den Punkt A möglich sind Der statisch bestimmt gelagerte Körper ist in der technischen Praxis nicht etwa die zufällige Ausnahme (unter den unendlich vielen Möglichkeiten, einen Körper zu lagern). Zahlreiche Vorteile sprechen dafür, statisch bestimmte Lagerungen zu bevorzugen, z. B.: Die Lagerreaktionen statisch bestimmt gelagerter Körper sind mit den Mitteln der Statik (und damit besonders einfach) zu berechnen. ertigungsungenauigkeiten führen bei statisch bestimmter Lagerung weder zu Spannungen im Bauteil noch zu einem völlig veränderten Tragverhalten (dies demonstrieren die beiden nachfolgenden Beispiele). Thermische Dehnungen (z. B. durch Temperaturerhöhung) können sich bei statisch bestimmter Lagerung frei ausbilden und führen nicht zu inneren Spannungen im Bauteil (dies wird ausführlich im Abschnitt 14.3 behandelt). Beispiel 6: Der zweifach gelagerte gerade Träger der Abbildung 5.17 stellt sich bei geringer Absenkung einer Stütze etwas schräg, was zu keiner nennenswerten Änderung der Lagerreaktionen führt, während der dreifach gelagerte Träger einer Stützenabsenkung nur durch Verbiegung (verbunden mit inneren Spannungen) folgen kann:

4 5.3 Statisch bestimmte Lagerung 55 Abbildung 5.17: ertigungsungenauigkeit bei statisch bestimmter Lagerung (oben) kein Problem, bei statisch unbestimmter Lagerung (unten) Verformung und innere Spannungen Beispiel 7: Ein an drei Seilen aufgehängter Körper (Abbildung 5.18) belastet die Seile eindeutig (z. B. errechnet man: S3 = G 2 ). Die Seilkräfte ändern sich kaum, wenn eines der Seile etwas länger (oder kürzer) ist und der Körper etwas schräg hängt (in Abbildung 5.18 als all a rechts dargestellt). Abbildung 5.18: Statisch bestimmte Aufhängung: Die Seilkräfte sind weitgehend unabhängig von kleinen Ungenauigkeiten der Seillängen. Durch Anbringen eines vierten Seiles (Abbildung 5.19) ändert sich das Tragverhalten grundlegend, wenn eines der Seile nicht exakt die vorgeschriebene Länge hat, weil der Körper der Längenänderung nicht durch Schrägstellung folgen kann, beispielsweise: Wenn Seil 4 etwas zu lang ist (all b), trägt es nicht mit, und die Seilkräfte 1 bis 3 haben die gleichen Werte wie im all a. Ist dagegen Seil 3 etwas zu lang (all c), muss Seil 4 die gesamte Gewichtskraft aufnehmen: Abbildung 5.19: Statisch unbestimmte Aufhängung: Keine (all b) bzw. drastische Änderung (all c) der Seilkräfte (im Vergleich mit der Aufhängung an drei Seilen) bei kleinen Ungenauigkeiten der Seillängen.

5 56 5 Gleichgewicht des ebenen Kraftsystems Beispiel 8: Wenn zwei Menschen einen Gegenstand (z. B. eine Leiter, Abbildung 5.20) tragen, hat jeder eindeutig eine anteilige Last zu bewältigen. Ein dritter Träger könnte schummeln (oder es schummeln sogar zwei auf Kosten des dritten). Abbildung 5.20: Eindeutige Lastverteilung Beispiel 9: Der skizzierte gerade Träger ist durch die Linienlast q 0 und die Einzelkraft belastet. Er ist bei A gelenkig gelagert und wird zusätzlich durch ein Seil gehalten. Gegeben: l, q 0, = 3q 0 l. Man berechne die Lagerreaktionen bei A und die Seilkraft. Nach dem reischneiden des Trägers können die Unbekannten z. B. durch Momenten-Gleichgewicht um die Punkte A, B und C unabhängig voneinander berechnet und könnten durch eine weitere Gleichgewichtsbeziehung (z. B.: Summe aller Vertikalkräfte) kontrolliert werden: A' q 0 0,6l 0,7l + l S 0,4l sinα = 0 B' q 0 0,6l 0,7l + l AH 0,3l = 0 C' q 0 0,6l 0,3l + 0,6l + AV 0,4l = 0 Die benötigte Winkelfunktion kann unmittelbar aus der Geometrie abgelesen werden: sinα = 0,3l 0,09l 2 + 0,16l 2 = 3 5 und aus den Momenten-Gleichungen ergeben sich die gesuchten Kräfte: S = 14,25q 0 l ; AH = 11,4q 0 l ; AV = 4,95q 0 l. Beispiel 10: Das in Abbildung 5.21 skizzierte Modell eines Krans ist durch seine Eigengewichtskraft K und die Last G belastet. Es ist bei A durch ein estlager, bei B durch ein Loslager abgestützt. Das Seil, an dem die Last G hängt, ist im all a am Kran befestigt, im all b außerhalb des Krans am Boden (technische Realisierung z. B.: Die Winde, die die Last hebt, befindet sich im Kran bzw. außerhalb des Krans).,

6 5.3 Statisch bestimmte Lagerung 57 Abbildung 5.21: Modell eines Krans mit unterschiedlicher Befestigung der Last Gegeben: K = 2kN ; G = 1kN ; a = 0,2c ; b = 0,7c ; d = 0,5c. Man bestimme für beide Varianten die Lagerreaktionen bei A und B. Die unterschiedlichen Befestigungen des Seils zwingen zu unterschiedlichen Schnittführungen (Abbildung 5.22). Um ein von äußeren Bindungen freies System zu erreichen, muss bei der Variante a das Seil überhaupt nicht geschnitten werden. Bei der Variante b dagegen muss auch das Seil von der Unterlage gelöst werden, so dass eine zusätzliche Belastung durch G entsteht. Abbildung 5.22: In Abhängigkeit von der Befestigung des Seils muss unterschiedlich geschnitten werden. Die Auflagerreaktionen ergeben sich unmittelbar aus den Momenten-Gleichgewichtsbeziehungen um die Punkte A und B und das Kräfte-Gleichgewicht in horizontaler Richtung. all a A' K b + G (c + d) B c = 0 B' AV c K (c b) + G d = 0 B = 2,9kN AV = 0,1kN AH = 0 all b A' K b + G (a + c + d) B c = 0 B' AV c + G (d c + a) K (c b) = 0 B = 3,1kN AV = 0,9kN AH = 0

7 58 5 Gleichgewicht des ebenen Kraftsystems Beispiel 11: Ein Motor und eine Arbeitsmaschine sind auf einem gemeinsamen undament (undamentmasse: m ) gelagert und belasten dieses durch die Momente M 1 und M 2 und die Gewichtskräfte ihrer Massen m 1 und m 2. Gegeben: α = 45 ; β = 20 ; m 2 = 2m 1 ; m = 4m 1 ; M 1 = m 1 ga ; M 2 = 3m 1 ga. Gesucht: Kräfte in den Stäben 1, 2 und 3. Die Angriffspunkte der Momente werden nicht benötigt, weil Momente am starren Körper in der Ebene beliebig verschoben und zusammengefasst werden können. Deshalb wurde in der Schnittskizze gleich die Differenz M 1 M 2 eingetragen. An dem freigeschnittenen System gelingt es nur mit Mühe, die Gleichgewichtsbeziehungen so aufzuschreiben, dass jeweils nur eine Unbekannte eingeht (man müsste die Schnittpunkte der Wirkungslinien von jeweils zwei Stabkräften ermitteln und diese als Momentenbezugspunkte wählen). Da der dafür erforderliche Rechenaufwand nicht kleiner ist als das Auflösen gekoppelter linearer Gleichungen 2, werden die beiden Kraft-Gleichgewichtsbeziehungen in horizontaler und vertikaler Richtung und das Momenten-Gleichgewicht um den Befestigungspunkt des Stabes 2 formuliert. ür das Aufschreiben des Momenten-Gleichgewichts verschiebt man die Kräfte 1 und 3 bis in die Punkte ➀ bzw. ➂ und zerlegt sie in zwei Komponenten, von denen jeweils nur eine einen Anteil liefert. Aus den drei Gleichungen 3 cosβ + 2 cosα 1 cosα = 0, 3 sinβ ( )sinα (m 1 + m 2 + m )g = 0, ➁' 3 4acosβ 1 6asinα (4,5m 1 + m 2 + 3m )ga + M 1 M 2 = 0 errechnet man z. B. durch Umstellen der ersten Gleichung nach 2, Einsetzen in die zweite Gleichung, die dann nach 1 umgestellt und in die dritte Gleichung eingesetzt wird: 3 = 1 2 m 1 gcotα cosβ(3 4cotα) + 3sinβ cotα = 5,789m 1g und damit: 1 = 0,297m 1 g ; 2 = 7,396m 1 g. 2 Auch wenn die Lösung von Hand für dieses Problem durchaus noch zumutbar ist, soll schon hier auf Abschnitt 6.3 (Lineare Gleichungssysteme) verwiesen werden. Unter findet man außerdem die Lösung des Gleichungssystems für das hier behandelte Beispiel 11 mit Hilfe unterschiedlicher Software-Produkte.

8 5.4 Aufgaben Aufgaben Aufgabe 5.1: ür den skizzierten Träger sind die Lagerreaktionen bei A und B zu ermitteln. Gegeben: a = 220mm ; b = 800 mm ; c = 210mm ; d = 270 mm ; q 0 = 1N/mm ; = 2 kn. Aufgabe 5.2: Der skizzierte Hebel ist bei A gelenkig gelagert und wird zusätzlich durch ein über eine Umlenkrolle geführtes Seil gehalten (die Hinweise auf Seite 60 können sicher hilfreich sein). Gegeben: a,. Gesucht: Komponenten der Lagerkraft bei A. Aufgabe 5.3: Eine starre Kreisscheibe ist durch ihre im Mittelpunkt angreifende Eigengewichtskraft und die Momente M 1, M 2 und M 3 belastet. Gegeben: M 1 = 120Nm ; M 2 = 180Nm ; M 3 = 200Nm ; G = 200N ; R = 0,3m. Gesucht: Stabkräfte in den Stäben 1, 2 und 3. Aufgabe 5.4: Das skizzierte statische Modell eines Hubwerks ist durch seine Eigengewichtskraft K und die Massen m 1 und m 2 belastet. Die Masse m 2 hängt an einem Seil, das am Hubwerk befestigt ist, m 1 ist über ein Seil an einer Wand außerhalb des Hubwerks befestigt. Gegeben: K = 3kN ; m 1 = 50kg ; m 2 = 150kg. Gesucht: Lagerreaktionen bei A und B.