Kräftepaar und Drehmoment

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1 Kräftepaar und Drehmoment Vorlesung und Übungen 1. Semester BA Architektur KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Kräftepaar und Drehmoment Kräftepaar Drehmoment Gleichgewicht Dipl.-Ing. Kai Hainlein

3 Drehmoment F2 F 3 F 2 F2 F 3 F 3 R R R Kräfte mit parallelen Wirkungslinien, die nicht identisch sind. Angriffspunkt der Resultierenden? Dipl.-Ing. Kai Hainlein

4 Kräftepaar F 2 = - R = 0 a Drehpunkt A 2 gleichgroße und entgegen gesetzt gerichtete Kräfte mit parallelen Wirkungslinien Resultierende Kraft ist Null Verdrehung des Körpers Dipl.-Ing. Kai Hainlein

5 Kräftepaar A. a. F A M F mit M = F a Zwei Kräfte, die gleichgroß sind, entgegengesetzt gerichtet wirken und mit parallelen Wirkungslinien im Abstand a werden als Kräftepaar bezeichnet. Die Resultierende solch eines Kräftepaares ist das Drehmoment M. Das Drehmoment M ist bestimmt durch: die Größe der Kraft F den Abstand a der Wirkungslinien a ist senkrecht zu den Wirkungslinien den Drehsinn (rechts drehend, links drehend) Dipl.-Ing. Kai Hainlein

6 Drehmoment Zur Berechnung des Drehmomentes wird ein Drehpunkt A festgelegt. Der Abstand von der wirkenden Kraft zum Drehpunkt steht im rechten Winkel zur Wirkungslinie der Kraft. M 1 M 2 F 2 a 1 A a Dipl.-Ing. Kai Hainlein

7 Drehmoment M M A A A a a a/2 a/2 M = a Das resultierende Drehmoment ist unabhängig vom Drehpunkt konstant M = 2 a/2 = a Dipl.-Ing. Kai Hainlein

8 Drehmoment Beispiel 1 M F 2 Vertikales Gleichgewicht R = F 2 F 3 = 0 F 2 F 3 F 3 Resultierendes Drehmoment M Drehpunkt A M = 2a F 2 a F 3 0 = (2 F 2 ) a a a Einheit des Drehmoments: [knm], [MNm] Dipl.-Ing. Kai Hainlein

9 Drehmoment Beispiel 2 M Drehpunkt außerhalb des Körpers F 2 Vertikales Gleichgewicht F 2 F 3 R = F 2 F 3 = 0 F 3 = F 2 Resultierendes Drehmoment M M = 3a F 2 2a F 3 a a a a F 3 Drehpunkt A M = 3a F 2 2a ( + F 2 ) a = (2 F 2 ) a Dipl.-Ing. Kai Hainlein

10 Drehmoment Dipl.-Ing. Kai Hainlein

11 Drehmoment Resultierende Kraft P 3 am Drehpunkt P 1 + P 2 P 3 = 0 Hebelgesetz M 1 = P 1 a P 3 = P 1 + P 2 M 2 = P 2 b M 1 M 2 = 0 P 1 a P 2 b = 0 P 1 a = P 2 b P 2 = P 1 a/b Dipl.-Ing. Kai Hainlein

12 Drehmoment R Beispiel 3 F 2 = F 3 = /2 Resultierende Kraft R R = + F 2 + F 3 = 2 Hebelgesetz Drehpunkt A F 2 F 3 x F 2 M 1 = F 2 a + F 3 2a = 3/2 a A a a F 3 R M 2 = R x M 1 = M 2 3/2 a = R x 3/2 a = 2 x x = 3/4 a Dipl.-Ing. Kai Hainlein

13 Drehmoment Beispiel 4 F 3 = F 4 = /2 = F 2 /2 x R F 2 F 3 F 4 Resultierende Kraft R R = + F 2 + F 3 + F 4 = 3 Hebelgesetz a a a a a M 1 = a + F 2 2a + F 3 3a + F 4 4a = 13/2 a M 2 = R x M 1 = M 2 13/2 a = R x 13/2 a = 3 x x = 13/6 a ~ 2,167 a Dipl.-Ing. Kai Hainlein

14 Drehmoment Dipl.-Ing. Kai Hainlein

15 Drehmoment H H Drehpunkt A a A 1 Hebelgesetz um Drehpunkt A H a - A 2 b = 0 A 2 = H a/b b A 2 Resultierende Kraft A 1 A 1 = A 2 + H Dipl.-Ing. Kai Hainlein

16 Gleichgewicht in der Ebene Vertikale Verschiebung Horizontale Verschiebung Verdrehung Physikalisches Prinzip: Vertikales Gleichgewicht actio = reactio Horizontales Gleichgewicht Momentengleichgewicht Dipl.-Ing. Kai Hainlein

17 Gleichgewicht Statik: das zu untersuchende System befindet sich in Ruhe keine Bewegung Annahme: Masseloser Körper F 3 F 2 R Gesucht: Betrag, Angriffspunkt und Richtung der Kraft, damit der Körper unter den einwirkenden Kräften in Ruhe ist (sich nicht bewegt) Bedingung: die Summe aller einwirkenden Kräfte ist Null! Dipl.-Ing. Kai Hainlein

18 Gleichgewicht Kräftegleichgewicht F 2 A = - R F 3 F 2 A = - R F 3 Kräftepolygon ist geschlossen Pfeile haben einen Umlaufsinn Die zum Gleichgewicht des Körpers erforderliche Kraft A entspricht dem Betrag der resultierenden Kraft R und ist zur resultierende Kraft R entgegengesetzt gerichtet Dipl.-Ing. Kai Hainlein

19 Gleichgewicht Momentengleichgewicht M 1 = h F 2 M 2 = F 2 a/2 h h Drehpunkt A Kein Kippen: M 1 M 2 = 0 h-f 2 a/2 = 0 F 2 = 2h/a a/2 a/2 Drehpunkt A Dipl.-Ing. Kai Hainlein

20 Gleichgewicht Überlegungen zum Kippen V V V H H H h R h h a/2 a/2 a/2 a/2 R a/2 a/2 R Kippen gerade nicht kippen kein Kippen Dipl.-Ing. Kai Hainlein

21 Zerlegen von Kräften Kernsatz der Statik: Findet jede an einem Körper wirkende Kraft eine gleich große Gegenkraft und findet jedes Moment ein gleich großes Gegenmoment, so befindet sich der Körper in Ruhe. Die Summe aller an ihm wirkenden Kräfte und Momente ist NULL. Für ebene Systeme, bezogen auf des kartesische Koordinatensystem gilt somit: Summe der Kräfte in X-Richtung ist Null Σ F x = 0 Summe der Kräfte in Y-Richtung ist Null Σ F y = 0 Summe der Momente ist Null Σ M = Dipl.-Ing. Kai Hainlein

22 Gleichgewicht Das Einhalten des Gleichgewichts ist die Grundlage zu: der Bestimmung des Lastangriffspunktes von Resultierenden der Bestimmung des Flächenschwerpunktes von Bauteilen der Bestimmung der Schwerachsen von Bauteilen der Berechnung der Auflagerreaktionen von Bauteilen der Berechnung der inneren Beanspruchungen in Bauteilen dem Nachweis der Standsicherheit von Tragwerken Dipl.-Ing. Kai Hainlein

23 Gleichgewicht Stabiles Gleichgewicht Druckstab (Stütze) labil indifferentes Gleichgewicht labiles Gleichgewicht Zugelement (Pendel) stabil Dipl.-Ing. Kai Hainlein

24 Gleichgewicht a A F A F D a D F D Gewicht der Hülle F A Auftriebskraft öffnen: F A a A > F D a D Dipl.-Ing. Kai Hainlein