Statik V Hausarbeit. cand.-ing. Steffen Macke. 29. März 2001

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1 Statik V Hausarbeit cand.-ing. Steffen Macke 29. März 21 Studiengang Wasserwirtschaft und Kulturtechnik - Vertiefungsrichtung Siedlungswasserwirtschaft 1

2 Inhaltsverzeichnis 1 Stabwerk System Ermittlung nach dem allgemeinen Weggrößenverfahren Lokale Einzelsteifigkeitsmatrizen Transformationsmatrizen Globale Einzelsteifigkeitsmatrizen Gesamtsteifigkeitsmatrix Knotenlasten Verschiebungen Schnittgrößen Auflagerreaktionen Ermittlung mit Stabwerksprogramm Verschiebungen Schnittgrößen Auflagerreaktionen Plattensystem System Belastung Eigenlast Verkehrslast Bemessungsschnittgrößen nach dem Belastungsumordnungsverfahren Laststellung Feldmomente Stützmomente Bemessungsschnittgrößen nach dem Näherungsverfahren von Pieper/Martens 15 2

3 2.4.1 Feldmomente Stützmomente Bemessungsschnittgrößen mit Hilfe des Plattenprogrammes MicroFE Vergleich der Bemessungsschnittgrößen Feldmomente Stützmomente Bewertung A Verwendete Software 19 B Berechnungsdaten MicroFe 2 C Ergebnisse MicroFe 24 D Aufgabenstellung Teil 1 28 E Aufgabenstellung Teil 2 3 3

4 1 Stabwerk Die Aufgabenstellung für das Stabwerk findet sich im Anhang D. 1.1 System 6 kn/m Abbildung 1: System Stabwerk Es handelt sich um einen 12.5 m auskragenden, einseitig eingespannten Träger unter einer Gleichstreckenlast. Abbildung 1 stellt die Systemabmessungen dar. Das System ist auf der rechten Seite voll eingespannt, alle Stäbe sind biegesteif verbunden. Ein IPE 6 besitzt ausreichende Tragfähigkeit für ein solches System. Tabelle 1 enthält die wichtigsten Profildaten - die Daten wurden [1] entnommen, ebenso der E- Modul von 21 N/mm 2. A 156cm 2 I y 928cm 4 h 6mm b 22mm Tabelle 1: Kenndaten IPE Ermittlung nach dem allgemeinen Weggrößenverfahren Die Vorgehensweise wurde [2] und [1] entnommen. 4

5 1.2.1 Lokale Einzelsteifigkeitsmatrizen E l = E l12 = E l23 = E l34 = EA I EA 12EI l 3 6EI l 2 EA I EA 12EI l 3 6EI l 2 I 6EI 12EI 6EI l 2 l 3 l 2 4EI l 6EI 2EI l 2 l I 6EI 12EI l 2 l 3 2EI l 6EI l 2 EA I EA 12EI (4m) 3 6EI (4m) 2 EA I EA 12EI (4m) 3 6EI (4m) 2 6EI l 2 4EI l I 6EI (4m) 2 12EI (4m) 3 4EI 4m 6EI (4m) 2 6EI (4m) 2 2EI 4m I 6EI 12EI (4m) 2 (4m) 3 2EI 4m 6EI (4m) 2 EA I EA 12EI (4.619m) 3 6EI (4.619m) 2 6EI (4m) 2 4EI 4m I 6EI 12EI (4.619m) 2 (4.619m) 3 4EI 4.619m 6EI (4.619m) 2 6EI (4.619m) 2 2EI 4.619m EA EA I I 12EI 6EI 12EI 6EI (4.619m) 3 (4.619m) 2 (4.619m) 3 6EI (4.619m) 2 EA I EA 12EI (4.5m) 3 6EI (4.5m) 2 EA I EA 12EI (4.5m) 3 6EI (4.5m) 2 2EI 4.619m 6EI (4.619m) 2 I 6EI (4.5m) 2 12EI (4.5m) 3 4EI 4.5m 6EI (4.5m) 2 6EI (4.5m) 2 2EI 4.5m I 6EI 12EI (4.5m) 2 (4.5m) 3 2EI 4.5m 6EI (4.5m) 2 6EI (4.5m) 2 4EI 4.5m (4.619m) 2 4EI 4.619m Transformationsmatrizen cos α sin α sinα cosα 1 T = cos α sin α sinα cosα 1 5

6 1 1 1 T 12 = T 34 = α 23 = T 23 = Globale Einzelsteifigkeitsmatrizen E i j = Ti t j E li j T i j / / E 12 = / / E 23 = / / / / / / / /3 E 34 = / / / / / / / /3 6

7 1.2.4 Gesamtsteifigkeitsmatrix Die Gesamtsteifigkeitsmatrix setzt sich aus den drei globalen Einzelsteifigkeitsmatrizen zusammen, in den sich überlappenden Bereichen wurden die Einzelwerte addiert E = Knotenlasten Die lokalen Knotenlasten werden an kinematisch bestimmten Systemen aus den Gleichlasten ermittelt P l12 = P l23= P l34 = De globale Knotenlastvektor ergibt sich nach Transformation und Addition der lokalen Knotenlastvektoren. 7

8 P = Verschiebungen Die Verschiebungen erhält man durch Multiplikation der inversen Gesamtsteifigkeitsmatrix mit dem Lastvektor. V = E 1 P V = Schnittgrößen Die Schnittgrößen ergeben sich aus der Multiplikation der Schnittgrößenauswertungsmatrizen mit den Verschiebungsvektoren. Da es sich um Gleichstreckenlasten handelt, sind die Elementlastvektoren zu addieren / / F 12 = / /

9 S 12 = F 12 V 12 + P l12 = F 23 = S 23 = F 23 V 23 + P l23 = / / / / / / / /3 F 34 = / / / / / / / / S 34 = F 34 V 34 + P l34 = Auflagerreaktionen Die Auflagerreaktionen ergeben sich aus der Multiplikation der Schnittgrößenauswertungsmatrize des Stabes 34 mit dem entsprechenden Verschiebungsvektor (s ). 9

10 H = V = -75kN M = knm 1.3 Ermittlung mit Stabwerksprogramm Die Ermittlung erfolgte mit dem Stabwerksprogramm IQ 1 nach Theorie 1. Ordnung Verschiebungen Tabelle 2 enthält die von IQ 1 ermittelten Schnittgrößen. Knoten 1 ϕ H V - - mm mm Knoten Knoten Knoten Knoten 4... Tabelle 2: Verschiebungen nach IQ Schnittgrößen Tabelle 3 enthält die mit IQ 1 ermittelten Schnittgrößen. Knoten Stab M Q N - - knm kn kn Knoten 1 Stab 1... Knoten 2 Stab Knoten 2 Stab Knoten 3 Stab Knoten 3 Stab Knoten 4 Stab Tabelle 3: Schnittgrößen nach IQ 1 1

11 1.3.3 Auflagerreaktionen Das Stabwerksprogramm ermittelte die folgenden Auflagerreaktionen: H = V = -75kN M = knm 11

12 2 Plattensystem Die Aufgabenstellung für das Plattensystem findet sich im Anhang E. 2.1 System Abbildung 2: Plattensystem Bei dem in Abbildung 2 dargestellten System handelt sich um durchlaufende vierseitig gelagerte Platten mit geringen Stützweitenunterschieden. In den folgenden Berechnungen wird davon ausgegangen, daß die Platten volle Drilltragfähigkeit aufweisen, d.h., daß konstruktiv eine entsprechende Drillbewehrung vorgesehen wird. Das Koordinatensystem x -y ist ein lokales Koordinatensystem, bei dem y immer in Richtung der längeren Plattenseite gerichtet ist. 2.2 Belastung Lastannahmen aus Aufgabenstellung, sowie [1]. Teilsicherheitsbeiwerte nach EC Eigenlast 18 cm Stahlbeton 12

13 Putz und Belag γ G = 1.35 ( g = 1.35 ).25 kn kn 18cm m2 cm m 2 = 7.97 kn m Verkehrslast lotrechte Verkehrslast in Büroraum Trennwandzuschlag γ Q = 1.5 ( ) p = kn +.75 kn = 4.13 kn m 2 m 2 m Bemessungsschnittgrößen nach dem Belastungsumordnungsverfahren Vorgehensweise nach [3]. Die für die Anwendung des Belastungsumordnungsverfahren erforderlichen Bedingungen min l x.75 max l x und min l y.75 max l y werden eingehalten: 4.175m > m = 3.91m Die Lastanteile ergeben sich wie folgt: q = g + p = = 12.1kN q = g + p 2 q = ± p 2 = ±2.7kN = = 1.4kN Laststellung Abbildung 3 enthält die im Belastungsumordnungsverfahren verwendete schachbrettartige Laststellung zur Ermittlung der maximalen und minimalen Feldmomente. 13

14 Abbildung 3: Laststellung Feldmomente Tabelle 4 enthält die für die Berechnung der Feldmomente relevanten Daten sowie die maximalen und minimalen Feldmomente der einzelnen Felder. Beiwerte f nach Czerny. max m x = q l2 x fxi + q l2 x f x1 max m y = q l2 y f yi + q l2 y f y1 min m x = q l2 x fxi q l2 x f x1 min m y = q l2 y f yi q l2 y f y1 Feld l y l x Stützung f xi f yi f x1 f y1 max m x max m y min m x min m y knm/m knm/m knm/m knm/m 3 2a a a a Tabelle 4: Feldmomente Belastungsumordnungsverfahren 14

15 2.3.3 Stützmomente Tabelle 5 enthält die für die Berechnung der Stützmomente relevanten Daten sowie die gemittelten Stützmomente. Bei der Ermittlung der Stützmomente wird davon ausgegangen, daß alle Felder mit der Vollast q belastet sind. ( ) m s = 1 2 q l2 1 s1 + q l2 2 s2 Feld 1 Feld 2 s 1 l 1 s 2 l 2 m s m - m knm/m Tabelle 5: Stützmomente Belastungsumordnungsverfahren 2.4 Bemessungsschnittgrößen nach dem Näherungsverfahren von Pieper/Martens Vorgehensweise nach [1]. In allen Fällen kommt der Regelfall nach Pieper/Martens zur Anwendung Feldmomente Tabelle 6 enthält die relevanten Daten zur Berechnung der Feldmomente nach Pieper/Martens. m f x = q l2 x fxi m f y = q l2 y f yi Stützmomente Tabelle 7 enthält die relevanten Daten zur Berechnung der Stützmomente nach Pieper/Martens. ( ) m s = 1 2 q l2 1 s1 + q l2 2 s2 15

16 Feld Stützung l x l y ε f xi f yi m f x m f y - - m m knm/m knm/m Tabelle 6: Feldmomente nach Pieper/Martens Feld 1 Feld 2 s 1 l 1 s 2 l 2 m s m - m knm/m Tabelle 7: Stützmomente nach Pieper/Martens 2.5 Bemessungsschnittgrößen mit Hilfe des Plattenprogrammes MicroFE Die vorliegende Berechnung erfolgte mit der MicroFe-Version 6.4 der Firma mb Software. Anhang B enthält die Berechnungsdaten des MicroFE Programmes. Die Ergebnisse der Berechnung sind in den Tabellen 8 und 9 zusammengefaßt, um einen Vergleich mit den anderen Berechnungen zu erleichtern. Anhang C enthält weitere Berechnungsergebnisse. Feld Stützung m f x m f y - - knm/m knm/m Tabelle 8: Feldmomente nach MicroFE 16

17 Feld 1 Feld 2 m s - - knm/m Tabelle 9: Stützmomente nach MicroFE 2.6 Vergleich der Bemessungsschnittgrößen Feldmomente Die Feldmomente nach Pieper/Martens sind um 5-4% höher als die nach dem Belastungsumordnungsverfahren ermittelten Werte (s. Tabelle 4 und 6). Beim Vergleich mit den MicroFe-Ergebnissen (s. Tabelle 8) sind die Unterschiede noch größer: Bis zu 65%liegen die Werte der Näherungsverfahren über den Ergebnissen des Programmes. Zum Teil liegen die Werte nach dem Belastungsumordnungsverfahren bzw. Pieper/Martens auch geringfügig unter den MicroFe-Ergebnissen Stützmomente Die Stützmomente nach Pieper/Martens entsprechen den nach dem Belastungsumordnungsverfahren ermittelten Werten (s. Tabellen 7 und 5) - das Rechenverfahren ist gleich, die Tabellenwerte stimmen überein. Vergleicht man die Ergebnisse der Näherungsverfahren mit denen von MicroFE (s. Tabelle 9), so fällt auf, daß hier die Abweichungen geringer sind als bei den Feldmomenten. 2.7 Bewertung Die teilweise erheblichen Unterschiede bei den Ergebnissen der Näherungsverfahren machen deutlich, wie stark diese Verfahren das Problem vereinfachen. In den Fällen, in denen Belastungsumordnungsverfahren oder Verfahren nach Pieper/Martens geringere Werte liefern als das Plattenprogramm, sind die Abweichungen gering. Die Näherungsverfahren liegen also auf der sicheren Seite. 17

18 Da eine Stahlbetonplatte nicht fein bemessen werden kann, spielen die groben Bemessungsverfahren nicht unbedingt eine Rolle. Literatur [1] Schneider. Bautabellen für Ingenieure. Werner Verlag, [2] Wagner/Erlhof. Praktische Baustatik Teil 3. B. G. Teubner, Stuttgart, [3] Wommelsdorf. Stahlbetonbau; Bemessung und Konstruktion. Werner Verlag, Düsseldorf, Abbildungsverzeichnis 1 System Stabwerk Plattensystem Laststellung Tabellenverzeichnis 1 Kenndaten IPE Verschiebungen nach IQ Schnittgrößen nach IQ Feldmomente Belastungsumordnungsverfahren Stützmomente Belastungsumordnungsverfahren Feldmomente nach Pieper/Martens Stützmomente nach Pieper/Martens Feldmomente nach MicroFE Stützmomente nach MicroFE

19 A Verwendete Software L Y X (Linux) Textverarbeitung QCad (Linux) Systemskizze Dia (Linux) Systemskizze(n) MuPAD (Linux) Matrizenberechnungen IQ 1 (Windows) Stabwerksprogramm MicroFE (Windows) Plattenprogramm StarOffice (Linux) Berechnungen, Anhänge 19

20 B Berechnungsdaten MicroFe 2

21 .. 21

22 .. 22

23 .. 23

24 C Ergebnisse MicroFe.. 24

25 .. 25

26 .. 26

27 .. 27

28 D Aufgabenstellung Teil 1 28

29 ... 29

30 E Aufgabenstellung Teil 2 3