TECHNISCHE MECHANIK A (STATIK)

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1 Probeklausur im Fach TECHNISCHE MECHANIK A (STATIK) Nr. 5 Matrikelnummer: Vorname: Nachname: Ergebnis Klausur Aufgabe: Summe Punkte: 31 7,5 17, Davon erreicht Punkte: Gesamtergebnis Klausur Testate Summe NOTE Bearbeitungszeit: 10 Minuten Hilfsmittel: - Taschenrechner, programmierbar oder nicht programmierbar - Gebundenes Vorlesungsmanuskript der Veranstaltung Technische Mechanik A (Statik) mit handschriftlichen Notizen Hinweise: Beschriften Sie jedes Blatt mit Name und Matrikelnummer. Die Aufgaben sind nachvollziehbar zu lösen. Selbst eingeführte Variablen sind durch gegebene Größen zu definieren. Nur Ergebnisse in den dafür vorgesehenen Lösungsbereichen auf dem Aufgabenblatt werden bewertet. Das Aufgabenblatt ist abzugeben. Seite 1 von 16

2 Name: Aufgabe 1 (31 Punkte) Der dargestellte Staudamm besteht aus einem masselosen, gewinkelten Balken, der durch das Loslager in A und das Festlager in E in seiner Position gehalten wird. Durch die gestaute Wassermasse wird der Balken zum einen durch eine veränderliche Streckenlast beansprucht, die vom Punkt C linear von Null auf den Maximalwert q 0 bei Punkt D ansteigt, und zum anderen durch eine konstante Streckenlast q 0, die zwischen den Punkten D und E wirkt. Zur Bestimmung aller Auflagerreaktionen sollen a) das / die erforderliche/n Freikörperbild/er gezeichnet, b) die entsprechenden Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt werden und c) die Auflagerreaktionen mit den Gleichgewichtsbedingungen aus Aufgabenteil b) berechnet werden. Matrikel-Nr.: Für den Aufgabenteil d) sind die Auflagerreaktionen in A und E als gegeben anzunehmen! Übernehmen Sie den Richtungssinn und die Orientierung der Auflagerreaktionen aus Aufgabenteil a)! d) Bestimmen Sie den Normalkraft-, Querkraft- und Momentenverlauf im Balken zwischen den Punkten B und E in Abhängigkeit der gegebenen Größen. Verwenden Sie dazu die gegebenen Koordinatensysteme. Gegeben: a, q 0, nur in Aufgabenteil d) zusätzlich: Auflagerreaktionen in A und E Lösung a) Freikörperbild(er): a B a a 3a R = 0,5 q 3a q1 0 A R = q a q 0 q 0 y x a E x E y q 0 Seite von 16

3 Lösung b) Gleichgewichtsbedingungen: F X = 0: R q1 E x = 0 E x = R q1 = 3 q 0 a F Y = 0: A + E y R q = 0 M I = 0: A 4a + R q1 1 3a + R 3 q a = 0 A = 1 4a (3 q 0 a 1 3 3a + q 0 a a) = 3 8 q 0 a + 1 q 0 a = 7 8 q 0 a E y = R q A = q 0 a 7 8 q 0 a = ( ) q 0 a = 9 8 q 0 a Lösung c) Ergebnisse (1,5 Punkte): A = 7 8 q 0 a E x = 3 q 0 a E y = 9 8 q 0 a Seite 3 von 16

4 Name: Lösung d) Freikörperbild(er): Matrikel-Nr.: Bereich I: 0 < x 1 < a a a Q(x 1 ) N(x ) 1 M(x 1 ) z 1 x 1 A Bereich II: a < x 1 < 7 a a R q1 = 1 q(x 1) (x 1 a ) Mit: q(x 1 ) =? q(x 1 ) = mx 1 + b q ( a ) = 0 0 = m a + b (1) q ( 7 a) = q 0 q 0 = m 7 a + b () a z 1 x 1 Aus (1) b = m a (3) in () q 0 = m 7 a m a m = q 0 3a (4) in (3) b = 1 q 6 0 q(x 1 ) = q 0 x R q1 = q 0 6a x 1 1 3a 1 1 q 6 q 0x q 0a (3) (4) A Q(x 1 ) N(x ) 1 M(x 1 ) * R q1 = 0,5 q(x 1) x 1 q(x ) 1 Bereich III: 0 < x < a Negatives Schnittufer * R q = q 0(a-x ) M(x 1 ) q 0 x N(x ) 1 Q(x 1) E x z E y R q = q 0 (a x ) Seite 4 von 16

5 Lösung d) Gleichgewichtsbedingungen für Schnittreaktionen: Bereich I: 0 < x 1 < a F x1 = 0: N(x 1 ) A = 0 N(x 1 ) = A (= 7 8 q 0 a) F z1 = 0: Q(x 1 ) = 0 M S = 0: M(x 1 ) A a = 0 M(x 1 ) = A a (= 7 q 8 0 a a = 7 q 4 0 a ) Bereich II: a < x 1 < 7 a F x = 0: N(x 1 ) A = 0 N(x 1 ) = A (= 7 8 q 0 a) F z = 0: Q(x 1 ) + R q1 = 0 Q(x 1 ) = R q1 = q 0 x 6a q 6 0x 1 1 q 4 0a M S = 0: M(x 1 ) A a + R q1 ( x 1 a ) = 0 3 M(x 1 ) = A a R q1 ( x 1 a ) 3 6 = A a ( q 0 6a x q 0 x q 0a) ( x 1 3 a 6 ) (= q 0 18a x q 0x q 0ax q 0a ) Bereich III: 0 < x < a Negatives Schnittufer F x = 0: N(x ) E x = 0 N(x ) = E x (= 3 q 0 a) F z = 0: Q(x ) E y + R q = 0 Q(x ) = R q E y = q 0 (a x ) E y (= 7 8 q 0 a q 0 x ) M S = 0: M(x ) R q ( a x ) + E y (a x ) = 0 M(x ) = q 0 (a x ) (a x ) + E y(a x ) (= 1 4 q 0 a q 0 a x 1 q 0 x ) Lösung d) Ergebnisse (4 Punkte): (keine graphische Darstellung erforderlich) Siehe oben Seite 5 von 16

6 Name: Aufgabe (7,5 Punkte) An einem geraden Balken wurde der rechts dargestellte Momentenverlauf im Bereich 0 < x < 5a ermittelt. a) Skizzieren Sie anhand des gegebenen Momentenverlaufs quantitativ (mit Angabe der Werte für Q(x)) den Querkraftverlauf in dem gegebenen Diagramm. (Tipp: Nutzen Sie den Zusammenhang zwischen der Steigung des Biegemomentenverlaufs und dem Querkraftverlauf) b) Geben Sie den Ort des/der Nulldurchganges/Nulldurchgänge des Querkraftverlaufes an. c) Welche Art der Lagerung kommt für den dargestellten Momentverlauf an der Stelle x = 5a in Frage? d) Welches der abgebildeten Freikörperbilder führt zu dem gegebenen Momentenverlauf? e) Prüfen Sie die in d) abgebildeten Systeme auf ihre statische Bestimmtheit. Matrikel-Nr.: Gegeben: F, a Lösung a): Lösung b) Nulldurchgang/Nulldurchgänge x i,null x 1,Null = a und x,null = 4a Lösung c): Die Lagerung an der Stelle x = 5a entspricht einem Loslager, einem Festlager oder x einer festen Einspannung. Seite 6 von 16

7 Lösung d): x Lösung e): 1) statisch unbestimmt ) statisch unbestimmt x statisch bestimmt beweglich statisch bestimmt x beweglich 3) statisch unbestimmt 4) statisch unbestimmt x statisch bestimmt beweglich x statisch bestimmt beweglich Seite 7 von 16

8 Name: Aufgabe 3 (17,5 Punkte) Das rechts dargestellte System besteht aus zwei im Gelenk G verbundenen Stabtragwerken. Am linken Stabtragwerk ist die Masse m mit zwei Seilen in den Punkten D und E befestigt. Das System wird durch das Festlager A und die beiden Loslager B und C im Gleichgewicht gehalten. a) Berechnen Sie die Gelenkreaktionen im Gelenk G. (Tipp: Wählen Sie geschickt die Momentengleichgewichtsbedingungen) Für den Aufgabenteil b) sind die Gelenkreaktionen in G als gegeben anzunehmen! Übernehmen Sie den Richtungssinn und die Orientierung der Gelenkreaktionen aus Aufgabenteil a)! b) Ermitteln Sie die Stabkräfte S 10, S 11, S 1 in den Stäben 10, 11 und 1. c) Markieren Sie, ohne Berücksichtigung bisheriger Ergebnisse, die Nullstäbe in der Skizze rechts (ohne Begründung). Matrikel-Nr.: Gegeben: a, m, g, nur in Aufgabenteil b) zusätzlich: Gelenkreaktionen in G Lösung a) Freikörperbild(er): Seite 8 von 16

9 Lösung a) Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Gelenkreaktionen M A = 0: 1 mg a cos 45 1 mg 4 a cos 45 G x 5a sin 45 + G y 5a cos 45 = 0 (1) M C = 0: G y a + G x a = 0 () Aus (): G x = G y (3) (3) in (1): G y = 5 mg Lösung a) Ergebnisse (1 Punkt): G y = mg und G 5 x = 1 5 mg Seite 9 von 16

10 Name: Lösung b) Freikörperbild(er) zur Bestimmung der Stabkräfte: Matrikel-Nr.: Lösung b) Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Stabkräfte: M I = 0: S 1 a 1 mg a cos 45 + G y 3a cos 45 G x 3a sin 45 = 0 M II = 0: S 10 a 1 mg a cos 45 + G y 3a cos 45 G x a sin 45 = 0 F = 0: S 11 1 mg + G y S 10 cos 45 S 1 cos 45 = 0 Lösung b) Ergebnisse (1,5 Punkte): S 10 = mg 3 (G x 3 G y) (= 5 mg ) S 11 = mg + G y G x (= 1 10 mg) S 1 = mg + 3 (G x G y ) (= 5 mg ) Seite 10 von 16

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12 Name: Aufgabe 4 (9 Punkte) Die dargestellte Aufhängung in einer räumlichen Ecke besteht aus einem schrägen Stab III und zwei horizontalen Stäben I und II. Im Gelenk A ist eine Kiste mit der Masse m über ein Seil befestigt. a) Zeichnen Sie das / die erforderliche(n) Freikörperbild(er) zur Berechnung der Stabkräfte S I, S II und S III. b) Bestimmen Sie die Vektoren der Stabkräfte S I, S II, S III und der Gewichtskraft G aus dem Freikörperbild aus den gegebenen geometrischen Größen in Abhängigkeit der noch unbekannten Beträge der Stabkräfte S I, S II, S III und der gegebenen Größen. (Hinweis: S 1 = e 1 S 1,...). c) Stellen Sie das vektorielle Kräftegleichgewicht zur Bestimmung der Beträge der Stabkräfte S I, S II und S III auf. Matrikel-Nr.: d) Berechnen Sie die Beträge der Stabkräfte S I, S II und S III in Abhängigkeit der gegebenen Größen. Gegeben: m, g Lösung a) Freikörperbild(er): Lösung b): 0 G = ( 0 ) mg a S I = ( 0 ) S S I I a = ( 0 ) 0 0 a S 1 II S II = ( a ) a = ( ) S II 0 5 a a S III S III = ( 5 ) a = ( 5 ) S III 4 a 57 4 Seite 1 von 16

13 Lösung c): F = 0: S I + S II + S III + S 0 = 0 S I 1 ( 0 ) + ( ( 5 5 ) S II ) S III ( 0 ) = 0 mg z-richtung: S III + ( mg) = 0 S III = mg = 1,51 mg y-richtung: S 5 II S III = 0 S II = 57 4 S III 5 = 0,89 mg x-richtung: S I 1 5 S II S III = 0 S I = 1 5 S II 57 4 S III = 1, mg Lösung d) Ergebnisse (1,5 Punkte): S I = -1, mg S II = -0,89 mg S III = 1,51 mg Seite 13 von 16

14 Name: Aufgabe 5 (10 Punkte) Im dargestellten System verläuft ein Seil vom Festlager A über eine frei drehbare, nicht gelagerte Rolle und eine reibungsbehaftete Kuppe bis zur Masse m 1. An der drehbaren Rolle ist die Masse m befestigt. Der Haftreibungskoeffizient zwischen der Masse m 1 und der Wand sei µ 0,, der Haftreibungskoeffizient zwischen Seil und Kuppe sei µ 0,1. Auf die Masse m 1 wirkt die Bremskraft F, die das System im Gleichgewicht hält. Bestimmen Sie die minimale Bremskraft F min, so dass die Masse m nicht absinkt! Matrikel-Nr.: Gegeben: g, m 1, m, µ 0,1, µ 0, Lösung; alle benötigten Freikörperbilder und Gleichgewichtsbedingungen: FKB Drehbare Rolle: M Mitte = 0 : S 1 r S r = 0 => S 1 = S F = 0 : S 1 + S m g = 0 => S 1 = S = m g (Auch möglich direkt anzugeben; aus Symmetriegründen) Seite 14 von 16

15 Lösung; alle benötigten Freikörperbilder und Gleichgewichtsbedingungen (Fortsetzung): FKB Bremsmasse: F = 0 : S 3 H m 1 g = 0 F = 0 : N F = 0 Haftbedingung: H = μ 0, N Seilreibung Kuppe: S > S 3 => S = S 3 e μ 0,1 α Mit Umschlingungswinkel α = π folgt: S = S 3 e μ 0,1 π Ergebnis: 1 F min = ( m g μ 0, e μ0,1 π m 1 g) Seite 15 von 16

16 Name: Aufgabe 6 (5 Punkte) Matrikel-Nr.: Die nebenstehende Abbildung zeigt den Querschnitt eines Kranhakens mit konstanter Dicke und konstanter Dichte. Der Kranhaken besteht aus einem C-Profil und einem kreisförmigen Ausschnitt in der Oberseite. Berechnen Sie in dem gegebenen Koordinatensystem die Flächenschwerpunktkoordinaten x S und y S für den rechts dargestellten Kranhaken. Gegeben: r Rechnung: x s = A i x si A i, y s = A i y si A i i A i x si y si A i x si A i y si 1 5r² 0,5r 3,5r,5r³ 17,5r³ 6r²,5r 0 15r³ 0 3 6r² 0 3,5r 0 1r πr 0 3,5r πr3 Summe 17r 1 9 πr 17,5r³ 3,5r πr3 Ergebnisse: x S = 17,5r 3 17r 1 = 1,051r y πr 9 S = 3,5r πr3 17r 1 = 0,836r 9 πr Seite 16 von 16