Überprüfen Sie, ob die Tragfähigkeit des Tragwerkes gewährleistet ist.

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1 Stahlfachwerk Für eine 10 m hohe Lagerhalle in Saarbrücken hat der Tragwerksplaner für Ober- und Untergurt ein HEA 180 S235 Profil gewählt, für die Streben 2 L100 x 65 x 8 S235 Winkelprofile und für die Pfosten HEA 140 S235 Profile. Der Abstand zwischen den einzelnen Trägern beträgt 7,00 m. Überprüfen Sie, ob die Tragfähigkeit des Tragwerkes gewährleistet ist. Die notenpunkte können genau genug als gelenkig angenommen werden. Die Eigenlast des Daches ist mit g 2k = 0,77 kn/m² anzunehmen, die des Fachwerkträgers mit g 1k = 1,43 kn/m, die feste Ausbaulast mit g 3k = 0,85 kn/m². Idealisierung: Die Stäbe sind an den noten gelenkig mit einander verbunden. mögl. Auflagerausbildung im Bild: fallende Diagonalen 3.00 m 3.00 m 3.00 m 3.00 m 3.00 m 3.00 m 3.00 m 3.00 m 3.00 m 3.00 m 3.00 m Beispiele aus der Realität: In der tatsächlichen onstruktion sind die Pfosten und Diagonalen üblicherweise miteinander verschweißt, oder verschraubt, daher werden in der Realität Momente in die Stäbe übertragen, auch das Eigengewicht der Stäbe ruft Momente hervor. Diese werden vernachlässigt, wenn die primäre Lasteinwirkung in den Fachwerkknoten erfolgt. noten an Fussgängerbrücke im Pre - Park noten an Hallendach im Technikmuseum Speyer Seite 2 von 21

2 Ermittlung der zu erwartenden Schneelast: Saarbrücken: 230 m ü NN, Zone 2, (Gebäudehöhe pauschal 10 m) s k : 0,25 + 1,91. [( )/760]² = 0,73 kn/m² < 0,85 kn/m² s i : 0,85 kn/m². 0,8 = 0,68 kn/m² Ermittlung des zu erwartenden Winddrucks auf die Dachfläche: Saarbrücken: Zone 1, Gebäudehöhe: 10 m 0,5 kn/m². 0,2 = 0,1 kn/m² char. Lasten. Lasteinflussbreite. Sicherheitsbeiwert = Designlast [Flächenlast] [Streckenlast] Eigenlast Träger g 1d Eigenlast Dach g 2d = 1,43 kn/m = 1,43 kn/m. 1,35 = 1,93 kn/m = 0,77 kn/m². 7 m = 5,34 kn/m. 1,35 = 7,27 kn/m Ausbaulast (feste) Schneelast Windlast g 3d s d w d = 0,85 kn/m². 7 m = 5,95 kn/m. 1,35 = 8,03 kn/m = 0,68 kn/m². 7 m = 4,76 kn/m. 1,5 = 7,14 kn/m = 0,1 kn/m². 7 m = 0,70 kn/m. 1,5. 0,6 = 0,63 kn/m q d,res = 25 kn/m q d,res = 25 kn/m A H 3.00 m A V B V 3.00 m 3.00 m 3.00 m 3.00 m 3.00 m 3.00 m 3.00 m 3.00 m 3.00 m 3.00 m Seite 2 von 21

3 Idealisierung: Die äußeren räfte greifen nur in den Fachwerkknoten an. /2 /2 A H A V B V Punktlasten auf Fachwerkknoten: = 25 kn/m. 3 m = 75 kn Faustformel: l h Fachwerkträger aus Holz: h ~ l / 10 Fachwerkträger aus Stahl: h ~ l / 15 bis l / 20 Statische Bestimmtheit: Ein Fachwerk heißt statisch bestimmt, wenn allein aus den bekannten Gleichgewichtsbedingungen die Stabkräfte und Auflagerkräfte hergeleitet werden können. Es muss folgende Bedingung erfüllt sein: 2 k = s +r k = noten, s = Stäbe, r = Auflagerreaktionen In unserem Beispiel liegen 22 noten, 41 Stäbe und 3 Auflagerreaktionen vor = 44 = Die Bedingung ist erfüllt. Seite 3 von 21

4 /2 /2 A H A V B V Auflagerkräfte: (globale Betrachtung) /2 /2 A V = B V = F / 2 = [9. F + 2. F / 2] /2 = kn / 2 d,ges d,res d,res = 375 kn A H = 0 M = A. 15 m - F /2. 15 m - 3m. F ( ) = 2812,5 knm max V d,res d,res bzw. : M = q. l²/ 8 = 25 kn/m. (30 m)² / 8 = 2812,5 knm max V M Seite 4 von 21

5 Nullstabregeln: Sind an einem unbelasteten noten zwei Stäbe angeschlossen, die nicht in gleicher Richtung liegen, so sind beide Stäbe 0-Stäbe Sind an einem belasteten noten zwei Stäbe angeschlossen und greift die äußere raft in Richtung des einen Stabes an, so ist der andere Stab ein Nullstab. Sind an einem unbelasteten noten drei Stäbe angeschlossen von denen zwei in gleicher Richtung liegen, so ist der dritte ein Nullstab. wenn A H = 0, dann sind folgende Stäbe 0-Stäbe: /2 /2 A H 0 0 Stelle 1 Stelle 2 A V B V Stabkräfte: (lokale Betrachtung) Aufgrund der gelenkigen Verbindungen werden im Fachwerk keine Momente in die Stäbe übertragen. Die Stäbe werden idealisiert nur auf Druck und Zug beansprucht. Das global ermittelte Moment wird in den Gurten in Normalkräfte N aufgeteilt, Pfosten und Diagonalen tragen die Querkräfte ab (räftepaar). Die Stabkräfte können durch das Rittersche Schnittverfahren ermittelt werden. Für die Bemessung der einzelnen Stäbe: Gurte, Pfosten und Diagonalen werden die Stellen untersucht, an denen man maximale Stabkräfte zu erwarten hat. Maximale Stabkräfte in den Gurten hat man in unserem System in Fachwerkmitte, maximale Pfostenstabkräfte und Diagonalenstabkräfte an den Auflagern zu erwarten. Wir schneiden somit, wie in der Systemskizze eingetragen, an der Stelle 1 und 2. An den freigeschnittenen Stäben werden jeweils die entsprechenden Stabkräfte als Zugkräfte eingezeichnet. Seite 5 von 21

6 Stelle 1 ( Ermittlung: maximale Diagonalstabkraft und maximale Pfostenstabkraft) /2 M 2 = 0 = + A V. 3 m - /2. 3 m + s 1. 3 m A H α 0 s 1 s 2 s m s 1 = -A V + /2 s 1 = -375 kn + 37,5 kn = - 337,5 kn (Druck) M = 0 = s. 3 m + s. cos (α). 3 m A 1 2 A V s 2 = - s 1 / cos (α) s 2 = 337,5 kn / cos (45) = 477,3 kn (Zug) 3.00 m Da in unserem Fall die horizontale Auflagerkraft A H = 0 ist und somit durch die Nullstabregel auch s 3 = 0 ist, kann die Pfostenstabkraft über dem Auflager A unmittelbar hergeleitet werden; sie entspricht der negativen Auflagerkraft A V = kn ( Druck). Stelle 2 ( Ermittlung maximaler Gurtstabkräfte) /2 s 4 A H 0 s m A V 3.00 m 3.00 m 3.00 m 3.00 m 3.00 m M 4 = 0 = + A V. 15 m - /2. 15 m m -. 9 m -. 6 m -. 3 m + s 4. 3 m = 375 kn. 5-75kN. ( 5/ ) + s 4 s 4 = kn kn.12,5 s 4 = - 937,5 kn (Druck) Als Vereinfachung kann die maximale Gurtstabkraft mit N d = max M / h Trägerachsen = 2812,5 knm / 3m = 937,5 kn berechnet werden. Diese Formel beschreibt die Tatsache, dass im Fachwerk das globale Moment in ein räftepaar N und N aufgeteilt wird. Sie gibt keine Auskunft darüber, ob es sich dabei um eine Druck- oder Druck Zug Zugkraft handelt und ob der Ober- oder Untergurt die berechnete raft aufnehmen muss. Seite 6 von 21

7 Zusatzbeispiele (Hausaufgabe für kommende Veranstaltung) für die Berechnung von Stabkräften in unserem System mit dem Ritterschnittverfahren. Stelle 2 /2 5 s 4 3 A H 0 s m A V 3.00 m 3.00 m 3.00 m 3.00 m M 5 = 0 = + A V. 12 m - /2. 12 m -. 9 m -. 6 m -. 3 m - s 6. 3 m - A H. 3 m = 375 kn. 12 m -. 6 m -. 9 m -. 6 m -. 3 m - s 6. 3 m = 375 kn. 4 m -. 2 m -. 3 m -. 2 m -. 1 m - s 6. 1 m = 375 kn. 4-75kN.( ) - s 6 s 6 = 375 kn kn.8 s 6 = 900,0 kn (Zug) M 3 = 0 = + A V. 15 m - /2. 15 m m -. 9 m -. 6 m -. 3 m - s 6. 3 m - A H. 3 m -. sin (α). 3 m = A V. 5 - F. (5/ ) - s + sin (α) - s d,re 6 = 375 kn. 5-75kN.( 5/ ) - 900,0 kn -. sin (α) = 375 kn kn.12,5-900,0 kn) /(sin (45) = 37,5 kn / (sin (45) = 53,03 kn (Zug) Seite 7 von 21

8 Stelle 2 /2 5 s 4 3 A H 0 6 s m A V 3.00 m 3.00 m 3.00 m 3.00 m M 6 = 0 = + A V. 12 m - /2. 12 m -. 9 m -. 6 m -. 3 m + s 4. 3 m +. cos (α). 3 m = 375 kn. 12 m -. 6 m -. 9 m -. 6 m -. 3 m + s 4. 3 m +. cos (α). 3 m = 375 kn. 4 m -. 2 m -. 3 m -. 2 m -. 1 m + s 4. 1 m +. cos (α). 1 m = 375 kn. 4-75kN.( ) + s 4 +. cos (α). cos (α) = - (375 kn kn.8 +(- 937,5 kn)) = (- 375 kn kn ,5 kn)/ cos (α) = 37,5 kn/cos (45) = 53,03 kn (Zug) S 4 = - 937,5 kn (Druck) S 4 = - 937,5 kn S 5 = 53,03 kn (Zug) S 5 horizontal = S 5. cos (α) = 53,03 kn.cos (45) = 37,5 kn S 6 = 900,0 kn (Zug) S 6 = 900,0 kn Seite 8 von 21

9 Das in der globalen Betrachtung ermittelte Systemmoment wird bei einem Fachwerk in ein räftepaar umgewandelt ( Zug- und Druckkräfte). Der Obergurt wird in unserem Beispiel auf Druck beansprucht, der Untergurt auf Zug. Beim Untergurt ist in diesem Fall zu beachten, dass die Zugkraft in S 6 kleiner als die Druckkraft in S 4 ist, da die aufzunehmende raft, die vom noten 4 ausgeht, sowohl in den Untergurt, als auch in die Diagonale S 5 eingeleitet wird. räftepaar Es gilt: S 4 = - (+ S 5 horizontal + S 6 ) - 937,5 kn = - (37,5 kn + 900,0 kn) Druckanteil Obergurt Zuganteil Untergurt N D N Z Diagonaleα N N Z Z Untergurt h h N D = Druckanteil N Z = Zuganteil M = N h N = M / h Stelle 2 Die ermittelte Zugkraft in der Strebe S 5 kann geometrisch überprüft werden. Die äußere vertikale raft, die am noten 3 angreift kann nur über die Streben S 5 und S 5 aufgenommen werden. Die Stäbe S 4, S 6, S 4 und S 6 können lediglich einen horizontalen raftanteil abtragen. Da das System um den noten 5 symmetrisch ist, wird die Hälfte der äußeren raft in die Diagonale rechts vom noten und die Hälfte in die Diagonale links vom noten eingeleitet. /2 F F d,res d,res F res /2 / s 4 s 4 α A H s 6 s 6 /2 A V 5 s 4. sin (α) = /2 = F /(2. sin (α)) d,res s 6 = 75 kn /(2. sin (45)) = 53,03 kn (Zug) Seite 9 von 21

10 - 337, , , ,5 477,3-262,5-187,5-112, ,2 265,2 159, , ,5 900 Tragfähigkeitsnachweise (Normalkraft) Nachweise zunächst ohne nicken! 1) Ober- und Untergurt: (HEA 180) Druckbeanspruchung (ohne Stabilität) σ = N /A A = N d /σ Rd σ Rd = f yk / γ M0 A = - 937,5 kn / (235 N/mm² / 1,0) A = - 937,5 kn / 23,5 kn/cm² A = 39,9cm² < 45,3 cm² (HEA 180) 2) Pfosten: (HEA 140) Druckbeanspruchung (ohne Stabilität) σ = N /A A = N d /σ Rd A = kn / (235 N/mm² / 1,0) A = kn / 23,5 kn/cm² A = 16,0 cm² < 31,4 cm² (HEA 140) 2) Streben: (2x L100 x 65 x 8) σ = N /A A = N d /σ Rd A = 477,3 kn / (235 N/mm² / 1,0) A = 477,3 kn / 23,5 kn/cm² A = 20,3 cm² < 2 12,7 cm² = 25,4 cm² (2x L100 x 65 x 8) Seite 10 von 21

11 Tragfähigkeitsnachweise, Biegeknicken: 1) Ober- und Untergurt: (HEA 180) nicken: (Eulerfall 2) L cr = 300 cm λ = L cr / (i λ 1 ) i = I / A ( λ bezogener Schlankheitsgrad) ( Materialbeiwert λ 1 = 93,9 für S235) (Trägheitsradius) i y = I y / A 7,45 cm i z = I z / A 4,52 cm λ 1 = π E / f y S235: λ 1 = 93,9 (Tafel 8.24 a, Schneider Bautabellen für Ingenieure, 20 Auflage) λ = 300 cm / (4,52 cm 93,9) = 0,71 HEA 180: h/b = 0,95 < 1,2; t f 100 mm nicklinie c x = 0,72 Biegeknick N d / (x N pl,d ) 1 -sicherheitsnachweis 937,5 kn / (0, ) = 1,22 > 1 Die Biegeknicksicherheit ist bei einem HEA 180 Träger nicht gewährleistet. Folglich muss der nächstgrößere Querschnitt gewählt werden. Seite 11 von 21

12 Tragfähigkeitsnachweise, Biegeknicken: 1.1) Ober- und Untergurt: (HEA 200) nicken: (Eulerfall 2) L cr = 300 cm λ = L cr / (i λ 1 ) i = I / A ( λ bezogener Schlankheitsgrad) ( Materialbeiwert λ 1 = 93,9 für S235) (Trägheitsradius) i y = I y / A 8,28 cm i z = I z / A 4,98 cm λ 1 = π E / f y S235: λ 1 = 93,9 (Tafel 8.24 a, Schneider Bautabellen für Ingenieure, 20 Auflage) λ = 300 cm / (4,98 cm 93,9) = 0,64 HEA 200: h/b = 0,95 < 1,2; t f 100 mm nicklinie c x = 0,76 Biegeknick N d / (x N pl,d ) 1 -sicherheitsnachweis 937,5 kn / (0, ) = 0,98 < 1 Die Biegeknicksicherheit ist bei einem HEA 200 Träger gewährleistet! Seite 11 von 21

13 Tragfähigkeitsnachweise, Biegeknicken: 2) Pfosten: (HEA 140) nicken: (Eulerfall 2) L cr = 300 cm λ = L cr / (i λ 1 ) i = I / A ( λ bezogener Schlankheitsgrad) ( Materialbeiwert λ 1 = 93,9 für S235) (Trägheitsradius) i y = I y / A 5,73 cm i z = I z / A 3,52 cm λ 1 = π E / f y S235: λ 1 = 93,9 (Tafel 8.24 a, Schneider Bautabellen für Ingenieure, 20 Auflage) λ = 300 cm / (3,52 cm 93,9) = 0,91 HEA 140: h/b = 0,94 < 1,2; t f 100 mm nicklinie c x = 0,6 Biegeknick N d / (x N pl,d ) 1 -sicherheitsnachweis 375 kn / (0,6 737,9) = 0,85 < 1 Die Biegeknicksicherheit ist bei einem HEA 140 Träger gewährleistet! Seite 12 von 21

14 Für die Diagonalstäbe müssen keine Biegeknicksicherheitsnachweise geführt werden, da ein Träger nur dann knickgefährdet ist, wenn er auf Druck beansprucht wird. Die Diagonalen in unserem Beispiel sind aber auf Zug beansprucht. Ergebnis: Für knickgefährdete Bauteile ist der Querschnitt in der Entwurfsphase etwa doppelt so groß zu wählen, wie er aus der elastischen Spannungsberechnung ermittelt wurde. Seite 13 von 21

15 Auszüge aus Tabellen zur Tragwerkslehre, rauss / Führer / Jürgens Seite 14 von 21

16 Auszüge aus Bautabellen für Ingenieure, Schneider Seite 15 von 21

20 Auszüge aus Bautechnische Zeichentafeln, Wendehorst Seite 19 von 21

21 FACHBEREICH ARCHITETUR Aussteifungsbleche t = 8 mm 2 x L100 x 65 x 9 notenbleche t = 16 mm HEA 140 HEA 240 noten an Hallendach im Technikmuseum Speyer Seite 20 von 21