Übungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 2213 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 2005/06

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1 Übungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 2213 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 25/ November 25 Übungsblatt Lösungsvorschlag 3 Aufgaben, 8 Punkte Aufgabe 1 Bergsteiger 2 P z z G Wind z H I II g x G x Abbildung 1: Bergsteiger Zwei Bergsteiger, die gleich groß und schwer sind, wollen vom Tal (Ursprung) eine Hütte bei (, z H ) besuchen. Bergsteiger I will über den Gipfel bei (x G, z G ) steigen. Sein Weg kann als Parabel z (x x G ) 2 + z G mit x [, ] beschrieben werden. Der Bergsteiger II hat sich für den direkten Weg zur Hütte entschieden. Momentan herrscht Windstille. Die Hütte ist in x- Richtung 1.5 mal weiter entfernt als der Gipfel. 1.a) Wähle eine geeignete Paramertisierung der Wege, und bestimme die Abhängigkeiten zwischen x G, z G,, und z H. Die weiteren Ergebnisse sollen wenn möglich in Abhängigkeit von x G angegeben werden. Wählt man als Parametrisierung t x, so erhält man die Ortsvektoren Und die Geschwindigkeiten r I (t) r II (t) t e x + ( (t x G ) 2 + z G ) e z t e x + z H t e z r I (t) e x + 2(x G t) e z r II (t) e x + z H e z.1

2 Da x t gewählt wurde ist der Startpunkt t a und der Endpunkt t e für beide Bergsteiger Abhängigkeiten: 3 2 x G ( x G ) 2 + z G z G z H x 2 G ( x G ) 2 + z G 1 4 x2 G + z G 3 4 x2 G 1.b) Welche Arbeit muss jeder Bergsteiger verrichten? Kurvenintegral: E t a r(t) F( r(t))dt Arbeit, die an Bergsteiger I verrichtet wird: E I ri (t) m g dt t a xh ( e x + 2(x G t) e z ) m( g) e z dt 2mg(x G t)dt 2mg( 1 2 t2 x G t) 2mg( 1 2 x2 H x G ) 2mg( 9 8 x2 G 3 2 x2 G) 3 2 x G 2mg 3 8 x2 G 3 4 mgx2 G Arbeit, die an Bergsteiger II verrichtet wird: E II t a xh mgz H rii (t) m g dt ( e x + z H e z ) m( g) e z dt mg z H dt 3 4 mgx2 G z H 3 4 x2 G Beide Bergsteiger verrichten also die gleiche Arbeit, auch wenn es I nicht so vorkommen mag..2

3 1.c) Im Herbst wollen die Bergsteiger wieder auf ihren Wegen zur Hütte wandern. Diesmal bläßt ein Wind, der eine ständig wirkende Kraft FW (z) F W z e x verursacht. Welche Arbeit müssen die Bergsteiger dieses mal verrichten? Der Wind weht nur aus der x-richtung. Deshalb kann man die Arbeit gegen den Wind einfach zur Arbeit gegen die Schwerkraft (nur in z-richtung) addieren um die gesammte Kraft zu erhalten. Es ist zu Beachten, dass sich die Parametrisierungen für z unterscheiden. E I,W t a xh ri (t) F W (z)dt ( e x + 2(x G t) e z ) ( F W )z e x dt F W ( (t x G ) 2 + z G )dt F W ((t x G ) 2 x 2 G)dt F W t 2 2tx G dt ( ) xh 1 F W 3 t3 t 2 x G ( ) 1 F W 3 x3 H x 2 Hx G F W ( 9 8 x3 G 9 4 x2 G x G ) z G x 2 G 3 2 x G 9 8 x3 GF W Insgesammt muss der Bergsteiger I E I 3 4 mgx2 G x3 G F W Arbeit verrichten. E II,W t a xh rii (t) F W (z)dt ( e x + z ) H e z ( F W )z e x dt F W z H t dt F W z H 1 2 x2 H 1 2 F Wz H 1 2 F 3 W 4 x2 G 9 16 F Wx 3 G 3 2 x G z H 3 4 x2 G, 3 2 x G Insgesammt muss der Bergsteiger II E II 3 4 mgx2 G x3 G F W Arbeit verrichten. Gegen die Gravitation ist die Arbeit gleich der für Bergsteiger I, aber gegen den Wind nur halb so groß. 1.d) Jeder Bergsteiger wiegt (mit Gepäck) 83.4 kg, der Gipfel ist 1141 m hoch. Die Schwerebeschleunigung beträgt 9.81 m s 2 in z-richtung. Die Windstärke 1 beträgt F W 2.31 kg s 2. 1 Die hier eingeführte Windstärke ist natürlich keine brauchbare physikalische Größe..3

4 m v M (1) (2) (3) h Abbildung 2: Ballistisches Pendel vor (1) und während (2) dem Stoß sowie beim Umkehrpunkt (3) Ohne Wind: E I E II 7 kj gegen den Wind: E I,W 1 kj bzw. E I,W 5. kj gesammt: E I,g 8 kj bzw. E I,g 75 kj Aufgabe 2 Ballistisches Pendel 3 P Eine Kugel mit der Masse m trifft mit der Geschwindigkeit v senkrecht auf den Schwerpunkt eines ruhenden Klotzes mit der Masse M. Dieser ist als ballistisches Pendel aufgehängt (siehe Abb. 2). Infolge des Rückstoßes (mit der Geschwindigkeit ) wird der Klotz auf die Höhe h angehoben. Führe die Rechnungen jeweils für den inelastischer Stoß (die Kugel bleibt im Klotz stecken) Es gilt Impulserhaltung: mv (m + M) mv m + M Die kinetische Energie wird in potentielle umgewandelt weitere Umformungen: 1 2 (m + M) 2 (m + M)gh h 2 h 2g v M + m m v 2 2g (m + M) 2 M v und den elastischen Stoß: (Die Kugel prallt vom Klotz ab) m.4

5 Es gilt Impulserhaltung: mv M + mv v v M m und Energieerhaltung: 1 2 mv2 1 2 M mv 2 mv 2 M 2 + m (v Mm ) 2 mv 2 M 2 + mv 2 2Mv + M2 m M m 2 2v ( ) M + m m 2v Die Höhe erhält man wieder aus h 2 h 2mv M + m 2g 2 v 2 g (M + m) 2 weitere Umformungen: v M + m 2m M 2v aus. Berechne die folgenden Größen aus den jeweiligen Angaben: gegeben gesucht inelastischer Stoß elastischer Stoß 2.a) m, M, v, h mv m+m h m2 v 2 2mv 2g(m+M) 2 m+m h 2m2 v 2 2.b) m, M, h v, v M+m gh 2gh v M+m gh 2gh 2.c) v,, h m, M keine Lösung möglich keine Lösung möglich 2.d) m, v, h M, M v 2gh 2gh m 2gh M 2v 2gh 2gh m 2gh 2.e) m, M, v, h v M+m m h 2 2g v M+m 2m h 2 2g 2.f) M,, h m, v keine Lösung möglich keine Lösung möglich Es ist zu beachten, dass und h über Konstanten ineinander umgeformt werden können und deshalb nicht voneinander unabhängig sind. Eine Lösung ist deshalb nicht möglich wenn beide vorgegeben werden. m g(m+m) 2.5

6 Aufgabe 3 Hantel 3 P Zwei Massen m 1 und sind durch eine (massenlose) Stange der Länge l miteinenander verbunden. Jemand wirft diese Hantel irgentwan in eine beliebige Richtung. 3.a) Formuliere die Bewegungsgleichung für die Hantel im Schwerefeld der Erde x r 1 Auf die Massen wirken zwei Kräfte: die Schwerkraft der Erde F g mg e z und die Kraft F, die die z beiden Massen auf einen festen Abstand zueinader hält. Die Bewegungsgleichungen der beiden Sp Massenpunkte sind deshalb r r m 1 r1 m 1 g e z + F 2 1 R 2 r2 g e z + F 1 2 y Wegen Actio ist Reaktio muss F 2 1 F 1 2 F gelten. Da die Kräfte immer entlang der Stange (Richtung: r l ) wirken ist die Kraft F F r Abbildung 3: Hantel also können die BWGln geschrieben werden als: m 1 r1 m 1 g e z + F ( r 2 r 1 ) r2 g e z F ( r 2 r 1 ) Es handelt sich um zwei gekoppelte DGln zweiter Ordnung. 3.b) Transformiere die Bewegungsgleichung in das Schwerpunktsystem. Relativvektor Schwerpunkt bzgl. Abwurfpunkt: Inverse Transformation: r 2 r r 2 r 1 mit r l R m 1 r 1 + r 2 m 1 + r 1 + r R m 1 r 1 + ( r 1 + r) m 1 + R r 1 + r m 1 + r 1 R r m 1 + m 1 r 2 R r + r m 1 + r 2 R m 1 + r m 1 +.6

7 BWGln: ( ) d 1 R dt 2 m 1+ r m 1 g e z + F( r) ( ) d 2 R dt + m 1 2 m 1+ r g e z + F( r) { m 1 R + µ r m1 g e z + F r mit µ m 1 R + µ r m2 g e z + F r m 1 + Subtraktion : m 1 R m2 R m1 g e z + g e z BWGl des Schwerpunktes R g e z Addition : (m 1 + ) R + 2µ r (m 1 + )g e z + 2µ r (m1 + )g e z + 2F r (m 1 + )g e z + 2F r BWGl des Abstandes µ r F r 3.c) Löse die Bewegungsgleichungen. Der Schwerpunkt wird durch eine BWGl eines freien Massenpunktes beschrieben. Wählt man die Anfangsbedingungen R() R und R() erhält man: R g e z R g ez + R(t) 1 2 gt2 e z + t + R Für die Relativbewegung, kann man den Ansatz machen: r(t) A cos(ωt) + B sin(ωt) mit ω 2 F µ Wegen der starren Stange ( r(t) l const) muss gelten: l 2 ( A cos(ωt) + B sin(ωt) ) 2 Das ist erfüllbar wenn A 2 B 2 l 2 l 2 A 2 cos 2 (ωt) + B 2 sin 2 (ωt) + A B sin(ωt)cos(ωt) r(t) l ( e A cos(ωt) + e B sin(ωt)) A Dabei sind e A A und e B B B die Richtungsvektoren der Anfangsbedingungen. 3.d) Welche Bahnkurve beschreibt der Relativvektor?.7

8 Betrachtet man den Drehimpuls L R µ r r µl ( e A cos(ωt) + e B sin(ωt)) ( ω e A sin(ωt) + ω e B cos(ωt)) µl ( e A e B ω cos 2 (ωt) + e A e B ω sin 2 (ωt) ) µωl e A e B LR so stellt man fest, dass die Relativbewegung eine Rotation um eine zur e A, e B -Ebene senkrechte Achse ist. (Die Ableitung LR des Drehimpulses verschwindet.) Die Einheitsvektoren e A und e B können als Anfangsbedingung festgelegt werden. 3.e) Bestimme den Bahndrehimpuls des Schwerpunktes der Hantel bezüglich des Abwurfpunktes und seine Ableitung. Unter welcher Bedingung verschwinden beide? Der Drehimpuls ist definiert als L r p L S (m 1 + ) R R (m 1 + ) ( 12 ) gt2 e z + t + R ( gt e z + ) (m 1 + ) ( 12 ) gt2 e z gt e z t R gt e z + R ( (m 1 + ) 3 ) 2 gt2 e z + R ( gt e z ) d dt L S (m 1 + ) d R dt R (m 1 + ) R R + R }{{} R (m 1 + ) R R (m 1 + )g (t e z + R ) e z Falls e z und R e z (senkrechter Wurf über dem Abwurfpunkt) so verschwindet der Drehimpuls und seine Ableitung. 3.f) Berechne die Bahnkurven der beiden Massenpunkte bezüglich des Schwerpunktes und beschreibe sie. Zur Beschreibung der Bewegung beider Massen um den Schwerpunkt führt man am besten folgende ektoren ein: r I r 1 R µ m 1 r r II r 2 R µ r Damit findet man die Bewegung um den Schwerpunkt: r I (t) µ m 1 l ( e A cos(ωt) + e B sin(ωt)) r II (t) µ l ( e A cos(ωt) + e B sin(ωt)) Das sind Kreisbahnen mit den Radien r I µ m 1 l und r II µ l.8