1. Aufgabe: (ca. 12 % der Gesamtpunkte)

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Volker Messner
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1 . August 07. Aufgabe: (ca. % der Gesamtunkte) a) Skizzieren Sie an den dargestellten Stäben die Knickformen der vier Euler-Knickfälle inklusive Lagerung und geben Sie zum Eulerfall mit der höchsten Knicklast die Randbedingungen (w, w, w, w ) an. l EI EI EI EI 3 4 b) Skizzieren Sie qualitativ die Lage des Schubmittelunktes für folgende Querschnitte:

2 . August 07. Aufgabe: a) Euler Knickfälle inkl. Lagerung: Randbedingungen (w, w, w, w ): w = w = w = w = 0 b) Schubmittelunkte:

3 . August 07. Aufgabe: (ca. 0 % der Gesamtunkte) T T() E, A, α T 0 l/ l Ein homogener Stab (Länge l, Elastizitätsmodul E, Querschnitt A, thermischer Ausdehnungskoeffizient α T ) sei zwischen zwei starren Wänden gelagert. Ausgehend vom unbelasteten Zustand werde der Stab wie skizziert im Bereich 0 l/ einer linear veränderlichen Temeraturänderung T() ausgesetzt. Berechnen und skizzieren Sie die Verläufe der Dehnung ε() und Sannung σ() längs des gesamten Stabes. Gegeben: l, E, A, α T, T 0

4 . August 07. Aufgabe: T 0 T() E,A,α T B C () () 0 l l Verschiebungs-DGL u = N EA +α T T() Temeraturbelastung { ( T0 T() = ) [ ]} 0, l L 0 [ l,l] RBen und ÜBen u( = 0) = 0 () u( = l) = 0 () u ( = l ) = u ( = l ) (3) Gleichgewicht Verschiebung im Bereich u () =. Integrationskonstante 0 F = 0 B C = 0 B = C N () = B N () = C = B [ BEA +α T T 0 ( l )] d = B EA +α T T RB() C = 0 ) ( +C L

5 Verschiebung im Bereich Auflösen nach B u () = 0 [ B ] EA +α T 0 d = B EA +C RB() u ( = L) = Bl EA +C = 0 C = Bl EA ÜB(3) Bl ( l EA +α T T 0 l ) = Bl 4 EA + Bl EA B = EA α T T 0 4 Sannungen σ = N A = B A = 4 Eα T T 0 = σ() = const. Dehnungen ε() = du d = Sannungsverlauf { αt T 0 +α ( 4 T T 0 ) ( = α l T T 3 0 ) 4 l σ() [ ]} 0, l,l] α T T 0 4 [ l l l 4 Eα T T 0 Dehnungsverlauf 3 4 α T T 0 ε() l l 4 α T T 0

6 . August Aufgabe: (ca. 6 % der Gesamtunkte) l r y z F M T y z t F Ein dünnwandiges Rohr (Länge l, mittlerer Radius r, Dicke t r) ist am linken Rand eingesannt und wird am rechten Rand durch eine Kraft F sowie ein Torsionsmoment M T belastet. a) Berechnen Sie die Normalsannung σ im Punkt P(,y,z) = ( l, 0, r). b) Ermitteln Sie in diesem Punkt die Schubsannung unter Vernachlässigung der Querkraft. c) Berechnen Sie die Hautnormalsannungen im Punkt P und ihre Richtung ϕ aus den in a) und b) ermittelten Sannungen. d) Zeichnen Sie die in a) und b) sowie in c) berechneten Sannungszustände in die unten gegebenen infinitesimalen Elemente ein. Gegeben: l = 0.5 m, r = 50 mm, t = mm, F = 0 N, M T = 5 Nm y y ϕ

7 . August Aufgabe: a) Biege(normal)sannung: M y () = F(l )) = 0 N (0,5 m ) M y ( = l ) = F l = 0 N 0,5 m =,5 Nm = 500 Nmm I y = πr 3 t = π 50 3 mm 4 = 5000π mm 4 σ (P) = M y() I y z = b) Schubsannung infolge Torsion: τ y (P) = M T A m t = M T πr t c) Hautnormalsannungen und -richtungen: σ / = σ ± 500 Nmm 5000π mm 4( 50 mm) = π N mm 0,38 N mm 5000 Nmm = π 50 mm = N 3 πmm 0,38 N mm σ 4 +τ y = π ± 4π + = π 5 N 0,97 σ π mm 5 N 0,55 σ π mm tan(ϕ ) = τ y = ϕ = arctan() = 3,7 σ σ ξ (ϕ ) = σ + σ cos(ϕ )+τ y sin(ϕ ) = π π cos(63,4 ) π sin(63,4 ) 0,55 = σ ϕ = ϕ +90 =,7 d) 0,38 0,38 0,38 0,38 0,38 y 0,97 0,55 0,38 0,55 0,97

8 . August Aufgabe: (ca. 5 % der Gesamtunkte) q 0 l l D EI y F h A EIy B EIy C z,w Gegeben sei das oben dargestellte System unter der angegebenen Belastung. a) Ermitteln Sie die Biegelinie w() des Trägers für den Bereich A B C mit Hilfe der Balkendifferentialgleichung. b) Skizzieren Sie qualitativ die Momenten- und die Biegelinie für den gesamten Träger (A B C D). Gegeben: q 0, F = q 0 l, l, h = l/, EI y M w

9 . August Aufgabe: a) Biegelinie w() für den Bereich A B C: statisch unbestimmtes System q 0 I II q l 0 Bereich I EIw (4) I = q 0 EIw I = q 0 +C EIw I = q 0 +C +C z,w Bereich II q0l EIw (4) II = 0 EIw II = C 5 EIw II = C 5 +C 6 EIw I = 6 q C +C +C 3 EIw I = 4 q C 3 + C +C 3 +C 4 EIw II = C 5 +C 6 +C 7 EIw II = 6 C C 6 +C 7 +C 8 Randbedingungen: w I ( = 0) = 0 C 4 = 0 w I ( = 0) = 0 C 3 = 0 EIw II( = l) = Q II z ( = l) = 0 C 5 = 0 EIw II ( = l) = MII y ( = l) = q 0l C 6 = q 0l Übergangsbedingungen: M I y w I ( = l) = 0 () ( = l) = MII y ( = l) = EIw I ( = l) = EIw II ( = l) () w I ( = l) = w II ( = l) (3) w I ( = l) = w II ( = l) (4)

10 mit (): mit (): mit (3): mit (4): 4 q 0l C l 3 + C l = 0 C = 3 C l q 0l EIw I ( = l) = q 0l + 3 C l q 0l 3 C l + 5 q 0l = q 0l C = 8 q 0l C = 3 8 q 0l 6 q 0l 3 6 q 0l q 0l 3 = q 0l 3 +C 7 C 7 = 7 48 q 0l 3 4 q 0l 4 48 q 0l q 0l 4 = 4 q 0l q 0l 4 +C 8 C 8 = 5 48 q 0l 4 Bereich I Bereich II w I () = EI ( 4 q q 0l q 0l ) w II () = EI ( 4 q 0l q 0l q 0l 4 ) b) Momenten- und Biegelinie für A B C D M y q l q l 0 w

11 . August Aufgabe: (ca. 7 % der Gesamtunkte) a a a a EA a EA EA EI 8 a S EA F Bestimmen Sie die Kraft in Stab S infolge der angegebenen Belastung mit dem Prinzi der virtuellen Kräfte bzw. dem Arbeitssatz. Gegeben: EA, EA, EI, F, a Hinweis: Die Aufgabe ist mit Energiemethoden zu lösen. Andere Lösungswege werden nicht bewertet.

12 . August 07 Werte der Integrale s 0 P() K()d K() s a s b s P() k k k k k k a b a+b= k S k s ks ks ks (k +k )s ks 3 ks ks 3 ks 6 ks 6 (k +k )s 6 k(+a)s 3 ks ks 6 ks 3 ks 6 (k +k )s 6 k(+b)s 3 ks k ( + )s k 6 ( + )s k 6 ( + )s [ 6 (k +k ) + 6 (k +k )]s [ k 6 [ ( + b)+ (+a)]s k 3 ( + )s s/ s/ ks 4 ks 4 ks 4 (k +k )s k b (3 4a )s 5 ks c s c+d= d s ks k 6 (+c)s k 6 (+d)s 6 [k ( + d) + k (+c)]s k 6bc (c c a )s für c a k 3 (+cd)s S 3 ks 3 ks 3 ks 3 (k +k )s k 3 (+ab)s 8 5 ks S 3 ks 4 ks 5 ks (5k +3k )s k (5 a a )s 7 5 ks S 3 ks 5 ks 4 ks (3k +5k )s k (5 b b )s 7 5 ks S 3 ks ks 4 ks (3k +k )s k (+b+b )s 5 ks S 3 ks 4 ks ks (k +3k )s k (+a+a )s 5 ks S = Scheitel einer quadratischen Parabel

13 . August Aufgabe: System ist einfach statisch unbestimmt: Kragarm, aufgesetztes statisch bestimmtes Dreieck, noch einmal gelagert stat. best. Grundsystem: Stab S lösen und durch Kraft X ersetzen. EA X X EA F EI EA SG en für X = 0 (äußere Last): Wegen EA : N 0 im schrägen Stab nicht nötig. Fa M 0 Fa a a

14 SG en für X = (virtuelle Last): a + N Knick! 3 a a a a a + M a Einflusszahlen: α 0 = ( ) EI 3 ( Fa)( a) a ( ) + a 3 a EI 6 ( ( Fa)+( Fa))+ (( Fa)+ ( Fa)) a 6 ( Fa 3 = EI ) = 9 Fa 3 EI α = EA + EI + EI ( ) ) a+( a+() a ( ) 3 ( a) a ( ( a a+ 3 ) 3 a + a 6 6 ( ) + = (+ ) a EA + a3 EI = (+ ) a EA Komatibilität: a 3 EI ( ) 3 ) a a+ a S = X = α 0 +α X! = 0 X = α 0 9Fa 3 EI + a EA + 3 a 3 6 EI α

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