Übungen zu Physik 1 für Maschinenwesen

Transkript

1 Physikdepartent E13 WS 2011/12 Übungen zu Physik 1 für Maschinenwesen Prof. Dr. Peter Müller-Buschbau, Dr. Eva M. Herzig, Dr. Volker Körstgens, David Magerl, Markus Schindler, Moritz v. Sivers Vorlesung , Übungswoche Blatt 5 1. Anziehung i Weltall Zwei Kugeln it jeweils der Masse = 10,0 kg und de Radius R = 10,0 c werden i Weltall fernab von anderen Massen ausgesetzt. Zur Zeit t = 0 ruhen die beiden Kugeln unter eine Abstand der Schwerpunkte von d = 1,00. Aufgrund ihrer gegenseitigen Anziehung beginnen sie, sich aufeinander zuzubewegen. Mit welcher Relativgeschwindigkeit v 0 prallen sie aufeinander? syetrisches Proble: F g,links = F g,rechts (actio = reactio) Gravitation: F g = G 2 = a = v r 2 r: Abstand der Schwerpunkte Idee: Verwende Energiesatz: E pot + E kin = const. Vorlesung: E pot = F dx E pot = 0, wenn Kugeln i Kontakt. Leiste Arbeit gegen Gravitation, u die Kugeln auf Abstand d zu bringen. E pot = Ziel Start F dx = d 2R G 2 r 2 = G 2 ( 1 2R 1 d [ G 2 dr = r ) Dies ist die potentielle Energie, die bis zu Zusaentreffen in kinetische Energie ugewandelt wird. 2 Kugeln: ] d 2R = 2E kin = E pot = v2 ( 1 v = G 2R 1 ) = 5, /s d v ist die Geschwindigkeit i Schwerpunktskoordinatensyste. Gesucht ist die relative Geschwindigkeit v 0 v 0 = 2v = 1, /s Die Gravitationskraft ist i Vergleich zu anderen Kräften (Feder, Coulob, etc.) sehr klein, daher die geringe Geschwindigkeit. Allerdings würden sich die beiden Kugeln auch it dieser geringen Geschwindigkeit v 0 erst nach ca. 8 Stunden treffen. In Erdpraxis verhindert i.d.r. die Reibung derartige Beobachtungen.

2 2. Überlagerung haronischer Schwingungen In der Vorlesung haben Sie die allgeeine Lösung der Schwingungsgleichung kennengelernt. Sie lautet y(t) = c 1 sin(ωt)+c 2 cos(ωt). Dies kann auch als eine Überlagerung zweier haronischer Schwingungen gleicher Frequenz aufgefasst werden. Das Ergebnis ist wieder eine haronische Schwingung gleicher Frequenz und kann geschrieben werden als y(t) = c neu sin(ωt+ ϕ neu ). a) Leiten Sie allgeein c neu und ϕ neu als Funktionen von c 1 und c 2 her. Verwenden Sie dazu die vektorielle Darstellung i Zeigerdiagra. v 1 ist Vektordarstellung der Funktion c 1 sin(ωt), v 2 analog v 1 = c 1, v 2 = c 2 ( ) ( ) c1 cos(ωt) c2 sin(ωt) v 1 = v c 1 sin(ωt) 2 = c 2 cos(ωt) ( ) c1 cos(ωt) c v 1 + v 2 = 2 sin(ωt) = v c 1 sin(ωt)+c 2 cos(ωt) neu 2

3 c neu = v neu = c 2 1 cos2 (ωt)+c 2 2 sin2 (ωt) 2c 1 c 2 cos(ωt) sin(ωt) +c 2 1 sin2 (ωt)+c 2 2 cos(ωt)+2c 1c 2 sin(ωt) cos(ωt) = c c2 2 (Unter Benutzung von cos 2 α+sin 2 α = 1) Berechnung von ϕ neu : tan ϕ neu = c 2 c 1 = y(t) = c 1 sin(ωt)+c 2 cos(ωt) = = ϕ neu = arctan ( c2 c 1 ) c 21 + c22 sin ( ωt+arctan b) Wir betrachten zwei sich überlagernde haronische Schwingungen y 1 (t) = 3,0 cos( π 3 t) und y 2 (t) = 4,0 sin( π 3 t). Geben Sie die Überlagerung in der For y(t) = c neu sin(ωt+ ϕ neu ) an. ( c2 c 1 )) c 1 = 4, c 2 = 3 = c neu = = 5,0 ( ) 3 ϕ neu = arctan 0,64 4 = y(t) = 5,0 sin( π 3 t+0,64) 3

4 3. Zwei Violinen Eine Violine hat vier Saiten (g, d, a, e). Der Grundton der g-saite hat die Frequenz f g = 396 Hz. Eine Violinistin hat ihr Instruent it der Stigabel gestit; der Violinist noch nicht. Wenn auf beiden Instruenten die g-saite gleichzeitig und gleich stark gestrichen wird, hört an eine periodische Schwankung der Lautstärke it einer Frequenz von f S = 2,00 Hz. a) Auf welche Frequenz f 2 ist die g-saite der zweiten Violine gestit? Können Sie die Frequenz eindeutig bestien? f s = f 1 f 2 oder f s = f 2 f 1 Da beide Violinen gleich laut und äquivalent sind, gibt es keine Möglichkeit, aus der Schwebungsfrequenz zu entnehen, ob die falsch gestite Geige höher oder niedriger schwingt als die richtig gestite. f 2 = f 1 f s = 396 Hz 2,00 Hz = 394 Hz oder f 2 = f 1 + f s = 396 Hz+2,00 Hz = 398 Hz b) Nach de Entspannen der g-saite der zweiten Violine treten die Schwebungen bei Zusaenspiel nicht ehr auf. Berechnen Sie die Mischfrequenz f 12, die von den beiden Violinen in Aufgabe a) erzeugt wurde. Hinweis: Wir berücksichtigen für diese Aufgabe nur die Grundfrequenz der Schwingung der Saiten. Saite wird entspannt = Ton wird tiefer = Ton war vorher höher = f 2 = 398 Hz. Mischfrequenz: f 12 = ( f 1 + f 2 )/2 = 397 Hz 4

5 4. Kugel in einer Flüssigkeit Eine Kugel (Radius R, Masse ) ist an einer Feder (Federkonstante D) aufgehängt. Die Kugel taucht in ein Gefäß, das zunächst leer ist. Sie wird aus ihrer Gleichgewichtslage (x = 0) u die Strecke x 0 ausgelenkt und zu Zeitpunkt t = 0 losgelassen. Sie führt anschließend eine freie, ungedäpfte Schwingung aus. a) Stellen Sie die Differentialgleichung für die Auslenkung x(t) auf. Vernachlässigen Sie dabei die Masse der Feder und Luftreibungseffekte. Bestien Sie die spezielle Lösung der Differentialgleichung zu den gegebenen Paraetern. Newton F Feder = Dx ẍ = Dx = ẍ+ D x = 0 it Anfangsbedingungen x(0) = x 0 und ẋ(0) = 0 ist Lösung bekannt Allgeeine Lösung: x(t) = A cos(ω 0 t)+b sin(ω 0 t) Hier speziell x(t) = x 0 cos(ω 0 t) it ω 0 = b) Nun wird das Gefäß it einer Flüssigkeit der Viskosität η und der Dichte gefüllt. Die Kugel ist dabei zu jede Zeitpunkt koplett in die Flüssigkeit eingetaucht. Aufgrund des Auftriebs verschiebt sich der Gleichtgewichtspunkt nach oben. Geben sie den Betrag dieser Verschiebung foreläßig an. D I Gleichgewichtspunkt i Fall ohne Flüssigkeit heben sich Gewichtskraft F G und Federkraft F F auf alter Gleichgewichtspunkt: F F,alt + F G = 0 Auftrieb: F A = Fl g = 4 3 πr3 ρg Fl : Masse der verdrängten Flüssigkeit Sei x der Betrag der Verschiebung des Gleichgewichtspunktes neuer Gleichgewichtspunkt: F A + F F + F G = 0 F F = F F, + F F,alt F A + F F, + F F,alt + F G = 0 }{{} = 0 F A = D x = x = 4πR3 ρg 3D 5

6 c) Der Einfachheit halber ist dieser neue Gleichgewichtspunkt ab jetzt der Ursprung des Koordinatensystes, von de aus wir die Kugel u x 0 auslenken. Die Reibungskraft, die die Flüssigkeit auf die Kugel ausübt, beträgt nach de Stokesschen Gesetz F R = 6πηRv, wobei R der Radius der Kugel und v ihre Geschwindigkeit sind. Wir untersuchen nun das Verhalten der Kugel. Stellen Sie dazu die Bewegungsgleichung in differenzieller For auf. Kräfte auf die Kugel: F Feder = Ds F Reibung = 6πηRṡ F Auftrieb = 4 3 πr3 ρg F G = g i Gleichgewichtspunkt x GG gilt: Dx GG = F Auftrieb + F G = x GG = 1 D (F A+F G ) x GG ist nun der Ursprung des Koordinatensystes = s = x+x GG, ṡ = ẋ F ges = F F + F R + F A + F G F ges = D(x+x GG )+ F R + F A + F G Newton: F ges = Dx F A F G + F R + F A + F G ẍ = Dx 6πηRẋ }{{} F ges = ẍ+ 6πηR ẋ+ D x = 0 d) Es seien nun R = 5,0, = 2,5 g und D = 10,0 N. Für welche Werte der Viskosität η erhalten wir eine schwingende Bewegung, für welche eine kriechende Bewegung? Für welche Werte ist das Syste optial gedäpft? Ansatz (koplexe Zahlen): charakteristisches Polyno Nullstellen: x(t) = Ae kt k 2 + 6πηR k+ D = 0 k 1/2 = 6πηR ( ) ± 6πηR 2 4 D ( ) Diskriinante: D = 6πηR 2 4 D D < 0 = zwei koplex konjugierte Nullstellen (Schwingfall) D > 0 = zwei verschiedene reelle Nullstellen (Kriechfall) D = 0 = eine Nullstelle der Vielfachheit 2 (aper. Grenzfall) 2 6

7 Fasse Diskriinante als Funktion von η auf: ( ) 6πηR 2 D(η) = 4 D D(η kritisch ) = 0 = ηkritisch 2 = 4 D 2 36π 2 R 2 D D η kritisch = ± 9π 2 R 2 = ± 3πR 10,0 N/ 2,5 g η kritisch = = 3,4 kg 3π 5,0 s 0 η < η kritisch = Schwingfall η = η kritisch = aperiodischer Grenzfall η > η kritisch = Kriechfall e) Als letzten Schritt überlassen wir die Kugel nicht sich selbst, sondern regen Sie durch eine periodisch wirkende Kraft f(t) = K cos(ω e t) it K = 11,0 N und ω e = 3,0 s 1 in x-richtung an. Als Flüssigkeit wählen wir Glycerin it einer Viskosität von η = 1,48 kg s und einer Dichte von ρ = 1,26 g/c 3. Wie groß ist die Schwingungsaplitude? Berechnen Sie auch den Betrag der Verschiebung des Gleichgewichtspunkts. Dichte von Glycerin: ρ = 1,26 g/c 3 Betrag der Verschiebung des Gleichgewichtspunkts: aus VL: x = 4πR3 ρg 3D = 0,65 A = in diese Fall ist k s = 6πηR ; K (ω 2 0 ω2 e) 2 +( ks ω e ω 2 0 = D ) 2 = A = 11, kg /s 2 (( ) 2, kg 10,0 N/ (3,0 s 2, kg 1 ) 2) 2 ( ) + 6π 1,48 kg/s 5, ,0 s 2, = 1,102 = 1,1 7

8 f) Zeichnen Sie die Aplitude als Funktion der Erregerfrequenz ω e qualitativ. A(0) = K ω 2 0 ; A(ω e ) > 0 ; li ω e A(ω e) = 0 8