1. Aufgabe: (ca. 16 % der Gesamtpunkte)

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1 Institut für Mechnik Prof. Dr.-Ing. hbil. P. Betsch Prof. Dr.-Ing. hbil. Th. Seelig Prüfung in Festigkeitslehre 0. März 05. Aufgbe: (c. 6 % der Gesmtpunkte) ) Wie viele unbhängige Spnnungskomponenten gibt es in einem dreidimensionlen Körper? Wie ist der ebene Spnnungszustnd definiert? b) Skizzieren Sie qulittiv die Lge des Schubmittelpunktes für folgende Querschnitte: c) Wie wirkt sich die Querkrft uf die Durchbiegung eines Blkens us? Welche Annhmen werden für den Bernoulli schen Blken getroffen und ws bedeutet dies für den Biegenteil us der Querkrft?

2 Musterlösung - Aufgbe ) 6 unbhängige Spnnungskomponenten: σ xx, σ yy, σ zz, τ xy, τ yz, τ xz Ebener Spnnungszustnd: σ n = 0 mit n =, oder 3 oder σ nx = 0, σ ny = 0, σ nz = 0 mit n = x, y oder z b) Lge Schubmittelpunkt: sym sym sym c) Querkrft liefert zusätzlichen Anteil w B : Biegung infolge Moment, w s Biegung infolge Querkrft w ges = w B +w S mit w S = Q GA S Bernoulli: Annhme: schubstrr GA S w +ψ = 0 Schubnteil entfällt w S = 0

3 Institut für Mechnik Prof. Dr.-Ing. hbil. P. Betsch Prof. Dr.-Ing. hbil. Th. Seelig Prüfung in Festigkeitslehre 0. März 05. Aufgbe: (c. 6 % der Gesmtpunkte) b y d h Aus einem Bumstmm vom Durchmesser d soll ein Blken mit rechteckigem Querschnitt derrt herusgesägt werden, dss ds Flächenträgheitsmoment bezüglich der y-achse ein Mximum nnimmmt (I y,mx ). Wie groß muss dnn h werden und wie groß ist dnn I y,mx? Gegeben: d. z

4 Musterlösung - Aufgbe Verknüpfung von b, h und d über den Stz des Pythgors: Flächenträgheitsmoment für Rechteck: b +h = d b = d h I y = bh3 = d h h 3 Extremlwert von I y (h) di y dh = ( ) h 4 d h +3h d h 3h (d h ) h 4 = 0 h (3d 4h ) = 0 3 h = 0,h,3 = ± d d.h. h erf = 3 d und I y,mx (h erf ) = 3 64 d4 0.07d 4

5 Institut für Mechnik Prof. Dr.-Ing. hbil. P. Betsch Prof. Dr.-Ing. hbil. Th. Seelig Prüfung in Festigkeitslehre 0. März Aufgbe: (c. % der Gesmtpunkte) L/ L/ 4 y x B F F 5/4 7/4 F y F x B S z t 3 z Vordernsicht Querschnitt Gegeben ist der im Bild drgestellte Krgträger mit trpezförmigem Hohlkstenquerschnitt mit der Wnddicke t (t ). Der Träger wird durch die exzentrisch ngreifenden Einzellsten F und F belstet. ) Ermitteln Sie die durch die Belstung hervorgerufenen Schnittgrößen im Krgträger. b) Berechnen Sie die Norml- und Schubspnnung n Punkt B. c) Bestimmen und skizzieren Sie die Spnnungsnulllinie n der Stelle x = L/. Gegeben:, t, L = 6, A = t, I y = t, I z = t, F.

6 Musterlösung - Aufgbe 3 ) M y -Verluf, M z -Verluf, M T -Verluf, N-Verluf M Y FL 5 4 F 33 4 F + = 5 4 F M Z F 69 4 F M T F = 4F N F b) Norml- und Schubspnnungen n Punkt B Normlspnnung M Y (x B ) = 69 F = 7.5F 4 Schubspnnung c) Nullspnnungslinie σ B = σ(x B = L,y B = 0,z B = 5 4 ) = N A + M y(x B ) z B M z(x B ) y B I y I z σ B = F t + 7.5F ) F t t ( 5 4 = F t + 5 F 4t +0 = 4 F 3t.33F t infolge Querkrft: τ Q B = 0, d t infolge Torsion: τb T = M T A m t = 4F 3 3 t = F 9t 0.F t σ B = F t F t z B + 4F 39 t y B! = 0 z B = y B y B σ x (x B ) = 0 z y wichtig: y z > 0 c > 0 z B

7 Institut für Mechnik Prof. Dr.-Ing. hbil. P. Betsch Prof. Dr.-Ing. hbil. Th. Seelig Prüfung in Festigkeitslehre 0. März Aufgbe: (c. 9 % der Gesmtpunkte) x F EI q 0 EI Ds drgestellte Blkensystem (EI = konst.) wird durch eine konstnte Streckenlst q 0 und eine Einzelst F belstet. ) Geben Sie den Grd der sttischen Unbestimmtheit n. b) Führen Sie die Integrtionen der DGL der Biegelinie für den gesmten Träger durch, so dss Sie die Biegelinie in Abhängigkeit der Integrtionskonstnten und der Koordinte x erhlten. c) Geben Sie lle erforderlichen sttischen Übergngs- und Rndbedingungen n. d) Geben Sie lle erforderlichen geometrischen Übergngs- und Rndbedingungen n. Gegeben:,q 0,EI,F. Hinweis: In den Aufgbenteilen b), c) und d) müssen die Integrtionskonstnten nicht bestimmt werden!

8 Musterlösung - Aufgbe 4 ) Geben Sie den Grd der sttischen Unbestimmtheit n. Blken in Ebene 6 FHGe Feste Einspnnungen in Ebene 6 Bindungen Gelenk in Ebene Bindungen fch sttisch unbestimmtes System b) Führen Sie die Integrtionen der DGL der Biegelinie für den gesmten Träger durch, so dss Sie die Biegelinie in Abhängigkeit der Integrtionskonstnten und der Koordinte x erhlten. Bereiche: x F q 0 I II III I: EIw I = 0 EIw I = C EI w I = C x+c EI w I = C x +C x+c 3 II: EI w I = 6 C x 3 + C x +C 3 x+c 4 EIw II = 0 EIw II = C 5 EIw II = C 5x+C 6 EIw II = C 5x +C 6 x+c 7 III: EIw II = 6 C 5x 3 + C 6x +C 7 x+c 8 EIw III = q 0 EIw III = q 0 x+c 9 EIw III = q 0x +C 9 x+c 0 EIw III = 6 q 0x 3 + C 9x +C 0 x+c EIw III = 4 q 0x C 9x 3 + C 0x +C x+c

9 c) Geben Sie lle erforderlichen sttischen Übergngs- und Rndbedingungen n. M I () = EIw I () = 0 M II () = EIw II () = 0(bzw.M I() = M II ()) Q I () = Q II ()+F = EI w I () = EI w II()+F M II () = M III () = EIw II() = EI w III() Q II () = Q III () = EIw II () = EI w III () d) Geben Sie lle erforderlichen geometrischen Übergngs- und Rndbedingungen n. w I (0) = 0 w III (3) = 0 w I(0) = 0 w III(3) = 0 w I () = w II () w II () = w III () w II () = w III ()

10 Institut für Mechnik Prof. Dr.-Ing. hbil. P. Betsch Prof. Dr.-Ing. hbil. Th. Seelig Prüfung in Festigkeitslehre 0. März Aufgbe: (c. 6 % der Gesmtpunkte) x EA EA EA A EI, EA B δ q 0 Die drgestellte Trgkonstruktion wird durch eine konstnte Streckenlst q 0 belstet. ) Bestimmen Sie mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte die vertikle Verschiebung δ. x EA EA EA EA A EI, EA B δ q 0 Zur Verminderung der Verschiebung δ soll ein zusätzlicher Stb mit der Dehnsteifigkeit EA in die Konstruktion eingebut werden. b) Knn durch diese Mßnhme die vertikle Verschiebung δ beliebig verringert werden (mit Begründung)? Für die folgenden Aufgbenteile soll EA = EA /( ) ngenommen werden. c) Berechnen Sie die Krft in dem zusätzlichen Stb. Gegeben:, q 0, EI = EA /6, EA, EA. Hinweis: Die Aufgbe ist mit dem Prinzip der virtuellen Kräfte zu lösen. Andere Lösungswege werden nicht bewertet.

11 Musterlösung - Aufgbe 5 ) 3 FHGe, 3 Lgerbed. System ist stt. best. M q 0 N 0 0 q 0 q 0 () q 0 = 8 q 0 Schnittgrößenverläufe, System infolge äußerer Lst M 0 0 δ= 0 N 0 0 δ. 4 = Reduktionsstz: Schnittgrößenverläufe, System mit -Lst (ohne äußere Lst) MM NN δ = EI dx+ dx EA = ( 5 EI q0 ) ( + q 0 EA + q 0 ) = 5 EI 4 q q 0 EA 6 5 = EA 4 q q 0 = 7 q 0 = 4.5 q 0 EA 4 EA EA

12 b) Nein, d - der Stb nur die Biegung im Blken verringert, nicht ber die Absenkung im Punkt B. - der Stb elstisch ngeschlossen ist ( Stäbe mit Dehnsteifigkeit EA ) und somit verschieblich ist (bei Krft 0). c) EA = EA M 0 und N 0 us Teil ) (stt. best. Grundsystem ohne -Lst) M N 0 Schnittgrößenverläufe, System mit gelöstem Stb, Stbkrft X Unbeknnte Einflusszhlen: α 0 = [ 5 EI q0 ( ) ] + [ q 0 EA = 5 EI 4 q q 0 = q 0 EA 4EA α = [ ( EI 3 ) ( ) ] + [ EA + [ ] EA = EI ( ) + + EA EA = [ + + ] EA + = 7 EA ] ( ) ( ) + ] PdvA: α 0 +X α = 0 X = α 0 α = 4 7 q 0 = 4 q 0