Wiederholungen aus. MMSM 1 (Statik)
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- Bernt Morgenstern
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1 Wiederholungen aus MMSM 1 (Statik) Dr.-Ing. Ulrich Simon Ulmer Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen (UZWR)
2 Inhalt Größen, Dimensionen, Einheiten Kraft, Moment, reikörperbild Statisches Gleichgewicht Spannung, Dehnung, Werkstoffgesetze Einfache Lastfälle
3 Größen, Dimensionen, Einheiten Standard: ISO 31, DIN 1313 Größe = Zahlenwert Einheit Länge L = 2 m = 2 m {Größe} = Zahlenwert [Größe] = Einheit falsch: Länge L [m] richtig: Länge L / m oder Länge L in m SI-Basiseinheiten (Mechanik): m (Meter), kg (Kilogramm), s (Sekunde), K (Kelvin)
4 Kraft, Moment, reikörperbild
![Die Kraft [orce] Kräfte aus Erfahrung bekannt: Muskelkraft,... Der Begriff Kraft ist axiomatisch, d.h. ohne Definition.](/docs-images/49/25173249/images/5-0.png "Zweites Newtonsches Axiom: Kraft = Masse Beschleunigung oder = m a Zum Merken: Die Kraft ist die Ursache für eine Beschleunigung (Bewegungsänderung) oder")
5 Die Kraft [orce] Kräfte aus Erfahrung bekannt: Muskelkraft,... Der Begriff Kraft ist axiomatisch, d.h. ohne Definition. Zweites Newtonsches Axiom: Kraft = Masse Beschleunigung oder = m a Zum Merken: Die Kraft ist die Ursache für eine Beschleunigung (Bewegungsänderung) oder eine Verformung Dehnung) eines Körpers.
6 Einheit der Kraft Newton N = kgm/s 2 1 N Zum Merken: Gewichtskraft einer Tafel Schokolade 1 Newton
7 Schnittprinzip (Euler) und reikörperbild 1 kg 10 N reikörperbild Zum Merken: Erst schneiden dann Kräfte und Momente eintragen. reikörperbild = völlig freigeschnittenes Teilsystem
8 Darstellen von Kräften Kräfte sind vektorielle Größen mit Betrag und Richtung. Wirkungslinie Schraube 5 N
9 Das Moment [Moment] Schlitzschraube mit Schraubenzieher- Klinge (belastet) Klinge Schraube M = a a Kräftepaar (, a) Moment M Zum Merken: Ein Moment ist die Ursache für eine Dreh-Beschleunigung (Bewegungsänderung) oder eine (Dreh-) Verformung (Torsion, Biegung) eines Körpers. Zum Denken: Moment gleich Drehkraft
10 Einheit des Moments Newton-Meter Nm = kgm 2 /s 2 Rechte-Hand-Regel: Darstellung von Momenten... mit Drehpfeilen oder Doppelpfeilen Momente sind vektorielle Größen Achse 5 Nm oder 5 Nm Betrag Richtung Richtungssinn Drehpfeil Doppelpfeil
11 Moment einer Kraft bezüglich eines Punktes P P h P M = h M P P axial quer Zum Merken: Moment = Kraft mal Hebelarm (Hebelarm senkrecht zur Wirkungslinie)
12 Verschiedene Schnittkräfte und -momente Schnitt durch a) Seil b) Balken 2D c) Balken 3D d) (Scharnier-)Gelenk in 2D e) Allg. Punktkontakt f) Allg. Schnitt durch 3D Körper (Kartoffel)
13 reiheitsgrade, Bindungen reiheitsgrade [Degrees of reedom, DO]: Objekt reiheitsgrade f Bewegungsarten Punktmasse in 2D Punktmasse in 3D Starrer Körper in 2D Starrer Körper in 3D n starre Körper in 3D
14 reiheitsgrade, Bindungen reiheitsgrade [degrees of reedom, DO]: Objekt reiheitsgrade f Bewegungsarten Punktmasse in 2D 2 2 Translationen Punktmasse in 3D 3 3 Translationen Starrer Körper in 2D 3 2 Transl., 1 Rotation Starrer Körper in 3D 6 3 Transl., 3 Rotation n starre Körper in 3D n x 6 Systeme von n starren Körpern mit Bindungen b [constraints]: f = 3n b (in 2D) f = 6n b (in 3D)
15 Statische Bestimmtheit reiheitsgrade f = 6n - b Gleichungssystem System ist statisch unbestimmt bestimmt überbestimmt > 0 = 0 < 0 Dynamik bestimmt Sechs Gleichungen für sechs unbekannte Auflagerkräfte /- momente unterbestimmt Redundante Bindungen führen zu nichteindeutigen Lösungen
16 Statisches Gleichgewicht
17 Statisches Gleichgewicht 10 N reikörperbild innerhalb der Hüllfläche Wichtig: Gleichgewicht nur an reikörperbildern
18 3 Gleichgewichtsbedingungen für KB in 2D: Summe Summe Summe aller Kräftein x - Richtung : aller Kräftein y - Richtung : aller M omentebezüglich P : 1, x 1, y 2, x 2, y... 0,... 0, P P M1, z M 2, z... Explizit gegeb.momente!! 1, xh1 2, xh2... Momente aus Kraft mal Hebelarm! 0. Kräfte-GG können durch Momenten-GG ersetzt werden, aber die 3 Bezugspunkte dieser Momenten-GGs dürfen nicht auf einer Geraden liegen. Kräfte-GG sind wie Momenten-GG mit Bezugspunkt im Unendlichen
19 6 Gleichgewichtsbedingungen für KB in 3D: Summe Summe Summe Summe Summe Summe aller Kräftein x - Richtung : aller Kräftein y - Richtung : aller Kräftein z - Richtung : 0, 0, 0, aller Momenteum x - Achse bezüglich Punkt P : aller Momenteum y - Achse bezüglich Punkt Q : aller Momenteum z - Achse bezüglich Punkt R : i i i ix iy iz!!! i i i M M M P ix Q iy R iz! 0.! 0.! 0. Kräfte-GGs können durch Momenten-GGs ersetzt werden, aber max. 2 Momenten-GGs um parallele Achsen
20 Lösungsrezept Schritt 1: Modellbildung. Generieren eines Ersatzmodells (Skizze mit Geometrie, Lasten, Einspannungen). Weglassen unwichtiger Dinge. Das reale System muss abstrahiert werden. Schritt 2: Koordinaten (Wege, Winkel) einführen. Ausgelenktes System hinzeichnen und Auslenkungen gegenüber Referenzlage beschreiben. Schritt 3: Schneiden, KB: System aufschneiden, Schnittkräfte/-momente, reikörperbild (KB). Schritt 4: Gleichgewichte: Kräfte-/Momentengleichgewichte für reikörper anschreiben Gleichungen. Schritt 5: Gleichungen lösen. Schritt 6: Auswerten: Ergebnisse prüfen, deuten, darstellen. Verifizieren: Mathematisch korrekt? Plausibilität, Konvergenz, prüfen. Validieren: Annahmen gültig? Mit Experimenten vergleichen.
21 Spannungen, Dehnungen, Werkstoffgesetze
![[Stress]](/docs-images/49/25173249/images/22-0.jpg "500 N otos:")
22 Die Spannung [Stress] 500 N otos: Lutz Dürselen
23 Definition der Spannung : lim A 0 A Zum Merken: Spannung = verschmierte Schnittkraft Analogie: Nutella-Brot Spannung = Kraft pro läche oder = /A Einheit der Spannung Pascal: 1 Pa = 1 N/m 2 Mega-Pascal: 1 MPa = 1 N/mm 2 Bar: 1 bar = 10 5 Pa = 0,1 MPa Pound per Square-Inch: 30 PSI 2 bar
24 Normal- und Schubspannungen 1 P 2 P 1 P P 2 2 Zugstab Schnitt 1: mit Normalspannung 1 Schnitt 2: mit Normalspannung 2 und Schubspannung 2
25 Allgemeiner (3D) Spannungszustand in einem Punkt des Körpers: 3 Spannungskomponenten pro Schnitt (Normalsp., 2x Schubsp.) * 3 Schnitte (lin. unabh.) = 9 Spannungskomponenten Spannungstensor aber nur 6 Komponenten davon sind unabhängig ( Gleichheit der zugeord. Schubsp. ) xx yx zx xy yy zy xz yz zz xx xy xz xy yy yz xz yz zz Der Spannungstensor
26 Allgemeiner Spannungszustand... Sechs Komponenten Der Spannungstensor
27 Darstellung von Spannungskomponenten Problem: Will man bunte Bilder machen, muss man sich (pro Bild) für eine Komponente entscheiden. ür die gesamte Information sind eigentlich alle 6 Bilder notwendig! Was tun, wenn man nur ein Bild zeigen will? Man kann eine Mischung der Komponenten verwenden. So genannte Invariante sind besonders schlaue Mischungen, da ihr Werte unabhängig vom willkürlich gewählten KOS bleibt. Mises 2 xx 2 yy 2 zz xx yy xx zz yy zz 3 2 xy 3 2 xz 3 2 yz Invarianten 6 kartesische Komponenten
28 Dehnungen [Strain] Beispiel: Kletterseil Durchmesser: 10.5 mm Imprägnierung: ohne Gewicht: 72 g pro Meter angstoß: 9.6 kn Anz. Stürze: 10 Mantelverschiebung: 0 mm Dehnung statisch: 7.7 % Dehnung dynamisch: 32 % Knotbarkeit: 0.7 arbe: mix Zum Merken: Dehnung = relative Längenänderung (oder Winkeländerung)
29 Einfache technische Definition der uniaxialen Dehnung Dehnung Längen - Änderung Ursprungs- Länge L L 0 Einheit der Dehnung Ohne Einheit, also z.b.: m/m 1 1/100 = % 1/ = με (micro strain)
30 Definition des lokalen 3D Dehnungszustands 6 Komponenten: oder: ε yy ε ij xy Δy lim, y0 y0 1 Δγ, ε ε xz Δx lim, x00 x0 1 Δβ, 2 xx zz 0 y00 u u, i, j { x, y, } i, j j, i z ε ε yz lim 1 2 Δz z 0 Δα y 0 0 z 0 0 unverformt (spannungsfrei) 0 x 0 Dehnungstensor: xx xy xz xy yy yz xz yz zz z 0 +z y 0 +y verformt 0 + x 0 +x
31 Werkstoffgesetze [Material laws] Auch: Konstitutive Gleichungen Verknüpfen Spannungen und Dehnungen Stress σ linear Lineares Werkstoffgesetz E 1D, uni-axial, Hooke sches Gesetz Strain ε E 3D mit Werkstoff-Tensor 4. Stufe ij Eijkl kl in Indexschreibweise E 3D mit Werkstoff-Tensor 2. Stufe
32 Zustand/Symmetrieannahme Linear Elastic Law Anzahl der Werkstoffparameter Voll besetzter Tensor 4. Stufe für drei Dimensionen 81 Gleichheit zugeord. Schubspannungen (Boltzmann Kontinua) und Scherdehnungen 36 Maxwellscher Reziprozitätssatz sogenannte Volle Anisotropie 21 Orthotropie 9 Transverse Isotropie 5 Isotropie 2 Isotropie: xx yy zz xy yz zx (1 v) E (1 v) (1 2v) sym v (1 v) v v (1 v) (1 2v) (1 2v) (1 2v) 2 xx yy zz xy yz zx E - Elastizitätsmodul, E-Modul [Young s modulus] - Querkontraktionszahl [Poisson s ratio] ( )
33 Kompliziertere Werkstoffgesetze: Spannung σ.. Nicht-linear Nicht-elastisch (= plastisch) Viskoelastisch, Typ: innere Dämpfung. Dehnung ε Typ: Gedächtniseffekt Spannung σ Belastung Entlastung Dehnung ε b 1 Spannung σ Belastung k b k 0 k 1 Entlastung Dehnung ε
34 4 einfache Lastfälle
35 1 Zug und Druck Zugstab (Dehnsteifigkeit EA) EA L, L 0 k EA L 0 L 0 d 0 d 0 -d A L unbelastet belastet Schnitt
36 2 Scherung Scherstift (Schersteifigkeit GA) A w τ GA w, L k GA L L unbelastet belastet Schnitt
37 3 Biegung (Kragbalken [Cantilever beam]) Kragbalken (Biegesteifigkeit EI a, Länge L) Schnitt z x M w Zugsp. Neutrale aser Drucksp. w 3 L 3EI 2 L 2EI a a 2 L 2EI L EI a a M, M. Schubsp. Drucksp.
38 4 Torsion Torsionsstab (Torsionssteifigkeit GI T ) L 0 R M τ M GIT, L c GI L T Länge L, Radius r Schnitt
39 lächenmomente zweiten Grades [Second moment of area] (alt: lächenträgheitsmoment [Moment of inertia]) Rechteck Vollkreis Rohr h D D d b I a Axiales lächenmoment zweiten Grades (für Biegung): 3 b h 4 12 I 64 D 4 4 a I a ( D d ) 64 Polares lächenmoment zweiten Grades (für Torsion): I 32 D T 32 I P IT I p ( D d ) Zum Merken: Rechteckquerschnitt hochkant biegen höhere Steifigkeit Röhre bei gleicher Masse vgl. mit Vollstange höhere Steifigkeit
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Inhaltsverzeichnis Ulrich Gabbert, Ingo Raecke Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure ISBN (Buch): 978-3-446-43253-6 ISBN (E-Book): 978-3-446-43595-7 Weitere Informationen oder Bestellungen unter
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Inhaltsverzeichnis Einleitung 19 Über dieses Buch 19 Vereinbarungen in diesem Buch 19 Was Sie nicht lesen müssen 19 Törichte Annahmen über den Leser 19 Wie dieses Buch aufgebaut ist 20 Teil II: Statik
5 Gleichgewicht gebundener Systeme
29 Technische Systeme bestehen aus mehreren miteinander und mit der Umwelt verbundenen Maschinenteilen. Die Bewegung erfolgt über die Lagerfreiheiten, die Verformung der Körper kann i. Allg. vernachlässigt
Kapitel 1 PUNKTMECHANIK LERNZIELE INHALT. Körper. Masse
Kapitel 1 PUNKTMECHANIK LERNZIELE Definition der physikalischen Begriffe Körper, Masse, Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft. Newtons Axiome Die Benutzung eines Bezugssystems / Koordinatensystems.
Technische Universität Berlin. Wolfgang Raack MECHANIK. 13. verbesserte Auflage. ULB Darmstadt. nwuiui i utr IVIOWI IClI'lIK.
Technische Universität Berlin Wolfgang Raack MECHANIK 13. verbesserte Auflage ULB Darmstadt 16015482 nwuiui i utr IVIOWI IClI'lIK Berlin 2004 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1 1.1 Definition der Mechanik
Technische Mechanik I
1 Die Technische Mechanik ist ein Teilgebiet der Physik und wird definiert als Lehre von den Bewegungen und den Kräften. Sie lässt sich unterteilen in die Behandlung von Kräften an ruhenden Körpern (Statik,
Spannungszustand
1. Spannungszustand 1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor 1.2 Hauptspannungen 1.3 Mohrsche Spannungskreise 1.4 Fließbedingung 1.5 Gleichgewichtsbedingungen 1.1-1 1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor
4. Verzerrungen. Der Abstand von zwei Punkten ändert sich. Der Winkel zwischen drei Punkten ändert sich
4. Verzerrungen Wird ein Körper belastet, so ändert sich seine Geometrie. Die Punkte des Körpers ändern ihre Lage. Sie erfahren eine Verschiebung. Ist die Verschiebung für benachbarte Punkte unterschiedlich,
Mechanik 2. Übungsaufgaben
Mechanik 2 Übungsaufgaben Professor Dr.-Ing. habil. Jörg Schröder Universität Duisburg Essen, Standort Essen Fachbereich 10 - Bauwesen Institut für Mechanik Übung zu Mechanik 2 Seite 1 Aufgabe 1 Berechnen
2. Definieren Sie die 2 Arten von Verzerrungen. Vorzeichenregeln.
FESTIGKEITSLEHRE 1. Definieren Sie den Begriff "Widerstandsmoment". Erläutern Sie es für Rechteck und doppelt T Querschnitt. Antwort Die Widerstandsmomente sind geometrische Kennzeichen des Querschnittes.
Aus Kapitel 4 Technische Mechanik Aufgaben
6 Aufgaben Kap. 4 Aus Kapitel 4 Aufgaben 4. Zugproben duktiler Werkstoffe reißen im Zugversuch regelmäßig mit einer größtenteils um 45 zur Kraftrichtung geneigten Bruchfläche. F F 3. Mohr scher Spannungskreis:
Euler-Bernoulli-Balken
Euler-Bernoulli-Balken 2 2.1 Einführende Bemerkungen Ein Balken ist als langer prismatischer Körper, der schematisch in Abb. 2.1 dargestellt ist, definiert. Die folgenden Ableitungen unterliegen hierbei
In der Technik treten Fachwerke als Brückenträger, Masten, Gerüste, Kräne, Dachbindern usw. auf.
6. Ebene Fachwerke In der Technik treten Fachwerke als Brückenträger, Masten, Gerüste, Kräne, Dachbindern usw. auf. 6.1 Definition Ein ideales Fachwerk besteht aus geraden, starren Stäben, die miteinander
Übung zu Mechanik 2 Seite 16
Übung zu Mechanik 2 Seite 16 Aufgabe 27 Ein Stab wird wie skizziert entlang der Stabachse durch eine konstante Streckenlast n beansprucht. Bestimmen Sie den Verlauf der Normalspannungen σ 11 (X 1 ) und
Technische Mechanik. P. Kurzeja J. Mosler A. Menzel. Das nachfolgende Skript basiert anerkennend auf den Vorlesungsinhalten von:
(Technische) Mechanik P. Kurzeja J. Mosler A. Menzel Das nachfolgende Skript basiert anerkennend auf den Vorlesungsinhalten von: Prof. Dr.-Ing. Mosler, Prof. Dr.-Ing. Menzel, Dr.-Ing. Bartel, Prof. Dr.-Ing.
Mechanik II: Deformierbare Körper für D-BAUG, D-MAVT Haus- & Schnellübung 5
Aufgabe S1: Auf einem Balken der Länge l 0 und der Querschnittsfläche A 0 wirkt eine Axiallast P. Bestimmen Sie das Elastizitätsmodul des Material, wenn dieser sich um Material hat linear-elastisches Verhalten.
1.Kräfte, Fachwerk. 14,7 kn. Bestimmen Sie mit Hilfe des Sinussatzes die Stabkraft F1. 20 kn
1.Kräfte, Fachwerk # Aufgaben Antw. P. Ein Wandkran wird durch eine Masse m mit F G über eine feste Rolle belastet. 1 Die beiden Stäbe sind Rohre mit einem Durchmesser-Verhältnis d/d = λ = 0,8. Die zulässige
KLAUSUR ZUR TECHNISCHEN MECHANIK I Termin: 19. März AUFGABE 1 (16 Punkte)
KLAUSUR ZUR TECHNISCHEN MECHANIK I Termin: 9. März 2 AUFGABE (6 Punkte) Der Stab 2 in Abb. mit l =,5 m ist in gelenkig gelagert und in 2 abgestützt. In wirkt die Kraft F = 5. N. a) Man bestimme die Reaktionen
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Dankert/Dankert: Technische Mechanik, 5. Auflage Lösungen zu den Aufgaben, Teil 4 (Kapitel 15-17) Lösung 15.1: Element-Steifigkeitsmatrix Jeweils drei 2*2-Untermatrizen einer Element- Steifigkeitsmatrix
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Vorlesung Physik für Pharmazeuten PPh - 04 Starrer Körper: Hebelgesetz, Drehmoment, Schwerpunkt, Drehimpuls Deformierbarer Körper: Elastizitätsmodul Punktmassen-Systeme Abgeschlossenes System : * Keine
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Spannungs- und Verzerrungstensoren
10 Spannungs- und Verzerrungstensoren Spannungs- und Verzerrungstensoren 4 2 Motivation / Einführung Spannungsvektor im Stab ist abhängig von Orientierung des fiktiven Schnitts. Spannungsverteilung ist
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Verzerrungsenergie. Transformation auf beliebige Achsen x,y,z liefert nach Einsetzen von. Mechanik IA
Verzerrungsenergie Zieht man ein Volumselement mit der Kantenlänge a in Richtung der Spannungshauptachse in die Länge, so wird folgende Arbeit W verrichtet: W = Fds mit F = λσ a und ds = dλε a. λ entspricht
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Klausur Technische Mechanik 07/02/12 Matrikelnummer: Folgende Angaben sind freiwillig: Name, Vorname: Studiengang: Hinweise: Die Bearbeitungszeit der Klausur beträgt drei Stunden. Die Prüfung umfasst die
Aufgaben zur Festigkeit
Aufgaben zur estigkeit : Maimale Länge eines Drahtes l Wie lang darf ein Stahldraht mit R m =40 N/mm maimal sein, damit er nicht abreißt? Dichte von Stahl ρ=7850 kg/m 3 Lösung: = G A R m G = A l g l= G
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Festkörpermechanik/Organisation Gemeinsame Übungen zu den Vorlesungen inführung in die Werkstoffphysik und Festkörpermechanik : Zeit: Dienstags 4.45 6.5 Uhr, erstmalig am 8.0.008 Ort: Seminarraum P4 Klausur:
Technische Mechanik kompakt
Peter Wriggers, Udo Nackenhorst, Sascha Beuermann, Holger Spiess, Stefan Löhnert Technische Mechanik kompakt Starrkörperstatik Elastostatik Kinetik Mit zahlreichen Abbildungen und Tabellen, 106 durchgerechneten
12.1 Fluideigenschaften
79 Als Fluide bezeichnet man Kontinua mit leicht verschieblichen Teilen. Im Unterschied zu festen Körpern setzen sie langsamen Formänderungen ohne Volumenänderung nur geringen Widerstand entgegen. Entsprechend
1.1 Gegenstand der Technischen Mechanik Lernziele und Lernmethoden... 9
3 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Technische Mechanik 1 Einführung 1.1 Gegenstand der Technischen Mechanik... 8 1.2 Lernziele und Lernmethoden... 9 2 Winkel und Winkelfunktionen 2.1 Winkel und Winkelmaße...
Fragen aus dem Repetitorium III
Fragen aus dem Repetitorium III Folgend werden die Fragen des Repetitoriums III, welche ihr im Skript ab Seite 283 findet, behandelt. Die Seiten werden ständig aktualisiert und korrigiert, so daß es sich