In den folgenden Erklärungen und Beispielen gelten folgende Begriffe: F A *l = F 1 *l 1 + F 2 + l 2 M r = M l

Transkript

1 Belasteter Träger In den folgenden Erklärungen und Beispielen gelten folgende Begriffe: M R M L F o F u l l x Summenzeichen rechtsdrehendes Drehmoment, in Uhrzeigerrichtung linksdrehendes Drehmoment, gegen die Uhrzeigerrichtung Kraft nach oben Kraft nach unten Hebellängen, Radien der Drehmomente Es gelten 2 Gesetze, wenn der Träger ruht: 1) Summe aller rechtsdrehenden Drehmomente = Summe aller linksdrehenden Drehmomente 2) Summe aller Kräfte nach oben = Summe aller Kräfte nach unten Um die Auflagekraft berechnen zu können, wird der Auflagepunkt B als Drehpunkt angenommen. Die Drehmomente werden wie folgt berechnet: *l = F 1 *l 1 + F 2 + l 2 M r = M l Die Auflagekraft F B wird über die Kräftesumme berechnet: + F B = F 1 + F 2 F B = F 1 + F 2 - Es ist zu bedenken, dass der Träger selbst auch ein Gewicht hat und dass diese Gewichtskraft in der Zeichnung mit F 1 bezeichnet und genau in der Mitte zwischen den Auflagepunkten angesetzt wurde. Würden die rechts- und linksdrehenden Drehmomente oder die Kräfte nach oben und nach unten nicht gleich groß sein, so würde sich der Träger bis zu einem Gleichgewichtszustand bewegen. Nur im Stillstand heben diese Kräfte und Drehmomente einander auf, da sie jeweils gleich groß und entgegengesetzt gerichtet sind. Mathe-Hilfe-belasteter Träger- Kräfte Seite 1

2 Beispiele: Aufgabe 1 l = 3m, l 1 = 1m, F G = 1065N, F = 600N Die Gewichtskraft FG ist in der Mitte angesetzt, der Abstand zu den Auflagepunkten ist l/2 also 1,5m. Wie vorher erklärt wird ein Auflagepunkt (B) als Drehpunkt definiert um die Auflagekraft des anderen Auflagepunktes (A) mit der Drehmomentengleichung zu berechnen. l F l 1 F G B * l = F * l 1 + F G * l/2 732,5 N Als zweiter Schritt wird nun die Auflagekraft des Auflagepunktes B mit der Kräftegleichung berechnet. + F B = F + F G F B = F + F G - F B = 600N +1065N -732,5N F B = 932,5N Zur Kontrolle wird nun die Auflagekraft in Punkt B mit der Drehmomentengleichung berechnet. l F B * l = F * l 2 + F G * l/2 F B = l 2 F F B = F B = 932,5 N A F G F B Es ist gleiche Ergebnis wie in der ersten Berechnung, daher sind die beiden Berechnungen richtig wzbw. Mathe-Hilfe-belasteter Träger- Kräfte Seite 2

3 Es ist auch möglich, die Gewichtskraft des Trägers je zur Hälfte auf beide Auflager aufzuteilen und die Berechnung der einwirkenden Kräfte, ohne die Gewichtskraft durzuführen. Das ergibt einen etwas einfacheren Rechengang: F`A* l = F * l 1 F`A= l F l 1 F`A = = 200N B F`A + 200N + 532,5N = 732,5 N.. Wie vorher berechnet. F B wird wie vorher berechnet: + F B = F + F G F B = F + F G - F B = 600N +1065N -732,5N F B = 932,5N Mathe-Hilfe-belasteter Träger- Kräfte Seite 3

4 Aufgabe 2 Bei diesem Beispiel werden die Gewichtskräfte der Welle und der Riemenscheiben vernachlässigt, da sie prozentuell zu den Riemenkräften gering sind. Begonnen wird wieder mit der Drehmomentengleichung. Der Auflagepunkt A wird Drehpunkt, da von ihm aus die Abstände der Kräfte angegeben und daher die Drehmomente leichter zu berechnen sind. F B * 1m = F 1 * 0,2m + F 2 * 0,7m F B = F B = F B = 2200 N Als zweiter Schritt wird nun die Auflagekraft des Auflagepunktes A mit der Kräftegleichung berechnet. + F B = F 1 + F 2 F 1 + F 2 F B 4000N +2000N -2200N 3800N Zur Kontrolle wird nun die Auflagekraft im Punkt A mit der Drehmomentengleichung berechnet... zu beachten ist, dass die Abstände vom Punkt B aus zu nehmen sind! * 1m = F 1 * 0,8m + F 2 * 0,3m 3800N Es ist dasselbe Ergebnis wie in der ersten Berechnung, daher sind die beiden Berechnungen richtig wzbw. Mathe-Hilfe-belasteter Träger- Kräfte Seite 4

5 Aufgabe 3 Auch bei diesem Beispiel werden die Gewichtskräfte der Welle und des Fräsers vernachlässigt, da sie prozentuell zu der Schnittkraft gering sind. Begonnen wird mit der Drehmomentengleichung. Das Lager im Punkt B wird als Drehpunkt angenommen. Die Drehmomente werden in N/mm berechnet und verglichen * 420mm = F C * 120mm 714 N Als zweiter Schritt wird nun die Auflagekraft des Lagers beim Punkt B mit der Kräftegleichung berechnet. + F B = F C F B = F C F B = 2500N - 714N L F B = 1786N Es ist zu erkennen, dass dieses Lager höher belastet ist, als das Lager beim Punkt A, da auch der Fräser näher beim Punkt B liegt. Zur Kontrolle wird nun die Auflagekraft im Punkt B mit der Drehmomentengleichung berechnet... zu beachten ist, dass die Abstände vom Punkt A aus zu nehmen sind! F B * 420mm = F C * 300mm F B = 1786N Es ist dasselbe Ergebnis wie in der ersten Berechnung, daher sind die beiden Berechnungen richtig wzbw. Mathe-Hilfe-belasteter Träger- Kräfte Seite 5

6 Aufgabe 4 Das Besondere bei diesem Beispiel ist, dass eine Kraft außerhalb eines Abstützpunktes liegt. Ist das Drehmoment durch diese Kraft größer, als das Drehmoment durch die Gewichtskraft, kippt der Kran um den Punkt B nach außen. Begonnen wird wieder mit der Drehmomentengleichung. Der Auflagepunkt A wird Drehpunkt, die jeweiligen Abstände der Kräfte von diesem Drehpunkt müssen aus der Zeichnung berechnet werden. F 1 * 2,5m + F 2 * 8m = F B * 5m F B = F B = F B = 232 kn Als zweiter Schritt wird nun die Auflagekraft des Auflagepunktes A mit der Kräftegleichung berechnet. + F B = F 1 + F 2 F 1 + F 2 F B 400kN +20kN -232kN 188kN Zur Kontrolle wird nun die Auflagekraft im Punkt B mit der Drehmomentengleichung berechnet... zu beachten ist, dass die Abstände vom Punkt B aus zu nehmen sind! * 5m + F 2 * 3m = F 1 * 2,5m 188N Es ist dasselbe Ergebnis wie in der ersten Berechnung, daher sind die beiden Berechnungen richtig wzbw. Mathe-Hilfe-belasteter Träger- Kräfte Seite 6

7 Aufgabe 5 Wichtig ist wieder, dass bei den Drehmomentengleichungen, die Abstände vom jeweiligen Drehpunkt angegeben werden. Diese sind aus der Skizze zu entnehmen. Die Auflage B wird als Drehpunkt gewählt, da alle Kräfte nur auf einer Seite (links) ansetzen. In die Drehmomentengleichung wird eingesetzt: F 1 * 0,34m + * 0,28m = F 2 * 0,2m + F 3 * 0,08m daraus = = 0,107kN = 107N + F B + F 1 = F 2 + F 3 daraus F B = F 2 + F 3 F N +1000N -1500N + 107N *) = 1607N Zur Kontrolle wird nun die Auflagekraft im Punkt B mit der Drehmomentengleichung berechnet. F 1 * 0,06m + F 2 * 0,08m + F 3 * 0,2m = F B * 0,28m daraus F B = = = = = 1,6kN = 1607N *) diese + 107N kommen zustande, da an sich in der Gleichung zu subtrahieren wäre, da aber negativ ist, also 107N beträgt, müssen +107N addiert werden. Mathe-Hilfe-belasteter Träger- Kräfte Seite 7

8 Neues Beispiel: Auf eine Welle wirken die Kräfte F 1 = 19kN, F 2 = 14,4kN, F 3 = 6,5kN, Abstände siehe Zeichnung. Berechne die Auflagekräfte in A und B. 19kN 14,5kN 6,5kN F 1 F B F 3 Es gelten folgende Zusammenhänge: Summe der rechtsdrehenden Momente ist gleich der Summe der linksdrehenden Momente. Summe der Kräfte nach oben ist gleich der Summe der Kräfte nach unten. Der Auflagepunkt A wird als Drehpunkt gewählt und daraus die Auflagekraft F B berechnet: 19kN 14,5kN 6,5kN F 1 F 3 F 1 * 88mm + F 2 * 208mm + F 3 * 418mm = F B * 343mm Daraus aufgelöst nach F B A F B F B = = 21,59kN + F B = F 1 + F 2 + F 3 Aufgelöst nach ".. F 1 + F 2 + F 3 - F B = 19kN + 14,5kN + 6,5kN 21,59kN = 18,41kN Zur Kontrolle wird die Kraft mit den Drehmomenten berechnet, Drehpunkt im Punkt B. * 343mm + F 3 * 75mm = F 1 * 255mm + F 2 * 135mm 19kN 14,5kN 6,5kN F 1 F 3 Daraus aufgelöst nach = B = = 18,41kN wzbw Mathe-Hilfe-belasteter Träger- Kräfte Seite 8

9 Nur für mathematische Fundamentalisten (Mathefundis) und Lernende mit starken Nerven: An sich gibt es in diesem Beispiel zwei Unbekannte, FA und FB, die berechnet werden sollen. Bei zwei Unbekannten sind auch zwei unabhängige Gleichungen erforderlich. F 1 Drehpunkt beliebig gewählt F 3 Diese sind auch gegeben durch, nämlich: und F B L1 L2 L31 L32 L4 Üblicher Weise wird aus einer Formel eine Unbekannte errechnet und diese wir dann in die zweite Formel eingesetzt. Aus der Kräfte-Gleichung wird F B durch die anderen Kräfte ausgedrückt: 1. Gleichung: = + F B = F 1 + F 2 + F 3 daraus F B = F 1 + F 2 + F 3 2. Gleichung: *(L 1 +L 2 +L 31 ) + F 3 *(L 4 + L 32 ) = F B *L 32 + F 2 *L 31 + F 1 *(L 31 + L 2 ) F B einsetzen, wie aus 1. Gleichung errechnet: *(L 1 +L 2 +L 31 ) + F 3 * (L 4 + L 32 ) = (F 1 + F 2 + F 3 ) * L 32 + F 2 *L 31 + F 1 * (L 31 + L 2 ) Klammern ausrechnen: *L 1 + *L 2 + *L 31 + F 3 *L 4 + F 3 *L 32 = F 1 *L 32 + F 2 *L 32 + F 3 *L 32 *L 32 + F 2 *L 31 + F 1 *L 31 + F 1 *L 2 Alle Produkte mit auf die linke Seite der Gleichung: L 1 + *L 2 + *L 31 + *L 32 = F 1 *L 32 + F 2 *L 32 + F 3 *L 32 + F 2 *L 31 + F 1 *L 31 + F 1 *L 2 - F 3 *L 4 - F 3 *L 32 Alle Produkte mit gleichen Kräften zur besseren Übersicht nebeneinander anordnen: * (L 1 + L 2 + L 31 + L 32 ) = F 1 *L 32 + F 1 *L 31 + F 1 *L 2 + F 2 *L 32 + F 2 *L 31 + F 3 *L 32 - F 3 *L 4 - F 3 *L 32 Aus allen Produkten mit gleichen Kräften, diese herausheben; 2 Produkte heben einander auf: * (L 1 + L 2 + L 31 + L 32 ) = F 1 * (L 32 + L 31 + L 2 ) + F 2 *(L 32 + L 31 ) - F 3 * L 4 Endgleichung für durch Division durch (L 1 + L 2 + L 31 + L 32 ) ergibt: Werte einsetzen: = 18,41kN Den nun errechneten Wert für in die Kräftegleichung einsetzen: F B = F 1 + F 2 + F 3 19kN + 14,5kN + 6,5kN 18,41kN = 21,59kN Beide Ergebnisse sind mit der Berechnung auf der Vorderseite ident, daher richtig! Wenn der Aufwand dieser Methode zuerst allgemeine Auflösung der Gleichungen durch ableiten und einsetzen betrachtet und ein Vergleich mit der Berechnung auf der Vorderseite angestellt wird, ist zu erkennen, dass diese Methode viel aufwändiger und vor allem fehleranfälliger ist, daher ist die einfachere Berechnung der Vorderseite jedenfalls vorzuziehen. Mathe-Hilfe-belasteter Träger- Kräfte Seite 9