7. Inneres Gleichgewicht - Schnittgrößen

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1 7. Inneres Gleichgewicht - Schnittgrößen Vorlesung und Übungen 1. Semester BA Architektur KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 BI - I Inneres Gleichgewicht Inhalt Wiederholung Flächenschwerpunkt Inneres Gleichgewicht - Schnittgrößen Anwendungen Zusammenfassung Ziel Bedeutung des Flächenschwerpunktes Innere Beanspruchungen Gleichgewicht an Teilsystemen Bildhafte Darstellung der inneren Beanspruchungen Dipl.-Ing. Michael Karwath

3 BI - I Wiederholung 1 Nebenträger NT 1 Hauptträger HT 3 Pendelstütze F V Dipl.-Ing. Michael Karwath

4 BI - I Wiederholung Nebenträger gegeben: Konstante Gleichlast NT = Dach [kn/m²] a [m] mit a = Abstand der Nebenträger Länge L NT, L NT,K [m] R NT NT Gesucht: Auflagerkräfte in A und B [kn] L NT,K L NT B H,NT L NT,K A NT B V,NT Resultierende Last R NT = NT (L NT + L NT,K ) H 0 B = 0 H, NT Dipl.-Ing. Michael Karwath LNT MB 0 ANT LNT RNT 0 RNT LNT ANT NT ( L NT,K ) V 0 A B (L L ) 0 LNT BV,NT NT ( L NT,K ) 0 NT V,NT NT NT NT,K

5 BI - I Wiederholung Hauptträger gegeben: Konstante Gleichlast HT = A NT /a Länge L HT, L HT,K [m] [kn/m] R HT HT Gesucht: Auflagerkräfte in A und B [kn] Resultierende Last R HT = HT (L HT + L HT,K ) H 0 B = 0 H A MA 0 BV LHT R HT (LHT L HT,K ) / 0 L HT B H RHT HT B V = (LHT L HT,K ) (LHT L HT,K ) L L HT HT B V L HT,K V 0 A BV HT (LHT L HT,K ) 0 HT L L HT HT,K A RHT -B V = HT (LHT L HT,K ) (LHT L HT,K ) HT ( ) L L HT HT Dipl.-Ing. Michael Karwath

6 BI - I Flächenschwerpunkt Gegeben Flächen A 1, A Wichte g G 1 = A 1 g [m²] [kn/m²] Gesucht Lage des Flächenschwerpunktes in y-richtung z G 1 G G y G = A g G = G 1 + G = (A 1 + A ) g y 1 y M 1 = G 1 y 1 + G y = M = G y S y S Nach y S aufgelöst, folgt y S G y G y G 1 1 y S A g y A g y A y A y (A A ) g A A Dipl.-Ing. Michael Karwath

7 BI - I Flächenschwerpunkt Allgemein z y S n i1 n A i1 i y A i i z S n i1 n A i1 i A z i i z S A 4 A 1 S A 3 A y Physikalische Bedeutung y S G G G G Dipl.-Ing. Michael Karwath

8 BI - I Flächenschwerpunkt oder mehr Symmetrieachsen 1 Symmetrieachse Sonderfall: keine Symmetrieachse b a Seitenhalbierenden a b Dipl.-Ing. Michael Karwath

9 BI - I Flächenschwerpunkt oder mehr Symmetrieachsen 1 Symmetrieachse Sonderfall: keine Symmetrieachse Dipl.-Ing. Michael Karwath

10 BI - I Schwerachse Schwerachse Schwerpunkt Schwerpunkt Schwerachse Schwerachse Dipl.-Ing. Michael Karwath

11 BI - I Inneres Gleichgewicht - Schnittgrößen A H A V L F B V (x) M (x) x Schwerachse M (x) V (x) Querschnitt z y y z F A H A V x N (x) Linkes (positives) Schnittufer N (x) L - x Rechtes (negatives) Schnittufer B Dipl.-Ing. Michael Karwath

12 BI - I Inneres Gleichgewicht - Schnittgrößen Definition der Schnittgrößen A H x V (x) M (x) N (x) Normalkraft V (x) Querkraft N (x) M (x) Biegemoment A V abstrakte und gedachte Kräfte und Momente, die im Innern von Bauteilen in den Schwerachsen wirken wirken als Zug-, Druck- und Querkraft, Biege- und Torsionsmoment im Flächenschwerpunkt oder in der Schwerachse werden durch Trennen des Bauteils senkrecht zur Schwerachse freigesetzt Schnittgrößen stehen mit den äußeren Lasten und Auflagerreaktionen im Gleichgewicht Dipl.-Ing. Michael Karwath

13 BI - I Normalkraft Zugkraft (+) F N (x) N (x) A H A V x Druckkraft (-) L - x F B A H A V N (x) - N(x) - N(x) N (x) x L - x Linkes (positives) Schnittufer Rechtes (negatives) Schnittufer B Dipl.-Ing. Michael Karwath

14 BI - I Normalkraft F Dach F Dach F Decke F Dach + F Decke F Decke F Dach + F Decke F Decke F Dach + 3F Decke A V = F Dach + 3F Decke Verlauf der Normalkraft in einer Stütze über 4 Geschoße Vernachlässigung der Eigenlast der Stütze Dipl.-Ing. Michael Karwath

15 BI - I Querkraft A H A V L F B V (x) M (x) x Schwerachse M (x) V (x) Querschnitt z y y z F A H A V x N (x) Linkes (positives) Schnittufer N (x) L - x Rechtes (negatives) Schnittufer B Dipl.-Ing. Michael Karwath

16 BI - I Biegemoment F x Schwer- oder Mittelachse z y A H A V L B Querschnitt V (x) M (x) M (x) V (x) F A H A V x N (x) N (x) L - x B Linkes (positives) Schnittufer Rechtes (negatives) Schnittufer Dipl.-Ing. Michael Karwath

17 BI - I Querkraft B H = 0 Schnitt 1-1 V 1 1 A = L/ Schnitt - 3 L B V = L/ V A = L/ x V 0 A x V 0 Schnitt 3-3 V1 (L / x 1) A = L/ x = L/ V 0 A L / V 0 V L / L / 0 V 3 x 3 B V = L/ V 3 3 V 0 B x V 0 V3 ( L / x 3) Dipl.-Ing. Michael Karwath

18 BI - I Querkraft allgemein V (x) = (L/ x) B H = 0 V (x=0) = (L/ 0) = L/ V (x=l/) = (L/ L/) = 0 A = L/ L B V = L/ V (x=l) = (L/ L) = - L/ V A = L/ x V BV = - L/ Dipl.-Ing. Michael Karwath

19 BI - I Biegemoment Schnitt 1-1 V 1 M 1 1 B H = 0 x 1 A = L/ A = L/ L B V = L/ M 0 1 A x x x / M M1 L / x1 x1 x 1 / M 1 (L x1 x 1 ) Mit x 1 = x folgt Parabel. Ordnung M(x) (L x x ) Dipl.-Ing. Michael Karwath

20 BI - I Biegemoment allgemein M(x) (L x x ) Maximum M(x) dm(x) L x 0 dx L x 0 für x L L L L M(x=L/) (L ) 4 8 M L/ = L /8 L/ L/ Q = Dipl.-Ing. Michael Karwath

21 BI - I Anwendung P Bretter lose aufeinander gelegt P P Bretter verleimt Risse durch Querkraftüberbeanspruchung Dipl.-Ing. Michael Karwath

22 BI - I Anwendung Dipl.-Ing. Michael Karwath

23 BI - I Anwendung Dipl.-Ing. Michael Karwath

24 BI - I Zusammenfassung Flächenschwerpunkt z y S n i1 n A i1 i y A i i z S n i1 n A i1 i A z i i z S A 4 A 1 y S S A 3 A y Schwerachse Schwerpunkt Schwerachse Dipl.-Ing. Michael Karwath

25 BI - I Zusammenfassung V (x) Querkraft (+) V (x) F A H A V x N (x) N (x) Normalkraft (+) Biegemoment (+) M (x) M (x) L - x F B A H A V Linkes (positives) Schnittufer Dipl.-Ing. Michael Karwath x L - x B Rechtes (negatives) Schnittufer

26 BI - I Literatur Gottfried Leicher Tragwerkslehre in Beispielen und Zeichnungen 3. Auflage Werner Verlag, 010, S Hanfried Heller Padia 1 Tragwerkslehre Ernst und Sohn, 1998, S , S Hans H. Hugi Einführung in die Statik der Vorlesungstexte an der ETH Zürich Verlag der Fachvereine Zürich, 199, S , S Dipl.-Ing. Michael Karwath

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