E1 Mechanik Musterlösung Übungsblatt 6

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1 Ludwig Maximilians Universität München Fakultät für Physik E1 Mechanik Musterlösung Übungsblatt 6 WS 214 / 215 Prof. Dr. Hermann Gaub Aufgabe 1 Zwei Kugeln der gleichen Masse mit den Geschwindigkeiten v und 3 v stoßen elastisch aufeinander. Der Ablenkungswinkel im Schwerpunktsystem sei θ. Zeigen Sie, dass der Winkel α im Laborsystem immer größer 9 ist. [Hinweis]Überlegen Sie wie die Geschwindigkeiten der Kugeln im Schwerpunktsystem aussehen und transformieren Sie das ins Laborsystem. Zuerst berechnet man die Geschwindigkeit des Schwerpunktsystems, die durch u = m v 1 + m v 2 m 1 + m 2 = m( v 3 v) 2m = v (1) gegeben ist. Die Geschwindigkeiten der Kugeln im Schwerpunktsystem sind also 2v und 2v. Dann berechnen wir die Komponenten der Endgeschwindigkeiten nach dem Stoß. Wenn die 1

2 x-achse parallel zu v ist, dann sind im Schwerpunktsystem die Anfangsgeschwindigkeiten ( ) ( ) 2v 2v u 1 =, u 2 = (2) Der Impulserhaltungssatz bei gleichen Massen besagt, dass auch die Endgeschwindigkeiten entgegengesetzt sind, also: ( ) ( ) ( ) 2v 2v cos(θ) U 1 = cos(θ) + sin(θ) = (3) 2v 2v sin(θ) Diese Geschwindigkeiten werden nun zurück ins Laborsystem transformiert, indem u = zu den beiden Vektoren dazu addiert wird: V 1 = ( 2 cos(θ) 1 2 sin(θ) ) v ; V2 ( 2 cos(θ) 1 2 sin(θ) ( v ) ) v (4) Also sind V 1 und V 2 Geschwindigkeiten im Laborsystem. Der Winkel α, den die beiden Vektoren einschließen berechnet man wie folgt: V cos(α) = 1 V 2 (2 cos(θ) 1)( 2 cos(θ) 1) + (2 sin(θ))( 2sin(θ)) V 1 V = 2 (2 cos(θ) 1) sin 2 (θ) (2 cos(θ) + 1) sin 2 (θ) = 1 4 cos2 (θ) 4 sin 2 (θ) 3 = 5 4 cos(θ) cos(θ) cos 2 (θ) (5) (6) Wie man hier sehen kann ist der cos(α) immer negativ. Dadurch ist klar, dass α immer größer als 9 ist. Aufgabe 2 Ein Wagen (Leergewicht M=5 g) bewegt sich reibungsfrei auf einer Ebene mit der Geschwindigkeit v = 1 m s in x-richung. Auf dem Wagen ist eine Wanne mit vernachlässigbarer Masse und der Grundfläche A = 6m 2 mit der offenen Seite nach oben befestigt. Plötzlich zur Zeit t =, setzt ein Platzregen mit 18 Litern pro Stunde und Quadratmeter ein. Die Regentropfen fallen senkrecht. [Hinweis] Sie mögen das Integral 1 a+bx dx = 1 b ln(a + bx) + C nützlich finden. a) Gilt hier der Impulserhaltungssatz? Gilt der Energieerhaltungssatz? Es gilt der Impulserhaltungssatz aber nicht der Energieerhaltungssatz, da ein inelastischer Stoß vorliegt. b) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Wagens als Funktion der Zeit? Zu beachten ist, dass wegen der Impulserhaltung gilt: p = mv = m v = m(t)v(t) (7) 2

3 d.h. die Masse ist nicht konstant, da sie eine Funktion der Zeit ist. dm dt = 18 1 kg hm 2 6m2 = 18 36sm 2 6m2 =, 3 kg s da ein Liter Wasser natürlich einen Kilogram Wasser entspricht. Integriert man nun dm dt, so ergibt sich m(t) = m +, 3kgs 1 t (9) Die Gleichung der Impulserhaltung (7) lässt sich nun nach v(t) auflösen: v(t) = m v m(t) =, 5kg 1 m s, 5kg +, 3kgs 1 t = 5m, 5s +, 3kgs 1 t (8) (1) c) Kommt der Wagen innerhalb der endlichen Strecke zum Stehen? Begründen Sie ihre Antwort durch Rechung. Die zurückgelegte Strecke lässt sich durch Integration von v(t) ermitteln: 5m s(t) =, 5s +, 3kgs 1 t dt = 1m dt s 1 +, 6s 1 t = 1, 6 ln(1 +, 6s 1 t) (11) Der Wagen kommt nicht zum Stehen, da ln(x) (12) Anders ausgedrückt: Die Geschwindigkeit wird nie Null, da v(t) 1 t ist. d) Welche Kraft muss aufgebracht werden, um die Geschwindigkeit des Wagens konstant auf dem Wert v zu halten? Die Kraft ist durch die Impulsänderung definiert: Aufgabe 3 F = dp dt = v dm dt = 1m s, 3kg s = 3N (13) Auf einer Stange mit Höhe h = 12m liegt ein Apfel der Masse M =, 5kg. Es wird von einer Kugel der Masse m = 5g) durchschossen. Die Kugel fällt dreimal so weit von der Stange zur Erde wie der Apfel. Der Abstand zwischen den Auftreffpunkten ist d = 16m. Beide Körper sind als Massenpunkte anzusehen. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9, 81 m s 2. 3

4 a) Was kann man beim inelastischen Stoß über den Gesamtimpuls und über die kinetische sowie die Gesamtenergie aussagen? Werden diese Größen erhalten? Beim inelastischen Stoß wird der Gesamtimpuls erhalten: p Kugel = p Kugel + p Apfel (14) mv Kugel = mv Kugel + mv Apfel (15) Die kinetische Enerige wird nicht erhalten. Allerdings wird die Gesamtenergie erhalten, da beim Durchschuss Wärme erzeugt wird: E kin = E kin + W (16) b) Wie groß war die ursprüngliche Geschwindigkeit der Kugel vor dem Stoß? Die Ursprüngliche Geschwindigkeit der Kugel vor dem Stoß ergibt sich aus der Impulserhaltung(Siehe Gleichung 15). Nun sind die Fallweiten von Apfel und Kugel gegeben durch: Die Kugel fällt dreimal so weit von der Stange zur Erde: v K = v K + M m v A (17) x A = v At und x K = v Kt (18) x K = 3x A (19) Die Fallzeiten von Kugel und Apfel sind natürlich gleich: 2h t = g (2) und deshalb gilt für die Geschwindigkeiten: v K = 3v A (21) Nun lässt sich der Abstandt d ermitteln d = x K x A = (v K v A)t = 2v At (22) und daraus die Geschwindigkeit des Apfels, indem man nach v A auflöst: v A = d 2 g 2h (23) Damit folgt schließlich für die Geschwindigkeit der Kugel vor dem Stoß: v K = (3 + M m )d 2 g 2h = 526, 8m s (24) 4

5 c) Wie viel Wärme wurde beim Durchschuss erzeugt? Die Gesamtenergie bleibt erhalten: Nach der Wärme W aufgelöst ergibt sich daraus: Aufgabe 4 E ges = 1 2 mv2 K = 1 2 mv 2 K Mv 2 A + W (25) W = m 2 (v2 K v 2 K M m v 2 A) = 686, 8J (26) Das Positron e + ist das Antiteilchen des Elektrons e. Treffen ein Elektron und ein Positron aufeinander, dann annhilieren sie sich. Dabei entsteht ein energiereiches Teilchen X als Zwichenzustand, das nach sehr kurzer Zeit wieder zerfällt: e + + e X A + B +... (27) Bei Experimenten am Teilchenbeschleuniger möchte man nun, dass als Zwischenzustand ein Teilchen mit einer möglichst grossen Masse entsteht, damit es in möglichst interessante Endprodukte zerfallen kann. [Hinweis] Benutzen Sie die Erhaltungssätze für relativistische Energie und Impuls. Die Massen von Elektron und Positron sind gleich: m e = 511 kev. Mit Masse ist generell immer die Ruhemasse gemeint. a) Zeigen Sie allgemein, dass die Masse des Zwischenzustandes immer grösser oder gleich der Massensumme der beiden reagierenden Teilchen ist. Betrachten Sie dazu nur den einfachen Fall, dass das Teilchen 2 ruht und beweisen Sie für diesen Fall die Gleichung: m X = m m m 1m 2 γ 1 (28) Wir bezeichnen die beiden einlaufenden Teilchen mit 1 und 2 und den Zwichenzustand mit einem Strich. Dann gelten die Erhaltungssätze für Impuls und Energie: Impuls : m γ v = m 1 γ 1 v 1 (29) Energie : m γ = m 1 γ 1 + m 2 (3) Das sind zwei Gleichungen für die beiden Unbekannten m und v des Zwichenzustands. (γ ist eine bekannte Funktion von v.) Wir bestimmen zunächst v durch Division der beiden Erhaltungssätze: v = m 1γ 1 v 1 m 1 γ 1 + m 2 (31) 5

6 Dann folt m aus der Energieerhaltung: m = m 1γ 1 + m 2 γ = (m 1 γ 1 + m 2 ) = m 2 1 γ2 1 1 m 2 1 γ2 1 v2 1 (m 1 γ 1 + m 2 ) 2 = (m 1 γ 1 + m 2 ) 2 m 2 1 γ2 1 v 2 1 (32) ( ) 1 v m 1 m 2 γ 1 + m 22 = m m m 1m 2 γ 1 (33) Für v 1 =, d.h. γ 1 = 1, ist die Masse m des Zwichenzustands also m = m m m 1m 2 γ 1 = m 1 + m 2 (34) Sobald Teilchen 1 aber mit von Null verschiedener Geschwindigkeit auf Teilchen 2 trifft, ist γ 1 > 1 und daher auch m = m m m 1m 2 γ 1 > m 1 + m 2 (35) b) Berechnen Sie die kinetische Energie, mit der man Positronen auf ruhende Elektronen schiessen muss, damit der Zwichenzustand eine Masse von 9 GeV hat. Verwenden Sie dazu die Gleichung aus Teil a). Wir können die in a) hergeleitete Formel für m verwenden und diese nach m 1 γ 1 auflösen: m = m m m 1m 2 γ 1 (36) aufgelöst nach m 1 γ 1 ergibt: Also für das Elektron-Positron-Reaktion: Die kinetische Energie des Positrons ist also: m 1 γ 1 = 1 2m 2 (m 2 m 2 1 m 2 2) (37) E e + = m e γ e + = 1 2m e (m 2 2m 2 2) (38) K e + = E e + m e = 1 2m e (m 2 4m 2 2) (39) ( 1 = kev (9 GeV )2 4 (511 kev ) )2 = 7, GeV (4) Zum Vergleich: Mit heutiger Technologie kann man Positronen und Elektronen auf Energien von etwa 1 GeV beschleunigen. 6

7 c) In einem sog. Speicherring kreisen Elektronen und Positronen derselben Energie in entgegengesetzter Richtung und werden an bestimmten Punkten zur Kollision gebracht. Berechnen Sie die kinetische Energie, auf die man Elektronen und Positronen in einem Speichering beschleunigen muss, damit der bei der Kollision entstehende Zwischenzustand auch eine Masse von 9 GeV. Wir gehen wieder von den Erhaltungssätzen aus, diesmal aber in der Form: Impuls : m γ v = (41) Energie : m γ = 2m e γ (42) Denn der Gesamtimpuls des kollidierenden e + e - Paares verschwindet, da sich beide Teilchen mit gleicher Energie (also wegen gleicher Masse mit gleicher Geschwindigkeit, als auch gleichem Impuls) in entgegengesetzte Richtung bewegen. Ihre Energien sind dann jeweils m e γ. Aus der Impulserhaltung ergibt sich sofort v =, also γ = 1, und damit aus der Energieerhaltung: m e γ = 1 2 m (43) Die nötige Energie des Elektrons bzw. Positrons im Speichering ist also genau die Hälfte der Ruheenergie des zu erzeugenden Zwichenzustands, d.h. E e = E e + = 45GeV (44) Das ist ein sehr plausibles Ergebnis. Und es ist extrem viel weniger als die benötigte Energie bei ruhendem Target. Die kinetische Energie K von Elektron bzw. Positron ist sogar noch ein wenig kleienr, da man von E noch die Ruheenergie der Teilchen E = m e = 511keV abziehen muss. Der Unterschied ist aber hier verschwindend gering. 7