Arbeitsunterlagen. Statik 2

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1 Arbeitsunterlagen Statik 2 WS 2014/15 Stand

2 Inhalt 1. Vertiefung KGV 1.1 Eingeprägte Auflagerverformungen 1.2 Vorspannung 1.3 Systeme mit elastischer Lagerung 1.4 Ermittlung von Federsteifigkeiten 1.5 Berücksichtigung der Querkraftverformung 1.6 Nicht konstanter Verlauf des Trägheitsmomentes 2. Räumliche Tragwerke 2.1 Statisch bestimmte räumliche Tragwerke 2.2 Abzählformel zur Ermittlung der statischen Unbestimmtheit 2.3 Räumlich statisch unbestimmte Tragwerke 3. Reduktionssatz 3.1 Verformungen am statisch unbestimmten System 3.2 Kontrolle einer statisch unbestimmten Berechnung 4. Symmetrie und Antimetrie 4.1 Symmetrische bzw. antimetrische Teilsysteme 4.2 Belastungsumordnungsverfahren (BU-Verfahren) 4.3 Mehrfache Symmetrie 4.4 Ausnutzen von Symmetrieeigenschaften 5. Einflusslinien 5.1 Das Prinzip der virtuellen Verrückung (P. d. v. V.) 5.2 Einflusslinien bei statisch bestimmten System 5.3 Auswerten der Einflusslinien für eine Verkehrslast 5.4 Einflusslinien bei statisch unbestimmten System 5.5 Feldweise ungünstigste Stellung einer Verkehrslast 5.6 Anwendung des Kraftgrößenverfahrens 6. Weggrößenverfahren WGV 6.1 Allgemeines WGV 6.2 Drehwinkelverfahren 6.3 Stabendmomente für den elastisch eingespannten Stab 6.4 Unverschiebliche System - Knotengleichung 6.5 Verschiebliche Systeme - Netzgleichung 7. Kinematik Polpläne 7.1 Zwangsläufig kinematische Kette 7.2 Regeln zur Bestimmung der Haupt- und Nebenpole 7.3 Darstellung der horizontalen und vertikalen Verrückungsanteile 7.4 Feststellung der Verschieblichkeit mit Hilfe von Polplänen

3 EA = 2.50 Statik 2 Beispiel: Vorspannung q = 20 kn/m ges.: 1. Schnittgrößen infolge q = 20 kn/m 2. Schnittgrößen infolge 2 cm anspannen 3. Wie muss angespannt werden, damit das Biegemoment infolge q an der Stelle x = 2.0 m um 50 % reduziert wird 2 U 260 EI = knm 2 EA = Ø 12.4 mm EA = kn Spannschloss System 1 - System M - Fläche N - Fläche V z - Fläche

4 Statik 2 Allgemeine Vorgehensweise zur Ermittlung einer System-Federsteifigkeit 1. Nicht direkt belastete Teile eines Systems lassen sich durch eine Ersatz-Feder ersetzen 2. Man errechnet sich die Verschiebung bzw. Verdrehung des Teilsystems in Richtung der gesuchten Federsteifigkeit infolge einer Einheitslast bzw. eines Einheitsmoments 3. Der Kehrwert der errechneten Verschiebung bzw. Verdrehung ist die gesuchte Federsteifigkeit k s bzw. k Beispiel: Vereinfachen des Systems mit Hilfe von Federn EI 10 kn/m EA = 0.5 EI EI EI EA = 8.00 Vorgehensweise: Alle nicht direkt belasteten Tragwerksteile werden über ihre Steifigkeiten durch eine Feder ersetzt k 10 kn/m EI k s 8.00

5 10 kn y (1) (2) z 3.00 x (3) 5 kn Lokales Koordinatensystem Stab (1) Lokales Koordinatensystem Stab (2) Lokales Koordinatensystem Stab (3) y (1) z x (2) z y x z (3) y x M y -Fläche V z -Fläche M z -Fläche V y -Fläche M t -Fläche N-Fläche

6 Räumlich statisch unbestimmtes System 30 kn y z x EA = EI = knm 2 GI t = knm M y,0 -Fläche M t,0 -Fläche M y,1 -Fläche M t,1 -Fläche M y -Fläche M t -Fläche

7 Statik 2 Reduktionssatz: Um die Verschiebung oder die Verdrehung an einem Punkt m in einem statisch unbestimmten System zu ermitteln, bringt man in dem Punkt m im Sinne der gesuchten Verformung eine virtuelle Kraft bzw. ein virtuelles Moment von der Größe 1 an. Diese virtuelle Einheitsgröße lässt man auf ein beliebig gewähltes statisch bestimmtes System wirken. Die gesuchte Verformung ergibt sich dann durch koppeln der endgültigen Zustandsflächen aus dem statisch unbestimmten System mit den Zustandsflächen infolge der Einheitslast im statisch bestimmten System. Gesucht ist die horizontale Verschiebung des oberen Rahmenriegels. Steifigkeiten: EA = Riegel: EI = knm2 Stiel: EI = knm ~ Gesucht ist die vertikale Verschiebung in Feldmitte des Untergurtes. Steifigkeiten: EA = Obergurt: EI = knm2 Untergurt: EI = knm2 Vertikale Pfosten: EI = knm2 Belastung: q = 100 kn/m (auf dem Untergurt)

8 Knotensymmetrie Symmetrische Belastung Antimmetrische Belastung Symmetrische M-Fläche Antimetrische M-Fläche Ersatzsystem = 0 w = 0 M 0 0 w = 0 M = 0 Feldsymmetrie Symmetrische Belastung Antimetrische Belastung Symmetrische M-Fläche Antimetrische M-Fläche Ersatzsystem = 0 w 0 M 0 0 w = 0 M = 0

9 Schnittkräfte am Gelenkträger 10 kn/m 30 kn a b c d M-Fläche V z -Fläche M A Auflagerkräfte A H A V B V C V D V

10 Prinzip der virtuellen Verrückung (P. d. v. V.) 10 kn/m 20 kn 12 kn/m a b c

11 Lastbilder für wandernde Verkehrslasten Lastmodell nach DIN Fachbericht 101 Lastmodell 1: Doppelachse (Tandem-System TS) in den Fahrstreifen 1 und 2 Straßen und Wegebrücken, Lastannahmen nach DIN 1072 Gesamtlast: 600 kn 300 kn z.b. Brückenklasse 60/30: Hauptspur: SLW kn/m 2 (mit Schwingbeiwert) Nebenspur: SLW kn/m 2

12 Einflusslinien am Durchlaufträger EL - A v EL - B v EL M 1 EL M 2 EL M b EL - M c EL V z,bl EL V z,br

13 Statik 2 Feldweise ungünstigste Stellung einer Verkehrslast a b c d e f Momentengrenzlinie am Dreifeldträger min M b min M 2 max M 1 max M 2

14 Einflusslinien bei statisch unbestimmten Systemen EL A V EL M 1 EL M b EL S EL S0 Berechnung mit dem KGV: Si EL X i EL A 0 EL M 1,0 EL X 1 A 1 EL X 2 A 2 EL X 3 A 3

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16 Weggrößen-Verfahren WGV Starreinspannmomente q i M ki,0 k q l 8 M ki i k M ik i k 2 M ik,0 q l 12 2 M ki,0 M ki q l 12 2 P l/2 l/2 M ki,0 3 P l 16 M ik,0 P l 8 M ki,0 P l 8 M M ki,0 M 2 M l/2 l/2 M ki,0 M 8 M ik,0 M 4 M ki,0 M 4 Grundformeln: M ik i k M 4 EI EI EI M 2 6,0 l l l ik ik i k ik i k M ki M 2 EI EI EI M 4 6,0 l l l ki ki i k ik M ik i k M 3 EI EI M 3,0 l l ik ik i ik i k M ki M ki M ki, 0 3 EI l 3 EI k l ik Vorzeichenregel beim WGV M ik i k Vorzeichen am rechten Stabende umdrehen M ki gegen den Uhrzeiger im Uhrzeiger

17 WGV Unverschiebliche Systeme Ermitteln Sie die Momentenlinie mit Angabe von max M Feld. Steifigkeiten: EA = Ermitteln Sie die Momentenlinie mit Angabe von max MFeld. Steifigkeiten: Hinweis: EA = Ersetzen Sie das unbelastete Tragwerksteil durch eine Feder.

18 Klausur Diplom K WS 2001/02 Ermitteln Sie: 1. das maximale Feldmoment 2. die vertikale Durchbiegung für den Gelenkpunkt g. Hinweis: Steifigkeiten: Ermitteln Sie zunächst für die unbelasteten Tragwerksteile eine Federsteifigkeit. EA = Klausur Diplom K WS 2004/05 Ermitteln Sie getrennt für den symmetrischen und den antimetrischen Lastanteil die M-Fläche mit Angabe von max M Feld und stellen Sie qualitativ die Verformungsfigur dar. Steifigkeiten: EA = Hinweis: Tragen Sie die Ergebnisse in das Lösungsblatt zu Aufgabe 2 ein.

19 Lösungsblatt

20 Kinematik Polpläne Jede virtuelle Verrückung einer Scheibe kann als Drehung um einen festen Punkt angesehen werden. Dieser feste Punkt wird als Hauptpol bezeichnet. Eine Drehung um einen Festpunkt im Unendlichen entspricht einer Parallelverschiebung. Die Verschiebungen die bei den Verdrehungen entstehen sind klein, so dass die Kreisbögen durch Tangenten ersetzt werden können. Bei Einflusslinien interessiert of ausschließlich die vertikale Verrückung bzw. die Verrückung in Richtung der Wanderlast. Diese kann durch die Projektion von x = r cos multipliziert mit der virtuellen Verdrehung berechnet werden. Die zwangsläufig kinematische Kette Bei zwei Scheiben, die über einen Mechanismus miteinander verbunden sind, können die Verrückungen der ersten Scheibe als Drehung um den Hauptpol gedeutet werden. Damit ist zwangsläufig auch die Verrückung der zweiten Scheibe vorgegeben. Ein gemeinsamer Punkt der beiden Scheiben ist der Nepenpol 1/2.

21 Sieben Regeln zur Ermittlung von Polplänen 1. Ein festes Lager stellt den Hauptpol aller Scheiben, die mit diesem Lager verbunden sind, dar. 2. Die Haupt- und Nebenpole zweier Scheiben liegen auf einer Geraden. 3. Befindet sich an einem Punkt einer Scheibe eine Linienführung (verschiebliches Lager), so liegt der Hauptpol auf der senkrechten zur Linienführung. 4. Sind zwei Scheiben durch ein Gelenk miteinander verbunden, so fällt der Nebenpol mit der Gelenkstelle zusammen. 5. Die Nebenpole dreier zueinander gehörender Scheiben liegen auf einer Geraden. 6. Kann eine Scheibe gezwungenermaßen nur eine Parallelverschiebung ausführen, so liegt der Hauptpol senkrecht zur Bewegungsrichtung im Unendlichen. 7. Sind zwei Scheiben durch eine Linienführung miteinander Verbunden (Normalkraft- oder Querkraftgelenk), so ist keine Verdrehung der Scheiben gegeneinander, sondern nur eine gegenseitige Verschiebung möglich. Die Verschiebung entspricht dann einer Verdrehung um einen unendlich entfernt liegenden Pol und damit liegt der Nebenpol senkrecht zur Linienführung im Unendlichen.

22 Statik 2 Polplan

23 Einflusslinien am Bogentragwerk EL- EL- EL-

24 Einflusslinien am Bogentragwerk EL-M m EL-V m EL-N m

25 Feststellen der Verschieblichkeit Systeme, für die sich der Polplan ohne Widerspruch zeichnen lässt, sind verschieblich (zwangsläufig kinematische Kette). Solche Tragwerke sind unbrauchbar.

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