Institut für Mechanik. Universität Kassel. H. Irretier. Schwingungstechnik. Aufgabensammlung

Transkript

1 Institut für Mechanik Universität Kassel H. Irretier Schwingungstechnik Aufgabensalung 8. Auflage 2009

2

3 Herausgeber Der Geschäftsführende Direktor Institut für Mechanik Universität Kassel Organisation und Verwaltung Dr.-Ing. Lothar Schreiber Institut für Mechanik Universität Kassel Mönchebergstr Kassel c 2009 Institut für Mechanik Universität Kassel Mönchebergstr Kassel Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in frede Sprachen, vorbehalten.

4

5

6 Vorwort In der vorliegenden Aufgabensalung sind Übungsaufgaben zur Vorlesung Schwingungstechnik einschließlich ihrer Lösungen zusaengefasst. Sie orientieren sich nach Aufbau und Inhalt an de Buch IRRETIER, H.: Schwingungstechnik,Institut für Mechanik, Universität Kassel, und sind entsprechend den dortigen Kapiteln geordnet. Die Aufgaben gehen zurück auf Übungen und Klausuren zur Lehrveranstaltung Schwingungstechnik innerhalb des gestuften Studienganges Maschinenbau der Universität Kassel. An ihrer Erstellung haben die früheren Mitarbeiter des Instituts für Mechanik Herr Dr.-Ing. M. Hohlrieder, Herr Dr.-Ing. F. Reuter und Herr Dr.-Ing. T. Kreuzinger- Janik aßgeblichen Anteil. Weiter ergänzt wurde die Aufgabensalung von Herrn Dr.-Ing. S. Lindeann, der geeinsa it Frau Dipl.-Ing. A. Böttcher auch die Bilder und Lösungen vollständig überarbeitete. An der Fertigstellung der jetzt vorliegenden Fassung haben Herr MSc F. E. Boru und Dipl.-Ing. D. Strohschein wesentlichen Anteil durch die Anpassung einiger Aufgaben an den aktuellen Inhalt der Vorlesung und ergänzende Korrekturen in der Fragestellungen und Lösungen Kassel, i März 2009 H. Irretier

7

8 INHALTSVERZEICHNIS I Inhaltsverzeichnis 1 Kineatik von Schwingungen Haronische Schwingungen Gedäpfte Schwingungen Exponentiell gedäpfte Schwingungen Linear gedäpfte Schwingungen Modulierte Schwingungen Aplitudenodulation Phasenodulation Aplituden- und Frequenzodulation; Schwebung Nichtperiodische Schwingungen Modellbildungen in der Schwingungstechnik Eleente echanischer Schwingungssystee Eleente diskreter Systee Eleente kontinuierlicher Systee Aufstellen von Bewegungsgleichungen Schwingungen linearer Systee it eine Freiheitsgrad Freie ungedäpfte Schwingungen Mechanische Modelle und ihre Bewegungsgleichungen Lösung der Bewegungsgleichungen Anfangsbedingungen Energiebetrachtungen Freie gedäpfte Schwingungen Viskose Däpfung Erzwungene Schwingungen Beispiele echanischer Ersatzodelle Allgeeine Lösung der Bewegungsgleichungen Sprung- und ipulsförige Anregung Haronische Anregung Periodische Anregung Nichtperiodische Anregung Technische Anwendungen Lösungen 69

9

10 1 1 Kineatik von Schwingungen 1.1 Haronische Schwingungen Aufgabe Kleine Bewegungen eines Pendels nach nebenstehender Skizze können als haronische Schwingungen it der Aplitude ˆq, der Periodendauer T und de Phasenwinkel β vollständig beschrieben werden. Diese Bewegung soll durch die Gleichung q(t) = ˆq c cos ωt + ˆq s sin ωt dargestellt werden. a) Bestien Sie die Kreisfrequenz ω und die Aplituden ˆq c und ˆq s. b) Wie groß ist die Frequenz der Schwingung? q(t) c) Stellen Sie die Schwingung in der Phasenebene dar. Geg.: ˆq = 5 ; T = 2 s ; β = 30 Aufgabe Die Bewegung einer Kugel it der Masse, die nach nebenstehender Skizze an einer Feder it der Federsteifigkeit k befestigt ist, kann als haronische Schwingung beschrieben werden. Zu Zeitpunkt t = 0 sind die Auslenkung q 0, die Geschwindigkeit q 0 sowie der Phasenwinkel β bekannt. a) Berechnen Sie die Aplitude ˆq. b) Wie groß ist die Periodendauer der Schwingung? c) Stellen Sie die Schwingung als Funktion der Zeit dar. k. q(t),q(t) Geg.: q 0 = 1, 732 ; q 0 = 6, s ; β = 30

11 2 1 KINEMATIK VON SCHWINGUNGEN Aufgabe In de Diagra ist die Bewegung eines ungedäpften Ein-Freiheitsgrad-Systes dargestellt. Dabei handelt es sich u eine haronische Schwingung, die durch q(t) = ˆq c cos ωt + ˆq s sin ωt beschrieben werden kann. q / t/s a) Eritteln Sie die Aplituden ˆq c und ˆq s sowie die Kreisfrequenz ω aus de Diagra. Geg.: q(t)

12 1.2 Gedäpfte Schwingungen Gedäpfte Schwingungen Exponentiell gedäpfte Schwingungen Aufgabe Eine exponentiell gedäpfte Schwingung hat das dargestellte Zeitverhalten: 4 q/ T D q 0 q t/s q 2 a) Bestien Sie das logarithische Dekreent und den Däpfungsgrad. b) Wie groß ist die Kreisfrequenz der zugehörigen ungedäpften Schwingung? c) Wie groß ist das Verhältnis zwischen den Kreisrequenzen ω D und ω der gedäpften bzw. ungedäpften Schwingung? Geg.: T D = 0, 2 s ; q 0 = 4 ; q 1 = 5, 4 ; q 2 = 1, 4

13 4 1 KINEMATIK VON SCHWINGUNGEN Aufgabe Die nebenstehende Phasenkurve einer exponentiell gedäpften Schwingung wurde während eines Ausschwingversuches aufgezeichnet. Durch Kalibrierung sind die Geschwindigkeiten zu den Zeitpunkten t 1 und t 2 bekannt. t 1 t 2 q. a) Bestien Sie das logarithische Dekreent und den Däpfungsgrad des Systes. q b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit zu Zeitpunkt t 3. t 3 Geg.: q(t 1 ) = s ; q(t 2 ) = s Aufgabe Nachfolgende Skizze zeigt eine exponentiell gedäpfte Schwingung in koplexer Zeigerdarstellung. Gegeben sind die koplexen Anfangsbedingungen q(t = 0) und q(t = 0). a) Geben Sie das Weg-Zeit-Gesetz in koplexer Schreibweise an. b) Bestien Sie den Faktor A und den Phasenwinkel β [vgl. Gl.(1.2 4)] 1. _ I{q} q _ t = 0 Dt - _ Re{q} c) Unter Verwendung des Ergebnisses aus b) bestie an die Kreisfrequenz des gedäpften Systes sowie den Däpfungsgrad. Geg.: q(t = 0) = 10 + j5 q(t = 0) = s + j s 1 Hinweise auf Gleichungsnuern beziehen sich auf das Buch IRRETIER, H.: Grundlagen der Schwingungstechnik 1. Vieweg-Verlag, Braunschweig/Wiesbaden, 2000

14 1.2 Gedäpfte Schwingungen 5 Aufgabe An eine Schwingungsyste wurde ein Ausschwingversuch durchgeführt. Dabei wurde die Masse u den Weg q 0 ausgelenkt und zu Zeitpunkt t = 0 losgelassen. Mit eine Beschleunigungsaufneher wurde anschließend die Schwingbeschleunigung aufgenoen q//s t/s a) U welche Art von Schwingung handelt es sich? b) Geben Sie einen atheatischen Ausdruck für die Schwingung an und berechnen Sie alle darin enthaltenen Paraeter. c) Wie groß war die Anfangsauslenkung q 0 zur Zeit t = 0? Geg.: q(t) lt. Diagra Aufgabe An de gezeichneten Feder-Masse-Däpfer-Syste wurde ein Schwingungsdiagra aufgenoen q(t) k d q/ t/s

15 6 1 KINEMATIK VON SCHWINGUNGEN Eritteln Sie den Däpfungsgrad der exponentiell gedäpften Schwingung. Geg.: q(t) lt. Diagra Linear gedäpfte Schwingungen Aufgabe Bei einer linear gedäpften Schwingung (wie in nachfolgender Skizze dargestellt) werden zu Zeitpunkt t 1 und t 3 die Aplituden ˆq 1 und ˆq 3 geessen. Die zwischen diesen beiden Punkten liegenden Aplitudenwerte sind nicht bekannt q/ t/s a) Berechnen Sie die de Däpfungsgrad entsprechende Kenngröße D und die Kreisfrequenz ω [vgl. Gl(1.2 18)]. b) Stellen Sie die Gleichung der Hüllkurve g D auf. c) Zu welche Zeitpunkt t E ist die Schwingung abgeklungen? Geg.: t 1 = 2 s ; t 3 = 6 s ; ˆq 1 = 8 ; ˆq 3 = 6, 5

16 1.3 Modulierte Schwingungen Modulierte Schwingungen Aplitudenodulation Aufgabe Eine aplitudenodulierte Schwingung it der Trägerfrequenz ω T = 10 ω M (ω M = Modulationsfrequenz) hat das in folgender Skizze dargestellte Zeitverhalten: q(t) q 2 q 1 t T M a) Bestien Sie den Modulationsgrad der Schwingung. b) Wie groß ist die Trägerfrequenz ω T und die Modulationsfrequenz ω M? c) Stellen Sie das Frequenzspektru der Schwingung graphisch dar. Geg.: T M = 2 s ; q 1 = 1 ; q 2 = 5

17 8 1 KINEMATIK VON SCHWINGUNGEN Aufgabe Eine Schwingung hat das nebenstehend dargestellte Frequenzspektru. ^ q a) U welche Art von Schwingung handelt es sich? ^ q 2 b) Geben Sie den atheatischen Ausdruck für die Schwingung an und berechnen Sie alle erforderlichen Größen (Phasenverschiebungen sollen dabei unberücksichtigt bleiben)! Geg.: ω 1 = s ; ω 2 = s ; ω 3 = s q 1 1 ˆq 1 = 10 ; ˆq 2 = 20 Aufgabe Mit eine Wegaufneher ist die i folgenden Diagra dargestellte Schwingung aufgenoen worden q/ t/s a) U welche Art von Schwingung handelt es sich? b) Geben Sie einen atheatischen Ausdruck für die Schwingung an und berechnen Sie alle erforderlichen Größen! c) Stellen Sie das Frequenzspektru der Schwingung graphisch it Zahlenangabe der Aplituden dar! Geg.: q(t) lt. Diagra

18 1.3 Modulierte Schwingungen Phasenodulation Aufgabe Gegeben ist eine frequenzodulierte Schwingung geäß untenstehender Skizze. q(t) t t a) Welchen Wert kann der Modulationsgrad axial annehen? b) Bei welche Modulationsgrad nit die Winkelgeschwindigkeit ω(t) des koplexen Zeigers periodisch den Wert Null an? c) Man zeige graphisch, daß sich die Phase f(t) u einen linear it der Zeit anwachsenden Mittelwert heru haronisch verändert. Welche Bedeutung haben dabei die Kreisfrequenzen ω T und ω M sowie der Faktor ωt ω M? d) Berechnen Sie die Trägerfrequenz ω T und den Modulationsgrad. Geg.: β = 0 ; t = π 2 s ; ω = 1 1 s ; ω(t = 0) = ω 0 = 1 1 s

19 10 1 KINEMATIK VON SCHWINGUNGEN Aplituden- und Frequenzodulation; Schwebung Aufgabe Eine Schwingung hat das nebenstehende Frequenzspektru it den Frequenzen ω 1 und ω 2 sowie den zugehörigen Aplituden ˆq 1 und ˆq 2. a) U welche Art von Schwingung handelt es sich? b) Geben Sie einen atheatischen Ausdruck für den Verlauf der Hüllkurve ˆq(t) und des Phasenwinkels β(t) an und berechnen Sie alle dafür erforderlichen Größen! q^ ^ q 1 ^q 2 c) Skizzieren Sie die Schwingung i Zeitbereich! c Geg.: ω 1 = s ; ω 2 = s ; ˆq 1 = 12 ; ˆq 2 = 9 Aufgabe Nebenstehende Skizze zeigt eine aplituden- bzw. frequenzodulierte Schwingung in koplexer Zeigerdarstellung. a) Berechnen Sie die Kreisfrequenzen ω M und ω T. b) Wie groß sind die Aplituden ˆq 1 und ˆq 2? _ Re{q(t)} _ ^ q 2 (t) c) Welche Schwingung ergäbe sich bei α 1 (t) = α 2 (t)? _ ^ q 1 _ q(t) _ q(t 0) 1 (t) Geg.: t = t 0 = 0, 1 s ; α 1 (t 0 ) = 40 ; α 2 (t 0 ) = 5 q(t 0 ) = 10 ; ˆq 1 = 2ˆq 2 _ I{q(t)}

20 1.3 Modulierte Schwingungen Periodische Schwingungen Aufgabe Eine periodische Schwingung hat folgendes Zeitverhalten: q(t) q^ 0 at T t a) Berechnen Sie die koplexen FOURIER-Koeffizienten ˆ q ν der Schwingung. b) Berechnen Sie die FOURIER-Koeffizienten ˆq cν und ˆq sν für die Fälle a = 1 und a = 1 2 c) Stellen Sie die FOURIER-Reihe für a = 1 und ν = 6, 12, 24 Glieder graphisch dar. Geg.: ˆq ; a ; T Aufgabe Untenstehende Skizze zeigt das Zeitverhalten einer periodischen Schwingung, die sich in einer Periode a jeweils parabolisch it der Zeit ändert. q(t) q^ -T T 2 2 3T 5T 2 2 t

21 12 1 KINEMATIK VON SCHWINGUNGEN a) Stellen Sie das Weg-Zeit-Gesetz auf. b) Berechnen Sie die koplexen FOURIER-Koeffizienten ˆ q ν. c) Berechnen Sie die FOURIER-Koeffizienten ˆq cν ; und ˆq sν und stellen Sie die reell dargestellte FOURIER-Reihe auf. Geg.: ˆq ; T 1.5 Nichtperiodische Schwingungen Aufgabe Der nebenstehende Dreiecksipuls soll durch sein FOURIER-Spektru dargestellt werden. q(t) a) Berechnen sie das FOURIER-Spektru Q(Ω) b) Welchen Wert hat das Spektru für Ω 0? Geg.: ˆq ; T 0 q^ 0 T 0 t Aufgabe Für nebenstehenden Ipuls ist das FOURIER- Spektru darzustellen. q(t) a) Berechnen Sie das FOURIER- Spektru Q(Ω). b) Welchen Wert hat das Spektru für Ω 0? Geg.: ˆq ; T 0 q^ 0 T 0 T 0 2 t

22 13 2 Modellbildungen in der Schwingungstechnik 2.1 Eleente echanischer Schwingungssystee Eleente diskreter Systee Aufgabe EI, L F Gegeben ist nebenstehendes Syste bestehend aus eine einseitig starr eingespannten Balken und einer Schraubenfeder. Berechnen Sie die Ersatzfederkonstante k ers bei einer Belastung durch die Kraft F. k Geg.: EI ; l ; k Aufgabe Gegeben ist nachfolgendes Feder-Masse-Syste bestehend aus eine starren Balken (Länge L, Querschnitt A, Dichte ρ) einer Einzelasse und zwei Schraubenfedern it den Federkonstanten k 1 und k 2. a 1 a 2 O M O k 1 k 2 L A a) Berechnen Sie die Ersatzdrehfederkonstante k ϕ des Systes bei einer Belastung durch das Moent M O (in der statischen Ruhelage). b) Wie groß ist das Massenträgheitsoent J O? Geg.: k 1 ; k 2 ; a 1 ; a 2 ; L ; ; ρ ; A

23 14 2 MODELLBILDUNGEN IN DER SCHWINGUNGSTECHNIK Aufgabe Gegeben ist nachfolgendes Feder-Masse-Syste. Es besteht aus einer drehbar gelagerten Scheibe it der Masse 1 und de Radius R. Diese Scheibe wird von einer Schraubenfeder it der Federsteifigkeit k 1, die a Außenrand befestigt ist, gehalten. k 1 R k 2 M O O A 1 a L 2 An der Scheibe ist ein starrer Balken it der Länge L, de Querschnitt A und der Dichte ρ befestigt, der zusätzlich durch eine weitere Feder i Abstand a it der Federsteifigkeit k 2 gehalten wird. A Ende dieses Balkens hängt eine Einzelasse 2 an eine dehnstarren, asselosen Seil. a) Berechnen Sie die Drehfederkonstante k ϕ des Systes bei einer Belastung durch das Moent M O. b) Wie groß ist das Massenträgheitsoent bezüglich des Drehpunktes der Scheibe? Geg.: 1 = 2 = 1 kg ; k 1 = 2 N ; k 2 = 1 N ; ρ = 7, kg 3 ; A = ; R = 300 ; a = 600 ; L = 1000 Aufgabe Gegeben ist nebenstehendes Federsyste. Berechnen Sie die Ersatzfederkonstante k ers des Systes. k 3 k 2 k 5 k 6 F Geg.: k i ; k 1 = k 2 = k 3 = 20 N k 4 = k 5 = 10 N ; k 6 = 5 N k 1 k 4

24 2.1 Eleente echanischer Schwingungssystee Eleente kontinuierlicher Systee Aufgabe Eine Schraubenfeder (Zahl der Windungen n, Windungsdurchesser D, Drahtdurchesser d, Schubodul G) wird durch zwei Kräfte auf Zug beansprucht. Eritteln Sie die Federkonstante der Schraubenfeder. F d D F Geg.: n ; D ; d ; G Aufgabe Ein beidseitig gestützter Balken (Länge L, Biegesteifigkeit EI) wird in der Mitte durch ein Moent belastet. Eritteln Sie die Drehfederkonstante des Systes. EI M L Geg.: L ; EI Aufgabe Ein it der axialen Biegelinie ŵ(t) haronisch schwingender Balken (Biegesteifigkeit EI y ) hat eine strukturelle Däpfung it de Verlustfaktor ζ. Wie lautet die Beziehung zwischen der axialen Krüung ŵ und de u den Phasenwinkel ϕ verschobenen Biegeoent des Balkens ˆM y (x)? Geg.: ŵ(x) ; EI ; g

25 16 2 MODELLBILDUNGEN IN DER SCHWINGUNGSTECHNIK 2.2 Aufstellen von Bewegungsgleichungen Aufgabe Gegeben ist ein Pendel geäß nebenstehender Skizze bestehend aus einer Masse, die über einen starren asselosen Stab a Punkt O aufgehängt ist. I Abstand a ist ein Däpfer angebracht. I dargestellten Zustand befindet sich das Syste in der statischen Ruhelage. a) Zeichnen Sie das Syste i Moentanzustand und bestien Sie eine zur Beschreibung der Bewegung notwendige Koordinate. L a O d b) Zeichnen Sie das Freikörperbild it allen a Pendel angreifenden Kräften! c) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für das Pendel auf! Geg.: ; L ; d ; a

26 17 3 Schwingungen linearer Systee it eine Freiheitsgrad 3.1 Freie ungedäpfte Schwingungen Mechanische Modelle und ihre Bewegungsgleichungen Lösung der Bewegungsgleichungen Aufgabe Ein einachsiger Pkw-Anhänger (Deichsel-Achs-Länge L, Masse, Trägheitsoent J C, Federkonstante der Achsaufhängung und Bereifung k) kann durch Straßenunebenheiten zu Hubschwingungen angeregt werden, für die die Anhängerkupplung K als ortsfester Punkt betrachtet werden kann., J C Welche Eigenkreisfrequenz hat der Anhänger? K L k Geg.: k = 10 kn ; = 75 kg ; J C = 25 kg 2 ; L = 1 Aufgabe Für das in Aufgabe dargestellte Syste sind zu berechnen: a) die Eigenkreisfrequenz kleiner Schwingungen u die statische Gleichgewichtslage. b) die Frequenz und die Periodendauer der Schwingungen. Geg.: k 1 = 0, 8 N ; k 2 = 1 N ; a 1 = 20 ; a 2 = 20 ; L = 60 ; ρ = 8 g c 3 A = 12, 5 2 ; = 24 g

27 18 3 SCHWINGUNGEN LINEARER SYSTEME MIT EINEM FREIHEITSGRAD Aufgabe An eine hoogenen scheibenförigen Rad (Masse, Radius R), das auf eine horizontalen Untergrund rollt, ohne zu rutschen, ist i Abstand a vo Mittelpunkt eine Feder (Federkonstante k) befestigt. a) Wie lautet die Bewegungsgleichung für kleine Schwingungen u die gezeichnete Gleichgewichtslage? b) Wie groß ist die Eigenkreisfrequenz des Systes? k Rr Xx a c) Wie groß ist das Verhältnis der Periodendauern für die Grenzfälle a = 0 und a = r? Geg.: = 10 kg ; k = 6 kn ; r = 1 ; a = 0, 6 Aufgabe Die Lage des Masseittelpunktes eines Pleuels und das Massenträgheitsoent J C u die zur Bildebene senkrechte Schwereachse sollen aus Schwingungsversuchen bestit werden. Zu diese Zweck hängt an das Pleuel nacheinander an den beiden Punkten O 1 bzw. O 2 drehbar auf und isst für kleine Schwingungsausschläge die Schwingungszeiten T 1 und T 2. a) Wo liegt der Massenittelpunkt? b) Wie groß ist das Massenträgheitsoent J C? C O 1 a 1 a 2 O 2 a Geg.: = 1 kg ; a = 124, 25 ; T 1 = 1, 3 s ; T 2 = 0, 9 s

28 3.1 Freie ungedäpfte Schwingungen 19 Aufgabe Für die gezeichnete Wippe, bestehend aus eine Stab (Dichte ρ, Querschnitt A, Länge L) it beidseitig angesetzten Massen, ist für kleine Schwingungen u die Gleichgewichtslage die Eigenkreisfrequenz zu berechnen. L A, R Geg.: R ; L = 4R ; A ; ρ ; Aufgabe Die Passung zwischen einer Stahlkugel (1) it der Masse und eine Glasröhrchen (2) it de Querschnitt A ist so ausgelegt, dass keine Luft entweichen kann. Die Reibungskräfte zwischen Kugel und Glaswand können vernachlässigt werden. Das Glasröhrchen steckt so in einer Flasche (3), dass die unter der Kugel befindliche Luft it de Voluen V 0 und de Druck p 0 die Kugel in der gezeichneten Position hält. Berechnen Sie Periodendauer der auf de Luftpolster schwingenden Kugel unter der Voraussetzung eines adiabaten Systes (Adiabatenexponent κ). Geg.: V 0 ; p 0 ; A ; ; κ (2) (1) (3)

29 20 3 SCHWINGUNGEN LINEARER SYSTEME MIT EINEM FREIHEITSGRAD Aufgabe Der gezeichnete asselose Bootssteg (1) der Länge L hat als Schwikörper eine Tonne (2) it der Masse und de Durchesser D. Berechnen Sie die Eigenkreisfrequenz bei kleinen Schwingungen des Systes. L (1) (2) D Gegeben: L ; D ; ; ρ Aufgabe Für eine i Wasser schwiende Kugel (Masse, Radius R) sind unter der Voraussetzung kleiner Schwingungen a) die Bewegungsgleichung aufzustellen und h R r b) die Eigenkreisfrequenz zu eritteln. Geg.: R = 100 ; = 1 kg ; ρ = 1000 kg 3 ; g = 9, 81 s 2 Aufgabe Der dargestellte Versuchsstand dient zur experientellen Erittlung der Masse M eines Maschinenteils, das auf einen Teller (Masse ) gelegt wird. Der Teller ist über zwei Federn (Federzahl jeweils k) aufgehängt und kann translatorische Schwingungen w(t) ausführen. Zur Bestiung der Tellerasse wurde zunächst ein Ausschwingversuch w 1 (t) ohne Maschinenteil durchgeführt. Anschließend wurde das Maschinenteil auf de

30 3.1 Freie ungedäpfte Schwingungen 21 Teller befestigt und erneut ein Ausschwingversuch w 2 (t) durchgeführt. Däpfung ist vernachlässigbar. a) Bestien Sie aus de ersten Ausschwingversuch w 1 (t) die Eigenkreisfrequenz des Systes ohne Maschinenteil. b) Bestien Sie it der unter (a) erittelten Eigenkreisfrequenz die Masse des Tellers und aus de zweiten Ausschwingversuch w 2 (t) die Masse M des Maschinenteils. 3 2 w 2 k M k w(t) w/ w t/s Geg.: w 1 (t) ; w 2 (t) ; k = 300 N Anfangsbedingungen Aufgabe U die Geschwindigkeit v von Geschossen (Masse ) zu bestien, werden diese in eine pendelnd (Länge L) aufgehängte Sandkiste (Masse M) geschossen, die dadurch zur Seite ausschwingt. Berechnen Sie L a) die Eigenkreisfrequenz des Systes Sandkiste/Geschoss sowie b) den Verlauf der Aplitude für kleine Schwingungen unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen. Geg.: v ; ; M ; L v M

31 22 3 SCHWINGUNGEN LINEARER SYSTEME MIT EINEM FREIHEITSGRAD Aufgabe An einer Feder hängt eine Masse. In der statischen Ruhelage wird die Feder u L 1 gedehnt. Die Masse wird aus der Ruhelage so angestoßen, dass sie u L 2 nach unten ausgelenkt wird, bevor sie wieder zurückkehrt. Berechnen Sie a) den Betrag der Geschwindigkeit, die der Masse bei Anstoßen verliehen wird. b) die Eigenkreisfrequenz c) den zeitlichen Verlauf der Schwingung. Geg.: = 0, 2 kg ; L 1 = 200 ; L 2 = 80 L 1 L 2 k Aufgabe Der dargestellte Ein-Massen-Schwinger (Masse, Federsteifigkeit k) kann eine haronische Schwingung ausführen, die durch die Bewegungskoordinate w(t) beschrieben werden soll. Die Anfangsauslenkung w 0 und die Anfangsgeschwindigkeit ẇ 0 der Masse ist zu Zeitpunkt t = 0 bekannt. w(t) k a) Berechnen Sie für die haronische Schwingung w(t) die Eigenkreisfrequenz ω 0, die Aplitude ŵ und den Phasenwinkel β [vgl. Gl.(3.1-17)]. b) Stellen Sie die Funktion w(t) als Addition einer Sinus- und einer Kosinusfunktion dar und berechnen Sie die Koeffizienten. Geg.: = 100 kg ; k = 10 N ; w 0 = 10 ; ẇ 0 = 0, 49 s

32 3.1 Freie ungedäpfte Schwingungen 23 Aufgabe Der dargestellte Ein-Massen-Schwinger (Masse, Federsteifigkeit k) befindet sich in der skizzierten Lage in eine Moentanzustand einer freien Schwingung. Die Schwingung der Masse u die statische Ruhelage L S wird durch die Bewegungskoordinate w beschrieben. Die Masse befindet sich zu Zeitpunkt t = 0 in der Ausgangslage L 0 und besitzt die Anfangsgeschwindigkeit v 0. a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf und berechnen Sie die Eigenkreisfrequenz des Systes. k L S w(t) L 0 b) Geben Sie eine allgeeine Lösung der Bewegungsgleichung an. Passen Sie die allgeeine Lösung an die Anfangsbedingungen an und bestien Sie daraus die Aplitude und Phase der Schwingung. c) Es wird ein viskoser Däpfer (Däpferzahl d) zu der Feder parallel geschaltet. Berechnen Sie die zugehörige Eigenkreisfrequenz. v 0 Geg.: = 10 kg ; k = 1 N ; L S = 125 ; L 0 = 175 v 0 = s ; d = 20 Ns

33 24 3 SCHWINGUNGEN LINEARER SYSTEME MIT EINEM FREIHEITSGRAD Energiebetrachtungen Aufgabe In eine Syste nach nebenstehender Skizze ist eine Masse a Ende eines starren gewichtslosen Stabes (Länge L) befestigt. Dieser Stab ist fest it de Mittelpunkt eines scheibenförigen Rades (Radius R, Masse M) verbunden. Das Rad rollt auf de Untergrund, ohne zu rutschen. R M a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für kleine Schwingungen nach der Energie- Methode auf! b) Wie groß ist die Periodendauer der Schwingung? Geg.: L = 1, 2 ; R = 0, 2 ; = 1kg ; M = 10 kg L Aufgabe Eine Rolle (Radius R, Masse M) ist geäß nebenstehender Skizze über eine Feder (Federkonstante k) an einer Wand befestigt. Über die Rolle läuft ein dehnstarres Seil. Das eine Ende des Seils ist an der Wand befestigt, während a anderen Ende ein Gewicht it der Masse hängt. k R M a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Systes nach der Energie-Methode auf! b) Nach welcher Funktion bewegt sich die Masse, wenn sie zu Zeitpunkt t 1 die Auslenkung w 1 und die Geschwindigkeit Null hat? w(t) Geg.: k = 15 N ; R = 0, 1 ; = 3 kg ; M = 8 kg ; w 1 = 5 ; t 1 = 0, 049 s

34 3.1 Freie ungedäpfte Schwingungen 25 Aufgabe Ein Zylinder it der Masse rollt auf einer kreisförigen Bahn it de Radius R. R Eritteln Sie durch Energiebetrachtungen die Eigenkreisfrequenz des Zylinders. r Geg.: R ; r ; g ; Aufgabe Ein dickwandiges hoogenes zylindrisches Kreissegent (Länge L, Innenradius R i, Außenradius R a, Öffnungswinkel α, Dichte ρ) in eine raufesten Punkt O reibungsfrei drehbar gelagert. Bestien Sie it der Energie-Methode unter der Voraussetzung kleiner Schwingungen die Eigenkreisfrequenz des Systes für R i O S 2 R a a) den allgeeine Werte von R i und α b) R i = 0 ; α = 90 Geg.: R i ; R a ; α ; ρ ; g

35 26 3 SCHWINGUNGEN LINEARER SYSTEME MIT EINEM FREIHEITSGRAD 3.2 Freie gedäpfte Schwingungen Viskose Däpfung Aufgabe Ein Pendel besteht aus zwei hoogenen Zylindern (Masse jeweils, Radius R), die durch eine asselose starre Stange (Länge L) verbunden sind. Der obere Zylinder ist in der Mitte reibungsfrei gelenkig gelagert, während sich der zweite in eine Ölbad befindet. Ein Versuch ergibt für kleine Schwingungen des Pendels eine Periodendauer T D. Nach Ablassen des Öls stellt sich für die ungedäpfte Schwingung eine Periodendauer T 0 ein. L R R a) Wie lautet die Bewegungsgleichung des Pendels, wenn das Ölbad durch einen äquivalenten, viskosen Däpfer beschrieben wird? b) Wie groß ist die äquivalente Däpferzahl? Geg.: R ; L = 2R ; ; T D ; T 0 = 0, 98 T D Aufgabe Ein starrer Balken (Masse ) ist geäß der nebenstehenden Skizze über zwei undehnbare Seile und eine Feder (Federzahl k) aufgehängt. Die Ulenkrollen (1) sowie der Träger (2) können als asselos angenoen werden. Das Syste ist durch zwei Däpfer (Däpferkonstanten d 1 und d 2 ) gedäpft. a) Wie lautet die Bewegungsgleichung des Systes, wenn d 1 = d und d 2 = 0 ist? b) Es sei d 1 = d 2 = d. Ein Ausschwingversuch liefert das logarithische Dekreent ϑ. Wie groß ist die Däpferkonstante d? x(t) k (2) d 1 (1) (1) d 2 Geg.: k = 5 N/ ; = 2 kg ; ϑ = 0, 63

36 3.2 Freie gedäpfte Schwingungen 27 Aufgabe Eine Stoßstange (Masse ) ist ittels zweier Federn und zweier Däpfer an einer Wand befestigt. Während eines Ausschwingversuches werden die Periodendauer T D und zwei axiale Auslenkungen ŵ 1 und ŵ 2 zu den Zeitpunkten t 1 und (t 1 + T D ) geessen. a) Bestien Sie die Eigenkreisfrequenz des ungedäpften Systes sowie die Federkonstante k und die Däpferkonstante d. k d d k w(t) b) U welchen Betrag d uss die Däpferkonstante indestens erhöht werden, wenn das Syste nach eine Anfangsstoß nicht überschwingen soll? Geg.: t 1 = 5 s ; T D = 0, 1 s ; ŵ 1 = 2, 21 ; ŵ 2 = 2 ; = 5 kg Aufgabe Zwei i Eingriff befindliche Zahnräder (Massenträgheitsoente J C1 und J C2 tragen jeweils einen starren, asselosen Hebel. Ein viskoser Däpfer (Däpferzahl d) ist gelenkig zwischen den Enden der beiden Hebel befestigt (Abstand a vo jeweiligen Lager des Zahnrades). Eine Feder (Federkonstante k) verbindet das Ende des einen Hebels it eine ortsfesten Punkt. Die Zahnräder werden jeweils u den Winkel ϕ 0 verdreht aus der Ruhelage losgelassen und führen anschließend kleine Schwingungen aus. a J C1 d k C 1 C 2 J C2 a) Wie groß ist der Däpfungsgrad des Systes? b) Welchen Winkelausschlag besitzt jedes Zahnrad nach der Zeit t 1? Geg.: J C1 = J C2 = 200 Ns 2 ; k = 10 6 N ϕ 0 = 1 ; d = Ns ; a = 0, 2 ; t 1 = 0, 5 s ;

37 28 3 SCHWINGUNGEN LINEARER SYSTEME MIT EINEM FREIHEITSGRAD Aufgabe Eine Masse ist geäß nebenstehender Skizze über ein undehnbares Seil aufgehängt. Das Seil läuft über zwei asselose, reibungsfrei gelagerte Ulenkrollen (Radius R). Das Lager der einen Rolle ist über einen Däpfer it der Däpferkonstanten d und über eine Feder it der Federzahl k it der Wand verbunden, während das Lager der zweiten Rolle starr befestigt ist. a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Systes auf! k d R R w(t) b) Wie groß sind die Eigenkreisfrequenz des ungedäpften Systes und der Däpfungsgrad? c) U wieviel Prozent verindert sich die Eigenfrequenz, wenn die scheibenförigen Rollen ebenfalls assebehaftet sind und ihre Massen jeweils betragen? Geg.: = 0, 5 kg ; d = 2 Ns ; k = 0, 2 N ; R = 0, 2 Aufgabe Gegeben ist das dargestellte Feder-Masse-Däpfer-Syste. Es besteht aus einer Masse, die über ein dehnstarres Seil, das ohne zu rutschen über eine asselose Rolle (Radius R) läuft, an eine starren Balken befestigt ist. Der Balken hat über die gesate Länge den konstanten Querschnitt A und die Dichte ρ. Er ist a raufesten Punkt O drehbar gelagert und a rechten Ende durch eine Feder it der Federsteifigkeit k und eine Däpfer it der Däpferkonstanten d it der Ugebung verbunden. R a k w(t) A L O d

38 3.2 Freie gedäpfte Schwingungen 29 a) Wieviel Freiheitsgrade hat das Syste? b) Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Systes für die Koordinate w auf und berechnen Sie die Eigenkreisfrequenz und den Däpfungsgrad. c) Wie lautet die Funktion w(t), wenn die Masse zur Zeit t = 0 u w 0 aus der statischen Gleichgewichtslage ausgelenkt und stoßfrei losgelassen wird? d) Auf welchen Wert ändert sich die Eigenkreisfrequenz, wenn die Rolle ebenfalls assebehaftet ist und ihre Masse M beträgt? Geg.: = 1 kg ; ρ = 7, k = 0, 648 N kg ; A = ; L = 270 ; a = 67, 5 3 Ns ; d = 129, 6 ; w 0 = 5 ; R = 50 ; M = 1, 76 kg Aufgabe Ein atheatisches Pendel geäß nebenstehender Skizze besteht aus einer asselosen starren Stange, die i Punkt O drehbar gelagert ist, und der quaderförigen Masse it der Breite b und der Höhe h. An der Pendelstange sind oberhalb des Drehpunktes eine Schraubenfeder it der Federsteifigkeit k und ein Däpfer it der Däpferkonstanten d angebracht. a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Systes für kleine Schwingungen auf! b) Berechnen Sie die Eigenkreisfrequenz und den Däpfungsgrad des Systes! d O b h k 2 3 L 1 3 L c) Auf welchen Wert ändert sich die Eigenkreisfrequenz, wenn die Pendelstange ebenfalls assebehaftet ist und ihre Masse M beträgt? Geg.: = 1 kg ; b = 160 ; h = 40 ; L = 300 ; k = 10 N ; d = 1 Ns ; M = 5/3

39 30 3 SCHWINGUNGEN LINEARER SYSTEME MIT EINEM FREIHEITSGRAD Aufgabe Zur Untersuchung des Schwingungsverhaltens eines Maschinenteiles soll das gezeichnete echanische Ersatzodell verwendet werden. Es besteht aus einer starren Masse M, die in einer Führung reibungsfrei gleiten kann und von zwei Federn (Federkonstanten k 1 und k 2 ) gehalten wird. In der Mitte der Masse ist ein dünner, starrer Stab (Länge L, Masse ) gelenkig angeschlossen, der i Punkt O drehbar gelagert ist. Das Drehgelenk wird durch einen assenlossen Biegebalken (Länge a, Flächenträgheitsoent I, Elastizitätsodul E) realisiert. A rechten Ende des Stabes ist ein Däpfer (Däpferkonstante d) angebracht. EI k 1 M O a d k L 2 3 L a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Systes für kleine Schwingungen auf! b) Berechnen Sie die Eigenkreisfrequenz des ungedäpften Systes sowie den Däpfungsgrad. Geg.: M = 2 ; a = L/2 ; k 1 = k 2 = k ; EI = kl 3 /16 ; = 1 kg ; L = 300 d = 306 Ns ; k = 10 N

40 3.2 Freie gedäpfte Schwingungen 31 Aufgabe Das gezeichnete Syste ist die scheatische Darstellung eines Torsionsschwingungstilgers bestehend aus der Welle W, die über drei Finger F, an denen jeweils zwei Guieleente G anvulkanisiert sind, it eine Außenring verbunden ist. Der Außenring ist als dickwandiger Hohlzylinder (Innenradius R i, Außenradius R a, Dicke t, Dichte ρ) zu betrachten. Die Guieleente besitzen Feder- und Däpfungseigenschaften (jeweils Federkonstante k und Däpferkonstante d), deren geeinsaer Angriffspunkt i Abstand R angenoen werden kann. Die Finger sind zunächst als starr anzusehen. G O F R ira R d k Außenring W Für kleine Drehschwingungen des Außenringes u die Wellenachse O sind a) die Bewegungsgleichung aufzustellen und b) die Eigenkreisfrequenz sowie der Däpfungsgrad zu berechnen. c) Auf welchen Wert veändert sich die Eigenkreisfrequenz, wenn für die Finger jeweils eine Feder it der Federkonstanten k F anzunehen ist? Geg.: R = 50 ; R i = 40 ; R a = 60 ; t = 30 ; k = 10 N ρ = 7850 kg ; k 3 F = 20k ; d = 50 Ns ;

41 32 3 SCHWINGUNGEN LINEARER SYSTEME MIT EINEM FREIHEITSGRAD Aufgabe Auf zwei it der Winkelgeschwindigkeit Ω gegensinnig rotierenden Walzen (Abstand L, Radius R) liegt ein hoogenes Brett der Masse. Die Kraftübertragung zwischen Brett und Walzen geschieht durch trockene Reibung (Gleitreibungskoeffizient µ). R x(t) L d R Zeigen Sie, dass das Brett haronische Schwingungen ausführt und berechnen Sie die zugehörige Eigenkreisfrequenz. Geg.: µ ; L ; R ; d Aufgabe In de skizzierten Schwingungssyste kann eine Masse in einer Führung reibungsfrei gleiten. Sie ist dabei über eine Feder und einen Däpfer (Federkonstante k, Däpferzahl d) an die Ugebung angebunden. Des Weiteren hängt sie an eine undehnbaren Seil, das ohne zu rutschen über eine Nut (Abstand zu Mittelpunkt a) in einer dünnen rollenden Scheibe (Masse M, Radius R) ugelenkt wird. Das Seil endet an einer Feder (Federkonstante k 1 ), die an der Wand befestigt ist. k 1 w(t) M k R a d a) Zeichnen Sie ein Freikörperbild der Scheibe und der Mase und stellen Sie für kleine Schwingungen die Bewegungsgleichung der Masse auf. b) Berechnen Sie die Eigenkreisfrequenz des ungedäpften Systes und den Däpfungsgrad. Geg.: ; M = 7 8 ; R ; a = 3 4 R ; k ; k 1 = 9 7 k ; d

42 3.2 Freie gedäpfte Schwingungen 33 Aufgabe Gegeben ist eine Scheibe (Masse M, Radius R), die i Mittelpunkt drehbar gelagert ist. A unteren Rand ist eine starre Pendelstange (Masse 3, Länge L) angeschweißt, an deren Ende sich eine Punktasse 1 befindet. Über das Rad ist ein undehnbares Seil gelegt, das ohne zu rutschen a linken Ende durch eine Feder (Federsteifigkeit k) und einen Däpfer (Däpferzahl d) an die Ugebung angebunden ist und a rechten Ende eine weitere Punktasse 2 trägt. d M k R g L a) Zeichnen Sie jeweils ein Freikörperbild von der Scheibe it Pendel und der Masse 2. b) Stellen Sie für kleine Winkel die Bewegungsgleichung der Scheibe in ϕ auf. c) Berechnen Sie die Eigenkreisfrequenz des ungedäpften Systes und den Däpfungsgrad. Geg.: g ; M ; 1 = 1 3 M ; 2 = 1 2 M ; 3 = 3 10 Mg M ; d ; R ; L = 2R ; k = R

43 34 3 SCHWINGUNGEN LINEARER SYSTEME MIT EINEM FREIHEITSGRAD Aufgabe Gegeben ist eine Scheibe (Masse M, Radius R), an deren Mittelpunkt gelenkig eine Masse befestigt ist. U die Scheibe ist ohne zu rutschen ein Seil geschlungen, das an seine linken Ende fest eingespannt ist und an seine rechten Ende in einer Feder (Federzahl k 1 ) endet. An der Masse ist eine starre, asselose Stange (Länge a + b) gelenkig angebracht, deren rechtes Ende über eine Feder und einen Däpfer (Federzahl k 2, Däpferzahl d) angebunden ist. I Abstand a von der Masse befindet sich ein Lager it einer Drehfeder (Drehfederzahl k ϕ ). k 1 R M w(t) k d k 2 a b a) Zeichnen Sie jeweils ein Freikörperbild von der Scheibe it der Masse und von der Stange. b) Stellen Sie für kleine Schwingungen w(t) die Bewegungsgleichung der Masse auf. c) Berechnen Sie die Eigenkreisfrequenz des ungedäpften Systes und den Däpfungsgrad. Geg.: ; k ; d ; R ; b = 1 4 a ; M = 2 ; k 1 = 2k ; k 2 = 8k ; k ϕ = b 2 k 2

44 3.2 Freie gedäpfte Schwingungen 35 Aufgabe Gegeben ist eine Scheibe (Masse M, Radius R), an deren Mittelpunkt gelenkig eine Masse befestigt ist. U die Scheibe ist ohne zu rutschen ein Seil geschlungen, das an seine linken Ende fest ist und an seine rechten Ende in einer Feder (Federzahl k 1 ) und eine Däpfer (Däpferzahl d) endet. An der Masse ist eine biegeelastische und asselose Stange (Länge L) gelenkig angebracht, deren rechtes Ende fest eingespannt ist. Die Masse über eine Feder (Federzahl k 2 ) zusätzlich gelagert. M R d k 1 EI w(t) k 2 L a) Zeichnen Sie jeweils ein Freikörperbild der Scheibe und der Masse. b) Stellen Sie für kleine Schwingungen w(t) die Bewegungsgleichung des Systes auf. c) Berechnen Sie die Eigenkreisfrequenz des ungedäpften Systes und den Däpfungsgrad. d) Ist durch das Entfernen der Masse it einer Erhöhung oder einer Verringerung der Eigenkreisfrequenz zu rechnen? Begründen Sie Ihre Aussage! Geg.: ; k ; d ; R ; k = 3EI L 3 ; M = 2 ; k 1 = 2k ; k 2 = 7k

45 36 3 SCHWINGUNGEN LINEARER SYSTEME MIT EINEM FREIHEITSGRAD Aufgabe Das dargestellte Schwingungssyste besteht aus einer asselosen starren Stange, die i Punkt O drehbar gelagert ist. An der Stange sind oberhalb des Lagers eine Feder (Federzahl k 2 ) sowie ein undehnbares Seil befestigt. Das Seil wird ohne zu rutschen u eine drehbar gelagerte Ulenkscheibe (Masse M, Radius R) ugelenkt und endet an einer Feder (Federzahl k 1 ) und eine Däpfer (Däpferzahl d 1 ). Unterhalb des Lagers befindet sich a Ende der Stange eine Masse. g k 2 R M L k 1 d L O a) Zeichnen Sie ein Freikörperbild für die Scheibe und die Stange it der Masse und stellen Sie für kleine Schwingungen die Bewegungsgleichung des Systes auf. b) Berechnen Sie die Eigenkreisfrequenz des ungedäpften Systes und den Däpfungsgrad. Geg.: k 1 = k ; k 2 = 2k ; d ; k ; ; M = 4 ; R ; L

46 3.2 Freie gedäpfte Schwingungen 37 Aufgabe An eine hoogenen scheibenförigen Rad (Masse, Radius R), das auf eine horizontalen Untergrund rollt, ist i Abstand a vo Mittelpunkt eine Feder (Federzahl k) befestigt. Diese Feder ist it eine asselosen Balken (Biegesteifigkeit EI), der beidseitig eingespannt ist, verbunden. A Mittelpunkt des Rades ist zusätzlich ein Däpfer (Däpferzahl d) befestigt, der it der Wand verbunden ist. w(t) L L/2 EI k a R d a) Zeichnen Sie ein Freikörperbild des Rades und stellen Sie für kleine Schwingungen die Bewegungsgleichung in w(t) des Rades auf. b) Berechnen Sie den Däpfungsgrad und die Eigenkreisfrequenz des ungedäpften Systes. c) Wie groß ist das Verhältnis der Periodendauern für die Grenzfälle a = 0 und a = R? Geg.: EI = N 2 ; k = 30 N R = 0, 6 ; a = 0, 4 ; L = 2a ; d = 400 Ns ; = 50 kg

47 38 3 SCHWINGUNGEN LINEARER SYSTEME MIT EINEM FREIHEITSGRAD Aufgabe In de dargestellten Schwingungssyste wird ein undehnbares Seil ohne zu rutschen u eine bewegliche Scheibe (Masse 1, Radius R 1 ) gelegt und über eine drehbar gelagerte Ulenkscheibe (Masse 2, Radius R 2 ) ugelenkt. Das Seil endet an einer Feder (Federzahl k 2 ). Die Scheibe ist in ihre Mittelpunkt ebenfalls über eine Feder (Federzahl k 1 ) und einen Däpfer (Däpferzahl d) gelagert., R 2 2 k 1 R 1 1 d k 2 a) Zeichnen Sie ein Freikörperbild und stellen Sie für kleine Schwingungen die Bewegungsgleichung der Scheibe auf. b) Berechnen Sie die Eigenkreisfrequenz des ungedäpften Systes und den Däpfungsgrad. Geg.: k 1 = 2k ; k 2 = 1 3 k ; d ; k ; ; 1 = 2 ; 2 = 1 2 ; R 1 ; R 2

48 3.2 Freie gedäpfte Schwingungen 39 Aufgabe Zur experientellen Erittlung des Massenträgheitsoentes eines Maschinenteiles wird der gezeichnete Drehschwinger, bestehend aus eine Draht (Schubodul G, Durchesser d) und einer zylindrischen Scheibe (Durchesser D, Masse M), verwendet. Ein Ausschwingversuch, bei de sich das Maschinenteil auf der Scheibe befindet, liefert das gezeichnete Diagra einer exponentiell abklingenden Schwingung. M A L A D d t/s Schnitt A-A Eritteln Sie a) die Drehfederkonstante des Drahtes b) das logarithische Dekreent sowie den Däpfungsgrad c) das Massenträgheitsoent des Maschinenteils Geg.: L = 2600 ; d = 5 ; D = 100 ; M = 2 kg ; G = 8, N 2

49 40 3 SCHWINGUNGEN LINEARER SYSTEME MIT EINEM FREIHEITSGRAD Aufgabe Das dargestellte gedäpfte, physikalische Pendel (Masse, Massenträgheitsoent J C, Drehdäpferzahl d ϕ ) besitzt zu Zeitpunkt t = 0 einen Anfangswinkel ϕ 0 und eine Anfangswinkelgeschwindigkeit ϕ 0. Danach (t > 0) wird das Pendel sich selbst überlassen und der Winkel ϕ über der Zeit in de dargestellten Diagra aufgezeichnet. Daraus können die Winkelaplituden ˆϕ 1 und ˆϕ 2 zu den Zeitpunkten t 1 und t 2 abgelesen werden. 3 2 g s d C / 1 0-1, J C t/s a) Eritteln Sie die Eigenkreisfrequenz des gedäpften und ungedäpften Pendel und den Däpfungsgrad. b) Berechnen Sie den Anfangswinkel ϕ 0 und die Anfangswinkelgeschwindigkeit ϕ 0 des Pendels. (Beachte: Die Winkelgeschwindigkeit des Pendels an der Stelle eines ax. Winkels ist gleich Null.) Geg.: = 10 kg ; J C = 1000 kg 2 ; g = 9.81 s 2 ; t 1 = 0.1 s ; ˆϕ 1 = 3 ; ˆϕ 2 = 1 s = 100

50 3.2 Freie gedäpfte Schwingungen 41 Aufgabe Der dargestellte Messschrieb entstand durch einen Ausschwingversuch eines Ein- Freiheitsgrad-Systes (Masse, Federkonstante k, Däpferkonstante d). 200 w(t) k d w/ t/s a) Geben Sie eine atheatische Funktion an, die die Ausschwingbewegung w(t) beschreibt und alle vorkoenden Paraeter. Verwenden sie dazu den dargestellten Messschrieb. b) Eritteln Sie die Masse des Systes für die gegebene Federsteifigkeit k. U welchen Faktor verändern sich die Eigenkreisfrequenz des ungedäpften Systes und der Däpfungsgrad, wenn sich die Masse verdoppelt? Geg.: k = 20 N

51 42 3 SCHWINGUNGEN LINEARER SYSTEME MIT EINEM FREIHEITSGRAD Aufgabe Durch einen Ausschwingversuch eines Feder-Masse-Däpfer-Systes (Masse ) entstand der i Bild dargestellte Messschrieb. w/ a) Eritteln Sie aus de Diagra das logarithische Dekreent, den Däpfungsgrad und die Eigenkreisfrequenz des gedäpften Systes. b) Wie groß ist das Verhältnis zwischen der Eigenfrequenz des gedäpften und des ungedäpften Systes? c) Welche Federsteifigkeit hat das Syste, wenn bei gleicher Däpfung die Eigenkreisfrequenz des gedäpften Systes ω D beträgt? t/s Geg.: w(t) ; = 100 kg ; ω D = s

52 3.3 Erzwungene Schwingungen Erzwungene Schwingungen Beispiele echanischer Ersatzodelle Allgeeine Lösung der Bewegungsgleichungen Sprung- und ipulsförige Anregung Aufgabe Das gezeichnete Feder-Däpfer-Masse-Syste (Masse 1, Däpferzahl d, Federkonstante k) wird zu Zeitpunkt t = 0 durch Anhängen einer Zusatzasse 2 aus seiner statischen Ruhelage ausgelenkt und zu Schwingungen angeregt. Eritteln Sie a) die Eigenkreisfrequenzen ω 0 und ω D, den Däpfungsgrad D, die Sprunghöhe r 0 und den Phasenwinkel β [vgl. Gl.(3.3 24)]. b) den Zeitpunkt der axialen Auslenkung. c) die axiale Auslenkung. d) Zeichnen Sie den Verlauf w(t). k w(t) d 1 2 Geg.: k = 10 N ; d = 0, 34 Ns ; 1 = 5kg ; 2 = 3 kg Aufgabe Das dargestellte Feder-Masse- Däpfer-Syste (Federkonstante k, Masse, Däpferzahl d) wird über eine Zusatzfeder (Federkonstante k z ) durch eine Rechteckfunktion (Höhe u 0, Dauer T 0 ) zu Schwingungen angeregt. Eritteln Sie die Antwort des Systes und die axiale Auslenkung w ax an den jeweiligen Sprungstellen zu den Zeitpunken T 0 für k k z d u(t) u(t) u 0 T 0 t a) T 0 = 0, 10 s b) T 0 = 0, 05 s Geg.: = 40 kg ; u 0 = 60 ; k z = 150 N ; k = 70 N ; d = 2500 Ns

53 44 3 SCHWINGUNGEN LINEARER SYSTEME MIT EINEM FREIHEITSGRAD Aufgabe Auf das gezeichnete Teilsyste einer hydraulischen Anlage bestehend aus eine Differentialzylinder (Länge L, Durchesser D), einer bewegten Masse und den Rohrleitungen R 1 (Voluen V R1 ) und R 2 (Voluen V R2 ),wirkt bei der gezeichneten Kolbenstellung eine ipulsförige Kraft F(t) ein. Das Syste ist vollständig it Hydrauliköl gefüllt und durch das gezeichnete 4/3-Wegeventil abgeschlossen. Berechnen Sie x 2 L=h+b b w(t) D F(t) R (V ) 1 R1 d R (V ) 2 R2 a) die Eigenkreisfrequenz und den Däpfungsgrad des Systes, b) den Zeitpunkt und die Größe der axialen Auslenkung des Kolbens, c) die Schwingungsantwort des Systes. Geg.: D = 120 ; d = 40 ; h = 800 ; x 2 = 250 ; V R1 = 6000 c 3 ; V R2 = 5000c 3 ; Eöl = 1, F 0 = 5 kn N c 2 ; = 300 kg ; d 1 = d 2 = Ns ; Hinweis: Das echanische Ersatzsyste für das dargestellte Syste kann durch zwei Federn (Federzahlen k 1, k 2 ) und zwei Däpfer (Däpferzahlen d 1, d 2 ) dargestellt werden. Der E-Modul für die Berechnung der Federzahlen lässt sich aus der Kopressibilität eritteln (siehe z.b. Dubbel, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York, 14 Aufl., 1981, S.508).

54 3.3 Erzwungene Schwingungen Haronische Anregung Aufgabe F(t) Das gezeichnete Syste wird haronisch durch eine Kraft F(t) = ˆF cos Ωt erregt. Die Eigenkreisfrequenz ω 0 des ungedäpften Systes, der Däpfungsgrad D und die Federkonstante k sind bekannt. k d a) Für welche Erregerkreisfrequenz Ω hat die sich einstellende Aplitude ein Maxiu? Wie groß sind dann die Aplitude und der Phasenwinkel? b) Wie groß uß der Däpfungsgrad D indestens sein, dait für jedes Frequenzverhältnis Ω ω 0 das Verhältnis zwischen Antwort und Erregeraplitude kleiner als Eins ist? Geg.: ˆF = 1 N ; D = 0, 6 ; ω0 = 189 s 1 ; k = 10 N Aufgabe Der nebenstehend skizzierte auf Rollen gelagerte Kasten, wird haronisch it der Funktion u(t) zwangsbewegt. Die hoogene Kreisscheibe (Masse ), Radius R), die it de Kasten über zwei Federn (Federkonstante k und 2k) und einen Däpfer (Däpferzahl d) verbunden ist, rollt in de Kasten, ohne zu rutschen. Für kleine Rollwinkel der Scheibe sollen bestit werden: a) die Bewegungsgleichung b) die Eigenkreisfrequenz des Systes c) der Wert der Däpfungskonstanten d, für den bei Resonanzerregung die relative Auslenkung der Scheibe gleich der Aplitude û der Frederregung wird. k d R u(t) 2k Geg.: k = 3, 2 N ; = 2 kg ; u(t) = û cos Ωt

55 46 3 SCHWINGUNGEN LINEARER SYSTEME MIT EINEM FREIHEITSGRAD Aufgabe Das unten abgebildete echanische Syste (Gesatasse ) wird durch einen unwuchtigen Motor (Unwuchtasse U, Exzentrizität e) zu vertikalen Schwingungen angeregt. Der Motor hängt an einer asselosen Blattfeder (Länge a + b) it der Biegesteifigkeit EI. Die Schwingung wird durch einen Däpfer it der Däpferkonstanten d gedäpft. a b /2 U w(t) e EI d a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Systes auf und berechnen Sie die Eigenkreisfrequenz! b) Bei welcher Drehzahl wird die Aplitude ŵ des Motors a größten und welchen Wert nit sie an? c) Welcher Drehzahlbereich wäre zu vereiden, wenn an aus de Syste den Däpfer entfernt und die axiale Aplitude ŵ ax 2 bleiben soll? Geg.: EI = N 2 ; a = 25 ; b = 75 ; d = 32 Ns U = 0, 1 kg ; e = 5 ; = 0, 9 kg

56 3.3 Erzwungene Schwingungen 47 Aufgabe Das nebenstehend skizzierte seisische Messinstruent (Federkonstante k, Masse ) it vernachlässigbar kleiner Däpfung wird haronisch nach der Funktion u(t) = û cos Ωt erregt. In der statischen Ruhelage hat die Masse einen Abstand a vo Boden des Gehäuses. u(t) k a) Welcher Frequenzbereich ist zu vereiden, dait die Masse nicht den Gehäuseboden berührt? a b) Welche Däpferzahl d uss ein zwischen der Masse und de Gehäuse hinzugefügter Däpfer haben, dait i gesaten Frequenzbereich 0 Ω die Masse nicht den Gehäuseboden berührt? Geg.: k = 0, 04 N ; = 0, 5 kg; a = 18 ; û = 2 Hinweis: Zu Frage b) kann angenoen werden, dass das Maxiu der Verzerrungsfunktion bei Frequenzverhältnis η = 1 auftritt. Aufgabe Ein Rüttelsieb (1) geäß nachstehender Skizze ruht auf zwei asselosen Blattfedern, it denen es starr verbunden ist. Die Masse des Siebes it Inhalt beträgt. Das Sieb wird durch einen Motor it der Drehzahl n über ein Pleuel und eine Zusatzfeder (2) angeregt. Zur Beschreibung der Däpfung des Gesatsystes wird ein Däpfer it der Däpferkonstanten d angenoen. 1 w(t) d k u(t) EI L 2 a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Systes auf, und berechnen Sie die Eigenkreisfrequenz!

57 48 3 SCHWINGUNGEN LINEARER SYSTEME MIT EINEM FREIHEITSGRAD b) Bei welcher Drehzahl des Motors wird die Aplitude ŵ der Schwingung a größten, und welchen Wert nit sie an? c) Welchen Drehzahlbereich uss an wählen, dait unter Vernachlässigung der vorhandenen Däpfung die Aplitude ŵ û bleibt? Geg.: = 30 kg ; k = 1 kn ; EI = 18 N2 ; L = 0, 6 ; d = 60 Ns û = 10 ; u(t) = û cos Ωt Aufgabe Zur Erittlung des Schwingungsverhaltens einer Kraftesszelle soll das gezeichnete Ersatzsyste verwendet werden. Die Kraftesszelle besteht aus einer Masse, die in einer asselosen Kreisplatte (Radius R, Dicke t, Elastizitätsodul E, Querkontraktionszahl ν) aufgehängt ist, eine Däpfereleent (Däpferkonstante d), in de die Gesatdäpfung des Systes zusaengefasst ist, und eine Federeleent (Federkonstante k). Die Anregung des Systes erfolgt über das Federeleent. R d t k u(t) w(t) a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Systes auf und berechnen Sie die Eigenkreisfrequenz und den Däpfungsgrad. b) Bei welcher Erregerkreisfrequenz wird die Aplitude der Schwingung a größten, und welchen Wert nit sie an? c) Welcher Frequenzbereich uss zur Erfüllung von ŵ 0, 25 û verieden werden? Geg.: = 0, 1 kg ; E = 2, N ; ν = 0, 3 ; k = 200 N 2 u(t) = û cos Ωt ; û = 4 ; t = 0, 5 ; d = 100 Ns ; R = 40 (Hinweis: Die Kreisplatte kann als Kreisplatte ohne Bohrung betrachtet werden!)

58 3.3 Erzwungene Schwingungen 49 Aufgabe Das unten gezeichnete Syste ist das Modell eines Schwingtisches. Die elastische Abstützung erfolgt über zwei an ih eingespannte Rechteckfedern (1) (Breite a, Höhe b, Länge L), die sich über zwei starre Lenker (2) auf zwei entsprechenden i Fundaent starr eingespannten Rechteckfedern (3) abstützen. Alle vier Federn haben gleiche Abessungen. Die Anschlüsse zwischen den Lenkern und den Federn können als gelenkig betrachtet werden. Die Gesatdäpfung des Systes wird durch einen Däpfer (Däpferkonstante d), der in der Systeitte angebracht ist, erfasst. Die Masse des Schwingtisches beträgt S, die des auf de Schwingtisch aufgespannten Prüfkörpers P. Das Syste wird durch zwei in der Systeitte angebrachte Schwungscheiben, die i Abstand e die Unwuchtasse U /2 tragen und it der Drehzahl n rotieren, erregt. P (1) (2) (3) L d A A S Schnitt A-A a /2 U b n e n /2 U a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Systes auf und berechnen Sie die Eigenkreisfrequenz und den Däpfungsgrad. b) Wie groß ist die axiale Aplitude der sich einstellenden Schwingung des Schwingtisches? c) Mit welcher Drehzahl üssten die Unwuchtassen rotieren, u die größtögliche Aplitude der Schwingung zu erzielen? Geg.: E = 2, N ; 2 S = 36 kg ; P = 3 kg ; U = 1 kg ; d = 300 Ns L = 180 ; e = 40 ; n = ; a = 60 ; b = 4 in

59 50 3 SCHWINGUNGEN LINEARER SYSTEME MIT EINEM FREIHEITSGRAD Aufgabe Zur Schwingungsessung an Getriebeblöcken wird das dargestellte Messsyste verwendet. Dabei wird ein seisischer Aufneher (1) (seisische Masse B, Gehäuseasse G, Federsteifigkeit k B ), der über zwei Blattfedern (Biegesteifigkeit EI, Länge L G ) an eine ortsfesten Rahen befestigt ist, über einen asselosen Taststift (Längssteifigkeit EA, Länge L S ) auf die Getriebeoberfläche (2) gedrückt. Die Getriebeoberfläche führt haronische Schwingungen u(t) = û cos Ωt aus. Ein echanisches Ersatzodell des Systes ist der rechtsstehenden Skizze zu entnehen. B EI B w (t) B k B L G k G k B k G w (t) G G 1 G G EA 2 L S k S u(t) a) Zeichnen Sie jeweils ein Freikörperbild der seisischen Masse B und der Gehäuseasse G und stellen Sie jeweils den Ipulssatz für die beiden Massen auf. b) Wie lautet die Bewegung w G des Gehäuses bei vernachlässigter Masse G = 0 in Abhängigkeit von u und w B? c) Stellen Sie die Bewegungsgleichung der seisischen Masse B auf. d) Stellen sie die erzwungene Schwingungsaplitude über der Erregerfrequenz dar. e) I Arbeitsbereich des Messsystes soll die Abweichung der Aplitude der seisischen Masse weniger als 10 % der Erregeraplitude betragen. Eritteln Sie den Arbeitsbereich. Geg.: L S = 100 ; L G = 20 ; B = 0, 1 kg ; k B = 10 kn ; û = 2 EA = 1500 kn ; EI = 1400 kn 2