5) GLEICHGEWICHT VON KRAEFTEN (Auflagerreaktionen)

Transkript

1 BAULEITER HOCHBAU S T A T I K / F E S T I G K E I T S L E H R E 5) GLEICHGEWICHT VON KRAEFTEN (Auflagerreaktionen) 1) Einleitung 2) Definition 3) Gleichgewichtsbedingungen der Ebene 4) Beispiele zur Bestimmung von Auflagerreaktionen (Wilhelm Busch) g.bettschen

2 Statik - Gleichgewicht von Kräften - göpf bettschen - Seite 2 1) Einleitung Auflagerreaktion Kraft (Last) Spannweite l In der Statik müssen meist für alle nachfolgenden Berechnungen die Auflagerkräfte (Auflagerreaktionen) bekannt sein, wie hier z.b. der Anteil der auf das Brett wirkenden Last auf die Holzböckli. Um diese Auflagerkräfte zu berechnen, muss man zuerst einige Grundlagen über das Gleichgewicht der Kräften kennen. 2) Definition für Gleichgewicht von Kräften Eine auf einen Körper wirkende Kräftegruppe, also z. B. Lasten und Auflagerreaktionen, ist dann im Gleichgewicht, wenn sich ihre Wirkung als Ganzes gegenseitig aufhebt. Sie darf also einen Körper in seinem bisherigen Bewegungszustand nicht beeinflussen. Das Newton sche Axiom: Der Krafteinwirkung (Actio) eines Körpers auf einen anderen entspricht eine gleich grosse, entgegengesetzt gerichtete Wirkung (Reactio) ACTIO = REACTIO F1 F1 = - F2 Dies bedeutet also folgendes: Wenn ein Körper ruht, so muss er in Ruhe bleiben, oder ein bewegter Körper darf nicht beschleunigt oder gebremst werden. Die Baustatik setzt in der Regel ruhende Körper voraus, also kann man sagen: Soll ein Körper ruhen, so müssen die auf ihn wirkenden Kräfte im Gleichgewicht sein. F2

3 Statik - Gleichgewicht von Kräften - göpf bettschen - Seite 3 3) Gleichgewichtsbedingungen der Ebene Da die Gesamtheit aller Kräfte durch eine Resultierende ersetzt werden kann (siehe: Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften in der Ebene ), so ist eine Kräftegruppe dann im Gleichgewicht, wenn ihre Resultierende gleich Null ist. Aus dieser Erkenntnis können die sogenannten Gleichgewichtsbedingungen der Ebene formuliert werden. a) analytische Berechnungsmethode Bedingung : R = 0 ( Die Resultierende aller Kräfte ist gleich Null) Die Resultierende R kann in Komponenten zerlegt werden : R V = Summe V = 0 (1. Gleichgewichtsbed. Vertikalkomponente) R H = Summe H = 0 (2. Gleichgewichtsbed. - Horizontalkomponente) Auch wenn diese beiden Bedingungen erfüllt sind, können z.b. bei einem Kräftepaar (Summe V = 0, Summe H = 0 ) noch Momente auftreten. Diese Momente haben immer das Bestreben den Körper zu bewegen, es muss also noch eine dritte Bedingung eingeführt werden. Diese dritte Bedingung lautet: Die Summe aller statischen Momente bezüglich eines Punktes ist ebenfalls gleich Null. => Summe M = Summe Fi ai = 0 (3. Gleichgewichtsbed. - Momente) Zur Untersuchung, ob eine Kräftegruppe in der Ebene im Gleichgewicht ist, stehen uns also drei Gewichtsbedingungen zur Verfügung. Oder umgekehrt: Um eine Kräftegruppe in der Ebene ins Gleichgewicht zu bringen, müssen drei Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sein. Es gibt also folgende Möglichkeiten: 1. Möglichkeit: 1) Summe H = 0 2) Summe V = 0 3) Summe Ma = 0 (bezüglich eines Punktes a) 2. Möglichkeit: 1) Summe V = 0 2) Summe H = 0 3) Summe Mb = 0 (bezüglich eines Punktes b) Die beiden Komponentenbedingungen können auch durch Momentenbedingungen bezüglich verschiedener Punkte ersetzt werden 3. Möglichkeit: 1) Summe Ma = 0 (bezüglich eines Punktes a) 2) Summe Mb = 0 (bezüglich eines Punktes b) 3) Summe Mc = 0 (bezüglich eines Punktes c) (Die Punkte dieser Momentenbedingungen dürfen auf keiner Geraden liegen!)

4 Statik - Gleichgewicht von Kräften - göpf bettschen - Seite 4 b) Graphische Methode * zwei Kräfte Zwei Kräfte sind dann im Gleichgewicht, wenn sie entgegengesetzt gleich gross sind und auf der gleichen Wirkungslinie liegen. F1 F2 Falls zwei Kräfte nicht entgegengesetzt gleich sind, werden sie immer eine Resultierende bilden. Falls zwei entgegengesetzt gleich grosse Kräfte nicht auf der gleichen Wirkungslinie liegen, bilden sie ein Kräftepaar. * mehrere Kräfte auf verschiedenen Wirkungslinien Grösse, Richtung und Lage der Resultierenden von mehreren Kräften haben wir zeichnerisch mit Hilfe von Kräfteplan und Seilpolygon gefunden. Beim Gleichgewicht der Kräfte gilt, da R = O und M = O sein müssen: im Kräfteplan darf keine Kraft, und im Seilpolygon dürfen keine Seilstrahlen übrigbleiben, die durch ihren Differenzabstand ein Drehmoment ausüben würden. Die Gleichgewichtsbedingungen für die zeichnerische Lösung lauten also: Schneiden sich mehrere Kräfte in verschiedenen Punkten einer Ebene, dann müssen Krafteck und Seilpolygon geschlossen sein. Das Gleichgewicht mehrerer Kräfte F1,F2,... mit den Wirkungslinien g1,g2,... kann auch mit folgender Überlegung bestimmt werden: Wir bilden eine Zwischenresultierende R 12, welche durch den Schnittpunkt von g1 und g2 gehen muss, dann reduzieren wir alle weiteren Kräfte schrittweise. Wenn alle Kräfte im Gleichgewicht sind, müssen am Schluss die letzte Teilresultierende und die übrigbleibende Kraft im Gleichgewicht sein.

5 Statik - Gleichgewicht von Kräften - göpf bettschen - Seite 5 4) Bestimmung von Auflagerreaktionen Mit den Gleichgewichtsbedingungen der Ebene können nun in statisch bestimmten Systemen (Definition von statisch bestimmt im Kapitel: Die einfachsten statisch bestimmten Träger ) die unbekannten Auflagerkräfte berechnet werden. Beispiel a: Av = b F / l = / 6.0 = 6.0 kn Bv = a F / l = / 6.0 = 3.0 kn Kontrolle mit Summe aller vertikalen Kräfte Av + Bv + F = = 0 o.k.

6 Statik - Gleichgewicht von Kräften - göpf bettschen - Seite 6 Beispiel b: x Av = F x / l (Die Summe aller Kräfte mal ihrem Abstand vom Auflager B, geteilt durch den Abstand von A zu B) Av = ( ) / 12.0 = kn Bv = F x / l (Die Summe aller Kräfte mal ihrem Abstand vom Auflager A, geteilt durch den Abstand von A zu B) Bv = ( ) / 12.0 = kn Kontrolle mit Summe aller vertikalen Kräfte Av + Bv + F = 0 o.k. l X Beispiel c: