Technische Mechanik. Fachwerke

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Frauke Langenberg
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1 7 Fachwerke Fachwerke

2 Fachwerke Anwendungsbeispiele... Beispiele aus dem Ingenieurwesen (wikipedia.org) Fachwerke 1

3 Fachwerke Anwendungsbeispiele nanowerk.com (T. Bückmann) wikipedia.org Beispiele aus den Materialwissenschaften / Metamaterials Fachwerke 2

4 Gross et al. 1 Fundamentale Eigenschaften eines Fachwerks Ideales Fachwerk: Tragwerke, welche nur aus Stäben bestehen Stäbe sind gelenkig mit Knoten verbunden Stäbe sind zentrisch mit Knoten verbunden Kräfte greifen nur in den Knoten an Nur Zug- oder Druckkräfte im System Zugkräfte in Stäben per Konvention positiv, Druckkräfte negativ Fachwerke 3

5 Gross et al. 1 Statische Bestimmtheit Notwendige Bedingung Berechnung der Stabkräfte ist möglich durch Jeden Knoten k freischeiden (zentrales Kräftesystem) Für jeden Knoten die 2 (3) Gleichgewichtsbedingungen in 2D (3D) formulieren Anzahl der Gleichgewichtsbedingungen = 2 k Unbekannte: s Kräfte der Stäbe; r Lagerreaktionen Notwendiges Kriterium für statische Bestimmtheit (Abzählkriterium) Fachwerke 4

6 Gross et al. 1 Statische Bestimmtheit Beispiele Notwendiges und hinreichendes Kriterium für statische Bestimmtheit und System ist unbeweglich (kinematisch bestimmt) Fachwerke 5

7 Aufbau eines Tragwerks Notwendiges Kriterium für statische Bestimmtheit (Abzählkriterium) Je Knoten dürfen nur jeweils 2 Stabkräfte unbekannt sein 1. Bildungsgesetz 1. An Einzelstab zwei Stäbe anbringen und Dreieck bilden 2. An zwei Knoten weiteres Dreieck anschließen 3. Wiederhole Schritt 2 Grafische Darstellung des ersten Bildungsgesetzes Gross et al. 1 Gemäß dem Abzählkriterium (notw. Bedingung) sind 3 Lagerreaktionen notwendig (keine Einbringung von Einzelmomenten, da Knoten zentrale Kräftesysteme). Erweiterung auf 3D erfolgt analog Fachwerke 6

8 Gross et al. 1 Aufbau eines Tragwerks 2. Bildungsgesetz Verbinden von Fachwerken gemäß dem 1. Bildungsgesetz Voraussetzung: Statisch bestimmte Lagerung Möglichkeit 1: Dreigelenkbogen Verbindungselement: Knoten 2 2-wertige Festlager Möglichkeit 2: 3 Lagerreaktionen 1-wertiges und 2-wertiges Lager Verbindungselement: 3-wertig 3 Nicht-parallele Stäbe 1 Knoten und ein Stab 3. Bildungsgesetz Entfernen und neues Einfügen eines Fachwerkstabes Fachwerke 7

9 Ermittlung der Stabkräfte Knotenpunktverfahren Knotenpunktverfahren Auflagerreaktionen bestimmen Jeden Knoten freischneiden (zentrales Kräftesystem) und Gleichgewicht lösen Größe des resultierenden Gleichungssystems Oftmals kann das Gleichungssystem in kleinere Systeme unterteilt und diese separat gelöst werden Reihenfolge oftmals möglich in umgekehrter Reihenfolge zum 1. Bildungsgesetz Fachwerke 8

10 Ermittlung der Stabkräfte Knotenpunktverfahren (Beispiel) 1. Lagerreaktionen bestimmen II 2. Knoten I I 3. Knoten II Fachwerke 9

11 Ermittlung der Stabkräfte Nullstäbe Nullstäbe als Sonderfall, nämlich Stäbe mit Stabkraft Null Gross et al. 1 Gross et al. 1 A S 1 B S 1 und S 2 C S 3 D keine Welche Stabkräfte sind Null? vote at Fachwerke 10

12 Ermittlung der Stabkräfte Nullstäbe Nullstäbe: Stäbe mit Stabkraft Null Offensichtliche Nullstäbe : Kräftegleichgewicht nur im trivialen Fall möglich. Knoten mit n Kräften (Stäbe oder externe Kräfte wie angreifende u. Auflagerkräfte) von denen alle Kräfte bis auf eine dieselbe Wirkungslinie haben. Eventuell mehrere Iterationen nötig, wenn sich aus einem Nullstab andere ergeben. Gross et al. 1 Fachwerke 11

13 Ermittlung der Stabkräfte Nullstäbe (Beispiel) Nullstäbe: Stäbe mit Stabkraft Null Offensichtliche Nullstäbe : Kräftegleichgewicht nur im trivialen Fall möglich. Knoten mit n Kräften (Stäbe oder externe Kräfte) von denen alle Kräfte bis auf eine dieselbe Wirkungslinie haben. Eventuell mehrere Iterationen nötig, wenn sich aus einem Nullstab andere ergeben. Fachwerke 12

14 Ermittlung der Stabkräfte Rittersches Schnittverfahren Knotenpunktverfahren ist ein direktes Vorgehen mit den möglichen Nachteilen Großes Gleichungssystem Oft Berechnung aller oder vieler Stabkräfte, auch wenn nur eine gesucht ist Idee nach August Ritter: bestimmter fiktiver Schnitt durch den gesuchten Stab Anforderung an den Schnitt 3 Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene 3 Unbekannte Wenn Lagerreaktionen zuvor berechnet worden sind Schnitt durch 3 Stäbe Knoten: zentrale Kräftesysteme Stäbe nicht alle am selben Knoten Zusammenfassung: Durchführung des Ritterschen Schnittverfahrens 1. Lagerreaktionen berechnen 2. Fiktiver Schnitt gemäß Anforderungen (max. 3 Unbekannte) 3. Gleichgewichtsbedingungen aufstellen und lösen Fachwerke 13

15 Ermittlung der Stabkräfte Rittersches Schnittverfahren (Beispiel) IV IV III III 1. Lagerreaktionen berechnen: 2. Fiktiver Schnitt gemäß Anforderungen 3. Gleichgewichtsbedingungen aufstellen und lösen Fachwerke 14

16 Ermittlung der Stabkräfte Cremora-Plan (zeichnerisch) Zeichnerisches Verfahren zur Ermittlung der Stabkräfte: Cremona-Plan (Darstellung aller Kraftecke in einem Diagramm) 1. Krafteck für die eingeprägten Kräfte und die Lagerreaktionen 2. Für Knoten mit höchstens 2 Unbekannten Stabkräften Krafteck erstellen und einfügen Jede Stabkraft tritt in zwei Kraftecken auf (Richtung daher nicht einzeichnen) Letztes Krafteck als Kontrolle verwenden Fachwerke 15

17 Zusammenfassung Fachwerk: Tragwerk bestehend nur aus Stäben Stäbe sind gelenkig mit Knoten verbunden Stäbe sind zentrisch mit Knoten verbunden Kräfte greifen nur in den Knoten an Fachwerk ist kinematisch unbestimmt, falls es (infinitesimal) beweglich ist Kinematisch bestimmtes Fachwerk ist statisch bestimmt, wenn alle Stab- und Lagerkräfte aus Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden können Fachwerk ist statisch bestimmt, falls es mittels der 3 Bildungsgesetze konstruiert werden kann Knotenpunktverfahren zur Ermittlung der Stabkräfte Idee: Gleichgewichtsbedingungen für jeden Knoten formulieren (zentr. K-Systeme) Effizientes Verfahren (falls möglich): invers zum ersten Bildungsgesetz Rittersches Schnittverfahren für die Berechnung einzelner Stäbe Idee nach August Ritter: bestimmter fiktiver Schnitt durch den Stab Fachwerke 16

18 Anmerkungen zu Grenzfällen der Fachwerkstheorie Fachwerke 17

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