Prof. Liedl Übungsblatt 6 zu PN1. Übungen zur Vorlesung PN1. Übungsblatt 6 Lösung. Besprechung am

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Dirk Beltz
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1 Übungen zur Vorlesung PN1 Übungsblatt 6 Lösung Besprechung a Aufgabe 1: Zentrifuge Eine Zentrifuge habe einen Rotor mit einem Durchmesser von 80 cm. An jedem Ende hängen Schwinggefäße mit einer Masse von je 500g. 80cm m=500g a) Berechnen sie die auf den Rotor wirkende Zentrifugalkraft eines Schwinggefäßes bei Umdrehungen pro Minute (engl: rpm - revolutions per minute). ω = Umdrehungen min = πrad 60s = 2094 rad s F z = mω 2 r = 0.5kg (2094 rad s )2 0.8m = kg m s 2 = 837.6N b) Unter welchen Winkel relativ zu Drechachse stellt sich das Schwinggefäß bei dieser Drehfrequenz? Wie lautet die Lösung für 50 rpm? In senkrechter Richtung wirkt die Gewichtskraft. In radialer Richtung wirkt die Zentrifugalkraft. Daraus ergibt sich der Winkel zur Drehachse als: tan(α) = F Z F G = 837.6N 0.5kg 9.81 m s 2 = α = 89.7 Für 50rpm ergibt sich so: F Z = 11N α = 65.9

2 c) Die gleichförmige Rotation lässt sich beschreiben durch den Ortsvektor ( ) r cos(ωt) r(t) = r sin(ωt) Zeigen sie allgemein, dass der Geschwindigkeitsvektor immer senkrecht zum Radius steht, also dass gilt r(t) v(t) = 0. ( ) rω sin(ωt) v(t) = rω cos(ωt) ( r cos(ωt) r(t) v(t) = r sin(ωt) r(t) v(t) = 0 ) ( rω sin(ωt) rω cos(ωt) ) = r 2 ω sin(ωt) cos(ωt) r 2 ω sin(ωt) cos(ωt) Aufgabe 2: Viskose Widerstandskraft, Scheinkräfte Die Widerstandskraft kleiner kugelförmiger Teilchen in einem Fluid kann durch das Stokes-sche Gesetzt beschrieben werden. Für sie gilt F w = 6πηrv, wobei r den Teilchenradius, η die Viskosität und v die Geschwindigkeit beschreibt. a) Schadstoffpartikel mit 15 µm Durchmesser und einer Dichte von 3 g fallen unter cm 3 5 Ns dem Einfluss der Gravitation aus der Luft (Viskosität η = 1, 810 ) in Richtung der Erdoberfläche. Welche Gleichgewichtsgeschwindigkeit haben die Partikel? Ansatz: F W = F g 6πηrv = mg m = ρv = ρ 4 3 πr3 = v = 2ρr2 g 9η = kg 10 6 m 3 ( ) m s N s = m s 5 Ns Tippfehler in Aufgabenstellung bei η. Berichtigt: η = 1, 8 10 b) Ein Reagenzglas mit einer Luftprobe dieser Schadstoffpartikel soll zentrifugiert werden, um das Absetzen der Partikel am Boden des Reagenzglases zu beschleunigen. Hierzu wird eine Zentrifuge mit Umdrehungen pro Minute verwendet. Berechnen Sie die radiale Geschwindigkeit der Schadstoffpartikel im Reagenzglas, die sich 15 cm vom Mittelpunkt der Zentrifuge entfernt befinden.

3 F W = F Z 6πηrv = mω 2 r v = mω2 R Z 6πηr = kg 10 6 m 3 ( ) 2 ( rad s N s )2 0.15m = m s c) Vergleichen Sie die Zeit, welche die Schadstoffteilchen maximal benötigen, um sich am Boden eines 8 cm hohen Reagenzglases abzusetzen, wenn sie frei fallen und wenn sie mit der als über die Länge des Reagenzglases konstant angenommenen Geschwindigkeit aus Teilaufgabe b) zentrifugiert werden. t = s v t 1 = 0.08m m s t 2 = 0.08m m s = 0.98s = s Aufgabe 3: Leben unterm Mikroskop Betrachten sie ein Bakterium, das im Wasser mit einer Geschwindigkeit von 25 µm s schwimmt. Die Reibungskraft, die es dort erfährt ist F = γv, wobei γ der Reibungskoeffizient ist. a) Berechnen sie die Reibungskraft, wenn der Reibungskoeffizient γ = 20 Ns m beträgt. F = γv = 20 Ns m 25 µm s = N b) Vergleichen sie die Reibungskraft mit der Gewichtskraft des Bakteriums an der Luft. Betrachten sie hierfür das Bakterium als Kugel mit Radius r = 1µm. Die Dichte sei gleich der Wasserdichte (ρ = 1000 kg m 3 ). m = ρv = ρ 4 3 πr3 = 1000 kg m π 1µm3 = kg F G = m g = N = N

4 Aufgabe 4: Energie Erhaltung und Reibung Bei einer Fahrrad Tour durch die Berge starten Sie auf einer Höhe von 700m ü.nn. Sie fahren für zwei Stunden mit einer mittleren Geschwindigkeit von 12 km einen Weg mit h 5% Steigung hinauf und kehren dann in einer Hütte ein. a) Auf welcher Höhe befindet sich die Hütte? Die gefahrene Strecke sind: s = 2h 12 km h = 24km Eine Steigung von 5% bedeutet: tan(α) = 0.05 α = 2.86 o Die bei der Fahrt gewonnene Höhe sind dann: h = s sin(α) = 1197m b) Welche potentielle Energie haben Sie gewonnen, wenn Sie (inklusive Fahrrad) 80kg wiegen? E = mgh = 89kg 9.81 m s m = 939kJ c) Wievlele kilo-kalorien (kcal) müssen Sie mindestens zu sich nehmen um die aufgewendete Energie auszugleichen? 1J = 0.239cal 939kJ = 224kcal d) Für die Abfahrt wählen sie eine Strecke mit 10% Steigung. Welche Geschwindigkeit erreichen Sie aus dem Stand auf einer Strecke von 30m (Reibung kann vernachlässigt werden)?

5 tan(α) = 0.1 α = 5.71 o Höhenunterschied auf 30m Strecke: h = s sin(α) = 2.98m E kin = E pot 1 2 mv2 = mgh v = 2gh = 7.65 m s e) Wie groß ist die Hangabtriebs Kraft? sin(α) = F H Fg F H = sin(α) F g = kg 9.81 m s 2 = 78N f) Für große Geschwindigkeiten kann Reibung nicht vernachlässigt werden. Berechnen Sie die maximale Geschwindigkeit, die Sie ohne Treten erreichen können. Benutzen Sie dazu das Gasreibungs Gesetz mit A c W = 0.3. F W = 1 2 ρac wv 2 ρ Luft = kg m 3 F H = F W v = 2 FH ρ Luft A C W = m s

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