3. Allgemeine Kraftsysteme

Transkript

1 3. Allgemeine Kraftsysteme 3.1 Parallele Kräfte 3.2 Kräftepaar und Moment 3.3 Gleichgewicht in der Ebene Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-1

2 3.1 Parallele Kräfte Bei parallelen Kräften in der Ebene schneiden sich die Wirkungslinien nicht. Beispiel: Waage ragen: G 1 G 2 Lassen sich die beiden Kräfte zu einer resultierenden Kraft zusammenfassen? Wo liegt der Angriffspunkt der resultierenden Kraft? Wo muss die Waage gelagert werden, damit sie im Gleichgewicht ist? Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-2

3 3.1 Parallele Kräfte Lösung: Der Balken der Waage wird freigeschnitten. G 1 G 2 Es wird eine Gleichgewichtsgruppe hinzugefügt. Der Betrag der Kraft K ist beliebig. Die Wirkungslinien sind senkrecht aufeinander. K G 1 G 2 K Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-3

4 3.1 Parallele Kräfte Die Wirkungslinien der Teilresultierenden R 1 und R 2 schneiden sich. K R 1 R 2 R K R= R 1 R 2 = G 1 K G 2 K = G 1 G 2 G G 2 R 1 R 2 1 Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-4

5 3.1 Parallele Kräfte Aus R= G 1 G 2 folgt: R G 1 G 2 ür den Betrag gilt: R=G 1 G 2 Geometrie: tan = h a 1 = G 1 K K α h β K tan = h a 2 = G 2 K a 1 a 2 a G 1 G 2 Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-5

6 3.1 Parallele Kräfte Hebelgesetz von Archimedes: h a 1 = G 1 K h K =a 1G 1 h a 2 = G 2 K h K =a 2G 2 Berechnung der Abstände: a 1 a 2 = a a 1 G 1 G 2 a 2 = 0 G 2 1 G 1 1 a 1 G 1 G 2 = ag 2 a 2 G 1 G 2 = ag 1 a 1 G 1 =a 2 G 2 a 1 = G 2 G 1 G 2 a a 2 = G 1 G 1 G 2 a Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-6

7 3.1 Parallele Kräfte Ergebnis: a a 1 a 2 G 1 G 2 G 1 + G 2 a 1 = G 2 G 1 G 2 a a 2 = G 1 G 1 G 2 a Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-7

8 Kräftepaar: 3.2 Kräftepaar und Moment Ein Kräftepaar ist ein Paar paralleler Kräfte, die entgegengesetzt gleich groß sind. Der Abstand a der Wirkungslinien wird senkrecht zu den Wirkungslinien gemessen. Beispiele: a Lenkrad Schraubenschlüssel Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-8

9 3.2 Kräftepaar und Moment ür jede Gleichgewichtsgruppe sind die Wirkungslinien der resultierenden Kräfte parallel. Ein Kräftepaar kann nicht durch eine resultierende Kraft ersetzt werden. R K K R Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-9

10 3.2 Kräftepaar und Moment Das Kräftepaar (, a) versucht, den Körper zu drehen. Damit der Körper im Gleichgewicht ist, muss ein zweites Kräftepaar (G, b) am Körper angreifen. c G G b a Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM

11 3.2 Kräftepaar und Moment Gegeben: Kräftepaar (, a) und Abmessungen b und c Gesucht: Kraft G für Gleichgewicht Lösung: Die beiden nach oben zeigenden Kräfte lassen sich zu einer Kraft R zusammenfassen: d R c b G Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM

12 3.2 Kräftepaar und Moment Aus dem Hebelgesetz folgt für den Abstand d: d= G G b c Ebenso lassen sich die nach unten zeigenden Kräfte zu einer Kraft R zusammenfassen: d - c R R a - c Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM

13 3.2 Kräftepaar und Moment Damit Gleichgewicht herrscht, müssen die beiden Kräfte am gleichen Angriffspunkt angreifen. Aus dem Hebelgesetz folgt: Einsetzen für d ergibt: G G b c c= G a c d c= G a c G b c G c= a c Ergebnis: G b= a G= a b Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM

14 3.2 Kräftepaar und Moment Moment: Die Wirkung eines Kräftepaares (, a) hängt nur von der Größe M = a ab. Diese Größe wird als Moment bezeichnet. Zusätzlich ist der Drehsinn zu beachten: positiv entgegen dem Uhrzeigersinn (linksdrehend) negativ im Uhrzeigersinn (rechtsdrehend) + - Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM

15 3.2 Kräftepaar und Moment Die Wirkung eines Kräftepaares auf einen starren Körper hängt nicht davon ab, wo das Kräftepaar angreift. = a M a M = Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM

16 3.2 Kräftepaar und Moment Parallelverschiebung einer Kraft: Gegeben ist die Kraft mit Wirkungslinie durch Punkt A Gesucht ist die Kraft mit Wirkungslinie durch Punkt B sowie das Moment, so dass die Wirkung die gleiche ist. A a B Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM

17 3.2 Kräftepaar und Moment A a B Am Punkt B wird eine Gleichgewichtsgruppe mit Betrag hinzugefügt. Das Kräftepaar (, a) entspricht dem Moment M B =a A M B ist das Moment der Kraft um den Bezugspunkt B. M B B Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM

18 3.2 Kräftepaar und Moment Beispiel: Kurbeltrieb γ a β L M A φ r α A Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM

19 3.2 Kräftepaar und Moment Gegeben: Pleuellänge L = 9cm = m Kurbelradius r = 3cm = m Kurbelstellung φ = 50 Pleuelkraft = 5kN = N Gesucht: Moment M A der Kraft um den Bezugspunkt A Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM

20 Zahlenwerte: 3.2 Kräftepaar und Moment Lösung: Sinussatz: sin = sin sin = r r L L sin =180 = = a=r sin =r sin M A = a= r sin sin = 3 9 sin 50 =0,2553 =14,794 M A = N m sin 50 14,794 =135,72 Nm Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM

21 3.2 Kräftepaar und Moment Berechnung aus den kartesischen Komponenten der Kraft: y y M O =x P y y P x y P P x M O O x P x Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM

22 3.2 Kräftepaar und Moment Beispiel: Kurbeltrieb y r β L x M A φ α y A b x Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM

23 3.2 Kräftepaar und Moment Sinussatz: b sin = L sin b=l sin sin y = sin = r L sin M A =b y =L sin sin r L sin = r sin sin =sin 180 =sin M A = r sin Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM

24 3.3 Gleichgewicht in der Ebene Alle am starren Körper angreifenden Kräfte können in Gedanken an einen beliebig gewählten Bezugspunkt B verschoben werden. Dabei müssen die Momente der Kräfte um den Bezugspunkt B berücksichtigt werden. Der Körper ist im Gleichgewicht, wenn die Resultierende aller Kräfte am Bezugspunkt B verschwindet, die Summe der Momente aller Kräfte um den Bezugspunkt B verschwindet. Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM

25 3.3 Gleichgewicht in der Ebene Gleichgewichtsbedingungen: x = 0 y = 0 M B = 0 Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM

26 3.3 Gleichgewicht in der Ebene Beispiel 1a: Gegeben: = 1000N α = 60 a = 3m, b = 1m, c = 1m Gesucht: a A y A x, A y, B y A x A b α y B c B y x Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM

27 Lösung: 3.3 Gleichgewicht in der Ebene x =0 : cos A x =0 y =0 : sin A y B y =0 M A =0 : c cos b sin a B y =0 x =0 A x = cos bsin c cos M A =0 B y = a y =0 A y = sin B y Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM

28 Zahlenwerte: 3.3 Gleichgewicht in der Ebene A x =1000 N cos 60 =500 N B y =1000 N 1m sin 60 1m cos 60 3m =1000 N 0,1220=122,0 N A y =1000 N sin ,0 N =866,0 N 122,0 N =744,0 N Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM

29 3.3 Gleichgewicht in der Ebene Alternative Gleichungen 1: 1 Kraftgleichung und 2 Momentengleichungen um verschiedene Bezugspunkte Die Verbindungslinie der Bezugspunkte darf nicht senkrecht auf der Richtung für die Kräftegleichung stehen. Σ alsch: Σ Σ M (A) Σ M (B) Σ M (A) Σ M (B) A B A B Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM

30 3.3 Gleichgewicht in der Ebene Alternative Gleichungen 2: 3 Momentengleichungen um verschiedene Bezugspunkte Die 3 Bezugspunkte dürfen nicht auf einer Geraden liegen. Σ M (C) alsch: Σ M (A) C Σ M (B) Σ M (A) Σ M (C) Σ M (B) A B A C B Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM

31 3.3 Gleichgewicht in der Ebene Beispiel 1b: y x =0 : cos A x =0 A x b α c x M A =0 : c cos b sin a B y =0 A y A a B B y M B =0 : a A y c cos a b sin =0 A y = [ 1 b a sin c a cos ] Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM

32 3.3 Gleichgewicht in der Ebene Beispiel 2: Seil über reibungsfrei gelagerte Rolle Gegeben: Radius r Winkel α und β β r α Seilkraft S 1 y S 2 A x A S 1 Gesucht: x A y Seilkraft S 2 Lagerkräfte A x, A y Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM

33 Lösung: 3.3 Gleichgewicht in der Ebene M A =0 : r S 2 r S 1 =0 S 2 =S 1 x =0 : S 2 cos A x S 1 cos =0 A x =S 1 cos cos y =0 : S 2 sin A y S 1 sin =0 A y =S 1 sin sin Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM