Beuth Hochschule für Technik Berlin

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Hennie Kohl
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1 Seite 1 Einführung Schlanke Stützen sind stabilitätsgefährdete Bauteile. Den Zusammenhang zwischen Belastung Verformung für verschiedene Werkstoffe zeigt das nächste Bild. Die Grundtypen stabilitätsgefährdeter Stäbe werden auch als Euler-Stäbe bezeichnet.

2 Seite 2 Der Verlauf der Bruchschnittgrößen bei verschiedenen Schlankheiten ist im folgenden Bild dargestellt. Die Bemessung schlanker Stahlbeton-Bauteile erfolgt mit Hilfe der Momenten- Krümmngs-Beziehung. Die nächsten Bilder zeigen den Zusammenhang zwischen Moment und Stabkrümmung in zunehmender Vereinfachung.

3 Seite 3 Vereinfachte Momenten-Krümmngs-Beziehung Vereinfachte Momenten-Krümmngs-Beziehung nach DIN Gebäudeaussteifung Der snachweis am Gesamtgebäude ist zu führen, wenn keine ausreichende Translations- oder Rotationssteifigkeit vorliegt. Der Nachweis der ausreichenden Steifigkeit ist im Kapitel Aussteifung vorgestellt. Ist das Gebäude ausgesteift, können Einzeldruckglieder unabhängig vom Rest des Bauwerks betrachtet werden und es kann ein snachweis für Einzeldruckglieder geführt werden.

4 Seite 4 Nachweisverfahren Zur Führung des snachweises wird die Ersatzlänge l 0 des Druckgliedes bestimmt. mit l 0 = β l col β l col Beiwert für die Ersatzlänge, abhängig vom statischen System Systemlänge des Druckgliedes Von Bedeutung ist ferner die Schlankheit λ des Stabes. l 0 I λ = mit i = i A Einzeldruckglieder Im nächsten Bild sind verschiedene Formen von Einzeldruckgliedern gezeigt. Es kann sich um einzeln stehende Stützen (a), gelenkig angeschlossene Druckglieder (b), ein schlankes aussteifendes Bauteil, das verschieblich ist (c) oder biegesteif angeschlossene Druckglieder (d) handeln.

5 Seite 5 Ersatzlänge Ist die Einzelstütze an ihren Enden durch angrenzende Bauteile elastisch eingespannt, so lässt sich die Ersatzlänge l 0 mit Hilfe von Nomogrammen bestimmen. Es gilt l 0 = β l col. Der Ersatzlängenbeiwert β ist in Abhängigkeit der Steifigkeitszahlen k A und k B aus den Nomogrammen abzulesen. Es wird zwischen verschieblichen und unverschieblichen Bauteilen unterschieden.

6 snachweis Seite 6 Ein snachweis ist erforderlich, wenn die Grenzschlankheit λ lim überschritten wird. λ = 25 für ν 0,41 λ lim lim 16 = für ν < 0,41 ν N mit ν = (N als Druckkraft mit dem Betrag einsetzen) A f c cd Ein snachweis ist nicht erforderlich, wenn bei unverschieblichen Systemen die kritische Schlankheit λ crit nicht überschritten wird. e01 λ = crit 25 2 mit e01 e02 e02 Als Mindestmoment für die Bemessung ist anzusetzten: M = N h 20

7 Seite 7 Modellstützenverfahren Für den snachweis wird eine am Fuß eingespannte und am Kopf frei bewegliche Modellstütze verwendet. Der Nachweis erfolgt i.d.r. am Fuß der Stütze für die Schnittgrößen, die sich aus den Verformungen nach Theorie II. Ordnung ergeben. Die Bemessung kann wahlweise durch Berechnung der Gesamtverschiebungen e tot und anschließender Bemessung mit den Interaktionsdiagrammen oder direkt durch die Anwendung von Nomogrammen erfolgen, in denen die Einflüsse aus Theorie II. Ordnung berücksichtigt sind. Sie sind z.b. im Betonkalender abgedruckt. N H Modellstütze Verlauf der Krümmungen

8 Seite 8 Berechnung der Verschiebungen Es werden die Gesamtverschiebungen der Modellstütze nach Theorie II. Ordnung durchgeführt. mit e tot = e1 + e2 = e0 + ea + e2 e 0 e a e 2 planmäßige Ausmitte ungewollte Ausmitte zusätzliche Ausmitte nach Theorie II. Ordnung Planmäßige Ausmitte e 0 Die planmäßige Ausmitte e 0 wird nach Theorie I. Ordnung berechnet e = 0 M N Sind die Momente an den Enden der Stütze unterschiedlich groß, so darf die wirksame Lastausmitte bei unverschieblichen Systemen vereinfacht ermittelt werden. Der größere der beiden Werte ist für die Bemessung maßgebend; die Ausmitten sind mit Vorzeichen nach dem folgendem Bild einzusetzen. e e 0, 6 e02 + 0, 4 = 0 e bzw. 0 =, 4 0 e 02 mit e 02 > e01 01 Ungewollte Ausmitte e a Die ungewollte Ausmitte e a wird wie folgt berechnet mit und e l 0 a α a1 l0 = α a1 2 1 α = 100 l col Ersatzlänge des Einzeldruckgliedes Schiefstellung gegen die Sollachse mit a1 lcol Tatsächliche Länge des Einzeldruckgliedes

9 Seite 9 Zusätzliche Ausmitte nach Theorie II. Ordnung e 2 Die Berechnung der Zusätzliche Ausmitte nach Theorie II. Ordnung e 2 erfolgt auf der Grundlage der vereinfachten Momenten-Krümmungs-Beziehung nach DIN Bei diesem Bild bezeichnet B I die Biegesteifigkeit des ungerissenen Bauteils im Zustand I. Das Moment M I,II kennzeichnet den Übergang in den gerissenen Zustand B II. Das Fließen der Biegezugbewehrung erfolgt beim Moment M y. Auf der x-achse sind die zugehörigen Krümmungen 1/r aufgetragen. Die maximale für die Bemessung maßgebende Ausmitte errechnet sich zu e 2 = K 1 l o 2 1 r 10 Der Beiwert K 1 beschreibt den Übergang von der Querschnitts- zur Stützentragfähigkeit und hängt von der Schlankheit der Stütze λ ab. K = λ 2 5 für 25 λ , K 1 = 1, 0 für λ > 35 Bei der Berechnung der Krümmung darf vereinfacht davon ausgegangen werden, dass die maximale Krümmung bei der Normalkraft N bal erreicht wird, die zu der maximalen Momententragfähigkeit gehört. Weiterhin wird davon ausgegangen, dass er Stahl auf beiden Seiten des Querschnitts seine Streckgrenze erreicht. Unter diesen Voraussetzungen wird die Krümmung berechnet zu 1 ε yd = 2 r 0, 9 d mit ε yd = 2,

10 Seite 10 Dehnung der Bewehrung bei maximaler Krümmung Kriecheinfluss Einflüsse aus Kriechen dürfen vernachlässigt werden, wenn die Stütze oder an beiden Enden monolithisch mit lastabtragenden Bauteilen verbunden ist das Tragwerk verschieblich ist mit λ < 50 und e 0 /h > 2,0 Ist der Kriecheinfluss zu berücksichtigen, so gilt es sind M e, c = e 2 K c mit 2 = +,c K c 1 M M Bemessungswert des Moments M,c Moment mit kriecherzeugender Dauerlast (ca. 70 % von M ) Bemessung Die Schnittgrößen für die Bemessung nach Theorie II. Ordnung lauten: N und M II = N e tot Mit diesen Schnittgrößen wird mit Hilfe des Interaktionsdiagramms die erforderliche Bewehrung bestimmt.

11 Seite 11 Konstruktion von Stützen In jeder Ecke ist ein Längsstab von mindestens 12 mm Durchmesser erforderlich, bei Kreisquerschnitten mindestens 6 Stäbe. Der Abstand der Längsstäbe darf 30 cm nicht überschreiten. Für Querschnitte mit b 40 cm genügt je ein Bewehrungsstab in den Ecken. Die geringste zulässige Seitenlänge eines Stützenquerschnitts beträgt 20 cm für Stützen mit Vollquerschnitt, die vor Ort (senkrecht) betoniert werden und 12 cm für waagerecht betonierte Fertigteilstützen. Es sind folgende Mindest- und Höchstbewehrungen, auch im Bereich von Übergreifungsstößen, einzuhalten: A s,min = N 0,15 0,003 A c f yd A s,max = 0,09 A c Die Längsbewehrung von Stützen muss durch Querbewehrung umschlossen werden. Sie kann aus Bügeln, Schlaufen oder Wendeln bestehen. Die Bügeldurchmesser dürfen den größten der folgenden Durchmesser nicht unterschreiten: ein Viertel des maximalen Durchmessers der Längsbewehrung 6 mm. Die Bügelabstände dürfen den kleinsten der folgenden Abstände nicht überschreiten: das 12fache des kleinsten Durchmessers der Längsstäbe, die kleinste Seitenlänge oder den Durchmesser der Stütze, 30 cm. Der Stabdurchmesser bei Betonstahlmatten als Bügelbewehrung muss mindestens 5 mm betragen. Die Bügelabstände sind mit dem Faktor 0,6 zu vermindern: unmittelbar über und unter Balken oder Platten über eine Höhe gleich der größeren Abmessung des Stützenquerschnitts, bei Übergreifungsstößen der Längsstäbe, wenn deren größter Durchmesser d s größer als 14 mm ist. In oder in der Nähe jeder Ecke darf eine Anzahl von maximal 5 Stäben durch die Querbewehrung als gegen Ausknicken gesichert angesehen werden. Der Achsabstand der Stäbe darf den 15fachen Bügeldurchmesser nicht überschreiten.

12 Seite 12 Schnittgrößen Zur Ermittlung der maßgebenden Schnittgrößen für die Bemessung ist der ungünstigste Lastfall zu untersuchen. Es kommen dafür in Frage: 1. Maximale Normalkraft mit zugehörigem Moment max N mit γ G = 1,35 γ Q = 1,5 zug M mit γ G = 1,35 γ Q = 1,5 2. Maximales Moment mit zugehöriger Normalkraft max M mit γ G = 1,35 γ Q = 1,5 zug N mit γ G = 1,0 γ Q = 0,0 3. Minimale Normalkraft mit zugehörigem Moment min N mit γ G = 1,0 γ Q = 0,0 zug M mit γ G = 1,35 γ Q = 1,5 Gegebenenfalls sind weitere Lastfallkombinationen zu untersuchen.

13 Seite 13 Ersatzlängen eingespannter Stäbe

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