Allgemeine Bewegungsgleichung

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1 Freier Fall Allgemeine Bewegungsgleichung (gleichmäßig beschleunigte Bewegung) s 0, v 0 Ableitung nach t 15

2 Freier Fall Sprung vom 5-Meter Turm s 0 = 0; v 0 = 0 (Aufprallgeschwindigkeit: v = -10m/s) Weg-Zeit Diagramm (g = -10m/s 2 ) Strecke (m) Geschwindigkeit (m/s) 0-2 s(t) = 0.5 g t 2-4 = -0.5*10 ms -2 t 2 0,0 0,5 1, Zeit (s) v(t) = -10m/s 2 t -10 0,0 0,5 1,0 Zeit (s)

3 Freier Fall Sprung vom 5-Meter Turm 6 Weg-Zeit Diagramm s 0 = 5m; v 0 = 0 g = -10m/s 2 Strecke (m) 4 2 s(t) = 0.5 g t 2 + s 0 = -0.5*10 ms -2 t 2 + 5m 0 0,0 0,5 1,0 Zeit (s) - Geschwindigkeit ist unabhängig von s 0 0,0 0,5 1,0 Geschwindigkeit (m/s) v(t) = -10m/s 2 t Zeit (s)

4 Freier Fall => s 0 = 5m; v 0 = 5m/s g = -10m/s 2 - Geschwindigkeit ist unabhängig von s 0 - Position und Geschwindigkeit sind unabhängig vom Gewicht der Person! Strecke (m/s) Geschwindigkeit (m/s) Weg-Zeit Diagramm 6 s(t) = -0.5*10m/s2 t 2 + 5m/s t + 5 m Zeit (s) v(t) = -10m/s 2 t + 5m/s 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 Zeit (s)

5 Zur Übung Welches/welche der v-t-diagramme in der Abbildung beschreibt/beschreiben am besten die Bewegung eines Teilchens (Sie müssen ihre Antwort nicht begründen.). Mit positiver Geschwindigkeit und zunehmendem Geschwindigkeitsbetrag Mit positiver Geschwindigkeit und der Beschleunigung null Mit konstanter, von null verschiedener Beschleunigung Mit abnehmendem Geschwindigkeitsbetrag Lösung B C B,D, E D (da Geschwindigkeitsbetrag)

6 Fallrohr 146 m 119 m Bremer Fallturm, 1989 Fallkapsel Fallschacht Wie lange benötigt eine Kugel für den Fall? (Vakuum = > kein Luftwiderstand) 0 m Fallrohr

7 Fallrohr 146 m Bremer Fallturm 119 m Fallkapsel Fallschacht (Vakuum) t = 2 s t g = 2 h g 0 m Fallrohr

8 Freier Fall Fallversuche auf dem Mond, 1971 : Feder und Hammer D. Scott g M = 1.6 m/s 2 Experimenteller Beweis, dass eine Feder und ein Hammer gleich schnell fallen! 22

9 Freier Fall Position und Geschwindigkeit sind unabhängig vom Gewicht der Person! Grund: Beschleunigung auf Grund der Erdanziehungskraft Beachte: Dies gilt nicht für leichte kleine Objekte, wie z.b. ein Regentropfen. Da bewirkt die Luftreibung, dass er mit konstanter Geschwindigkeit auf dem Boden auftrifft. (Erdbeschleunigung <-> Luftreibung) Allgemein: Beschleunigung a auf Grund einer externen Kraft

10 Bestimmung der Erdbeschleunigung l = 2.8m 2 Zeit bestimmt über eine Länge von 10 cm (Endgeschwindigkeit)

11 Bestimmung der Erdbeschleunigung h = 10 cm h=10 cm l = 2.8m 2 Fallhöhe: h h = l sin 2 10cc oder mit sinα α h = l sss 2 2π 360 = l 2 2π 360 = 2.8m cc

12 Bestimmung der Erdbeschleunigung h=10 cm 2.8m 2 Endgeschwindigkeit: Momentangeschwindigkeit: Beachte: t t Beachte: v ist unabhängig von t!

13 Gleichförmig beschleunigte Bewegung: Differential- Integralrechung Mathematik (Differentiation) Physik. (a,b,c sind Konstanten) s (oder r, ): Strecke t: Zeit g: Erdbeschleunigung s 0 : Startposition v 0 =: Anfangsgeschwindigkeit

14 Gleichförmige Bewegung: Differential- Integralrechung s s = v 0 t Durchschnitts- oder Intervallgeschwindigkeit: v v 0 t 1 s 1 = v 0 t 1 t v = konstant t gleichförmige Bewegung: t 28

15 Gleichförmige Bewegung: Differential- Integralrechung s s = v 0 t Durchschnitts- oder Intervallgeschwindigkeit: s 1 = v 0 t 1 gleichförmige Bewegung: v v 0 t 1 t v = konstant t s 1 = v 0 t 1 s = v 0 t für t t => 29

16 Gleichförmig beschleunigte Bewegung: Differential- Integralrechung s 1 2 at 1 2 v 0 t 1 s 0 t 1 t

17 Gleichförmig beschleunigte Bewegung: Differential- Integralrechung Ableitung s v 1 2 at 1 2 v = aa + v 0 v 0 t 1 aa 1 v 0 s 0 v 0 t 1 t t 1 t

18 Gleichförmig beschleunigte Bewegung: Differential- Integralrechung Ableitung Ableitung s v a 1 2 at 1 2 v = aa + v 0 v 0 t 1 aa 1 a a = kkkkkkkk v 0 s 0 v 0 t 1 t t 1 t t 1 t

19 Gleichförmig beschleunigte Bewegung: Differential- Integralrechung Ableitung Ableitung Integration s v a 1 2 at 1 2 v = aa + v 0 v 0 t 1 aa 1 a a = kkkkkkkk v 0 s 0 v 0 aa 1 t 1 t t 1 t t t 1

20 Gleichförmig beschleunigte Bewegung: Differential- Integralrechung Ableitung Ableitung Integration s v a 1 2 at 1 2 v 0 : Integrationskonstante v = aa + v 0 Integration s 0 : Integrationskonstante v 0 t 1 s 0 v 0 v 0 t at 1 2 aa 1 v 0 a a = kkkkkkkk aa 1 t 1 t t 1 t t t 1

21 Zusammenfassung: Bewegungsgesetze 35

22 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung in 2-Dimensionen Geschwindigkeit in x- und z- Richtung sind unabhängig voneinander (Grund: Geschwindigkeit ist eine vektorielle Größe) Tennisbälle, Affe

23 Waagerechter Wurf Geschwindigkeiten in x- und z- Richtung Wasserstrahl, s 0 = 0 sind unabhängig voneinander v 0 = v x s x t = v 0 t g s z t = 1 2 gt2 s (t) = s x (t) s z (t) = v 0t 1 2 gt2

24 Waagerechter Wurf Überlagerung gleichförmige Bewegung (v 0 t) und freier Fall ( 1 2 gt2 ) s (t) = s x (t) = v 0t s z (t) 1 2 gt2 z = 1 2 gt2 z Tennisbälle 38

25 Waagerechter Wurf Überlagerung gleichförmige Bewegung und freier Fall v (t) = v 0 gg gleichförmige Bewegung freier Fall Tennisbälle 39

26 schnelle Bewegung Rotationsbewegung 40

27 schnelle Bewegung Geschwindigkeit einer Pistolenkugel? Versetzung der Löcher um Winkel ϕ Motor f = 25 Hz = 25 s -1 x = 1m Zurückgelegter Winkel in einer Sekunde: ϕ = f

28 schnelle Bewegung Geschwindigkeit einer Pistolenkugel? Versetzung der Löcher um Winkel Motor f = 25 Hz = 25 s -1 x = 1m

29 schnelle Bewegung Geschwindigkeit einer Pistolenkugel? Versetzung der Löcher um Winkel Motor f = 25 Hz = 25 s -1 x = 1m

30 Drehbewegung Rotation (Drehbewegung um eine Achse) Winkel (in rad: Radiant) φ s Translation Winkelgeschwindigkeit (in rad/s) Winkelbeschleunigung (in rad /s 2 ) ω = dφ dd dω = d2 φ dd dt 2 v = dd dd dd a = = d2 dd dt 2 Winkel in Bogenmaß, φ dimensionslos φ r b φ = b r

31 Drehbewegung Rotation (Drehbewegung um eine Achse) Winkel (in rad: Radiant) φ s Translation Winkelgeschwindigkeit (in rad/s) Winkelbeschleunigung (in rad /s 2 ) ω = dφ dd dω = d2 φ dd dt 2 v = dd dd dd a = = d2 dd dt 2 φ r b Eine volle Umdrehung: b = 2πr φ = 2ππ = 2π r Mit 2π = 360 α gggg = 360 2π φ BBBBBBBB 1 rad = φ = b r

32 Drehbewegung Rotation (Drehbewegung um eine Achse) Winkel (in rad: Radiant) φ s Translation Winkelgeschwindigkeit (in rad/s) Winkelbeschleunigung (in rad /s 2 ) ω = dφ dd dω = d2 φ dd dt 2 v = dd dd dd a = = d2 dd dt 2 φ r b Bahngeschwindigkeit, v dφ = dd r = ds r (ersetze b durch s alte Notation für Geschwindigkeit) ω = dφ dd = 1 r dd dd = v r φ = b r v = ω r

33 Drehbewegung Rotation (Drehbewegung um eine Achse) Winkel (in rad: Radiant) φ s Translation Winkelgeschwindigkeit (in rad/s) Winkelbeschleunigung (in rad /s 2 ) ω = dφ dd dω = d2 φ dd dt 2 v = dd dd dd a = = d2 dd dt 2 φ r b Zahl der Umläufe pro Zeiteinheit: v = f 2π r v = ωω ω = 2ππ f: Frequenz f = 1 s Umlaufzeit (Periode): T = 1 f = 2π ω

34 Drehbewegung r Translation Rotation Weg s Winkel φ Geschw. v Winkelgeschw. ω = dφ Beschl. a Winkelbeschl. dd dω = d2 φ dd dt 2 Bewegungsgleichungen v = v 0 + aa ω = ω 0 + dω dd t s = s 0 + v 0 t at2 φ = φ 0 + ω 0 t dω dd t2

35 Drehbewegung Winkelgeschwindigkeit ist ein Vektor, ω Betrag: ω = v r ω v v y Richtung der Bewegung ist senkrecht zur Bewegungsebene. Geschwindigkeit ist konstant bei Gleichförmiger Drehbewegung x ω, v, r sind Vektoren Vektorprodukt (Krezprodukt) v = ω x r Rechenregeln: später

36 Beispiel Beschleunigung einer Zentrifuge: ω z.b UUUUUUUUUUU mmm Radius: r = 10 cm ω = π 60s = 630 s 1 a = ω 2 r = 630 s m = m s g Ultrazentrifuge bis ca g

37 Drehbewegung Drehbewegung läßt sich mittels einer sinus-funktion beschreiben 1 sinx (-2π) (2π) 51 Sinusbewegung

38 Kräfte Kräfte Energien Bewegung Allgemein: Beschleunigung a auf Grund einer externen Kraft Beachte: v 0 ist angegeben, oder F = m a Kraft = Masse mal Beschleunigung v 0 = s t oder v 0 = s t Beachte: Im allgemeinen sind Kraft, Strecke, Geschwindigkeit und Beschleunigung Vektoren, d.h. sie sind richtungsabhängig.

39 Kräfte Kräfte Energien Bewegung Kraft = Masse mal Beschleunigung F = m a Erdanziehungskraft: Auf Wagen wirkt: Start F = m 2 g F = m w a s 0 s 1 m w a Geschwindigkeit ändert sich, Beschleunigung bleibt konstant g Start s 0 s 1 s Gewicht m 2 Wirkt eine Kraft => ändert der Körper seinen Bewegungszustand

40 Kräfte Kräfte Energien Bewegung 2. Newtonsches Axiom: Kraft = Masse mal Beschleunigung Erdanziehungskraft: Auf Wagen wirkt: Start Start F = m G g F = m w a s 0 s 1 a s 0 s 1 s g Gewicht m 2 Beispiel: Erdanziehungskraft wird verwendet, um einen Wagen zu beschleunigen. m g = m 2 54

41 Kräfte Kräfte Energien Bewegung 2. Newtonsches Axiom: Kraft = Masse mal Beschleunigung Start Start s 0 F = m w a s 1 s 0 a 2 m s 1 s g Gewicht m 2 F = m 2 g mit m w = 250 g m 2 = 10 g

42 Kräfte Kräfte Energien Bewegung 2. Newtonsches Axiom: Kraft = Masse mal Beschleunigung Start Start s 0 m w = 250 g s 1 s 0 a 2 m s 1 s g m 2 =10g Vergleich:

43 Kräfte Kräfte Energien Bewegung 2. Newtonsches Axiom: Kraft = Masse mal Beschleunigung Start Start s 0 m w = 250 g s 1 s 0 a s 1 s g Gewicht m 2 =10g 2m 2 = 20g

44 Kräfte Kräfte Energien Bewegung 2. Newtonsches Axiom: Kraft = Masse mal Beschleunigung Start s 0 s 1 a Start s 0 s 1 s g Gewicht m 2 2m 2 = 20g 2m w = 500g

45 Zur Übung Kräfte Energien Bewegung 1) Ein Fahrzeug der Masse m= 1500 kg wird aus dem Stillstand mit einer konstanten Kraft F = 5000 N beschleunigt. a) Wie groß ist die Beschleunigung? b) Welche Strecke hat das Fahrzeug nach 15 s zurückgelegt? Lösung a) F=ma => a = F/m = 5000N/1500kg = 3.33m/s 2 b) s=0.5 a t 2 = 0.5 * 3.33m/s 2 * (15s) 2 = m Aus Klausur SS2006

46 Energie Kräfte Energien Bewegung Energieerhaltung:

47 Energie Kräfte Energien Bewegung Vergleich: Arbeit Kraft mal Strecke W = F s = F s cos (F, s ) (Winkel zwischen Kraft und Strecke) Energieerhaltung:

48 Wiederholung s 0 = 5m; v 0 = 5m/s F = m g s (oder r, h): Strecke, Höhe t: Zeit g,a: (Erd)beschleunigung s 0 : Startposition v 0 =: Anfangsgeschwindigkeit Kraft beim Aufprall: F = m g W = Kraft * Strecke Energieerhaltung:

49 Energieerhaltung Kräfte Energien Bewegung kinetische Energie: W kin = 0.5 m v 2 m = 250g h = 10 cm l = 2.8m 2 v = 1.4m/s W pot = m g h W kin = 0.5 m v 2

50 Bestimmung der Erdbeschleunigung Zur Erinnerung: l = 2.8m 2 Zeit bestimmt über eine Länge von 10 cm (Endgeschwindigkeit)

51 Energieerhaltung Kräfte Energien Bewegung kinetische Energie: W kin = 0.5 m v 2 m = 250g h = 10 cm l = 2.8m 2 v = 1.4m/s W pot = m g h W kin = 0.5 m v 2 = 0.5 * 0.25kg * (1.4 m/s) 2 = 0.25 J

52 Bestimmung der Erdbeschleunigung h = 10 cm h=10 cm l = 2.8m 2 Fallhöhe: h h = l sin 2 10cc oder mit sinα α h = l sss 2 2π 360 = l 2 2π 360 = 2.8m cc

53 Energieerhaltung Kräfte Energien Bewegung Potentielle Energie: W pot = mgh m = 250g h = 10 cm l = 2.8m 2 v = 1.4m/s W = m g h = 0.25 kg*10m/s 2 * 0.1m = 0.25 kg m 2 /s 2 = 0.25 J

54 Energieerhaltung Kräfte Energien Bewegung W pot = Kraft * Strecke = m 9.81m/s2 * 5m. = m 4.9 J/kg = 0.5 m (9.8m/s) 2 = m 4.9 J/kg Energieerhaltung:

55 Kapitel 3 Klassische Mechanik Zur Übung Kräfte Energien Bewegung 6) Ein Mensch springt von einem Tisch (Höhe h = 80 cm) herunter. Mit welcher Geschwindigkeit kommt er auf dem Boden an? (Erdbeschleunigung g = 9.81m/s2) Lösung: mmm = 1 2 mv2 => v = 2gg = ms 2 0.8m = 3.96m/s Aus Klausur SS2011

56 Kapitel 3 Klassische Mechanik Zur Übung Kräfte Energien Bewegung Ein kleiner Junge fährt auf einem Schlitten einen Hang hinab. Der Junge wiegt 40 kg. Die zurückgelegte Höhendifferenz betrage 20 m. Die Erdbeschleunigung betrage 10m/s 2. a) Welche kinetische Energie erreicht der Junge (Reibung soll vernachlässigt werden)? b) Welche Endgeschwindigkeit erreicht der Junge, wenn Reibung vernachlässigt werden kann? Lösung: a) Energieerhaltung: mgδh = ΔE kin ΔE kin = 40 kg 10 ms m = 80 kj b) mgδh = ΔE kin = 0.5 m v 2 v = 2g h = 2 10 m s2 20m = 20 ms-1

57 Kapitel 3 Klassische Mechanik Zur Übung Kräfte Energien Bewegung 13) Aus dem Stand beschleunigt ein Auto (Masse m=1000 kg) mit a = 2 m/s2. a) Welche Geschwindigkeit hat es nach einer Entfernung von s = 50 m erreicht? b) Wie viel Energie wurde benötigt, wenn nur 1/3 davon in Bewegungsenergie umgewandelt worden ist? Lösung: a) 14,1 m/s b) W=1/2 m v 2 = kg (14.1m/s) 2 100kJ da nur ein drittel in Bewegungsenergie umgesetzt wird, werden 3 W = 300kJ benötigt.

58 Rotationsenergie Rollende Kugel * r Kräfte Energien R Bewegung h Winkelgeschwindigkeit: s = 1 m Bahngeschwindigkeit:

59 Rotationsenergie Rollende Kugel * r Kräfte Energien R Bewegung s = 1 m h Winkelgeschwindigkeit: Bahngeschwindigkeit: Ziel: Struktur der Geschwindigkeitsgleichungen soll einheitlich sein Trägheitsmoment: θ = r 2 dd 73

60 Zur Übung Kräfte Energien Bewegung 12) Wie viel Rotationsenergie besitzt ein rollender Vollzylinder θ = 1 2 mr2, m = 10kk (Trägheitsmoment θ, Masse m), wenn sich dessen Masseschwerpunkt mit einer Geschwindigkeit von v = 5 m/s fortbewegt? Lösung: W rrr = 1 2 θ ZZZZZZZZ ω 2 = mr2 v r 2 = 1 4 mv2 = 62.5J Aus Klausur SS2010

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