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Hede Sommer
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1 44570_Mayr_205x227_44570_Mayr_RZ :39 Seite Martin Mayr Das erfolgreiche Lehrbuch ermöglicht Studenten des Maschinenbaus, der Elektrotechnik und der Mechatronik einen leichten Einstieg in die Technische Mechanik. Absolventen höherer technischer Lehranstalten und Technikerschulen hilft es bei der Vertiefung ihrer Kenntnisse. Technische Mechanik Technische Mechanik Technische Mechanik Martin Mayr Das Buch besticht durch seine didaktische Aufbereitung: 474 Bilder, 275 Verständnisfragen, 04 Beispiellösungen, 6 Übungsaufgaben und 43 Prüfungsaufgaben. Es besteht aus den drei Themenschwerpunkten: Statik Kinematik, Kinetik, Schwingungen Festigkeitslehre Mayr Jedes Thema ist in sich abgeschlossen und kann unabhängig von den anderen erarbeitet werden. Ein umfangreicher Anhang mit Formeln, Tabellen und Diagrammen ist zum bequemen Nachschlagen in einem separaten Beiheft untergebracht. Statik Kinematik Kinetik Schwingungen Festigkeitslehre 29,99 [D] 30,90 [A] ISBN Auflage

2 .7 Die Zerlegung einer Kraft nach zwei nichtparallelen Wirkungslinien 5.5 Die Verschiebbarkeit der Kraft längs ihrer Wirkungslinie Die 3 Situationen in Bild.6 sind in ihrer äußeren Wirkung gleichwertig, d. h. die Wirkung der Gewichtskraft FG mg auf die Lager ist in allen drei Fällen gleich. Das bedeutet: Eine Kraft kann längs ihrer Wirkungslinie verschoben werden, ohne dass sich die äußere Wirkung ändert. Achtung! In der Festigkeitslehre ist der Kraftangriffspunkt im Allgemeinen zu beachten. Das gilt auch für Kap. 0 und von Teil zur Bestimmung der inneren Kräfte. Bild.6 Verschiebung der Kraft längs ihrer Wirkungslinie.6 Kräfteparallelogramm und Krafteck Die beiden Schlepper in Bild.7a ziehen am Ozeanriesen mit den Kräften F und F 2. Die resultierende Kraft F R (kurz Resultierende) entspricht der Diagonalen des Kräfteparallelogramms. Es gilt somit der Satz (Axiom vom Kräfteparallelogramm): Zwei Kräften F mit gemeinsamem Angriffspunkt ist eine einzige Kraft F R statisch gleichwertig, die am selben Punkt angreift und der Diagonale des von F gebildeten Parallelogramms entspricht. Zur Konstruktion von F R genügt auch die Hälfte des Parallelogramms, das sog. Krafteck, Bild.7b. Bild.7 Die Resultierende von zwei Kräften a) Kräfteparallelogramm b) Krafteck.7 Die Zerlegung einer Kraft nach zwei nichtparallelen Wirkungslinien Das ist die Umkehrung des vorangegangenen Problems. Hierzu die Situation in ild.8a. Die Gewichtskraft FG mg wird durch die beiden Seilkräfte F gehalten. Wie lassen sich die Seilkräfte zeichnerisch bestimmen? Die Resultierende F R der Seilkräfte muss der Gewichtskraft das Gleichgewicht halten. Diese Resultierende ist die Diagonale des Parallelogramms, das von F gebildet wird, Bild.8b. Wir müssen also Parallelen zu den Seilen an F R zeichnen und erhalten damit Bild.8 Zerlegung einer Kraft a) Gewicht an zwei Seilen b) Zerlegung von F R mit Hilfe des b) Kräfteparallelogramms c) Zerlegung mit Hilfe des Kraftecks

3 6 Begriffe, Grundgesetze, Grundaufgaben F. Das Gleiche bekommen wir schneller über das Krafteck, Bild.8c. Eine weitere häufige Anwendung der Kräftezerlegung ist der Keil. Übung. Ein Kletterer hat gemäß Bild.9 in den gezeichneten Abständen zwei Haken geschlagen und sich daran mit Hilfe zweier Schlingen von 50 cm bzw. 60 cm Länge gesichert. Bestimmen Sie graphisch die Kräfte F der Haken bzw. 2 auf die Schlingen, wenn der Kletterer mit seinem gesamten Gewicht (Gewichtskraft F G = 750 N) in der Sicherung hängt. Durch welche Maßnahme werden die Kräfte gleichmäßiger?.8 Das Hebelgesetz von ARISTOTELES 2 und ARCHIMEDES 3 Bild.9 Kräftezerlegung beim Klettern, Übung. Gegeben sind 2 parallele Kräfte F und F 2 im Abstand a + a 2,, Bild.0. Wo liegt die Wirkungslinie der Resultierenden F R?Die Lösung liefert das Hebelgesetz. Hebelgesetz: Die Hebelarme sind den Kräften umgekehrt proportional. a a 2 F2 (.5) F Für die Größe von F R gilt: Bild.0 Die Resultierende F R der parallelen Kräfte F F R = F + F 2 Ihre Wirkungslinie ist zu F bzw. F 2 parallel. Auch die umgekehrte Fragestellung lässt sich über das Hebelgesetz lösen: Die Zerlegung einer Kraft nach zwei Wirkungslinien, die zur ursprünglichen Kraft parallel sind. Hierzu folgendes Beispiel. Beispiel.2 Der Radlader in Bild. hat mit Schaufelfüllung eine Gewichtskraft F G = 20 kn. Sie wirkt a = 0,5 m hinter dem Vorderrad. Der Radstand beträgt l =3m. Mit welchen Kräften F v und F h drücken die Vorder- bzw. Hinterräder auf den Grund? 2 ARISTOTELES v. Chr. 3 ARCHIMEDES von SYRAKUS v. Chr.

4 .8 Das Hebelgesetz von ARISTOTELES und ARCHIMEDES 7 Lösung: Nach dem Hebelgesetz gilt: Fv l a 2,5 m 5 Fh a 0,5 m F v =5F h (*) F v und F h sind zusammen so groß wie F G : F v + F h = F G (**) (*) in (**) liefert: 5 F h + F h = F G F h FG 20 kn 20 kn 6 6 F v =5F h = 00 kn Bild. Die Zerlegung der Kraft F G in dazu parallele Kräfte F v und F h. Nennen Sie zwei äußere Kräfte. 2. Durch welche Merkmale ist der gebundene Kraftvektor festgelegt? 3. Wie hängt die Krafteinheit N mit den Basiseinheiten zusammen? 4. Unter welchen Bedingungen sind 2 Kräfte im Gleichgewicht? 5. Was besagt das Wechselwirkungsgesetz? 6. Kann bezüglich der äußeren Wirkung eine Kraft längs ihrer Wirkungslinie verschoben werden? 7. Welche Bedeutung hat die Diagonale im Kräfteparallelogramm? 8. Wie lautet das Hebelgesetz?

5 8 2 Die resultierende Kraft eines zentralen ebenen Kräftesystems Vektoraddition der Kräfte, algebraische Addition der kartesischen Kraftkomponenten Zentrales Kräftesystem heißt: Die Wirkungslinien aller Kräfte schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt. Außerdem sollen vorläufig alle Kräfte in der Zeichenebene liegen. 2. Graphische Lösung Bild 2. Konstruktion der Resultierenden a) Lageplan b) Kräfteplan mit der Zwischenresultierenden F 2, c) Kraftecke mit unterschiedlicher c) Kräftefolge Wieder nehmen wir das Beispiel Schiff, das diesmal von drei Schleppern gezogen wird, Bild 2.a. Näherungsweise wollen wir annehmen, dass die Taue am selben Schiffspunkt befestigt und horizontal sind. Gemäß Kap..6 zeichnen wir zunächst im Kräfteplan (KP) die Resultierende F 2, aus den Kräften F, Bild 2.b. Die Richtungen von F ergeben sich aus dem Lageplan (LP) durch Parallelverschieben. Anschließend fassen wir F 2, mit F 3 zur Gesamtresultierenden F R zusammen. Wenn noch mehr Kräfte wirken, setzen wir den Prozess fort, bis alle Kräfte im KP aufgetragen sind. Es geht auch ohne Zwischenresultierende, Bild 2.c. Wir hängen einfach alle Kraftpfeile aneinander. Die Resultierende liegt zwischen dem Anfangspunkt der ersten Kraft und der Pfeilspitze der letzten Kraft. Die Reihenfolge der Kräfte spielt hierbei keine Rolle. Das Aneinandersetzen der Kraftpfeile entspricht einer Vektoraddition: n FR F F2 F3 Fi Aus Bild 2. ergibt sich: F 5,2 cm F 52 kn (nach rechts gerichtet) R R i= 2.2 Analytische Lösung Jetzt denken wir uns die Kräfte in einem kartesischen Koordinatensystem, Bild 2.2a. Die Kraftpfeile können unmaßstäblich sein. Winkel zählen positiv im Gegenuhrzeigersinn, negativ im Uhrzeigersinn.

6 2.2 Analytische Lösung 9 Gemäß Kap.. zerlegen wir alle Kräfte in ihre Komponenten F xi und F yi. F = F cos α F xi i i = F sin α yi i i F x, F x2... zeigen alle in x-richtung und dürfen deshalb algebraisch addiert werden. Das ergibt F Rx. Analog dazu erhalten wir F Ry. Anschließend lassen sich F R (mit Hilfe des Satzes von PYTHAGO- RAS )undα bestimmen, Bild 2.2b. Größe und Richtung der resultierenden Kraft: n F = F + F + F Rx x x2 = xi i= F = F + F + = F Ry y y2 yi i= n (2.a) (2.b) 2 2 F = F + F (2.c) R Rx Ry a = arctan F Ry (2.d) FRx α legt nur die Richtung der Wirkungslinie fest. Der Richtungssinn ist anhand der Kraftkomponente F Rx oder F Ry zu klären. Zahlenrechnung: F Rx =[20 cos cos8 +27 cos ( 34 )] kn 52, kn F Ry =[20 sin sin sin ( 34 )] kn 0,4 kn 2 2 F R = 52, + 0, 4 kn 52, kn 0,4 kn α= arctan 0, 4 52, kn Übung 2. Ein Tanker wird von drei Schleppern in den Hafen bugsiert, Bild 2.3. Von allen Schleppern sind die Zugrichtungen bekannt, die Zugkräfte dagegen nur von Schlepper und 2. Bestimmen Sie F 3 so, dass die resultierende Kraft F R auf den Tanker in die gewünschte Fahrtrichtung zeigt. Wie groß ist F R? Graphische und analytische Lösung.. Was heißt zentrales Kräftesystem? 2. Welche Vorzeichenregelung gilt für den Winkel zwischen x-achse und Kraftpfeil? PYTHAGORAS 6. Jahrh. v. Chr. Bild 2.2 Analytische Bestimmung der Resultierenden a) Kräfte im kartesischen Koordinatena) system b) Bestimmung von F R und a aus F Rx b) und F Ry Bild 2.3 Zu Übung 2.

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