11) EBENE FACHWERKE und DREIGELENKBOGEN

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1 BAULEITER HOCHBAU S T A T I K / E S T I G K E I T S L E H R E 11) EBENE ACHWERKE und DREIGELENKBOGEN 1) Ebene achwerke a) Allgemeines b) achwerkformen c) Berechnungsverfahren d) Beispiele Stabkräfte im achwerk 2) Dreigelenkbogen / Dreigelenkrahmen a) Allgemeines b) Statisches System c) Beispiele und Typen g.bettschen

2 Statik/estigkeitslehre - achwerke und Dreigelenkbogen - göpf bettschen - Seite 2 1) Ebene achwerke a) Allgemeines Ein achwerk ist ein System von Zug- und Druckstäben, die in den Knotenpunkten miteinander gelenkig verbunden sind. Es gibt also bei reinen achwerken theoretisch keine Biegemomente und es könnte bei ruhender Belastung jeder einzelne Stab voll ausgenützt werden. Beim ebenen achwerk liegen die Stabachsen in einer Ebene, das ebene achwerk ist jedoch oft Teil eines räumlichen achwerkes. Wenn die Bauhöhe nicht beschränkt ist, erlauben achwerkträger eine wirtschaftliche Überbrückung grosser Spannweiten. Der Arbeitsaufwand für die Herstellung ist aber hoch, deshalb können vollwandige Träger auch bei höheren Gewichten oft wirtschaftlicher sein. ür die Berechnung werden die Stäbe in den Knotenpunkten als gelenkig miteinander verbunden gedacht; die Zusatzspannungen, die durch Knotenbleche oder Verschweissung der Stäbe miteinander entstehen und 10 bis 20% ausmachen können, vernachlässigt man. Um die Einspannungen zu berücksichtigen, müsste das System als Rahmen gerechnet werden, das bringt aber nur wenig, weil diese Zusatzspannungen die Sicherheit des Tragwerkes nicht wesentlich beeinflussen.

3 Statik/estigkeitslehre - achwerke und Dreigelenkbogen - göpf bettschen - Seite 3 Damit an einem achwerk wirklich nur Zug- und Druckstäbe vorkommen, müssen noch weitere Voraussetzungen erfüllt sein: Die äusseren Lasten sollen nur in den Knotenpunkten angreifen Moment im Obergurt Die Stabachsen sollen gerade sein N N N N e Moment M = e N Die Stabachsen müssen sich in den Knotenpunkten in einem Punkt schneiden. Durch die Exzentrizität e entsteht ein Moment e

4 Statik/estigkeitslehre - achwerke und Dreigelenkbogen - göpf bettschen - Seite 4 Statische Bestimmtheit Ein achwerk ist dann statisch bestimmt, wenn alle Auflagerreaktionen und Stabkräfte mit den Gleichgewichtsbedingungen gefunden werden können. M = 0 ist sowieso immer erfüllt. Es bleiben also pro Knoten zwei Gleichgewichtsbedingungen, nämlich H = 0 und V = 0. Bei K Knoten stehen also 2 K Bedingungen zur Verfügung. Mit diesen 2 K Bedingungen müssen also S Stabkräfte und A Auflagerkräfte ermittelt werden können. Damit also ein achwerk statisch bestimmt ist, muss die Bedingung 2 K = S + A erfüllt sein. ( S + A > 2 K achwerk statisch unbestimmt, S + A < 2 K achwerk statisch verschieblich ) Das einfachste achwerk ist das Stabdreieck : A A V B V B H B Knoten K = 3 Stäbe S = 3 Auflagerkräfte A = 3 2 K = S + A statisch bestimmt Zeichnerisch können die beiden Gleichgewichtsbedingungen dadurch ersetzt werden, dass sich das Krafteck aller an einem Knoten angreifenden Kräfte schliessen muss. Das ergibt pro Knoten zwei unbekannte Stabkräfte. A A V I B H B B V Knoten I : A V 1 Knoten A : Die Auflagerkräfte könnten natürlich auch direkt bestimmt werden, und dann von innen beginnend die Stabkräfte berechnet werden. Dieses Stabdreieck bildet die Grundfigur für den Aufbau von achwerken. Man hängt einfach immer wieder an jede Seite neue Dreiecke an. Dadurch entsteht ein neuer Knoten und seine beiden Gleichgewichtsbedingungen ergeben die neuen Stabkräfte. 3 B V Knoten B: B B H 2

5 Statik/estigkeitslehre - achwerke und Dreigelenkbogen - göpf bettschen - Seite 5 b) achwerkformen Vom leichten iligranträger bis zum schweren Brückenträger lassen sich achwerke für alle Stützweiten und für alle Belastungen konstruieren, so sind auch viele verschiedene achwerksformen mit vielgestaltigen Netzeinteilungen möglich. Höhe Obergurt Ausfachung Untergurt Spannweite Die Höhe der achwerkträger wird wirtschaftlich zu h = 1/7 bis zu h = 1/10 der Spannweite angenommen. Bei Dreieckfachwerken muss die Netzhöhe h jedoch wesentlich höher ausgeführt werden. Dreiecksbinder kommen daher nur für steile Dachneigungen und kleinere Spannweiten in rage. Bei Dachbindern ist die eldereinteilung vom Pfettenabstand und dieser von der Dacheindeckung abhängig. Die statische Höhe von Masten und Konsolträgern wählt man mit h = 1/3 bis h = 1/5 der Auskragung. Statische Systeme Einfache Balken, Durchlaufbalken mit oder ohne Zwischengelenke, Bogenträger, Rahmen mit achwerkriegel achwerkpfosten. orm der Gurtungen Parallelträger, Parabelträger, Halbparabelträger, beliebig veränderliche Höhe, Dreieckbinder, ischbauchträger, Trapezbinder Anordnung der üllglieder Strebenfachwerk mit oder ohne Pfosten, Pfosten- oder Ständerfachwerk, K-achwerk, unterteilte achwerke, mehrfache achwerke. Konstruktive Ausbildung Ein- oder zweiwandige achwerke Verwendungsart Dachbinder, Hallenbinder für Zwischendecken, Kranbahnträger, Krangerüste, Hochspannungsund Antennenmaste, Seilbahnstützen, Brückenträger, Bau- und Schalungsgerüste.

6 Statik/estigkeitslehre - achwerke und Dreigelenkbogen - göpf bettschen - Seite 6 achwerkstypen

7 Statik/estigkeitslehre - achwerke und Dreigelenkbogen - göpf bettschen - Seite 7 c) Berechnungsverfahren Die Ermittlung der Stabkräfte kann zeichnerisch oder rechnerisch erfolgen. Alle Verfahren setzen die Kenntnis der Auflagerkräfte des gegebenen achwerks voraus. deshalb wird das achwerk zuerst als Scheibe betrachtet und so die Auflager bestimmt. a i l b i Bei nur lotrechten Lasten ist : A = i b i / l B = i a i / l Wenn gleichzeitig Horizontalkräfte wirken, wird oft das zeichnerische Verfahren vorgezogen. a) Zeichnerische Bestimmung der Stabkräfte nach Cremona Sollen die Stabkräfte an einem achwerk mittels eines Cremonaplans bestimmt werden so sind folgende Punkte zu beachten : Die äusseren Kräfte, also auch die Auflagerkräfte, sind in einem über das ganze achwerk gleichbleibenden Sinn der Reihe nach aufzutragen. Der Kräfteplan für das Bestimmen der Auflagerkräfte kann also nicht benutzt werden. Die Stabkräfte an einem Knoten sind im gleichen wie vorher gewählten Umlauf aneinanderzureihen. Begonnen wird an einem Knoten, der zwei unbekannte Stabkräfte hat. Vorzeichen : da im Cremonaplan jede Kraft zwei Richtungen aufweist, kann sie im Kräfteplan nicht übersichtlich durch Pfeile gekennzeichnet werden. Es empfiehlt sich daher, die Pfeile sofort im Netzplan an den Knotenpunkten anzubringen. Wenn die Pfeile auf die Knoten drücken handelt es sich um Druckkräfte, und wenn sie am Knoten ziehen handelt es sich um Zugkräfte. Kontrolle : Kräfte, die im Netzplan ein Dreieck bilden, müssen sich im Cremonaplan in einem Punkt schneiden. Bei K Knotenpunkten hat man 2 K - 3 unbekannte Stabkräfte. Man wird also zuletzt Knotenpunkte haben, bei denen nur noch eine oder sogar keine unbekannten Stabkräfte auftreten, trotzdem müssen sich in diesen Knotenpunkten die Kräftepläne schliessen. b) Das Momentenverfahren von August Ritter Das Verfahren beruht darauf, dass die Gleichgewichtsbedingungen auch durch drei Momentenbedingungen ausgedrückt werden können. Man legt einen Schnitt so durch das achwerk, dass nicht mehr als drei Stäbe geschnitten werden, und bestimmt die Resultierende links und rechts vom Schnitt. nachher wählt man die Bezugspunkte für die Momentenberechnung so, dass nur noch eine unbestimmte Schnittkraft übrig bleibt. c) Bestimmung der Stabkräfte mit den Gleichgewichtsbed. V = 0, H = 0 Bei Balkenbindern bereitet das Rittersche Schnittverfahren für die Streben Schwierigkeiten, da die Schnittpunkte der zugehörigen Gurtungen sehr weit vom Schnitt entfernt, bei Parallelträgern sogar im Unendlichen liegen. Hier können die Stabkräfte mit den Gleichgewichtsbedinguingen der Ebene bestimmt werden.

8 Statik/estigkeitslehre - achwerke und Dreigelenkbogen - göpf bettschen - Seite 8 d) Berechnung mit EDV-Programmen In der Praxis stehen dem Bauingenieur heute gute und bedienerfreundliche Programme zur Berechnung von achwerken und Rahmen zur Verfügung. Auf die verscheidenen Berechnungsverfahren wird hier nicht mehr weiter eingegangen, es soll nur an zwei Beispielen die Grösse und Art der Stabkräfte gezeigt werden. d) Beispiele: Stabkräfte im achwerk Stabkräfte im Strebenfachwerk Stabkräfte beim Belgischen Binder

9 Statik/estigkeitslehre - achwerke und Dreigelenkbogen - göpf bettschen - Seite 9 Belgischer Binder

10 Statik/estigkeitslehre - achwerke und Dreigelenkbogen - göpf bettschen - Seite 10 2) Dreigelenkbogen/ Dreigelenkrahmen Tennishalle Triesen a) Allgemeines Bogen und Gewölbe haben in der Baugeschichte eine bedeutende Rolle gespielt. Der Dreigelenkbogen ist ein aus zwei Teilträgern bestehendes Tragwerk. Diese Träger sind im Scheitel miteinander gelenkig verbunden. Das Gelenk muss aber nicht in der Mitte liegen. Auch an den beiden Auflagern ist das Tragwerk gelenkig gelagert. Die Träger zwischen den Auflagern bzw. Gelenken können verschiedene ormen haben. Beim Dreigelenkbogen können die Träger Viertelkreise, Kreisstücke oder Ellipsenstücke sein. Bestehen Träger aus abgewinkelten Geradenstücken, so nennt man das System Dreigelenkrahmen. Mit einem Dreigelenkbogen als statischem System können Brücken errichtet werden, aber auch Dächer oder Hallen und ähnliches. Diese Konstruktion ist besonders geeignet, wenn vor allem druckfeste Baustoffe zur Verfügung stehen. Im Bogen entsteht an den Auflagern ein horizontaler Schub, der so genannte Bogenschub. Er ermöglicht wesentlich geringere Biegemomente im Bogen als bei einem Träger auf zwei Stützen mit gleicher Stützweite. Im Bogen ist dafür eine nicht zu vernachlässigende Drucklängskraft wirksam. Der Hauptvorteil des Dreigelenkbogens gegenüber dem eingespannten oder gelenklosen Bogen und dem Zweigelenkbogen besteht darin, dass er wegen seiner statischen Bestimmheit gegen etwaige geringe Nachgiebigkeit der Widerlager und gegen Wärmeschwankungen unempfindlich ist, während bei den anderen Bögen hierdurch grössere Zusatzspannungen entstehen.

11 Statik/estigkeitslehre - achwerke und Dreigelenkbogen - göpf bettschen - Seite 11 b) Statisches System Gelenk A H A A V f B H f/l = Pfeilverhältnis Auflager A und B werden beim Bogen oft auch Kämpfer genannt. l B V B Der Dreigelenkbogen hat vier unbekannte Auflagerkräfte, dazu ein Gelenk G mit der Bedingung M G = 0, zusammen mit den 3 Gleichgewichtsbedingungen der Ebene können also die 4 Auflagerkräfte berechnet werden, womit also der Dreigelenkbogen ein statisch bestimmtes System wird. c) Beispiele und Typen

12 Statik/estigkeitslehre - achwerke und Dreigelenkbogen - göpf bettschen - Seite 12 ortsetzung: Beispiele und Typen Tennishalle Triesen