Mechanik. Labor Technische Physik Dipl. Ing. (FH) Michael Schmidt. Version: 15. Februar 2017

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1 Mechanik Labor Technische Physik Dipl. Ing. (FH) Michael Schmidt Version: 15. Februar 2017 nach Vorlesungsunterlagen von Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf

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3 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 1 2. Kinematik Einführung Ruhe und Bewegung Bezugssystem und Koordinatensystem Translation und Rotation Physikalische Größen bei der Translationsbewegung Wegstrecke Geschwindigkeit Mittlere Geschwindigkeit Momentangeschwindigkeit Beschleunigung Mittlere Beschleunigung Momentanbeschleunigung Mathematischer Zusammenhang zwischen den physikalische Größen Translationsbewegungen in einer Dimension Unbeschleunigte Bewegung Bewegungs-Diagramme Gleichmäßig beschleunigte Bewegung Bewegungs-Diagramme Freier Fall Überlagerung von mehreren Bewegungen in einer Dimension Senkrechter Wurf nach oben Translationsbewegungen in drei Dimensionen Überlagerung von Bewegungen Schiefer Wurf Bewegung von mehreren Körpern Rotationsbewegung Natürliche Koordinaten Physikalische Größen der Drehbewegung Drehwinkel Ortsvektor Bahngeschwindigkeit iii Version: 15. Februar 2017

4 Inhaltsverzeichnis Beschleunigung Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung Drehzahl Zusammenhang zwischen Winkelbeschleunigung und Beschleunigung Arten von Kreisbewegungen Gleichförmige Kreisbewegung Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung Dynamik Einführung Newtons Axiome Erstes Axiom Masse Impuls Zweites Axiom Die Kraft Resultierende Kraft Zerlegung von Kräften Drittes Axiom Prinzip von d Alembert Beschleunigte Bezugssysteme Linear beschleunigte Bezugssysteme Rotierende Bezugssysteme Zentrifugalkraft Corioliskraft Äußere Reibung Haftreibung Gleitreibung Impulserhaltung Stoßprozesse Raktengleichung Kraftfelder Arbeit und Energie Arbeit Beispiele zur Arbeit Beispiele mit ortsunabhängiger Kraft Beispiele mit ortsabhängiger Kraft Konservative Kraftfelder Leistung Wirkungsgrad Version: 15. Februar 2017 iv

5 Inhaltsverzeichnis Energie Kinetische Energie Potentielle Energie Dynamik der Drehbewegung Drehimpuls Drehmoment Zusammenhang zwischen Drehimpuls und Drehmoment Drehimpulserhaltung Arbeit und Energie bei der Drehbewegung Mechanik starrer Körper Modell eines starren Körpers Freiheitsgrade Massenmittelpunkt und die Bewegunsgleichungen Äußere Kräfte am starren Körper Rotation um eine ortsfeste Achse Trägheitsmoment Rotationsenergie Hauptträgheitsachsen Hauptträgheitsmomente Steinerscher Satz Rotation um freie Achsen Kräftefreier Kreisel Kreisel mit äußerem Drehmoment Abrollbewegung Gravitation Newtonsches Gravitationsgesetz Keplersche Gesetze Gravitationsfeld Potentielle Energie A. Literatur 113 v Version: 15. Februar 2017

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7 1. Einleitung Die Mechanik ist ein Teilgebiet der Physik, welches sich mit der Bewegung von Körpern sowie der auf sie wirkenden und von ihnen ausgeübten Kräfte beschäftigt. Bei den betrachteten Körpern handelt es sich hierbei zunächst um Festkörper. Die Mechanik wird dabei nach den betrachteten grundlegenden physikalischen Vorgängen weiter unterteilt: Kinematik Die Kinematik befasst sich mit der Beschreibung der Bewegung von Körpern ohne Berücksichtigung des Ursprungs der Bewegung. Dynamik Die Dynamik befasst sich mit der Beschreibung der Bewegung von Körpern unter dem Einfluss von Kräften als Ursache für die Bewegung. 1 Version: 15. Februar 2017

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9 2. Kinematik 2.1. Einführung Die Kinematik befasst sich mit der Beschreibung der Bewegung von Körpern. Dabei wird die Frage nach der Ursache für die Bewegung der Körper außer Acht gelassen. In der Kinematik sind die physikalischen Größen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung von zentraler Bedeutung wenn es um die Beschreibung der Bewegung von Körpern geht. Wie später gezeigt wird, sind dabei diese drei Größen voneinander abhängig Ruhe und Bewegung Von der Bewegung eines Körpers spricht man im Allgemeinen, wenn der Körper seine Lage relativ zu der eines anderen Körpers ändert. Bleibt die relative Lage eines Körpers bezüglich eines zweiten Körpers zeitlich konstant, so sind beide Körper relativ zueinander in Ruhe. Ob ein Körper sich in Bewegung oder in Ruhe befindet ist immer relativ zu einem anderen Körper als Bezugspunkt. Abbildung 2.1.: Die Begriffe Ruhe und Bewegung sind relativ. Fahrer und Auto sind relativ zueinander in Ruhe, bewegen sich aber relativ zum Haus. Die Beschreibung einer Bewegung ist nur sinnvoll, wenn ein Bezugssystem festgelegt wird von dem aus die Bewegung beobachtet werden kann. 3 Version: 15. Februar 2017

10 2. Kinematik Bezugssystem und Koordinatensystem Um die Bewegung von Körpern vollständig und eindeutig beschreiben zu können, legt man drei relativ zueinander ruhende und nicht auf einer Geraden liegenden Bezugspunkte fest und definiert damit ein Bezugssystem. Durch diese drei Punkte wird eine Ebene aufgespannt. Die dritte Dimension erhält man dann als Normale auf dieser Ebene. Um die Bewegung eines Körpers relativ zu einem Bezugssystem mathematisch beschreiben zu können, benutzt man ein Koordinatensystem. Üblicherweise benutzt man ein kartesisches Koordinatensystem. Es besteht aus drei zueinander senkrechten Geraden, den sogenannten Koordinatenachsen. Diese werden oft mit den Buchstaben x, y und z gekennzeichnet. Die Beschreibung der Bewegung eines Körpers geschieht durch Angabe von Ortskoordinaten (x,y,z) und deren Zeitabhängigkeit. Die drei Ortskoordinaten x, y und z werden zu einem Vektor, dem Ortsvektor r (t) zusammengefasst. Dabei handelt es sich um einen zeitabhängigen Vektor, der von einem festen Bezugspunkt zum aktuellen Ort des Massenpunktes zeigt, wobei der Bezugspunkt des Ortsvektors normalerweise in den Ursprung des Koordinatensystems gelegt wird. Abbildung 2.2.: Ortsvektor r (x, y, z) im dreidimensionalen Raum. Da sich der Körper bewegt, ist der Ortsvektor zeitlich nicht konstant sondern seine einzelnen Komponenten können sich mit der Zeit ändern. Die Einheit des Ortsvektors ist im Allgemeinen :[ r (t)] = m Beispiel für Ortsvektoren: Nach einer Stunde Fahrt befindet sich ein Schiff 10 km östlich und 15 km nördlich seines Ausgangspunktes. Anschließend fährt es eine Stunde 10 km in Richtung Osten. Zeichen Sie die Ortsvektoren r (t) nach 1 und nach 2 Stunden. Bevor der Ortsvektor angegeben werden kann, muss eine Koordinatensystem gewählt werden. Es ist sinnvoll den Ursprung dieses Koordinatensystems an den Ort zu legen, an dem Version: 15. Februar

11 2.1. Einführung sich das Schiff zum Zeitpunkt t = 0 s befindet. Die positive x-achse soll nach Osten zeigen und die positive y-achse nach Norden. 15 Norden km 10 5 r (1h) r (2h) Osten Abbildung 2.3.: Gewähltes Koordinatensystem mit den beiden Ortsvektoren r (1h) und r (2h) km Translation und Rotation Bei der Bewegung von Körpern werden zwei Arten unterschieden: Translationsbewegung Unter der Translation, genauer unter der Translationsbewegung versteht man in der Physik die Parallelverschiebung eines Körpers. Allerdings muss diese Bewegung einige spezielle Bedingungen erfüllen: Alle Punkte des Körpers müssen sich mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen. Alle Punkte des Körpers durchlaufen bei der Translation parallele Bahnen, das heißt, sie bewegen sich in die gleiche Richtung. Weil bei einer Translationsbewegung alle Punkte des Körpers die gleiche Bewegung parallel verschoben ausführen, genügt es, die Bewegung eines einzelnen Punktes zu beschreiben. Es erweist sich als zweckmäßig, den Massenmittelpunkt (Schwerpunkt) (siehe Kapitel 4.3) zu wählen. Von der räumlichen Ausdehnung der Körper kann also abgesehen werden, die Körper werden als punktförmige Massen behandelt. Sie werden als Massenpunkt bezeichnet. Solange die Abstände oder die zurückgelegten Wege sehr groß sind im Vergleich zu der tatsächlichen Ausdehnung des Körpers, ist diese Vereinfachung eine gute Näherung. Die Rotation von Körpern kann mit dem Modell des Massenpunktes nicht beschrieben werden, da die Ausdehnung des Körpers und damit auch die 5 Version: 15. Februar 2017

12 2. Kinematik Bewegung einzelner Teile des Körpers gegeneinander in diesem Modell vernachlässigt werden. Rotationsbewegung Eine reine Rotation ist im Gegensatz zur reinen Translation keine Bewegung, die den Schwerpunkt des Körpers durch den Raum bewegt, sondern eine Bewegung des Körpers um eine Rotationsachse. An einem Körper können beide Arten von Bewegung gleichzeitig auftreten Physikalische Größen bei der Translationsbewegung Wegstrecke Darunter versteht man die Strecke entlang der sich ein Massenpunkt bewegt. Der Ortsvektor r (t) stellt eine Kurve im Raum dar, die der Massenpunkt im Laufe der Zeit durchläuft. Diese Kurve wird als Bahnkurve bezeichnet. Die Bewegung, die der Massenpunkt beim Durchlaufen der Bahnkurve vollführt, wird als Trajektorie bezeichnet. Abbildung 2.4: Bahnkurve und Ortsvektor Geschwindigkeit Die Frage welches Wegstück in einem bestimmten Zeitintervall zurückgelegt wurde führt zu einer weiteren physikalischen Größe, der Geschwindigkeit v (t). Sie wird wie folgt definiert: v (t) = r (t) t (2.1) Version: 15. Februar

13 2.2. Physikalische Größen bei der Translationsbewegung Die Einheit der Geschwindigkeit ist im Allgemeinen: [ v (t)] = m s Die Geschwindigkeit ist um so größer, je länger das Wegstück ist, welches in einem bestimmten Zeitintervall zurückgelegt wird, bzw. je kürzer das Zeitintervall ist, das für ein bestimmtes Wegstück benötigt wird Mittlere Geschwindigkeit Meist wird aber eine längere Wegstrecke nicht mit einer konstanten Geschwindigkeit durchlaufen. Dann gibt der Quotient aus zurückgelegter Wegstrecke und dafür benötigtes Zeitintervall nur die mittlere Geschwindigkeit v an. Die mittlere Geschwindigkeit wird auch Durchschnittsgeschwindigkeit genannt. Abbildung 2.5.: Weg-Zeitdiagramm einer eindimensionalen Bewegung, bei der die Geschwindigkeit nicht konstant ist. Für eine Bewegung in nur einer Dimension, wie in Abbildung 2.5 gezeigt, ergibt sich für die mittlere Geschwindigkeit: v = x i+1 x i t i+1 t i (2.2) Beispiel für mittlere Geschwindigkeit: Um 13:30Uhr startet eine Person am Campus Alt-Saarbrücken und fährt zum 21,6 km entfernten Campus Göttelborn. Dort trifft er um 13:54 Uhr ein. Wie groß ist seine mittlere Geschwindigkeit. Für die Zeitdauer der Fahrt t F ergibt sich: t F = 13 : 54Uhr t F = 13 : 30Uhr = 24 min = 0, 4 h Damit ergibt sich mit Hilfe von Gleichung 2.2 für die mittlere Geschwindigkeit v: v= 21, 6 km 0, 4 h = 54 km h 7 Version: 15. Februar 2017

14 2. Kinematik Momentangeschwindigkeit Im Allgemeinen ist die Geschwindigkeit nicht konstant, sondern eine Funktion der Zeit. Die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt wird als Momentangeschwindigkeit bezeichnet. Ausgehen von Gleichung 2.1 erhält man die Momentangeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt, wenn man die Zeitspanne t 0 gehen lässt: r (t) v (t) = lim t 0 t = lim t 0 r (t + t) r (t) t (2.3) Die Momentangeschwindigkeit v (t) ist also gleich der zeitlichen Ableitung des Ortsvektors r (t): d v (t) = r (t) = r (t) (2.4) dt Da die Ableitung r (t) die Steigung der Bahnkurve r (t) angibt, hat die Geschwindigkeit v (t) in jedem Punkt der Bahnkurve r (t) die Richtung der Tangente in diesem Punkt. Abbildung 2.6.: Zum Begriff der Momentangeschwindigkeit bei einer eindimensionalen Bewegung Beschleunigung Unter Beschleunigung versteht man die Änderung des Bewegungszustands eines Körpers, also die zeitliche Änderungsrate seiner Geschwindigkeit. Die Beschleunigung ist ebenfalls eine vektorielle Größe. Sie wird als Quotient aus der Geschwindigkeitsänderung pro Zeiteinheit definiert: a (t) = v (t) t (2.5) Die Einheit der Beschleunigung ist: [ a (t)] = m s 2 Version: 15. Februar

15 2.2. Physikalische Größen bei der Translationsbewegung Weil die Geschwindigkeitsänderung v (t) ein Vektor ist, muss auch die Beschleunigung ein Vektor sein. In der Umgangssprache wird mit Beschleunigung oft nur eine Geschwindigkeitszunahme bezeichnet. Im physikalischen Sinn ist aber jede Änderung der Geschwindigkeit eine Beschleunigung. Dies schließt eine Abnahme der Geschwindigkeit also beispielsweise einen Bremsvorgang ebenso ein wie eine Richtungsänderung bei gleichbleibendem Geschwindigkeitsbetrag, beispielsweise bei einer Kurvenfahrt mit einem Auto Mittlere Beschleunigung Die mittlere Beschleunigung (auch Durchschnittsbeschleunigung genannt) während eines bestimmten Zeitintervalls ist gleich dem Verhältnis der Änderung der Geschwindigkeit zur Länge des Zeitintervalls. Abbildung 2.7.: Geschwindigkeits-Zeitdiagramm einer eindimensionalen Bewegung, bei der die Beschleunigung nicht konstant ist. Für eine Bewegung in nur einer Dimension, wie in Abbildung 2.7 gezeigt, ergibt sich für die mittlere Beschleunigung: Momentanbeschleunigung ā = v i+1 v i t i+1 t i (2.6) Die Beschleunigung zu einem bestimmten Zeitpunkt wird als Momentanbeschleunigung bezeichnet. Ausgehend von Gleichung 2.5 erhält man die Momentanbeschleunigung zu einem bestimmten Zeitpunkt, wenn man die Zeitspanne t gegen Null gehen lässt ( t 0): v (t) a (t) = lim t 0 t = lim t 0 v (t + t) v (t) t (2.7) Die Momentanbeschleunigung a (t) ist also gleich der zeitlichen Ableitung des Geschwindigkeitsvektors v (t) bzw. gleich der zweiten zeitlichen Ableitung des 9 Version: 15. Februar 2017

16 2. Kinematik Ortsvektors r (t): d a (t) = v (t) = v (t) = r (t) (2.8) dt Mathematischer Zusammenhang zwischen den physikalische Größen Beschleunigung, Geschwindigkeit und der zurückgelegte Weg eines Körpers sind voneinander abhängig. Alle drei Größen sind über die Zeit miteinander verknüpft. physikalische Größen zeitlicher Zusammenhang Beschleunigung a (t) a (t) = d dt v (t) = v (t) = r (t) Geschwindigkeit v (t) v (t) = d dt r (t) = r (t) v (t) = a (t) dt Weg r (t) r (t) = v (t) dt Tabelle 2.1.: Mathematische Beziehung zwischen den Größen der Translationsbewegung Translationsbewegungen in einer Dimension Unbeschleunigte Bewegung Bei dieser Art von Bewegung bleibt die Geschwindigkeit v (t) nach Betrag und Richtung über den betrachteten Zeitraum konstant. Eine unbeschleunigte Bewegung wird auch als gleichförmige Bewegung bezeichnet. Die Bahnkurve des Massenpunktes verläuft geradlinig und in gleichen Zeitintervallen t werden gleiche Wegstücke r zurückgelegt. Es gilt: v = r t = r (ti+1 ) r (t i ) t (i+1) t (i) = konstant (2.9) Für eine unbeschleunigte Bewegung sind in nachfolgende Tabelle die allgemeinen Gleichungen für die Größen Beschleunigung, Geschwindigkeit und Weg angegeben. Version: 15. Februar

17 2.3. Translationsbewegungen in einer Dimension unbeschleunigte Bewegung Beschleunigung Geschwindigkeit Weg a = 0 v = v 0 r (t) = v 0 t + r 0 v 0 und r 0 sind die Werte der Größen zum Zeitpunkt t = 0 s Tabelle 2.2.: Zusammenhang der physikalischen Größen bei einer unbeschleunigten Translationsbewegung Bewegungs-Diagramme Abbildung 2.8 zeigt das Beschleunigungs-, Geschwindigkeits- und Weg-Diagramm einer gleichförmige Bewegung in einer Dimension, d.h. der Geschwindigkeitsvektor v besitzt nur eine Komponente in x-richtung. Dabei ist es nicht zwingend notwendig, dass der Ort des Massenpunktes x(t) zur Zeit t = 0 ebnfalls gleich Null ist. Der Ort des Massenpunktes zum Zeitpunkt t = 0 wird hier mit x 0 bezeichnet. Abbildung 2.8.: Beispiel für eine eindimensionale gleichförmige Bewegung: (a) a-t Diagramm; (b) v-t Diagramm; (c) r-t Diagramm. Im Fall der unbeschleunigten Bewegung ist der zurückgelegte Weg proportional zur Zeit, und der Graph ist eine Gerade. Die Steigung dieser Geraden ist dann die Geschwindigkeit der Bewegung: 11 Version: 15. Februar 2017

18 2. Kinematik v = x i+1 x i t i+1 t i = x i+2 x i+1 t i+2 t i+1 = v 0 (2.10) Für die Bahnkurve des Massenpunktes ergibt sich folgende Gleichung: x 0 v 0 r t = t (2.11) 0 0 Beispiel für unbeschleunigte Bewegungen: Auf einer geraden Straße fahren zwei Autos mit konstanten Geschwindigkeiten v 1 = 15 m s und v 2 = 20 m s in entgegensetze Richtungen. Zu Beginn der Beobachtung sind sie einen s = 35 km entfernt. Zu welchem Zeitpunkt t x sind die beiden Autos auf gleicher Höhe? Welche Wegstrecke s 1 (t x ) hat dabei Auto 1 zurückgelegt? Der Zeitpunkt t x soll in einem Weg-Zeit Diagramm zeichnerisch bestimmt werden. Zunächst muss man sich für ein Koordinatensystem entscheidend und die Richtung der positiven Achsen festzulegen. Da die Autos sich nur in einer Dimension bewegen, reicht hier ein einzelne Achse. Ihre positive Richtung soll in die Bewegungsrichtung des Autos 1 zeigen. Als nächstes ist der Nullpunkt auf dieser Achse festzulegen. Erst nach Wahl des Nullpunktes macht es Sinn die Bewegungsgleichungen für beide Autos aufzustellen. Wählt man als Nullpunkt der Achse den Standpunkt des Autos 1 zum Zeitpunkt t = 0 s dann erhält man für beide Autos folgenden Weggleichungen: s 1 (t)= v 1 t s 2 (t)= v 2 t + s Der gesuchte Zeitpunkt t x ergibt sich wenn beide Wege s 1 und s 2 gleich sind. Mann erhält also den gesuchte Zeitpunkt t x indem man in in beide Gleichungen einsetzt und diese dann gleichsetzt: s 1 (t x )= s 2 (t x ) v 1 t x = v 2 t x + s t x (v 1 + v 2 )= s s t x = (v 1 + v 2 ) = m ( ) m s t x = 1000 s Version: 15. Februar

19 2.3. Translationsbewegungen in einer Dimension Für Wegstrecke s 1 (t x ) ergibt sich: s 1 (t x )= v 1 t x = 15 m s 1000 s = 15 km Für die zeichnerische Lösung werden die Funktionsgrafen der beiden Weggleichungen s 1 und s 2 in ein Weg-Zeit Diagramm eingezeichnet. Beim gesuchte Zeitpunkt t x schneiden sich beide Funktionsgrafen. Weg in km t x Abbildung 2.9.: Funktionsgrafen der Weggleichungen s 1 und s 2 Zeit in s Gleichmäßig beschleunigte Bewegung Bei dieser Art von Bewegung bleibt die Beschleunigung a (t) nach Betrag und Richtung über den betrachteten Zeitraum konstant. Die Geschwindigkeit v (t) des Massenpunktes ändert dabei in gleichen Zeitintervallen t ihren Wert um einen konstanten Betrag. Allgemein gelten für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegungen folgende Bewegungsgleichungen: Bewegungs-Diagramme Abbildung 2.10 zeigt das Beschleunigungs-, Geschwindigkeits- und Weg-Diagramm einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung in einer Dimension, d.h. der Geschwindigkeitsvektor v besitzt nur eine Komponente in x-richtung. Dabei können sowohl der Ort des Massenpunktes x(t) als auch seine Geschwindigkeit v(t) zum Zeitpunkt t = 0 schon einen Wert besitzen. Der Ort des Massenpunktes zum Zeitpunkt t = 0 wird hier mit x 0 angegeben und seine Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0 wird hier mit v 0 bezeichnet. 13 Version: 15. Februar 2017

20 2. Kinematik gleichmäßig beschleunigte Bewegung Beschleunigung Geschwindigkeit Weg a = a0 v = v 0 + a 0 t r = v 0 t + 1 a 2 0 t 2 + r 0 a 0, v 0 und r 0 sind die Werte der Größen zum Zeitpunkt t = 0 s Tabelle 2.3.: Zusammenhang der physikalischen Größen bei einer gleichmäßig beschleunigten Translationsbewegung. Abbildung 2.10.: Beispiel für eine eindimensionale, gleichmäßig beschleunigte Bewegung: (a) a-t Diagramm; (b) v-t Diagramm, (c) r-t Diagramm. Die Geschwindigkeit ändert sich von ihrem Anfangswert v 0 aus linear mit der Zeit. Die Steigung dieser Geraden entspricht der konstanten Beschleunigung a Freier Fall a = v i+1 v i t i+1 t i = v i+2 v i+1 t i+2 t i+1 = a 0 (2.12) Der freie Fall ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit der Fallbeschleunigung g. Die Fallbeschleunigung g ist nicht an allen Orten auf der Erde gleich. Da die Erde keine Kugel ist und zudem rotiert, hängt die Erdbeschleunigung von der geographischen Breite und zusätzlich von der Höhe über dem Meeresspiegel Version: 15. Februar

21 2.3. Translationsbewegungen in einer Dimension ab. Am Äquator ist ein Körper dem Schwerpunkt der Erde näher als an den Polen und zum Äquator hin macht sich zunehmend die aufgrund der Eigenrotation der Erde dem Schwerefeld der Erde entgegenwirkende Trägheitskraft bemerkbar. Daher variiert der Wert zwischen g = 9, 78 m/s 2 am Äquator und g = 9, 832 m/s 2 an den Polen. In Mitteleuropa kann man mit dem auf zwei Dezimalstellen gerundeten Wert g = 9, 81 m/s 2 rechnen. Abbildung 2.11.: Beispiel für den freien Fall, ein Apfel fällt vom Baum. Die Formeln des freien Falls ergeben sich aus den Formeln der gleichmäßig beschleunigten Bewegung (siehe Tabbelle 2.3) indem man v 0 = 0 und a 0 = g setzt und den Weg r durch die Fallhöhe h ersetzt. Diese Formeln lassen sich jedoch nur anwenden, wenn der Luftwiderstand vernachlässigbar ist, also nur bei Gegenständen mit verhältnismäßig kleiner Angriffsfläche für den Luftwiderstand. freier Fall Beschleunigung a = g = 9, 81m/s 2 Geschwindigkeit v = g t bzw. v = 2 g h Weg h = 1 g 2 t2 bzw. h = 1 v t 2 Tabelle 2.4.: Formeln für den freien Fall Beispiel für den freien Fall: Von einem 20 m hohen Turm wird ein Stein nach unten fallen gelassen. Ohne die Luftreibung zu berücksichtigen, sind zunächst die Gleichungen für die Geschwindigkeit v(t) und den Weg s(t) aufzustellen und folgende Größen zu berechnen: 15 Version: 15. Februar 2017

22 2. Kinematik Den Zeitpunkt t 1 wenn der Stein den Boden berührt Die Geschwindigkeit v(t 1 ) mit welcher der Stein den Boden berührt. Der Funktionsgraf für die Geschwindigkeit v(t) und den Weg s(t) sind in einem Geschwindigkeits-Zeit Diagramm und in einem Weg-Zeit Diagramm darzustellen. Zunächst muss man sich für ein Koordinatensystem entscheidend und die Richtung der positiven Achsen festzulegen. Da sich der Stein nur in einer Dimension bewegt, reicht hier ein einzelne Achse. Ihre positive Richtung soll nach unten zeigen, also in Bewegungsrichtung des Steins, damit ergibt sich für die Erdbeschleunigung g = 9, 81 m s 2. Als nächstes ist der Nullpunkt auf dieser Achse festzulegen. Erst nach Wahl des Nullpunktes macht es Sinn die Bewegungsgleichungen für den Stein aufzustellen. Der Nullpunkt der Achse soll auf dem Bodenniveau liegen. Für den Stein ergibt sich für t = 0s ein Weg s(0s) = 20 m. Lage des Steins bei t = 0 s s(t) v(t) g 10 Bodenniveau 5 0 Abbildung 2.12.: Skizze mit gewählter Achse und den positiven Zählrichtungen für s(t), v(t) und g Für die Geschwindigkeitsgleichung v(t) ergibt sich: v(t)= g t = 9, 81 m s 2 t Integriert man diese Geschwindigkeitsgleichung v(t) und berücksichtigt s(0s) = 15 m erhält man die Weggleichungen s(t): s(t)= v(t)= 1 2 g t2 + s 0 = 1 2 9, 81 m s 2 t2 20 m Zum Zeitpunkt t 1 soll triff der Stein auf dem Boden auf. Nach obiger Weg-Zeit Gleichung ist s(t 1 ) = 0 und man erhält für t 1 : s(t 1 ) = 0= 1 2 9, 81 m s 2 (t 1) 2 20 m 40 m t 1 = ± 9, 81 m s 2 Version: 15. Februar

23 2.3. Translationsbewegungen in einer Dimension Die positive Wurzel ergibt die physikalisch sinnvolle Lösung: t 1 = 2, 02 s Die Geschwindigkeit v(t 1 ) zu diesem Zeitpunkt t 1 beträgt: v(t 1 )= g t 1 = 9, 81 m s2 2, 02 s = 19, 81 m s Weg in m Zeit in s Abbildung 2.13.: Funktionsgrafen der Weggleichungen s(t) des Steins Zeit in s v in m/s Abbildung 2.14.: Funktionsgrafen der Geschwindigkeitsgleichung v(t) des Steins 17 Version: 15. Februar 2017

24 2. Kinematik Überlagerung von mehreren Bewegungen in einer Dimension Ein Körper ist in der Lage mehrere Bewegungen gleichzeitig zu erfahren. Diese gleichzeitig stattfindenden Einzelbewegungen überlagern sich ungestört zu einer Gesamtbewegung. Diese ungestörten Überlagerung von Teilbewegungen wird in der Physik als Superposition bezeichnet. Das Prinzip der ungestörte Überlagerung von Bewegungen (Superpositionsprinzip) gehört zu den grundlegenden Aussagen der Physik, die allein aus der Erfahrung gewonnen wurden. Das Prinzip kann nicht von anderen Gesetzen abgeleitet werden. Das Superpositionsprinzip gilt jedoch nicht mehr für Geschwindigkeiten in der Nähe der Lichtgeschwindigkeit. Hier müssen die Gesetze der Relativitätstheorie angewandt werden. Da sich die Teilbewegungen ungestört überlagern, kann man sie getrennt voneinander berechnen und erhält die resultierende Gesamtbewegung durch Addition der Teilbewegungen Senkrechter Wurf nach oben Dies ist ein Beispiel bei dem sich die Gesamtbewegung aus zwei Teilbewegungen zusammensetzt: eine beschleunigte Bewegung nach unten, eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit nach oben. Beide Teilbewegungen liegen parallel zueinander sind aber entgegengesetzt gerichtet. Abbildung 2.15.: Senkrechter Wurf nach oben mit v(0 s) = 8, 2 m/s und r(0 s) = 1, 9 m. Version: 15. Februar

25 2.3. Translationsbewegungen in einer Dimension senkrechter Wurf Beschleunigung a = g = 9, 81m/s 2 Geschwindigkeit v (t) = v 0 + g t Weg r (t) = r 0 + v 0 t g t 2 max. Steighöhe r max bei v (t) = 0 r max = r v0 2 g v 0 und r 0 sind die Werte der Größen zum Zeitpunkt t = 0 s Tabelle 2.5.: Formeln für den senkrechten Wurf nach oben Beispiel senkrechter Wurf nach oben: Von einem 25 m hohen Turm wird ein Stein mit einer Geschwindigkeit 4 m s nach oben geworfen. Ohne die Luftreibung zu berücksichtigen, sind zunächst die Gleichungen für die Geschwindigkeit v(t) und den Weg s(t) aufzustellen und folgende Größen zu berechnen: Den Zeitpunkt t 1 wenn der Stein den Boden berührt Die Geschwindigkeit v(t 1 ) mit welcher der Stein den Boden berührt. Den Zeitpunkt t m wenn der Stein am weitesten vom Boden entfernt ist. Der Funktionsgraf für die Geschwindigkeit v(t) und den Weg s(t) sind in einem Geschwindigkeits-Zeit Diagramm und in einem Weg-Zeit Diagramm darzustellen. Zunächst muss man sich für ein Koordinatensystem entscheidend und die Richtung der positiven Achsen festzulegen. Da sich der Stein nur in einer Dimension bewegt, reicht hier ein einzelne Achse. Ihre positive Richtung soll nach unten zeigen, also in Bewegungsrichtung des Steins, damit ergibt sich für die Erdbeschleunigung g = 9, 81 m s 2 und für v(0s) = 4 m s. Als nächstes ist der Nullpunkt auf dieser Achse festzulegen. Erst nach Wahl des Nullpunktes macht es Sinn die Bewegungsgleichungen für den Stein aufzustellen. Der Nullpunkt der Achse soll auf dem Bodenniveau liegen. Für den Stein ergibt sich für t = 0s ein Weg s(0s) = 20 m. Lage des Steins bei t = 0 s Bodenniveau v 0 Weg in m s(t) v(t) g Abbildung 2.16.: Skizze mit gewählter Achse und den positiven Zählrichtungen für s(t), v(t) und g und negativer Zählrichtungen für v 0 19 Version: 15. Februar 2017

26 2. Kinematik Für die Geschwindigkeit v(t) ergibt sich die Gleichung: v(t)= v(0s) + g t = 4 m s + 9, 81 m s 2 t Integriert man diese Geschwindigkeitsgleichung v(t) und berücksichtigt s(0s) = 20 m erhält man die Weggleichungen s(t): s(t)= v(t)= v(0s) t 1 2 g t2 + s 0 = 4 m s t , 81 m s 2 t2 20 m Zum Zeitpunkt t 1 soll der Stein ins Wasser eintauchen. Nach obiger Weg-Zeit Gleichung ist s(t 1 ) = 0 und man erhält für t 1 : s(t 1 ) = 0= 4 m s t , 81 m s 2 (t 1) 2 20 m Dies quadratische Gleichung hat zwei Lösungen. Physikalisch sinnvoll ist nur die Lösungen die für t 1 einen positiven Wert ergibt: ( t 1 = 4 m s 9, 81 m s 2 = 2, 47 s ) m 9, 81 m s m s 9, 81 m s 2 Die Geschwindigkeit v(t 1 ) zu diesem Zeitpunkt t 1 beträgt: v(t 1 ) 4 m s + 9, 81 m s2 2, 47 s = 20, 21 m s Zum Zeitpunkt t m ist der Stein am weitesten vom Boden entfernt. Die Funktion s(t) hat zu diesem Zeitpunkt einen Extrempunkt ihre erste Ableitung, die Geschwindigkeit v(t) ist zu diesem Zeitpunkt daher Null. Es gilt: v(t m ) = 0= 9, 81 m s 2 t m 4 m s 4 m s t m = 9, 81 m s 2 = 0, 41 s Version: 15. Februar

27 2.4. Translationsbewegungen in drei Dimensionen Weg in m Zeit in s Abbildung 2.17.: Funktionsgrafen der Weggleichungen s(t) des Steins Zeit in s v in m/s Abbildung 2.18.: Funktionsgrafen der Geschwindigkeitsgleichung v(t) des Steins 2.4. Translationsbewegungen in drei Dimensionen In vielen Fällen findet Bewegung in mehr als einer Dimension statt. In diesen Fällen wird die Position durch zwei oder drei Koordinaten beschrieben. Grundsätzlich ist man frei in der Wahl der Koordinaten, doch sind häufig kartesische Koordinatensysteme einfach zu handhaben. Die Bewegung eines Massenpunktes im dreidimensionalen Raum hat drei Freiheitsgrade (siehe Kapitel 4.2); zu seiner eindeutigen Lagebestimmung ist die Kenntnis von drei Koordinaten erforderlich. Die physikalischen Größen Beschleunigung, Geschwindigkeit und Ortsvektor sind Vektoren und besitzen daher Komponenten in jeder der drei Raumrichtungen des kartesischen Koordinatensystems. Um die Komponenten der Vektoren darzustellen gibt es zwei unterschiedliche Schreibweisen: Spaltenschreibweise: a x(t) a (t) = a y(t) v x(t) v (t) = v y(t) r x(t) r (t) = r y(t) (2.13) a z(t) v z(t) r z(t) 21 Version: 15. Februar 2017

28 2. Kinematik Zeilenschreibweise (transponierter Spaltenvektor) ( a (t) = ax(t) a y(t) ) a z(t) ( v (t) = vx(t) v y(t) ) v z(t) ( r (t) = rx(t) r y(t) ) r z(t) (2.14) Überlagerung von Bewegungen Viele Bewegungen in Natur und Technik sind keine einfachen geradlinigen gleichförmige Bewegungen. Sie kommen durch Überlagerung von einzelnen gleichzeitigen Bewegungen zustande. Dabei überlagern sich diese Bewegungen ungestört zur Gesamtbewegung. Für dreidimensionale Bewegungen gilt ebenfalls das Superpositionsprinzip (siehe Kapitel 2.3.4) Schiefer Wurf Abbildung 2.19.: Beispiel für einen schiefen Wurf. Abbildung 2.19 zeigt ein Beispiel für einen schiefen Wurf. Dabei führt der Körper gleichzeitig zwei Bewegungen aus: eine unbeschleunigte Bewegung in waagerechter Richtung längs der x-achse mit der Geschwindigkeit v 0x = v 0 cos α, eine beschleunigte Bewegung in senkrechter Richtung längs der y-achse mit der Anfangsgeschwindigkeit v 0y = v 0 sin α und der dazu entgegengesetzten Beschleunigung g. Für ein Koordinatensystem wie in Abbildung 2.19 sind die Bewegungsgleichungen in der nachfolgenden Tabelle 2.6 angegeben. Da sich die Teilbewegungen in x- und y-richtung ungestört überlagern, kann man sie getrennt voneinander berechnen und erhält die resultierende Gesamtbewegung durch Addition der Teilbewegungen. Version: 15. Februar

29 2.4. Translationsbewegungen in drei Dimensionen schiefer Wurf ( ) Beschleunigung a (t) = 0 g = m/s 9, 81 2 ( ) Geschwindigkeit v v (t) = 0x v 0y 9, 81 m/s 2 ( t ) Weg v r (t) = 0x t v 0y t 1 9, 81 2 m/s2 t 2 + ( ) r0x v 0x, v 0y, r 0x und r 0y sind die Komponentenwerte der Größen zum Zeitpunkt t = 0 s Tabelle 2.6.: Formeln für den schiefen Wurf von Abbildung 2.19 r 0y Die Formeln aus Tabelle 2.6 ergeben Gleichungen für die jeweilige x- und y- Komponenten der physikalischen Größen: physikalische Größe x-komponente y-komponente Beschleunigung a x(t) = 0m/s 2 a y(t) = 9, 81 m/s 2 Geschwindigkeit v x(t) = v 0x v y(t) = v 0y 9, 81 m/s 2 t Weg r x(t) = r 0x + v 0x t r y(t) = r 0y +v 0y t 1 2 9, 81 m/s2 t 2 v 0x, v 0y, r 0x und r 0y sind die Komponentenwerte der Größen zum Zeitpunkt t = 0 s Tabelle 2.7.: x- und y- Komponenten der physikalischen Größen von Abbildung 2.19 Es ergeben sich nun folgende Darstellungsmöglichkeiten (siehe Abbildung 2.20 bis Abbildung 2.22): Die einzelnen x- und y- Komponenten der physikalischen Größen können über die Zeit aufgetragen werden. Die x- und y- Komponenten der physikalischen Größen können gegeneinander aufgetragen werden. Der Betrag des Vektors der physikalischen Größe kann über die Zeit aufgetragen werden. 23 Version: 15. Februar 2017

30 2. Kinematik Abbildung 2.20.: (a) Die Beschleunigung a x(t) über die Zeit t aufgetragen. (b) Die Beschleunigung a y(t) über die Zeit t aufgetragen. Abbildung 2.21.: (a) Die Geschwindigkeit v x(t) über die Zeit t aufgetragen. (b) Die Geschwindigkeit v y(t) über die Zeit t aufgetragen. Abbildung 2.22.: (a) Der Weg r x(t) über die Zeit t aufgetragen. (b) Der Weg r y(t) über die Zeit t aufgetragen. (c) Der Weg r x(t) über den Weg r y(t) aufgetragen. (d) Der Gesamtweg r (t) = rx(t) 2 + r2 y(t) über die Zeit t aufgetragen. Version: 15. Februar

31 2.4. Translationsbewegungen in drei Dimensionen Beispiel für die Überlagerung von Bewegungen: Ein Vulkan schleudert einen Steinbrocken mit v 0 = 20 m s im Winkel von α = 30 zur Horizontalen. Der Stein fällt h = 200 m unterhalb des Vulkanrandes zu Boden. Welche Zeitdauer t 1 ergibt sich für den Flug des Steins bis zum Aufprall auf den Boden? Wie ist der Geschwindigkeitsvektor v (t 1 ) des Steins beim Aufprall auf den Boden? Zunächst muss man sich für ein Koordinatensystem entscheidend und die Richtung der positiven Achsen festzulegen. Da der Stein sich horizontal als auch vertikal bewegt, wählt man ein kartesisches Koordinatensystem mit zwei Achsen. Dabei liegt die x-achse in der Horizontalen Ebene und die y-achse in der vertikalen Ebenen. Die positive Richtung der x-achse liegt in Flugrichtung des Steins und die positive Richtung der y-achse soll nach oben zeigen. Als nächstes ist der Nullpunkt der Achsen festzulegen. Erst nach Wahl des Nullpunktes macht es Sinn die Bewegungsgleichungen für den Stein aufzustellen. Der Nullpunkt der Y-Achse soll auf dem Bodenniveau liegen und der Nullpunkt der x-achse wird so gewählt, dass die x-komponente des Ortsvektors r (t) bei t = 0s Null ist. y-achse α v 0 v 0y v 0x r x (0 s) = h g x-achse Abbildung 2.23.: Skizze mit Koordinatensystem und Lage des Steins für t = 0 s und den gegebenen Größen v 0 und h. Durch die Wahl des Bezugssystems ergeben sich für die Bewegung des Steins folgenden Gleichungen: ( ) 0 a (t)= 9, 81 m s ( 2 ) v v (t)= 0 cos(α) v 0 sin(α) 9, 81 m t s ( 2 ) v r (t)= 0 cos(α) t v 0 sin(α) t 1 2 9, 81 m t 2 + h s 2 25 Version: 15. Februar 2017

32 2. Kinematik Zum Zeitpunkt t 1 hat die y-komponente des Ortsvektors r y (t 1 ) den Wert Null, es gilt: r y (t 1 ) = 0= v 0 sin(α) t , 81 m s 2 (t 1) 2 + h Obige Gleichung ist eine quadratische Gleichung. Als Lösungen für die Zeitdauer t 1 ergibt sich: t 1 = ± m ( 20 m 9, 81 m s + ) 2 sin(30 ) 9, 81 m + 20 m s sin(30 ) 9, 81 m s 2 s 2 s 2 Physikalisch sinnvoll ist nur die Lösung welche eine positive Zeitdauer liefert: t 1 = m ( 20 m 9, 81 m s + ) 2 sin(30 ) 9, 81 m + 20 m s sin(30 ) 9, 81 m s 2 s 2 s 2 = 7, 49 s Zum Zeitpunkt t 1 ergibt sich für den Geschwindigkeitsvektor v (t 1 ): ( 20 m v (t1 )= s ) cos(30 ) 20 m s sin(30 ) 9, 81 m 7, 49 s s ( ) 2 17, 32 m = s 63, 48 m s 2.5. Bewegung von mehreren Körpern Wenn sich mehrerer Körper völlig unabhängig voneinander bewegen besteht oft das Interesse, wo sich die Körper zu einem bestimmten Zeitpunkt befinden. Durch Auswahl eines geeigneten Bezugssystems können die Bewegungen der Körper relativ zum Bezugssystem formal beschrieben werden. Im einfachste Fall ist das Bezugssystem gegenüber den Körpern in Ruhe. Beispiel für die Bewegung mehrere Körper: Ein Auto fährt mit der Geschwindigkeit v R = 20 m s in einer Tempo 30 Zone an einem parkenden Polizeiauto vorbei. Nachdem das Auto 100 m vom Polizeiwagen entfernt ist, beginnt dieser mit konstant a P = 1, 5 m aus dem Stand zu beschleunigen und den Raser s 2 zu verfolgen. Version: 15. Februar

33 2.5. Bewegung von mehreren Körpern Wie lange ist die Zeitdauer t, bis der Polizeiwagen das Auto eingeholt hat? Welche Geschwindigkeit v P (t ) hat zu diesem Zeitpunkt der Polizeiwagen? In einem Weg-Zeitdiagramm sollen die Funktionsgrafen der Funktionen s R (t) und s P (t) eingezeichnet werden und der zurückgelegte Weg des Polizeiautos für t bestimmt werden. Um die Aufgabenstellung zu lösen muss als erstes ein Bezugssystem mit Koordinatenachsen und Nullpunkt der Achsen festgelegt werden. Da es sich nur um eine Bewegung in einer Dimension handelt, ist nur eine x-achse notwendig. Der Nullpunkt der x-achse ist beliebig wählbar. Er wird hier an die Stelle gelegt, wo sich das parkende Polizeiauto befindet. Die Zeit soll ab der Bewegung des Polizeiautos gemessen werden. Polizei Auto a P v R x-achse Weg in m Abbildung 2.24.: Skizze mit Bezugssystem und gegebenen Größen zum Zeitpunkt t = 0 s. Bei dem gewählten Bezugssystem ergeben sich für das Polizeiauto folgenden Gleichungen: Für die Bewegung des Autos erhält man: v P (t)= a P t = 1, 5 m s 2 t s P (t)= 1 2 a P t 2 v R (t)= V R = 0, 75 m s 2 t2 = 20 m s s R (t)= v R t + s 0 = 20 m s t m Nach der Zeitdauer t haben Polizeiwagen und Auto den gleichen Weg zurückgelegt, es gilt : s P (t )= s R (t ) 1 2 a P t 2 = v R t + s 0 27 Version: 15. Februar 2017

34 2. Kinematik Als Lösung dieser quadratischen Gleichung erhält man: t = ± 2 s 0 a P + Physikalisch sinnvoll ist nur die positive Lösung: t = m 1, 5 m s 2 + = 30, 97 s ( vr a P ) 2 + v R a P ( ) 20 m 2 s 1, 5 m + 20 m s 1, 5 m s 2 s 2 Für die Geschwindigkeit des Polizeiwagens zu diesem Zeitpunkt ergibt sich: v P (t )= a P t = a P t = 1, 5 m s2 30, 97 s = 46, 46 m s Weg in km s P (t ) t Abbildung 2.25.: Funktionsgrafen der Weggleichungen s R (t) und s P (t) Zeit in s Für s P (t ) kann im Weg-Zeitdiagramm ein Wert von ca. 720 m abgelesen werden. Version: 15. Februar

35 2.6. Rotationsbewegung 2.6. Rotationsbewegung Die Rotationsbewegung, auch Drehbewegung genannt, ist die Bewegung eines Systems von Massenpunkten, z.b. eines starren Körpers, um eine Achse. Alle Massenpunkte des Körpers bewegen sich auf konzentrischen Kreisen um die zur Drehebene senkrechte Drehachse. Nachfolgend werden die Körper wie idealisiert als Massenpunkte betrachtet. Die Kreisbewegung stellt einen Spezialfall der Drehbewegung dar. Es ist die Bewegung eines Massenpunktes auf einer Bahn in einem konstanten Abstand von einer raumfesten Drehachse. Sie ist das einfachste Beispiel einer Drehbewegung Natürliche Koordinaten Um relativ überschaubare Bewegungsgleichungen zu erhalten, ist es bei einer ebenen Drehbewegung sinnvoll die Bewegung in natürlichen Koordinaten zu beschreiben. Die Bewegung wird dabei in einem mitgeführten n- und t- Koordinatensystem beschrieben, dessen Einheitsvektoren normal bzw. tangential zur Bahnkurve gerichtet sind und ihren Ursprung im bewegten Massenpunkt haben. Abbildung 2.26: Zur Definition der n- und t- Koordinatenachsen. Die beiden Achsen des Koordinatensystems werden wie in Abbildung 2.26 gezeigt definiert: Die t-achse ist die Tangente der Bahnkurve im Punkt P und positiv in Richtung zunehmender Weglänge s(t). Die positive Richtung wir mit dem Einheitsvektor e t bezeichnet. Die Normalenachse n steht senkrecht auf der t-achse und ist vom Punkt P zum Drehpunkt O gerichtet. Die positive Richtung befindet sich immer auf der konkaven Seite der Kurve und wird mit dem Einheitsvektor e n bezeichnet. Die Ebene, welche die n- und t-achse enthält, liegt genau in der Bewegungsebene des Massenpunktes. 29 Version: 15. Februar 2017

36 2. Kinematik 2.7. Physikalische Größen der Drehbewegung Für die Drehbewegung werden neue physikalische Größen eingeführt. Abbildung 2.27 zeigt ihre Lage und Angriffspunkte. Abbildung 2.27: Zur Definition der physikalischen Größen bei der Drehbewegung Drehwinkel Der Drehwinkel ϕ(t) ist der Winkel zwischen einer festen Bezugslinie und dem Ortsvektor r (t). Er wird in entgegengesetztem Uhrzeigersinn positiv gerechnet. Ein Drehwinkel von ϕ = 0 entspricht dabei der positiven x-achse. Abbildung 2.28: Zur Definition des Drehwinkels ϕ(t). Für einen Körper der bei t = 0 Sekunden auf der x-achse im Abstand r 0 zum Koordinatenursprung seine Kreisbewegung startet ergibt sich für die Berechnung des Drehwinkels ϕ(t) folgende Formel: ϕ(t) = s(t) r (t) = s(t) (2.15) r 0 Der Drehwinkel wird in Bogenmaß angegeben, seine Einheit ist: [ϕ(t)] = rad Die Zeit für einen vollen Umlauf des Ortsvektor r (t) wird als Umlaufzeit T bezeichnet. Ist diese Zeitdauer T für einen gesamten Kreisumlauf des Ortsvektors Version: 15. Februar

37 2.7. Physikalische Größen der Drehbewegung r (t) immer konstant, dann beträgt der Drehwinkel ϕ(t ) = 2 π rad. Kennt man die Zeitdauer T für den gesamten Kreisumlauf des Ortsvektors r (t), dann kann der Drehwinkel zu einem bestimmten Zeitpunkt t wie folgt berechnet werden: ϕ(t) = 2 π T t (2.16) Beispiel zum Drehwinkel: Auf dem Ziffernblatt einer analogen beträgt der Drehwinkel des Minutenzeigers während einer Stunde ϕ MZ (1 h) = 2 π. Der Stundenzeiger hat in diesem Zeitraum nur einen Drehwinkel von ϕ SZ (1 h) = 2 π 12 zurückgelegt. Wie viel Minuten nach 4 Uhr liegen Minutenzeiger und Stundenzeiger zum ersten Mal übereinander? Welchen Drehwinkel hat der Minutenzeiger bis zu diesem Zeitpunkt zurückgelegt? Abbildung 2.29.: Ziffernblatt einer analogen Uhr mit Stunden und Minutenzeiger Auch hier ist zunächst ein Bezugssystem festzulegen, bevor die Drehwinkel beider Zeiger als Funktion der Zeit durch Formel ausgedrückt werden können. Wählt man als Bezugssystem für die Drehwinkel die Lage des Minutenzeigers zum Zeitpunkt 4 Uhr dann erhält man für den Drehwinkel des Minutenzeigers ϕ MZ (t) die Formel: ϕ MZ (t)= 2 π rad 1 h Für den Drehwinkel ϕ SZ (t) des Stundenzeigers ergibt sich: t ϕ SZ (t)= 2 π rad 12 1 h t + 2 π 12 4 rad Zum Zeitpunkt t x liegen beide Zeiger übereinander, der Wert ihrer Drehwinkel ist also gleich. Es gilt: 2 π rad 1 h ϕ MZ (t x ) = ϕ SZ (t x ) t x = 2 π rad 12 1 h t x + 2 π 12 4 rad 31 Version: 15. Februar 2017

38 2. Kinematik Als Lösung erhält man schließlich t x = min. Der Minutenzeiger hat in dieser Zeit t x folgenden Drehwinkel ϕ MZ (t x ) zurückgelegt: ϕ MZ (t x )= 2 π rad t x 1 h = 2 π rad 60 min min = 8 11 π rad Ortsvektor Bei der Kreisbewegung hat die Bahnkurve s(t) des Massenpunktes eine Kreisform. Der Ortsvektor r (t) durchläuft dabei in periodischen Zeitabständen T diese Bahnkurve. Da es sich um eine zweidimensionale Bewegung handelt, werden zur Beschreibung des Ortsvektors Koordinaten in x- und y- Richtung benötigt. Als Koordinatenursprung wählt man im Allgemeinen den Mittelpunkt O der Kreisbewegung. Abbildung 2.30: Zur Definition des Ortsvektors r (t). Für einen Körper der bei t = 0 Sekunden auf der x-achse im Abstand r 0 zum Koordinatenursprung seine Kreisbewegung startet und für einen Kreisumlauf immer die gleiche Zeitdauer T braucht, lautet der Ortsvektor: ( ) ( ) rx (t) cos(ϕ(t)) r (t) = = r r y (t) 0 (2.17) sin(ϕ (t) ) r (t) = r0 cos ( 2 π T t) sin ( 2 π (2.18) T t) Version: 15. Februar

39 2.7. Physikalische Größen der Drehbewegung Bahngeschwindigkeit Die Geschwindigkeit, mit der sich der Massenpunkt auf einer Kreisbahn bewegt, wird als Bahngeschwindigkeit v (t) bezeichnet. In einem kleinen Zeitintervall t legt der Massenpunkt einen Weg s entlang der Bahnkurve zurück (siehe Abbildung 2.31(a)). Die Verschiebung r ist die Lageänderung des Massenpunktes. Die Verschiebung wird durch Vektorsubtraktion ermittelt: r = r (t + t) r (t). Für die mittlere Geschwindigkeit des Massenpunktes gilt : v mittel = r t (2.19) Abbildung 2.31.: Zur Definition der Bahngeschwindigkeit. Die momentane Geschwindigkeit v (t) wird aus Gleichung 2.19 ermittelt, indem im Grenzübergang t 0 strebt und somit die Richtung von r sich der Tangente der Bahnkurve im Punkt P annähert. ( ) r v (t) = lim t 0 t (2.20) = d r (t) dt (2.21) Da die Richtung von r mit t 0 sich der Tangente der Bahnkurve im Punkt P annähert, ist die Richtung der Bahngeschwindigkeit v (t) ebenfalls tangential zur Bahnkurve. Es gilt: v (t) = v (t) e t (2.22) Bei einer Kreisbewegung mit gleichbleibender Umlaufzeit bleibt der Betrag der Bahngeschwindigkeit konstant. Man spricht in diesem Fall von einer gleichförmigen Kreisbewegung. Setzt man in Gleichung 2.21 den Ortsvektor aus 33 Version: 15. Februar 2017

40 2. Kinematik Gleichung 2.30 ein, dann erhält man für die Bahngeschwindigkeit v (t) einer gleichförmigen Kreisbewegung: d v (t) = r 0 cos ( 2 π T t) dt sin ( 2 π (2.23) T t) Beschleunigung Die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit des Massenpunktes ist seine Beschleunigung. Es gilt also: d a (t) = v (t) = v (t) (2.24) dt Um die Formel etwas übersichtlicher zu gestalten ersetzt man a (t) = a und v (t) = v. Mit Hilfe von Gleichung 2.22 kann man für Gleichung 2.24 schreiben: a = v = v e t + v e t (2.25) Bei der Berechnung von e t in Gleichung 2.25 ist zu beachten, dass sich bei der Bewegung des Massenpunktes entlang der Bahnkurve während der Zeitdauer dt der Einheitsvektor e t seinen Betrag behält, aber seine Richtung ändert und zu e t wird (siehe Abbildung 2.32(a)). Abbildung 2.32.: Zur Definition der Beschleunigung. Die Änderung des Einheitsvektors e t während der Zeitdauer dt beträgt also: d e t. In Abbildung 2.32(b) erkennt man, dass die Richtung von d e t in Richtung von e n liegt. Da Einheitsvektor den Betrag von 1 haben, ist der Betrag von d e t = 1 dϕ. Mit der Beziehung dϕ = ds r 0 ergibt sich für den Term e t aus Gleichung 2.25: e t = d e t dt = dϕ dt e n = ds dt 1 r 0 e n (2.26) = v r 0 e n (2.27) Version: 15. Februar

41 2.7. Physikalische Größen der Drehbewegung Mit Gleichung 2.27 ergibt sich für Gleichung 2.25: a = v e t + v e t (2.28) = v e t + v2 e n r 0 (2.29) = a t + a n (2.30) Die Beschleunigung a setzt sich aus den beiden senkrecht aufeinander stehenden Komponente a n und a t zusammen. Sie zeigt immer in Richtung der konkaven Seite der Bahnkurve. Abbildung 2.33.: Die Lage der Beschleunigung a. Die Tangentialbeschleunigung a t = dv e dt t ist ein Vektor in Tangentialrichtung, also parallel zu v. Die Änderung des Betrages der Geschwindigkeit wird durch a t = dv beschrieben. dt Die Normalbeschleunigung a n = v2 r 0 e n ist ein Vektor senkrecht auf der Tangente, also in Normalenrichtung. Er beschreibt die Änderung der Richtung der Geschwindigkeit. Die Normalbeschleunigung wird auch als Radialbeschleunigung oder Zentripetalbeschleunigung bezeichnet. Ist a n = 0, so durchläuft der Massenpunkt eine Gerade. Für eine gekrümmte Bahn muss a n 0 sein. Mit a t = 0 läuft der Massenpunkt mit konstantem Betrag der Geschwindigkeit auf einer Kurve deren Verlauf durch a n bestimmt wird Winkelgeschwindigkeit Die Winkelgeschwindigkeit ω ist eine vektorielle physikalische Größe, welche die zeitliche Änderung des Drehwinkels ϕ angibt. Für den Betrag ω = ω ergibt sich: ω = d ϕ(t) (2.31) dt Die Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist: [ω] = rad/s 35 Version: 15. Februar 2017

42 2. Kinematik Die Richtung der Winkelgeschwindigkeit weist immer entlang der Drehachse. Die positive Richtung der Winkelgeschwindigkeit ist so definiert, dass die Drehung die Achse im Rechtssinn umläuft. Die Winkelgeschwindigkeit ist ein axialer Vektor, weil der Zusammenhang mit einer Richtung erst durch die Drehung um eine Achse entsteht. Die Bahngeschwindigkeit v steht nach dieser Definition immer senkrecht zu der Winkelgeschwindigkeit ω. Abbildung 2.34.: Zur Definition der Winkelgeschwindigkeit ω bei einer kreisförmigen Drehbewegung. Da der Betrag vom Radius r (t) = r 0 konstant ist, ergibt sich mit Gleichung 2.15 für Gleichung 2.31: ω = d dt ϕ(t) = d s(t) dt r 0 = 1 d s(t) (2.32) r 0 dt = v r 0 (2.33) Die Vektoren ω, r und v stehen alle rechtwinklig zueinander. Daher ist es möglich Gleichung 2.33 auch in vektorieller Form zu formulieren: v = ω r (2.34) Die Reihenfolge der Vektoren in Gleichung 2.34 ist wichtig, denn das Kreuzprodukt ist nicht kommutativ. Abbildung 2.35.: Die drei Vektoren v, r und ω liegen rechtwinkelig zueinander. Version: 15. Februar

43 2.7. Physikalische Größen der Drehbewegung Beispiel: Zusammenhang zwischen Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit Die Spitze des Minutenzeigers einer Turmuhr hat die Bahngeschwindigkeit v B = m s. Welche Länge L hat der Zeiger? Da es sich um eine Minutenzeiger handelt, legt dieser innerhalb einer Stunde einen Drehwinkel ϕ(1 h) = 2 π zurück. Damit ergibt sich für die Winkelgeschwindigkeit ω: ω= ϕ(1 h) 3600 s = 2 π 3600 s Die Größen Bahngeschwindigkeit v B, Winkelgeschwindigkeit ω und Zeigerlänge L sind durch Gleichung 2.34 miteinander verknüpft. Da alle Größen senkrecht zueinander stehen kann man schreiben: v B = ω L L= v B ω = m s 2 π = 0, 86 m 3600 s Winkelbeschleunigung Die Winkelbeschleunigung α ist eine vektorielle physikalische Größe und gibt die zeitliche Änderung der Winkelgeschwindigkeit ω an: Die Einheit der Winkelbeschleunigung ist: [α] = rad/s 2 α = d ω (t) (2.35) dt Abbildung 2.36.: Zur Definition der Winkelbeschleunigung. Die Winkelbeschleunigung ist wie die Winkelgeschwindigkeit ein axialer Vektor und liegt parallel zur Drehachse. Winkelbeschleunigung und Winkelgeschwindigkeit haben die gleiche positive Richtung. 37 Version: 15. Februar 2017

44 2. Kinematik Drehzahl Die Drehzahl n oder Drehfrequenz gibt die Häufigkeit der Umdrehungen an. Sie ist abhängig von der Winkelgeschwindigkeit ω bzw. der Periodendauer T : n = ω 2 π = 1 T (2.36) Zusammenhang zwischen Winkelbeschleunigung und Beschleunigung Allgemein gilt für die Beschleunigung: Mit Hilfe von Gleichung 2.34 kann man schreiben: d a = v (t) (2.37) dt d [ ] a = ω r dt = ( d ω dt r ) + ( ω d r ) dt Mit Hilfe von Gleichung 2.35 und Gleichung 2.21 erhält man: a = ( α r ) + ( ω v ) (2.38) (2.39) (2.40) Durch ein Koeffizientenvergleich mit Gleichung 2.30 ergibt sich dann für a t und a n : a t = ( α r ) a n = ( ω v ) (2.41) (2.42) = ω 2 r 1 (2.43) 1 Mit Gleichung 2.34 ergibt sich ( a n = ω ( ω ) ) r = ( ω ) r ω ( ω ω ) r = ω 2 r Version: 15. Februar

45 2.8. Arten von Kreisbewegungen 2.8. Arten von Kreisbewegungen Gleichförmige Kreisbewegung Bei der gleichförmigen Kreisbewegung verläuft die Bahnkurve kreisförmig, wobei der Betrag der Bahngeschwindigkeit konstant ist und sich nur die Richtung der Bahngeschwindigkeit ändert. Winkelbeschleunigung Winkelgeschwindigkeit Drehwinkel Bahngeschwindigkeit Normalbeschleunigung Tangentialbeschleunigung gleichförmig Kreisbewegung vektorieller α = 0 ω = ω 0 Betrag ϕ(t) = ϕ 0 + ω 0 t v = ω r v= ω0 r a n = ω v a n = r w 2 0 a t = α r (t) a t = 0 Drehzahl n 0 = ω 0 2 π ω 0 und ϕ 0 sind die Werte der Größen zum Zeitpunkt t = 0 s Tabelle 2.8.: Physikalisch Größen bei der gleichförmig Kreisbewegung. Bei einem wie in Gleichung 2.18 gegeben Ortsvektor ( ) ( ) rx (t) cos(ϕ(t)) r (t) = = r r y (t) 0 (2.44) sin(ϕ(t)) r (t) = r0 cos ( 2 π T t) sin ( 2 π (2.45) T t) erhält man dann für die Geschwindigkeit v (t): d v (t) = r 0 cos ( 2 π T t) dt sin ( 2 π (2.46) T t) = r 0 2 π sin ( 2 π T t) T cos ( 2 π (2.47) T t) Bei einer gleichförmigen Drehbewegung ist die Umlaufzeit T konstant. Der Term ist dann die konstante Winkelgeschwindigkeit ω. Für Gleichung 2.47 ergibt 2 π T 39 Version: 15. Februar 2017

46 2. Kinematik sich: v (t) = r0 ω sin ( ω t ) cos ( ω t ) (2.48) Für die Beschleunigung muss Gleichung 2.47 noch einmal nach der Zeit differenziert werden. Man erhält: a (t) = r0 ω 2 cos ( ω t ) sin ( ω t ) (2.49) a (t) = ω2 r (t) (2.50) Da die Tangentialbeschleunigung a t = 0 ist, ist die Beschleunigung in Gleichung 2.50 eine Normalbeschleunigung. Gleichung 2.50 geht damit in Gleichung 2.43 über Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung Bei einer gleichmäßig beschleunigten Kreisbewegung ist der Betrag der Geschwindigkeit v als auch der Betrag der Winkelgeschwindigkeit ω von der Zeit abhängig und nicht konstant. Es treten dann eine Tangentialbeschleunigung a t, eine Normalbeschleunigung a n und eine Winkelbeschleunigung α auf. gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung Winkelbeschleunigung Winkelgeschwindigkeit vektorieller α = α 0 ω (t) = ω 0 + α 0 t Betrag Drehwinkel ϕ(t) = ϕ 0 + ω 0 t α 0 t 2 Bahngeschwindigkeit Normalbeschleunigung Tangentialbeschleunigung Drehzahl v (t) = ω (t) r (t) v(t) = r [ ω0 + α 0 t ] a n (t) = ω (t) v (t) a n (t) = r [ω 0 + α 0 t ] 2 a t = α r (t) a t = α 0 r n(t) = ω(t) = n 2 π 0 + α 0 t 2 π n 0 = ω 0 2 π α 0, ω 0, n 0 und ϕ 0 sind die Werte der Größen zum Zeitpunkt t = 0 s Tabelle 2.9.: Physikalisch Größen bei der gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung. Version: 15. Februar

47 2.8. Arten von Kreisbewegungen Beispiel für gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung: Eine CD, die in den Player eingelegt wird, wird aus dem Stillstand (t = 0 s) bis zum Zeitpunkt t 1 = 6, 28 s mit einer konstanten Winkelbeschleunigung α auf eine Drehzahl n(t 1 ) = 10 s 1 beschleunigt. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω(t 1 ) zum Zeitpunkt t 1? Wie groß ist die Winkelbeschleunigung α? Wie viele Umdrehungen N(t 1 ) vollführt die CD innerhalb der Zeitdauer zwischen Null Sekunden und dem Zeitpunkt t 1? Welche Strecke s(t) hat ein Punkt P auf dem Rand der CD (r = 6 cm) bis zum Zeitpunkt t 1 zurückgelegt, während der die CD beschleunigt wird? Als Erstes muss ein Bezugssystem für die physikalischen Größen festgelegt werden. Es ist wichtig für die zeitlich invarianten Größen einen Zeitpunkt t = 0 s festzulegen, ab diesem diese Größen dann betrachtet werden und physikalische Formeln für sie erstellt werden. Hier wird als Nullpunkt der Zeitachse der Zeitpunkt gewählt bei dem die CD sich aus dem Stillstand beginnt zu drehen. Durch die Wahl dieses Nullpunkts der Zeitachse ergeben sich für zeitlich invarianten Größen Drehwinkel ϕ(t), Drehzahl n(t), Winkelgeschwindigkeit ω(t) und zurückgelegte Wegstrecke s(t) folgenden Anfangswerte: ϕ(0 s)= 0 n(0 s)= 0 ω(0 s)= 0 s(0 s)= 0 Da die Winkelbeschleunigung α konstant ist, ergibt sich für Winkelgeschwindigkeit ω(t): ω(t) = α t Zum Zeitpunkt t 1 = 6, 28 s ergibt sich die ω(t 1 ) aus der Drehzahl n(t 1 ) (siehe Tabelle 2.9): ω(t 1 )= 2 π rad n(t 1 ) = 2 π rad 10 s 1 = 62, 8 rad s Für die Winkelgeschwindigkeit ω(t) gilt (siehe Tabelle 2.9): ω(t)= α t 41 Version: 15. Februar 2017

48 2. Kinematik Daher ergibt sich für die Winkelbeschleunigung α: α= ω(t) t = ω(t 1) t 1 = 62, 8 rad s 6, 28 s = 10 rad s 2 Um die Umdrehungen N(t 1 ) zu erhalten muss zunächst der Drehwinkelϕ(t 1 ) berechnet werden. Es gilt: ϕ(t)= 1 2 α t2 Für den Drehwinkelϕ(t 1 ) ergibt sich daher: ϕ(t 1 )= 1 2 α (t 1) 2 = 1 rad 10 (6, 28 s)2 2 s2 = 197, 2 rad Die Umdrehungen N(t 1 ) berechnen sich dann zu: N(t 1 )= ϕ(t 1) 2 π rad 197, 2 rad = 2 π rad = 31, 4 Die zurückgelegte Strecke s(t 1 ) des Punktes P ergibt sich aus: s(t 1 )= ϕ(t 1 ) r = 197, 2 6 cm = 11, 8 m Version: 15. Februar

49 3. Dynamik 3.1. Einführung In der Kinematik wird die Bewegung von Körpern beschrieben, ohne die Ursache für die Bewegung zu berücksichtigen. In der Dynamik wird nun die Ursache für die Bewegung, d. h. die Einwirkung der Umgebung auf einen Körper, berücksichtigt. In der Physik bezeichnet man diese Einwirkung auf den Körper als die Wechselwirkung zweier Systeme. Heute erscheint es selbstverständlich, dass die Ursache für die Änderung der Bewegung eines Körpers in der Wechselwirkung des Körpers mit seiner Umgebung liegt. Historisch gesehen ist diese Überlegung eine richtungweisende Abstraktionsleistung. Die allgemeinen Gesetze der Bewegung von Körpern waren bis 1687 allerdings unbekannt, als Isaac Newton seine drei Grundgesetze für die Bewegung eines Körpers vorstellte. Diese Gesetze bilden das Fundament der klassischen Mechanik. Obwohl sie im Rahmen moderner physikalischer Theorien wie der Quantenmechanik und der Relativitätstheorie nicht uneingeschränkt gelten, sind mit ihrer Hilfe innerhalb eines weit gefassten Gültigkeitsbereiches zuverlässige Vorhersagen möglich. Eine wichtige physikalische Größe in der Dynamik ist die Kraft. Der Kraftbegriff geht auf Isaac Newton zurück. Die Kraft ist die physikalische Größe welche die Einwirkung beschreibt, die den Bewegungszustand des Körpers ändert (siehe ). Sie ist also die Ursache für jede Veränderung des Bewegungszustandes eines Körpers. Die Dynamik beschreibt daher die Bewegung von Körpern unter Einfluss von Kräften Newtons Axiome Eine Grundannahme von Newton ist, dass ein Körper, der sich geradlinig gleichförmig bewegt, keine äußeren Einwirkungen benötigt. Jede Änderung des Bewegungszustandes des Körpers ist aber auf eine von außen einwirkende Kraft zurückzuführen. 43 Version: 15. Februar 2017

50 3. Dynamik Erstes Axiom Das erste Axiom, dass sogenannte Trägheitsprinzip, macht Aussagen über die Bewegung von physikalischen Körpern bei der Abwesenheit von äußeren Kräften: Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Translation, sofern er nicht durch einwirkende Kräfte zu einer Veränderung seines Bewegungszustandes gezwungen wird. Das im ersten Axiom beschriebene Verhalten von Körpern oder Massenpunkte, den Zustand der Ruhe oder einer einmal vorhandenen gleichförmigen geradlinigen Bewegung beizubehalten, führt man zurück auf eine als Trägheit oder Beharrungsvermögen bezeichnete intrinsische Eigenschaft der Masse eines Körpers. Die Begriffe Ruhe bzw. gleichförmige Translation setzen jedoch voraus, dass ein bestimmtes Bezugssystem, ein sogenanntes Inertialsystem zugrunde gelegt wird. Ein solches Koordinatensystem dreht sich nicht und ist ortsfest, bzw. verschiebt sich in eine bestimmte Richtung mit einer konstanten Geschwindigkeit. Ein mögliches Inertialsystem ist ein durch den Fixsternhimmel definiertes Bezugssystem. Abbildung 3.1.: Zur Definition eines Inertialsystems: (a) Beobachter befindet sich im xy-system. (b)beobachter befindet sich im x y -System. Ist ein Inertialsystem einmal gefunden, so kann man gleich unendlich viele andere Systeme angeben, die ebenfalls als Bezugssystem brauchbar sind. Wenn eine Bewegung vom Fixsternhimmel aus gesehen als geradlinig und gleichförmig erscheint, so ist dies auch der Fall von jedem Koordinatensystem aus, welches sich relativ zum Fixsternhimmel selbst gleichförmig geradlinig bewegt. Ein im Bezugssystem der Fixsterne ruhender Körper erscheint in dem zweiten Inertialsystem Version: 15. Februar

51 3.2. Newtons Axiome allerdings gleichförmig und geradlinig bewegt. Daher kann man eine absolute Geschwindigkeit niemals feststellen. Diese Feststellung wird auch Galilei sches Relativitätsprinzip genannt. Die Frage was man sich unter dem Begriff Kraft vorzustellen hat wird dabei erst durch das nächste Axiom weiter untersucht. Befindet man sich nicht in einem Inertialsystem, dann verlieren die Newtonsche Gesetze zunächst ihre Gültigkeit. Erst durch entsprechende Erweitertungen sind sie in solchen Fällen weiterhin anwendbar (siehe Kapitel 3.4) Masse Die Masse ist eine wichtigste physikalische Eigenschaft der Materie. Die Masse ist ein Maß für die Trägheit eines Körpers, d. h. ein Maß für den Widerstand eines Körpers gegen eine Bewegungsänderung. Man spricht deshalb von Träger Masse. Die Masse ist unabhängig vom Ort, an dem sich ein Körper befindet und bei nicht relativistischer Betrachtung unabhängig vom Bewegungszustand des Körpers. Die SI-Basiseinheit der Masse, das Kilogramm (kg), wird über eine Referenzmasse definiert. Ein Kilogramm ist die Masse des internationalen Kilogrammprototyps. Die physikalische Größe Masse hat außer der Eigenschaft Trägheit auch die Eigenschaft Schwere. Durch die Schwere Masse eines Körpers erzeugt dieser ein Gravitationsfeld, dessen Stärke zu seiner Schweren Masse proportional ist(siehe Kapitel 5). Experimentell lässt sich kein Unterschied zwischen Träger und Schwerer Masse nachweisen und man verwendet im Allgemeinen nur den Begriff Masse Impuls Um die Bewegung eines Körpers zu beschreiben wird der Impuls p als neue physikalische Größe eingeführt. Der Impuls eines Körpers ist das Produkt aus seiner Masse m und seiner Geschwindigkeit v : p = m v (3.1) Der Impuls ist eine Vektorgröße, er hat also einen Betrag und weist in die Richtung der Geschwindigkeit v. Jeder bewegliche Körper kann seinen Impuls, etwa bei einem Stoßvorgang, ganz oder teilweise auf andere Körper übertragen oder von anderen Körpern übernehmen (siehe Kapitel 3.6.1). 45 Version: 15. Februar 2017

52 3. Dynamik Abbildung 3.2: Geschwindigkeit und Impuls haben gleiche Richtung, aber nicht unbedingt gleichen Betrag Zweites Axiom Die Änderung der Bewegung eines Körpers erfolgt nie von alleine. Dazu ist immer eine äußere Ursache notwendig. Das zweite Newton sche Axiom heißt Aktionsprinzip, weil es den Zusammenhang zwischen der Änderung der Bewegung eines Körpers und der Einwirkung von Kräften F (als äußere Ursache) herstellt: Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der Kraft proportional und erfolgt geradlinig entlang der Richtung, nach welcher jene Kraft wirkt. Wenn irgend eine Kraft eine gewisse Änderung der Bewegung hervorbringt, so wird die doppelte Kraft eine doppelte Änderung, die dreifache Kraft eine dreifache Änderung erzeugen. Mit dem Impuls als Maß für die Bewegung eines Körpers ergibt sich für das zweite Axiom folgende Formulierung: Die zeitliche Änderung des Impulses ist gleich, der auf den Massenpunkt wirkende Kraft Damit kann das zweite Axiom mathematisch wie folgt geschrieben werden: F = d d p = dt dt = m d dt ( m v ) (3.2) v + v d dt m (3.3) Für den im täglichen Leben häufigen Fall einer konstanten Masse m ergibt sich daraus das Newton sche Grundgesetz der Dynamik: Die Kraft F = m d v = m a (3.4) dt Die Kraft F für Körper mit konstanter Masse m ist nach Gleichung 3.4 proportional zur Momentanbeschleunigung a. Die Kraft F ist eine vektorielle physikalische Größe, deren Richtung parallel zur Beschleunigung a verläuft. Die Version: 15. Februar

53 3.2. Newtons Axiome international verwendete Einheit für Kraft ist das Newton : [ F ] = N = kg m s 2 Für die Addition von Kräften und die Zerlegung einer Kraft in verschiedenen Kraftrichtungen gelten die Regeln der Vektorrechnung. Die Wirkung einer Kraft auf einen Körper hängt im allgemeinen auch vom Angriffspunkt ab. Die Wirkungslinie ist die Gerade, die durch den Angriffspunkt einer Kraft geht und die Richtung der Kraft hat. Alle Punkte auf dieser Geraden können als Angriffspunkt der Kraft angesehen werden, da die äußere Wirkung der Kraft auf den Körper sich nicht ändert, wenn ihr Angriffspunkt in der Wirkungslinie verschoben wird. Dies bezeichnet man als Prinzip der Linienflüchtigkeit. Abbildung 3.3: Der Angriffspunkt einer Kraft kann auf deren Wirkungslinie frei gewählt werden. Beispiel: Person in einem fahrenden Aufzug Eine Person mit der Masse m = 75 kg steht innerhalb eines Aufzuges auf einer Waage. Die Waage misst Kräfte und ist in Newton geeicht. Was zeigt die Waage an: wenn der Aufzug mit einer Beschleunigung von a 1 = 1 2 g nach oben fährt? wenn der Aufzug mit einer Beschleunigung von a 2 = 1 2 g nach unten fährt? a 1 x g F G F N Abbildung 3.4.: Übersichtsskizze mit Bezugssystem und alle relevanten Kräften und Beschleunigungen 47 Version: 15. Februar 2017

54 3. Dynamik Es handelt sich um eine Bewegung in nur einer Dimension handelt reicht eine Bezugsachse aus. Die positive Richtung dieser Achse wurde willkürlich nach oben angenommen. Wegen der eindimensionalen Bewegung können die vektoriellen Größen in den Gleichungen durch ihre skalare Beträge dargestellt werden. Die Richtung der Vektoren wird dabei durch das Vorzeichen in den Gleichungen berücksichtigt. Bei der Fahrt nach oben übt die Person eine Kraft F G = m g auf die Platte der Waage aus. Die Waage wirkt mit einer größeren Kraft F N auf die Person ein. Die resultierende beider Kräfte ist ungleich Null es kommt zu einer Beschleunigung a 1 der Person nach oben. Es gilt: F= FN F G = m a 1 = F N = F G + m a = m (g + a)= 75 kg (9, 81 ms , 81 ms ) 2 = 1103, 6 N Bei der Fahrt nach unter übt die Person eine Kraft F G = m g auf die Platte der Waage aus. Die Waage wirkt mit einer kleineren Kraft F N auf die Person ein. Die resultierende beider Kräfte ist ungleich Null es kommt zu einer Beschleunigung a 1 der Person nach unten. Es gilt: F= FN F G = m a 2 = F N = F G m a = m (g + a)= 75 kg (9, 81 ms , 81 ms ) 2 = 367, 9 N Resultierende Kraft Greifen an einem Körper mehrere Kräfte F i gleichzeitig an, dann können die Einzelkräfte zu einer resultierenden Kraft F r zusammengefasst werden, wenn sich ihre Wirkungslinien in einem Punkt schneiden. Diese resultierende Kraft ist in ihrer Wirkung auf den Körper den ursprünglichen Kräften äquivalent, also gleichwertig. Mathematisch wird die resultierende Kraft F r durch Vektoraddition aller Einzelkräfte F i berechnet: n F r = F i (3.5) Auch graphisch ist ein Auffinden der resultierenden Kraft F r und ihrer Wirkungslinie möglich. i Version: 15. Februar

55 3.2. Newtons Axiome Abbildung 3.5: Graphische Ermittlung der Resultierenden. Die am Körper angreifenden Einzelkräfte werden dabei entlang ihrer Wirkungslinie bis zu dem Punkt P verschoben, wo sich alle Wirkungslinien treffen. Die Einzelkräfte werden dann unter Beibehaltung ihrer Größe und Richtung aneinander gefügt. Die resultierende Kraft F r reicht dann vom Ausgangspunkt bist zur Spitze der letzten Einzelkraft Zerlegung von Kräften Ebenso wichtig wie die Zusammenfassung mehrerer Kräfte ist die Zerlegung einer gegebenen Kraft in mehrere Komponenten von vorgegebener Richtung. Auf einen Körper der sich auf einer schiefen Ebenen befindet wirkt aufgrund seiner Masse m die vertikal nach unten gerichtete Gewichtskraft F g. Eine Bewegung des Körpers kann nur parallel zur Ebenen erfolgen. Aus diesem Grund zerlegt man F g in zwei Teilkräfte, in eine parallel zur schiefen Ebene gerichtete Kraft F p und in eine senkrecht dazu gerichtete Kraft F n. Abbildung 3.6.: Zerlegung der Gewichtskraft F g in eine Teilkraft F p parallel zur schiefen Ebene und in eine Teilkraft F n senkrecht zur schiefen Ebene. Für die Bewegung des Körpers ist nur die Kraft F p verantwortlich, da die Kraft F n mit der der Körper auf die Ebene wirkt kompensiert wird durch ein entgegengesetzt Kraft gleicher Größe die von der Ebene auf den Körper wirkt. 49 Version: 15. Februar 2017

56 3. Dynamik Beispiel für das zweiten Newton schen Axioms: Eine Kiste mit der Masse m = 40 kg ruht auf einer horizontalen Ebene. Die Kiste wird mit Hilfe eines Seils aus der Ruhelage unter Einwirkung der in Abbildung 3.7 dargestellten Zugkraft F = 50 N bewegt. Es ist die Geschwindigkeit v(t) der Kiste zur Zeit t 1 = 3 s nach dem Start aus der Ruhelage zu bestimmen. F α = 37 Abbildung 3.7.: Kiste wird an einem Seil mit einer konstanten Kraft gezogen Generelle Vorgehensweise zu Lösung der Aufgaben: Übersichtsskizze zeichnen mit alle auf den Körper wirkenden Kräften. Soweit möglich, die Richtung des Beschleunigungsvektor des Körpers einzeichnen. Bezugssystem in die Skizze einzeichnen Kräfte koordinatenweise zerlegen Zweiten Newton schen Axioms koordinatenweise anwenden. y g F G F α = 37 a v x F N Abbildung 3.8.: Übersichtsskizze mit Koordinatensystem und alle auf die Kiste einwirkenden Kräfte und Beschleunigungen Version: 15. Februar

57 3.2. Newtons Axiome Bezogen auf das Koordinatensystem aus Abbildung 3.8 liefert das Newton sche Grundgesetz in Koordinatenschreibweise folgende Gleichung: Fx = m a x Damit ergibt sich für die Beschleunigung a: F cos α= m a x a x = F cos α m = 500 N cos(37 ) 40 kg = 1 m s 2 In y-richtung herrscht ein Kräftegleichgewicht: Fy = 0 F sin α + F N F G = 0 Daher ist die Beschleunigung in y- Richtung Null. Die Beschleunigung a x ist konstant, denn die Kraft F x ist konstant. Die Anfangsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0 s ist sowohl in x-richtung als auch in y-richtung Null und die Beschleunigung a weist nur eine x-komponente auf. Für die Geschwindigkeit v (t) ergibt sich : ( ) ax t v (t) = 0 Für die Geschwindigkeit v (3 s) ergibt sich somit: ( ) 1 m 3 s v (3 s) = s 2 0 ( ) 3 m = s Drittes Axiom Eine auf einen Körper wirkende Kraft kann nicht aus dem Körper selbst stammen. Sie ist durch seine Beziehung zu der ihm umgebenen Welt bedingt. Ein einzelner Körper welcher sich allein im leeren Raum befindet erfährt überhaupt 51 Version: 15. Februar 2017

58 3. Dynamik keine Kraftwirkung. Damit eine Kraft auf diesen Körper wirkt muss mindestens noch ein zweiter Körper vorhanden sein. Die Erfahrung zeigt nun, dass wenn ein Körper A durch eine Kraft F AB die Bewegung eines anderen Körpers B beeinflusst, der Körper B umgekehrt auch die Bewegung des Körpers A durch eine Kraft F BA beeinflusst (siehe Abbildung 3.9). Die Aktion des Körpers A auf den Körper B (=F AB ) ist immer von der Reaktion des Körpers B auf den Körper A begleitet (=F BA ). Newton erkannte die Allgemeingültigkeit dieser Tatsache und formulierte sie als drittes Axiom: Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich, oder die Wirkungen zweier Körper auf einander sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung. Das dritte newtonsche Axiom wird daher auch Wechselwirkungsprinzip genannt. Abbildung 3.9: Die Kraft F AB welche die Faust auf die Wand ausübt hat den gleichen Betrag wie die Kraft F BA welche die Wand auf die Faust ausübt Prinzip von d Alembert An einen ruhenden Massenpunkt, an welchem zwei gleich große aber entgegengesetzte Kräfte F 1 und F 2 angreifen, ist die resultierende Kraft F R Null. Der Massenpunkt wird nicht aus seiner Ruhelage bewegt, er befindet sich im statischen Gleichgewicht (siehe Abbildung 3.10). Abbildung 3.10: Die Vase befindet sich im statischen Gleichgewicht. Die Gewichtskraft F 1 welche die Gravitation auf sie ausübt wird durch die Kraft F 2 welche der Tisch auf sie ausübt kompensiert. Es gilt: F 1 + F 2 = 0 (3.6) Version: 15. Februar

59 3.4. Beschleunigte Bezugssysteme Ohne Tisch greift an der Vase nur die Gewichtskraft F 1 an und sie wird daher beschleunigt. Abbildung 3.11: Auf die Vase wirkt nur die Gewichtskraft F 1. Sie wird daher beschleunigt. Das zweite Newtonsche Axiom F 1 = m a (siehe Gleichung 3.4) kann auch in folgender Weise angegeben werden: F 1 m a = 0 (3.7) Der Vektor m a stellt zwar keine reale Kraft da, er wird aber trotzdem als Trägheitskraft F T räg bzw. als Scheinkraft bezeichnet, da er der einzigen realen Kraft F 1 in Gleichung 3.7 das Gleichgewicht hält. Es gilt: F 1 + F T räg = 0 (3.8) mit F T räg = m a (3.9) Der Zustand des Gleichgewichts wird dynamisches Gleichgewicht genannt Beschleunigte Bezugssysteme Beschleunigte Bezugssysteme sind alle Bezugssysteme, die kein Inertialsystem sind. Betrachtet man einen Massenpunkt in einem beschleunigten System, muss dieser Umstand in den Bewegungsgleichungen berücksichtigt werden. Für die Bewegungsgleichungen mit beschleunigtem Bezugssysteme treten in den Gleichungen zusätzliche zu den realen Kräfte noch Scheinkräfte oder Trägheitskräfte auf Linear beschleunigte Bezugssysteme Betrachtet man einen Massenpunkt in einem beschleunigten System dann unterliegen beide der gleichen konstanten Beschleunigung in einer oder mehreren Raumrichtungen. In Abbildung 3.12(b) wird ein Eisenbahnwagon mit der konstanten Beschleunigung a nach rechts beschleunigt. Ein mit dem Wagon fest verbundenes Bezugssystem, der Ball, als auch der Beobachter im Wagon unterliegen dann dieser Beschleunigung. 53 Version: 15. Februar 2017

60 Labor Technische Physik 3. Dynamik Abbildung 3.12.: (a)der Wagon ist zunächst in Ruhe. (b)der Wagon hat die konstante Beschleunigung a nach rechts. Wenn man die relative Bewegung des Balls im beschleunigten Bezugssystem beschreiben will, muss diese Beschleunigung als Trägheitskraft F T bei den Be wegungsgleichungen berücksichtigt werden. Für F T gilt: F T = m a (3.10) Auch der Körper des Beobachters im Wagon unterliegt der Trägheitskraft. Sie ist für ihn genauso real wie z. B. die Gravitationskraft. Weiß der Beobachter nicht, dass er beschleunigt wird, wir er diese Trägheitskraft als unerklärliche Kraft annehmen. Diese Kraft existiert aber nur für den Beobachter im Wagon, nicht aber für einen ruhenden Beobachter außerhalb des Wagons neben den Schienen. daher der Ausdruck Scheinkraft Rotierende Bezugssysteme Ein Massenpunkt der sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn 2 befindet erfährt die radiale Beschleunigung bzw. Normalbeschleunigung ar = vr (siehe Kapitel 2.8.1). Ein rotierendes System ist ein beschleunigtes System und es treten daher Trägheitskräfte auf Zentrifugalkraft In Abbildung 3.13 befindet sich der Beobachter auf der Wiese in einem unbeschleunigten Bezugssystem. Von seinem Standpunkt aus gesehen rotiert die und dem Person auf der Scheibe mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ω Abstand r um die Drehachse. Für den Beobachter wird daher die Person auf der Scheibe mit der der Beschleunigung ar = ω v zur Drehachse hin beschleunigt (siehe Kapitel 2.8.1). Version: 15. Februar

61 3.4. Beschleunigte Bezugssysteme Abbildung 3.13.: Kräfte bei einem rotierenden Bezugssystem. Es gilt: F r = m a r (3.11) F r m a r = 0 (3.12) Der zweite Term m a r in Gleichung 3.12 kann nach Kapitel 3.3 als Trägheitskraft F T räg aufgefasst werden: F r + F T räg = 0 (3.13) Die Person auf der Drehscheibe befindet sich in Bezug zu dem mitdrehenden Koordinatensystem in Ruhe. Für sie äußert sich die Trägheitskraft F T räg als eine radial nach außen gerichtete Kraft. Sie wird auch Zentrifugalkraft oder auch Fliehkraft genannt. Die Radialkraft F r wird in diesem Zusammenhang auch als Zentripetalkraft bezeichnet. Abbildung 3.14: Zur Definition von Zentrifugalkraft und Zentripetalkraft. 55 Version: 15. Februar 2017

62 3. Dynamik Folgendes gilt zu beachten: Die Zentrifugalkraft greift an demselben Punkt an wie die Zentripetalkraft. Nach dem dritten Newton schen Axiom greift Reaktionskraft und Zentripetalkraft an verschiedenen Punkt an. Die Reaktionskraft hat aber den gleichen Wert und die gleiche Richtung wie die Zentrifugalkraft. Die Zentrifugalkraft ist nur ein anderer Ausdruck dafür, dass ein Körper infolge seiner Trägheit sich der Richtungsänderung durch die Radialkraft F r widersetzt. Verschwindet die Radialkraft F r so verschwindet auch die Zentrifugalkraft F T. Wird die Schnur in Abbildung 3.14 losgelassen so greifen am Stein weder Zentrifugalkraft noch Zentripetalkraft mehr an und der Stein fliegt mit konstanter Geschwindigkeit tangential zur vorherigen Kreisbahn Corioliskraft Ruht ein Körper in einem rotierenden Bezugssystem so tritt nur die Zentrifugalkraft als Trägheitskraft auf. Wenn sich der Körper im rotierenden System jedoch mit der Geschwindigkeit v bewegt, tritt eine weitere Trägheitskraft auf, die von dem französischen Mathematiker und Ingenieur Coriolis im Jahre 1835 entdeckte und nach ihm benannte Corioliskraft. Abbildung 3.15: Zur Erklärung der Corioliskraft: Weg des Käfers für den (a) Beobachter im ruhenden Raumschiff. (b) Beobachter im Punkt A der rotierenden Kreisscheibe. Version: 15. Februar

63 3.4. Beschleunigte Bezugssysteme Bewegt sich der Käfer in Abbildung 3.15 mit der Geschwindigkeit v vom Punkt A radial nach außen, dann gelangt er für einen stillstehend Beobachter im Raumschiff in der Zeit t zum Punkt B (Abbildung 3.15 (a)). Bewegt sich die Scheibe mit einer Winkelgeschwindigkeit ω, dann sieht ein mitrotierender Beobachter im Punkt A (Abbildung 3.15 (b)), jedoch dass sich der Käfer zum Punkt B bewegt. Der mitrotierende Beobachter bekommt den Eindruck, dass der Käfer durch die Corioliskraft während der Laufzeit t eine Ablenkung BB erfuhr. Für den Weg AB gilt: AB = v t (3.14) Für den Winkel α zwischen den Punkten A, B und B gilt: Für kleine Drehwinkel α gilt: α = ω t (3.15) α = BB AB (3.16) Aus den Gleichung 3.14 bis Gleichung 3.16 erhält man dann für die Strecke BB : BB = ω v t 2 (3.17) Der rotierende Beobachter in Punkt A geht davon aus, dass aufgrund einer Krafteinwirkung F c der Käfer eine Beschleunigung a c in Richtung der Strecke BB erfährt. Für die zurückgelegte Strecke BB gilt mit der Beschleunigung a c : BB = 1 2 a c t 2 (3.18) Durch Koeffizientenvergleich von Gleichung 3.17 und Gleichung 3.18 ergibt sich für den Betrag der Beschleunigung a C : a c = 2 ω v (3.19) Berücksichtigt man die Vektoreigenschaften der beteiligten Größen so erhält man für a c : a c = 2 v ω (3.20) Für die Corioliskraft F c auf den sich bewegenden Körper der Masse m ergibt sich dann: F c = m a c (3.21) 57 Version: 15. Februar 2017

64 3. Dynamik 3.5. Äußere Reibung Unter Reibung, auch als Friktion bezeichnet, versteht man im Allgemeinen die Hemmung einer Bewegung zwischen sich berührenden Festkörpern (äußere Reibung) oder Teilchen (innere Reibung). Die äußere Reibung, oft auch als Festkörperreibung bezeichnet, tritt zwischen den Oberflächen von sich berührenden Festkörpern auf. Sollen sich berührende Körper zueinander in Bewegung setzten bzw. bewegen sie sich schon zueinander, dann tritt Aufgrund der äußeren Reibung zwischen den Körpern eine Kraft, die sogenannte Reibungskraft F R auf. Diese Kraft entsteht durch die Wechselwirkung zwischen den Atomen in den obersten Atomlagen der beiden sich berührenden Oberflächen (Berührungsfläche). Durch Unebenheiten der Körperoberflächen wird die Reibungskraft bei der Berührung noch verstärkt. Diese Reibungskraft spielt eine entscheidende Rolle. Ohne äußere Reibung währen die meisten praktischen Vorgänge des Alltags nicht möglich. Die Reibungskraft F R ist unabhängig von der Größe der Berührungsfläche (siehe Abbildung 3.16) und in erster Näherung von der Normalkraft auf die Berührungsfläche der beiden Körper sowie von der Reibungszahl µ abhängig: F R = µ F N (3.22) Abbildung 3.16: Die Reibkraft ist abhängig von der Beschaffenheit der Berührungsflächen und von der Normalkraft. Es muss zwischen Haftreibung (Ruhereibung) und Bewegungsreibung z.b. Gleitreibung unterschieden werden Haftreibung Haftreibung tritt zwischen zwei ruhenden Körpern auf, die durch eine Kraft F zueinander in Bewegung gesetzt werden sollen. Bei geringer Kraft F ist die Haftreibungskraft F RH zunächst entgegengesetzt gleich groß wie F, sodass der Körper weiterhin ruht. Die Reibungskraft F RH steigt mit größer werdender Kraft F bis zu einem Maximalwert F RHmax an, bei dem die Körper anfangen gegeneinander zu gleiten. Version: 15. Februar

65 3.5. Äußere Reibung Abbildung 3.17: Die Beziehung zwischen F und F RH. Für die maximale Haftreibungskraft F RHmax gilt: F RHmax = µ H F N (3.23) Dabei ist µ H der Haftreibungskoeffizient. Er hängt von den Materialien der sich berührenden Körper und von der Beschaffenheit ihrer Oberflächen ab. Material µ H µ G Stahl auf Stahl 0,7 0,6 Messing auf Stahl 0,5 0,4 Alu auf Alu 1,1 0,8-1,0 Glas auf Glas 0,9 0,4 Teflon auf Teflon 0,04 0,04 Teflon auf Stahl 0,04 0,04 Gummi auf trockenem Asphalt 1,2 1,05 Gummi auf nassem Asphalt 0,6 0,4 Tabelle 3.1.: ungefähre Werte für Reibungskoeffizienten Gleitreibung Gleitreibung tritt an den Berührungsflächen zwischen Körpern auf, die sich relativ zueinander bewegen. Sie ist ebenfalls - wie die Haftreibung- abhängig von der Normalkraft und unabhängig von der Größe der Berührungsfläche. Es ergibt sich die analoge Beziehung für die Gleitreibung: F RGL = µ Gl F N (3.24) Abbildung 3.18: Die Beziehung zwischen F und F RGl. Der Gleitreibungskoeffizient µ Gl hängt vom Material beider sich berührenden 59 Version: 15. Februar 2017

66 3. Dynamik Körper, von der Beschaffenheit ihrer Berührungsflächen und von der Relativgeschwindigkeit der beiden Körper ab. Der Gleitreibungskoeffizient µ Gl ist aber immer kleiner als der Haftreibungskoeffizient µ H. Die Gleitreibungskraft F RGl ist immer der wirkenden Kraft F entgegengesetzt. Sind beide Kräfte gleich groß, dann werden die Körper nicht beschleunigt und sie bewegt sich mit einer konstanten Geschwindigkeit v zueinander. Haftreibung wirkende Kraft Reibungskraft Beschleunigung Geschwindigkeit F < µ H F N F RH = F a = 0 v = 0 F = µ H F N F RHmax = µ H F N a = 0 v = 0 Gleitreibung wirkende Kraft Reibungskraft Beschleunigung Geschwindigkeit F = µ Gl F N F RGl = µ Gl F N a = 0 v = v 0 = konstant F > µ Gl F N F RGl = µ Gl F N a = ( ) 1 F F m RGl v = v 0 + a t Tabelle 3.2.: Zusammenhang der physikalischen Größen im Fall der äußeren Reibung Beispiel für Haftreibung und Gleitreibung: Eine Box mit der Masse m 2 = 20 kg liegt auf einer weiteren Box mit der Masse m 1 = 30 kg. Der Haftreibungskoeffizient zwischen den beiden Boxen beträgt µ H = 0, 9 während der Gleitreibungskoeffizient µ G = 0, 5 beträgt. Eine Person bewegt die beiden Boxen mit einer horizontalen Kraft F. Bis zu welcher maximalen Kraft F rutscht die obere Box nicht auf der unteren Box? Welche Beschleunigung a 1 hat die obere Box und welche Beschleunigung a 2 hat die untere Box bei einer Kraft F > F max? y F m 2 m 1 Abbildung 3.19.: Schematische Darstellung des Beispiels mit positiven Bezugsachsen x Version: 15. Februar

67 3.5. Äußere Reibung Nachdem wie in der Abbildung 3.19 das Bezugssystem festgelegt wurde, ist die einzige Kraft, welche die obere Kiste in x-richtung beschleunigt, ist die Reibungskraft F R12, die die untere Kiste auf die obere Box ausübt.in nachfolgender Abbildung sind alle Kräfte eingezeichnet, welche auf die beiden Boxen einwirkende. F G2 F N21 a 2 y F N12 F R12 F F R21 F G1 a 1 g x F N Abbildung 3.20.: Schematische Darstellung mit Bezugssystem und allen relevanten Kräften und Beschleunigungen Es wird festgelegt, dass die vektoriellen Größen, welche in die positive Richtung liegen positive Werte und die vektoriellen Größen in negative Richtung negative Werte besitzen. In den nachfolgenden Gleichungen werden diese vektoriellen Größen als skalare Größen betrachtet. Die entsprechende Richtung der vektoriellen Größe wird durch das Vorzeichen vor dem skalaren Wert der Größe berücksichtigt. Die maximale Kraft F max wird bei der maximalen Haftreibungskraft F R = µ H m 2 g ermittelt. Es gilt daher: F R12 = µ H m 2 g Für die obere Kiste ergibt das zweite Newtonsche Axiom in x-richtung die Gleichung: Durch gleichsetzen ergibt sich: F R12 = m 2 a 2 µ H m 2 g = m 2 a 2 a 2 = µ H g 61 Version: 15. Februar 2017

68 3. Dynamik Da keine Relativbewegung zwischen den beiden Boxen besteht gilt für die Beschleunigungen: a 1 = a 2 = a Für die untere Kiste ergibt das zweite Newtonsche Axiom in x-richtung die Gleichung: Nach dem dritten Newtonschen Axiom gilt: Damit kann man schreiben: F max F R21 = m 1 a 1 F R21 = F R12 = m 2 a 2 = m 2 a F max F R21 = m 1 a 1 F max m 2 a = m 1 a F max = m 1 a + m 2 a = µ H g (m 1 + m 2 ) Ist die Kraft F größer als F max dann besitzen die beiden Boxen eine relative Bewegung zueinander damit gilt: a 1 a 2 Beide Boxen wirken daher nicht mehr mit der maximalen Haftreibungskraft sondern nur noch mit der kleineren Gleitreibungskraft F RG auf die jeweils andere Box ein. Es gilt: F RG = F R21 = F R12 = µ G m 2 g Für Beschleunigung a 2 der oberen Kiste ergibt sich mit Hilfe des zweiten Newtonschen Axioms: F RG = F R12 = m 2 a 2 µ G m 2 g= m 2 a 2 a 2 = µ G g Mit F > F max erhält man für die Beschleunigung a 1 der unteren Kiste mit Hilfe des zweiten Newtonschen Axioms: F F RG = m 1 a 1 F µ G m 2 g= m 1 a 1 a 1 = F µ G m 2 g m 1 Version: 15. Februar

69 3.6. Impulserhaltung 3.6. Impulserhaltung Wie schon im Abschnitt besprochen, beschreibt die physikalische Größe Impuls die Bewegung eines massebehafteten Körpers. Der Impuls ist wie die mit ihm verknüpfte Geschwindigkeit eine Vektorgröße. Der Impuls hat also einen Betrag und weist in Richtung der Geschwindigkeit des Körpers. Der Impuls ist eine Erhaltungsgröße. Erhaltungsgrößen lassen sich aus physikalischen Größen berechnen, die den Zustand eines Systems beschreiben, beispielsweise Ort und Geschwindigkeit von Teilchen. Während sich diese Zustandsgrößen bei Bewegung mit der Zeit ändern, bleiben die daraus berechneten Erhaltungsgrößen zeitlich konstant. Der Impuls eines Teilchens ist in einem abgeschlossenen System zeitlich konstant. Diese Aussage ist auch als Impulserhaltungssatz bekannt. Abgeschlossenes System bedeutet, dass das Teilchen keine Wechselwirkungen mit seiner Umgebung hat, d. h. es wirkt keine Kraft von außen auf das Teilchen. Betrachtet man ein abgeschlossenes System aus mehreren Teilchen, dann bleibt der Gesamtimpuls aller Teilchen zeitlich konstant, wobei sich die Teilimpulse der einzelnen Teilchen durchaus zeitlich ändern können. Abbildung 3.21: Wechselwirkung zwischen zwei Teilchen in einem abgeschlossenen System führt zu einer Änderung der Teilimpulse. Der Gesamtimpuls p ges bleibt konstant. Ein annähernd abgeschlossenes System ist z.b. ein schwimmendes Boot mit einer Person (siehe Abbildung 3.22). Hat das Boot und die Person relativ zum Wasser keine Geschwindigkeit, dann ist der Gesamtimpuls von Boot und Person Null. Abbildung 3.22.: Geht ein Mann im Boot nach vorne, so bewegt sich das Boot nach hinten. Der Gesamtimpuls bleibt ständig Null. 63 Version: 15. Februar 2017

70 3. Dynamik Wirken von außen Kräfte auf das betrachtete System, dann ist es nicht mehr abgeschlossen und man erhält den Impulssatz: Bei einem System von Massenpunkten ist die resultierende äußere Kraft gleich der zeitlichen Änderung des Gesamtimpulses aller Massenpunkte. Diese entspricht dem schon in Kapitel erwähnten Zusammenhang zwischen Kraft und Impuls. Beispiel für Impulserhaltung: Ein Person mit der Masse m 1 = 80 kg steht in einem Boot mit der Masse m 2 = 20 kg, dass sich zunächst in Ruhe befindet. Welche Strecke s b legt das Boot zurück, wenn die Person sich mit konstanter Geschwindigkeit v p von Punkt A zu Punkt B bewegt. Der Abstand zwischen den beiden Punkten beträgt l = 2 m. Das Boot gleitet reibungsfrei durch das ruhende Wasser. v p v b B l A x Abbildung 3.23.: Übersichtsskizze mit den Geschwindigkeitsvektor v p und v b sowie der positiven Bezugsachse in x-richtung Am Anfang der Betrachtung haben weder die Person noch das Boot eine Geschwindigkeit. Der Gesamtimpuls ist daher Null. Wenn sich die Person mit einer Geschwindigkeit v p von Punkt A zu Punkt B bewegt gleitet daher das Boot mit einer Geschwindigkeit v b in entgegengesetzter durchs Wasser. Der Impulserhaltungssatz liefert die Gleichung: m p v p + m b v b = 0 Es wird festgelegt, dass die vektoriellen Größen, welche in die positive Richtung der Bezugsachse liegen positive Werte und die vektoriellen Größen in negative Richtung negative Werte besitzen. In den nachfolgenden Gleichungen werden diese vektoriellen Größen als skalare Größen betrachtet. Die entsprechende Richtung der vektoriellen Größe wird durch das Vorzeichen vor dem skalaren Wert der Größe berücksichtigt: m p v p + m b v b = 0 Version: 15. Februar

71 3.6. Impulserhaltung Um die beiden unbekannten Größen v p und v b aus der Gleichung zu eliminieren, betrachte man die Zeitdauer t welche die Person bracht um von Punkt A zu Punkt B zu gelangen. Die Person ist in dieser Zeitspanne zwar von Punkt A zu Punkt B gelangt, hat aber nicht die ganze Entfernung l = 2 m zurückgelegt, sondern in Richtung der negativen Bezugsachse die Strecke s p. Es gilt : s p = v p t In dieser Zeitspanne t hat das Boot in Richtung der positiven Bezugsachse die Strecke s b zurückgelegt: s b = v b t Beide Stecken ergeben zusammen die Distanz l = 2 m zwischen den beiden Punkten: s p + s b = l s p = l s b Mit diesen Gleichungen ist es möglich die Geschwindigkeiten aus obiger Gleichung zu eliminieren und die gesucht Größe s b zu berechnen: m p v p + m b v b = 0 m p v p t + m b v b t= 0 m p s p + m b s b = 0 m p (l s b ) + m b s b = 0 s b = l m p m p + m s 2 m 80 kg = 80 kg + 20 kg = 1, 6 m 65 Version: 15. Februar 2017

72 3. Dynamik Stoßprozesse Wenn sich während eines Bewegungsablaufs zwei oder mehrere Körper kurzzeitig berühren und dabei Kräfte aufeinander ausüben, bezeichnet man diesen Vorgang als Stoß. Als Folge ändern die Körper ihren Bewegungszustand, möglicherweise auch ihre Form. Bei allen Stoßprozessen bleibt die Gesamtenergie der am Stoß beteiligten Massenteilchen erhalten. Es kann jedoch ein Teil der kinetischen Energie beim Stoß in eine andere Energieform z.b. in potentielle Energie oder in Wärmeenergie umgewandelt werden. Der Gesamtimpuls der Stoßpartner bleibt ebenfalls immer erhalten. Die Grundgleichungen für Stoßprozesse zwischen zwei Stoßpartnern, bei denen die Geschwindigkeiten v i der Stoßpartner klein sind gegen die Lichtgeschwindigkeit c, lassen sich also schreiben als: Impulserhaltung: Energieerhaltung: p 1 + p 2 }{{} nachher 1 2 m 1 v m 2 v U inn }{{} nachher = p 1 + p 2 }{{} vorher = 1 2 m 1 v m 2 v U inn }{{} vorher (3.25) (3.26) Dabei ist U inn die innere Energie der Teilchen nach dem Stoß und U inn die innere Energie der Teilchen vor dem Stoß. Zur Beschreibung von Stößen wird die Größe Q eingeführt. Q ist die Differenz zwischen der kinetischen Energie nach- und vor dem Stoß. Q = 1 2 m 1 v m 2 v2 2 1 }{{} 2 m 1 v m 2 v2 2 }{{} kin. Energie nach dem Stoß kin. Energie vor dem Stoß (3.27) Je nach der Größe von Q unterscheidet man drei Fälle: Q = 0 Die gesamte kinetische Energie bleibt erhalten, wobei sich die kinetische Energie jedes einzelnen Teilchens ändern kann! Diese Art von Stoß bezeichnet man als elastischer Stoß. Q < 0 Die gesamte kinetische Energie nach dem Stoß ist kleiner als vorher. Ein Teil der kinetischen Energie ist in innere Energie verwandelt worden. Diese Art von Stoß bezeichnet man als unelastischer Stoß erster Ordnung oder endoenergetischer Stoß. Version: 15. Februar

73 3.6. Impulserhaltung Bleiben beide Stoßpartner nach dem Stoß zusammen, stellt dies den maximalen unelastischen Stoß dar. Beide Körper bewegen sich dann nach dem Stoß mit der gleichen Geschwindigkeit: v 12 = m 1 v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2 (3.28) Abbildung 3.24: maximal unelastischer Stoß: (a) Körper vor dem Stoß. (b) Körper nach dem Stoß. Q > 0 Mindestens einer der Stoßpartner besaß vor dem Stoß innere Energie, die er ganz oder teilweise beim Stoß abgibt. Die gesamte kinetische Energie beider Stoßpartner ist nach dem Stoß größer als vor dem Stoß. Diese Art von Stoß bezeichnet man als superelastischer Stoß, oder auch als unelastischer Stoß zweiter Ordnung oder exoenergetischer Stoß. Ein unelastischer oder superelastischer Stoß kann nur vorkommen, wenn mindestens einer der Stoßpartner eine innere Struktur hat, also aus kleineren Bausteinen zusammengesetzt ist (z. B. Atomkerne, Atome, Moleküle oder makroskopische Körper). Ein Teil der kinetischen Energie kann dann in die innere Energie dieses zusammengesetzten Systems umgewandelt werden. Bei einem System aus vielen Teilchen (z. B. ein Festkörper) kann man dieser inneren Energie eine Temperatur zuordnen. Man nennt sie dann thermische Energie Raktengleichung Mit Hilfe des Impulserhaltungssatzes kann man die Geschwindigkeit v Rak von Raketen berechnen. Wenn von der Rakete das Verbrennungsgas mit der Geschwindigkeit v T reib relativ zur Rakete nach hinten ausgestoßen wird, muss die Rakete ihre Geschwindigkeit in Flugrichtung erhöhen, damit der Gesamtimpuls unverändert bleibt. Der Impuls des Verbrennungsgases ist ebenso groß wie die Impulszunahme der Rakete. Die Rakete wird kontinuierlich durch den Rückstoß der ausströmenden Treibgase beschleunigt. Die ausgestoßenen Treibgase mit der Masse dm T reib besitzen einen Impuls d p T reib = dm T reib v T reib (3.29) 67 Version: 15. Februar 2017

74 3. Dynamik Abbildung 3.25: Zur Herleitung der Raketengleichung. Die Rakete erfährt dabei die Impulsänderung: Nach dem Impulserhaltungssatz gilt: d p Rak = m Rak d v Rak (3.30) d p Rak = d p T reib (3.31) m Rak d v Rak = dm T reib v T reib (3.32) Die ausgestoßenen Treibgase dm T reib entsprechen dabei der Abnahme der Raketenmasse. Es gilt: Man erhält damit für Gleichung 3.32: dm T reib = dm Rak (3.33) d v Rak = dm Rak m Rak v T reib (3.34) Um die Endgeschwindigkeit v e am Ende der Brennzeit zu erhalten, integriert man d v Rak zwischen der Startmasse m 0 und der Masse m e der Rakete am Ende der Brennzeit: Man erhält dann: v e 0 d v Rak = v T reib m e v e = ( ) me v T reib ln m 0 m 0 1 m Rak dm Rak (3.35) (3.36) Daraus folgt, dass bei vorgegebener Endgeschwindigkeit v e hohe Treibstoffgeschwindigkeiten v T reib günstigere Massenverhältnisse ergeben. Version: 15. Februar

75 3.7. Kraftfelder 3.7. Kraftfelder Oft ist die auf einen Massenpunkt oder Körper wirkende Kraft vom Ort abhängig, an dem sich der Massenpunkt oder Körper befindet. Ist für jeden Raumpunkt die Größe und Richtung der Kraft eindeutig zuzuordnen, so spricht man von einem Kraftfeld F ( r ). Durch sogenannte Kraftlinien kann die Richtung der Kraft zeichnerisch deutlich gemacht werden. Die Kraftlinien werden dabei so gezeichnet, dass die Kraft F (x,y,z) eine Tangente an die Kraftlinien im Punkt P (x,y,z) ist. Häufig hat die Kraft in jedem Raumpunkt nur eine Radialkomponente, welche vom Radius r zwischen Ursprung und Raumpunkt abhängt. Solche Kraftfelder werden Zentralkraftfelder genannt Arbeit und Energie Arbeit Wirkt eine Kraft F auf einen Massenpunkt und verschiebt diesen, dann hat die Kraft den Zustand des Massenpunktes verändert, man sagt die Kraft hat Arbeit verrichtet. Betrachtet man einen Massenpunkt welcher in einem Kraftfeld F ( r ) eine Wegstrecke r zurücklegt (siehe Abbildung 3.26), dann ist die mechanische Arbeit, welche von der Kraft am Massenpunkt verrichtet wird, definiert als Skalarprodukt: W = F ( r ) r (3.37) Abbildung 3.26: Zur Definition der Arbeit. 69 Version: 15. Februar 2017

76 3. Dynamik Die Arbeit ist also eine skalare Größe. Für Gleichung 3.37 ergibt sich: W = F r cos Θ (3.38) Dabei ist F cos Θ = F T die Tangentialkomponente der Kraft in Richtung der Verschiebung. Die Arbeit ist das Produkt aus der Kraft längst der Verschiebung (Tangentialkomponente F T der Kraft F ( r ) ) und der Verschiebung r. Aus Gleichung 3.38 geht auch hervor, dass wenn die Kraft F ( r ) und die Verschiebung r senkrecht aufeinander stehen die geleistete Arbeit Null ist. Die international verwendete Einheit für die Arbeit ist das Joule. Es gilt: 1 J = 1 Nm = 1 W s Bewegt sich der Massenpunkt aufgrund einer Kraft F ( r ) vom Punkt P 1 nach P 2 (siehe Abbildung 3.27), dann erhält man die gesamte Arbeit aus der Summe der Einzelbeträge W. Es gilt: Abbildung 3.27: Zur Berechnung der Arbeit W P1 P 2. W P1 P 2 = W i = F ( r i ) r i (3.39) Im Grenzfall r i 0 geht die Summe aus Gleichung 3.39 in ein Wegintegral über: W P1 P 2 = P 2 P 1 F ( r ) d r (3.40) Man beachte, dass bei der Definition der Arbeit, die Zeit während der die Arbeit an einem Körper verrichtet wird, keine Rolle spielt Beispiele zur Arbeit Man kann die Beispiele in zwei große Gruppen einteilen: Version: 15. Februar

77 3.8. Arbeit und Energie Die Kraft ist unabhängig vom Ort. Während der Bewegung des Körpers wirkt sie mit einem konstanten Wert auf den Körper. Die Kraft ist abhängig vom Ort. Während der Bewegung des Körpers wirkt sie mit einem nicht konstanten Wert auf den Körper Beispiele mit ortsunabhängiger Kraft Eine konstante Kraft beschleunigt einen Körper: Abbildung 3.28: Beschleunigungsarbeit einer konstanten Kraft. Durch die Kraft F wird der Körper beschleunigt. Es gilt: F = m a = m d v dt Für die geleistete Arbeit erhält man: (3.41) W P1 P 2 = P 2 P 1 F d s (3.42) Mit Gleichung 3.41 und d s = v dt kann man für Gleichung 3.42 schreiben: W P1 P 2 = = = P 2 P 1 F d s (3.43) P 2 P 1 m d v dt v dt (3.44) v 1 (P 1 ) v 2 (P 2 ) m v d v (3.45) Die Integration zeigt, dass die am Körper geleistete Arbeit nur von der Differenz der Quadrate der Geschwindigkeiten abhängt: W P1 P 2 = 1 ( ) 2 m v v 1 (3.46) 71 Version: 15. Februar 2017

78 3. Dynamik Hangabtriebskraft: Befindet sich ein Körper auf einer reibungsfreien schiefen Ebene (siehe Abbildung 3.29), dann sorgt die Hangabtriebskraft F H dafür, dass an dem Körper eine Arbeit verrichtet wird. Abbildung 3.29.: Arbeit durch die Hangabtriebskraft bei einer reibungsfreien schiefen Ebene. Aus der Gravitationskraft F G = m g auf den Körper berechnet sich die Hangabtriebskraft F H. Für den Betrag von F H gilt: Die am Körper geleistete Arbeit berechnet sich zu: F H = m a (3.47) W P2 P 1 = = m g sin α (3.48) P 1 F H d s (3.49) = F H s (3.50) Mit s = h 2 h 1 sin α und Gleichung 3.48 ergibt sich: W P2 P 1 = m g ( h 2 h 1 ) (3.51) Die am Körper geleistete Arbeit ist anhängig von der Höhendifferenz. Version: 15. Februar

79 3.8. Arbeit und Energie Beispiele mit ortsabhängiger Kraft Arbeit beim Dehnen einer Feder: Wird eine Feder um eine kleine Strecke x gedehnt (siehe Abbildung 3.30), dann übt die Feder eine Federkraft F F = c x aus, die proportional und entgegengesetzt der Dehnungsstrecke ist. Abbildung 3.30: Kraft die zur Dehnung einer Feder aufgewendet werden muss. Für eine Feder gilt dies nur bis zur Elastizitätsgrenze. Der Proportionalitätsfaktor c ist die sogenannte Federkonstante und wird in der Einheit [c] = N angegeben. Sie hängt sowohl vom Material und der Form der Feder m ab. Wenn eine Feder ohne Beschleunigung gedehnt wird, dann muss eine Kraft F auf die Feder ausgeübt werden, die gleich groß wie die Federkraft F F ist und ihr entgegen wirkt. Für die Arbeit W x die geleistet werden muss, um die Feder um die Strecke x zu dehnen ergibt sich: W x = x 0 F dx = Arbeit im Gravitationsfeld der Erde: x 0 c x dx (3.52) = 1 2 c x2 (3.53) Bewegt man sich radial zum Erdmittelpunkt über einen größeren Bereich, dann kann die Gravitationskraft nicht als konstant angenommen werden. Für den Betrag der Gewichtskraft gilt (siehe Kapitel 5): F G(r) = G m M E r 2 (3.54) 73 Version: 15. Februar 2017

80 3. Dynamik Abbildung 3.31: Gewichtskraft aufgrund des Gravitationsfeldes der Erde. Für die Arbeit W r1 r 2 die geleistet werden muss, um einen Körper von r 1 nach r 2 zu bewegen, ergibt sich: W r1 r 2 = G m M E r 2 1 r r 1 ( 1 = G m M E 1 ) r1 r2 2 dr (3.55) (3.56) Konservative Kraftfelder Gegeben sei ein Kraftfeld F (x,y,z) bei dem die auf den Körper wirkende Kraft vom Raumpunkt (x, y, z) abhängt an dem sich der Körper befindet. Wird der Körper vom Punkt P (Zustand 1) in den Punkt P 1(x1,y 1,z 1 ) 2 (x2,y 2,z 2 (Zustand 2) bewegt, ) dann muss dafür die Arbeit W P1 P 2 verrichtet werden. Abbildung 3.32: Zur Wegunabhängigkeit der Arbeit in einem konservativen Kraftfeld. Ist diese Arbeit W P1 P 2 für beliebige Wege zwischen Punkt P 1 und Punkt P 2 konstant, dann ist das Integral wegunabhängig und das Kraftfeld F (x,y,z) konservativ. In einem konservativen Kraftfeld ist die Arbeit bei der Bewegung eines Massenpunktes auf einem geschlossenen Weg Null. Version: 15. Februar

81 3.8. Arbeit und Energie Die Arbeit hängt nur ab vom Ort P 1 an dem die Bewegung beginnt und vom Ort P 2 bei dem die Bewegung endet, nicht aber vom Weg zwischen P 1 und P 2. P 2 P 1 F d r a + P 1 P 2 F d r b = 0 (3.57) F d r = 0 (3.58) Leistung Das Verhältnis von der an einem Körper verrichteten Arbeit W und die dafür benötigte Zeitspanne t ist eine weitere wichtige physikalische Größe und wird Leistung P genannt: P = W t (3.59) Physikalisch gesehen stellt die Leitung eine auf die Zeit normierte Arbeit dar. Für die Maßeinheit der Leistung gilt: [ P ] = Nm s = J s = W (3.60) Die Leistung hängt vom Zeitintervall t ab. Beim Grenzübergang t 0 ergibt sich der Momentanwert der Leistung in einem bestimmten Zeitpunkt t, die sogenannte Momentanleistung: W P (t) = lim t 0 t = d W d t = F r (t) v (t) (3.61) Beispiel für die Leistung: Ein Auto mit einer Masse m = 1800 kg und einer Geschwindigkeit v 0 = 180 km h bremst mit einer konstanten Verzögerung a bis zum Stillstand ab. Der zurückgelegte Weg während des Bremsvorgangs beträgt s = 200 m. Leiten Sie die Gleichung für den zeitlichen Verlauf der momentanen Bremsleistung P(t) während des Abbremsvorgangs her. Wie groß ist die mittlere Bremsleistung P? Für die nachfolgenden Berechnungen wird ein zeitliches Bezugssystem definiert, mit folgenden Anfangsbedingungen: s(0 s)= 0 m v(0 s)= 180 km h = 50 m s 75 Version: 15. Februar 2017

82 3. Dynamik Bei diesem Bremsvorgang handelt es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit negativer Beschleunigung. Für den Weg s(t) und die Geschwindigkeit v(t) ergeben sich nach Tabelle 2.3 folgende Gleichungen: s(t)= 1 2 a t2 v(t)= v 0 a t Der Stillstand wird zum Zeitpunkt t 1 erreicht. Die Geschwindigkeit v(t 1 ) und der Weg s(t 1 ) zu diesem Zeitpunkt besitzen die Werte: s(t 1 )= 200 m v(t 1 )= 0 Diese Werte in die obigen Gleichungen eingesetzt ergeben: 200 m= 1 2 a (t 1) 2 0= v 0 a t 1 Wird die letzte Gleichung nach t 1 umgestellt und in Weggleichung eingesetzt, dann ist die Beschleunigung berechenbar: 200 m= 1 ( ) 2 2 a v0 a a= v m = (50 m s )2 400 m = 6, 25 m s 2 Die Arbeit ergibt sich aus Gleichung 3.40 zu: W= s 0 F d s Da alle Größen parallel zueinander liegen kann mit den Beträgen der Vektoren gerechnet werden und man erhält für die Arbeit: W= = s 0 s 0 = m a F ds m a ds s 0 ds = m a s(t) Version: 15. Februar

83 3.8. Arbeit und Energie Die momentanen Bremsleistung P(t) kann mit Gleichung 3.61 berechnet werden: P(t)= dw dt ( ) m a s(t) = d dt = m a v(t) = m a ( v 0 a t Die mittlere Bremsleistung P ergibt sich nach Gleichung 3.59 zu: ) P= W t = m v2 0 = t m v2 0 v 0 a = 1 2 m a v 0 = kg 6, 25 m s 2 50 m s = 281, W Wirkungsgrad Der Wirkungsgrad ist eine dimensionslose Größe und beschreibt das Verhältnis der in einer bestimmten Zeit erhaltenen Nutzenergie W ab zur in der gleichen Zeit zugeführten Energie W zu. Üblicherweise wird der Wirkungsgrad mit dem griechischen Buchstaben η gekennzeichnet und ist stets kleiner Eins. η = Nutzenergie zugeführte Energie = W ab W zu (3.62) Da die erhaltene Nutzenergie und die zugeführte Energie im gleichen Zeitraum betrachtet werden, erhält man den Wirkungsgrad auch aus dem Verhältnis von Nutzleistung zu zugeführter Leistung: η = Nutzleistung zugeführte Lesitung = P ab P zu (3.63) 77 Version: 15. Februar 2017

84 3. Dynamik Abbildung 3.33.: Darstellung des Wirkungsgrads einer Glühlampe in einem Sankey- Diagramm Energie Die physikalische Größe Arbeit wird einem Vorgang zugeordnet, bei dem Energie umgesetzt wird, während die Energie den Zustand eines Körpers oder eines Systems beschreibt. Dieser Zusammenhang lässt sich ausdrücken durch: W = E (3.64) Die Größe E ist vorzeichenbehaftet. Wenn Arbeit an einem System verrichtet, dann ist E positiv, wird Arbeit vom System verrichtet, dann wird E negativ. Abbildung 3.34: Das System A verrichtet Arbeit am System B. Die Abnahme des Energiegehaltes E A (negativ) bei A entspricht der verrichteten Arbeit W bzw. der Zunahme des Energiegehaltes E B (positiv) bei B. Arbeit bedeutet Energieübertragung zwischen zwei Systemen. Diese Übertragung ist eventuell verbunden mit einer Änderung der Energieform Kinetische Energie Die kinetische Energie auch als Bewegungsenergie bekannt, ist die Energie, die ein Körper aufgrund seiner Bewegung enthält. Bei einem rotierenden starren Körper und einer Geschwindigkeit v s seines Schwerpunktes, setzt sich die kinetische Energie zusammen als die Summe seiner Energie aus der Bewegung seines Version: 15. Februar

85 3.9. Dynamik der Drehbewegung Schwerpunkts die sogenannte Translationsenergie und der Rotationsenergie aus der Drehung um den Schwerpunkt Potentielle Energie Die potentielle Energie auch Lageenergie genannt, ist die Energie eines physikalischen Systems, die durch die aktuelle Konfiguration des Systems (z. B. eine gespannte Feder oder durch die Lage eines Körpers in einem Kraftfeld) bestimmt wird Dynamik der Drehbewegung Drehimpuls Bewegt sich ein Massenpunkt auf einer beliebig gekrümmten Bahn, dann kann eine weitere wichtige Größe definiert werden, der Drehimpuls L. Er charakterisiert die Bewegung des Massenpunktes auf gekrümmten Bahnen (ähnlicher wie der Impuls die Bewegung von Körpern bei der gradlinigen Bewegung beschreibt). Die Angabe des Dehimpulses bezieht sich immer auf einen vorgewählten Punkt im Raum. Im Fall eines frei rotierenden Körper ist dies meistens der Schwerpunkt. Dreht sich der Körper um eine vorgegebene Achse, wird meistens ein Punkt auf der Achse gewählt. Für einen Massenpunkt m mit dem Impuls p (t) = m v (t) der sich bezüglich eines Raumpunktes O auf einer beliebigen Bahn r (t) bewegt wird der Drehimpuls L(t) definiert als: L(t) = ( ) r (t) p (t) (3.65) Die Einheit des Drehimpuls ist: [ L ] = N m s = kg m 2 /s (3.66) Für die Gleichung 3.65 kann man auch schreiben: L(t) = m ( ) r (t) v (t) (3.67) Verläuft die Bewegung in einer ebenen, aber beliebig gekrümmten Bahn, dann spannen die beiden Vektoren r (t) und v (t) dabei eine Ebene auf und der Vektor L(t) steht dann senkrecht auf dieser Ebene (siehe Abbildung 3.35). Die Geschwindigkeit v (t) kann man dann in zwei ebenfalls zeitabhängige Komponenten zerlegen: v r, liegt parallel zu r in der r, v Ebene v r, liegt senkrecht zu r in der r, v Ebene 79 Version: 15. Februar 2017

86 3. Dynamik Abbildung 3.35: Der Drehimpuls L(t) bezüglich eines frei gewählten Raumpunktes O bei einer ebenen Bewegung des Massenpunktes in der v, r Ebene. Mit diesen Komponenten erhält man für Gleichung 3.67: L = m [ r ( v r + v r )] (3.68) Weil r v r = 0 ergibt, gilt für den Drehimpuls L: L = m [ ] r v r Mit v r = ω r ergibt sich für den Betrag des Drehimpulses L : (3.69) L = m r2 ω (3.70) Der Drehimpulsvektor L zeigt in die Richtung, die mit dem Ortsvektor r und dem Geschwindigkeitsvektor v eine sogenannte Rechtsschraube bildet. Es gilt die Rechte-Hand-Regel: Wenn die gekrümmten Finger der rechten Hand die Richtung der Drehbewegung angeben, so zeigt der Daumen in Richtung des Drehimpulses. Abbildung 3.36: Mit Hilfe der Rechten-Hand-Regel kann die Richtung des Drehimpulsvektors durch die Daumenrichtung bestimmt werden. Drehimpuls und wie auch das im nächsten Kapitel besprochene Drehmoment, sind immer in Bezug auf einen festgelegten Punkt O (z. B. den Ursprung des Koordinatensystems) definiert. Auch ein Körper, der sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geradlinigen Bahn bewegt, hat einen Drehimpuls, bezogen auf einen Punkt O, der nicht auf der Geraden liegt. Version: 15. Februar

87 3.9. Dynamik der Drehbewegung Abbildung 3.37: Der Drehimpuls L(t) eines Teilchens auf einer geraden Bahn bezüglich eines Bezugspunktes O, der nicht auf der Geraden liegt. Beispiel für den Drehimpuls: Ein Auto bewegt sich in der x-y-ebene mit der Geschwindigkeit v 0 = 20 m s entlang einer geradlinigen Bahn mit dem Abstand y 0 = 20 m parallel zur x-achse. Berechnen Sie den Drehimpuls L P für einen Punkt P auf der x-achse. e r v e 0 v r (t) y 0 α(t) Abbildung 3.38.: Übersichtsskizze mit alle relevanten physikalischen Größen Der Drehimpuls L berechnet sich nach Gleichung 3.65: L= r (t) p (t) = r (t) p (t) ( e r e p ) = r (t) p (t) sin ( 90 + α(t) ) e z Der Drehimpuls L liegt in der z-achse. Diese steht senkrecht zur Papierebene. Mit sin ( 90 + α(t) ) = sin ( 90 ) cos ( α(t) ) + cos ( 90 ) sin ( α(t) ) = cos ( α(t) ) und P x 81 Version: 15. Februar 2017

88 3. Dynamik r (t) = ( y 0 cos α(t) ) und p(t) = m v ergibt sich: L= r (t) p (t) sin ( 90 + α(t) ) e z y 0 = cos ( α(t) ) m v 0 cos ( α(t) ) e z = y 0 m v 0 e z Der Drehimpuls L hat also einen konstanten Wert Drehmoment Das Drehmoment M spielt für Drehbewegungen die gleiche Rolle wie die Kraft für geradlinige Bewegungen. Die Ursache einer beschleunigten Translationsbewegung eines Massenpunktes bzw. Körpers ist eine angreifende Kraft F. Die Ursache einer beschleunigten Rotationsbewegung um eine vorgegebene Drehachse ist ein Drehmoment M das auf den Massenpunkt bzw. Körper ausgeübt wird. Abbildung 3.39: Das Drehmoment M an einer Welle: Im gezeichneten Fall wirkt die Kraft F senkrecht zum Abstandsvektor r. Ein Drehmoment kann die Rotation eines Körpers beschleunigen oder bremsen und den Körper verwinden oder verbiegen. Das Drehmoment ist abhängig vom Betrag und der Richtung der Kraft F und dem Abstand r des Angriffspunktes bzw. der Wirkungslinie der Kraft zur Drehachse (siehe Abbildung 3.40). Version: 15. Februar

89 3.9. Dynamik der Drehbewegung Abbildung 3.40.: Abhängigkeit des Drehmoments von der Kraft F und dem Abstand r vom Drehpunkt aus zum Angriffspunkt der Kraft. SP: Schwerpunkt DP: Drehpunkt Die Richtung des Drehmoments M steht senkrecht auf der von r und F aufgespannten Ebene. Das Drehmoment ist definiert als Vektorprodukt aus dem Radiusvektor r und der äußeren Kraft F : #» M = r F (3.71) Die Maßeinheit des Drehmoments im internationalen Einheitensystem ist das Newtonmeter: [ #» M ] = N m = kg m 2 s 2 (3.72) Die Einheit der mechanischen Arbeit ist ebenfalls das Newtonmeter. Drehmoment und Arbeit sind dennoch unterschiedliche physikalische Größen, die sich nicht ineinander umrechnen lassen weshalb man die Einheit der Arbeit als Joule bezeichnen darf, diejenige des Drehmoments aber nicht. Die Arbeit ist eine skalare Größe, das Drehmoment ist dagegen ein Vektor. 83 Version: 15. Februar 2017

90 3. Dynamik Zusammenhang zwischen Drehimpuls und Drehmoment Wird die Drehimpulsgleichung (Gleichung 3.65) nach der Zeit differenziert, dann erhält man: d L dt = d dt [ r p ] (3.73) [ d ] [ r = dt p + d ] p r (3.74) dt = ( v p ) + ( ) r p (3.75) Weil v p ist, folgt v p = 0 und da F = p ist, ergibt sich für Gleichung 3.75: d L dt = ( ) r F (3.76) d L dt = M (3.77) Die zeitliche Änderung des Drehimpulses d L eines Teilchens, ist das einwirkende dt Drehmoment M auf dieses Teilchen. Der Drehimpuls L eines Teilchens relativ zu einem Bezugspunkt ist konstant, wenn das Drehmoment bezogen auf diesen Punkt Null ist. Für eine Teilchen mit konstantem Drehimpuls können folgende Fälle unterschieden werden: Auf das Teilchen wirkt keine Kraft F. Daher bewegt sich das Teilchen auf einer gradlinigen Bahn mit konstanter Geschwindigkeit v. Abbildung 3.41: Auf ein Teilchen, welches sich auf einer geradlinigen Bahn bewegt, wirkt kein Drehmoment M. Daher bleibt der Drehimpuls L des Teilchens bezüglich eines Punktes P außerhalb der Bahnkurve konstant. Der Abstand r vom Bezugspunkt O zum Teilchen liegt auf der Wirkungslinie der Kraft F. Dies kann z. B. bei Zentralkräften vorkommen, da sie Version: 15. Februar

91 3.9. Dynamik der Drehbewegung in jedem Raumpunkt nur eine Radialkomponente haben, deren Betrag nur vom Abstand r vom Nullpunkt P abhängt (siehe Abbildung 3.42). Der Drehimpuls L eines Teilchens bezogen auf diesen Punkt P ist konstant, da r F ist und daher r F = 0 ist. Abbildung 3.42: Konstanter Drehimpuls L eines Teilchens bezüglich des Ursprungs der Zentralkraft auf das Teilchen Drehimpulserhaltung Bei der Drehbewegung in einem abgeschlossenen System gilt in völliger Analogie zur Impulserhaltung der linearen Bewegung: Der Drehimpuls eines Teilchens ist in einem abgeschlossenen System zeitlich konstant. Dies Aussage bezeichnet man auch als Drehimpulserhaltungssatz. Abgeschlossenes System bedeutet, dass das Teilchen keine Wechselwirkungen mit seiner Umgebung hat, d.h es wirkt kein Drehmoment von außen auf das Teilchen. Betrachtet man ein abgeschlossenes System aus mehreren Teilchen, dann bleibt der Gesamtdrehimpuls aller Teilchen zeitlich konstant, wobei sich die Teildrehimpulse der einzelnen Teilchen durchaus zeitlich ändern können. Auf die einzelnen Teilchen können also Drehmomente wirken, die Summe aller Drehmomente ist aber Null. Der Drehimpuls ist eine vektorielle Erhaltungsgröße. Das bedeutet insbesondere auch, dass die Drehachse einer Rotationsbewegung erhalten bleibt, sofern sich das Trägheitsmoment (siehe 4.5.1) nicht ändert und kein äußeres Drehmoment wirkt. Dieser Effekt erlaubt es, mit Hilfe von Kreiseln zu navigieren. Die Drehachse eines sogenannten Gyroskops zeigt immer in dieselbe Richtung, auf die Schiffe oder Flugzeuge dann ihren Kurs beziehen können Arbeit und Energie bei der Drehbewegung Wird durch ein Drehmoment #» M ein Körper um eine Achse A in eine Drehbewegung versetzt, dann wird nach Gleichung 3.40 eine Arbeit verrichtet. 85 Version: 15. Februar 2017

92 3. Dynamik Abbildung 3.43: Zur Definition der Arbeit bei einer Drehbewegung. Für die Bewegung des Körpers in Bild 3.43 vom Punkt P 1 zum Punkt P 2 muss am Körper Arbeit verrichtet werden: P 2 W = F ds (3.78) P 1 Wird Gleichung 3.78 in Polarkoordinaten 1 ausgedrückt, dann gilt: ϕ 2 W = F ϕ 1 ϕ 2 W = ϕ 1 ϕ 2 ( #» dϕ r ) 2 (3.79) ( r F ) #» dϕ (3.80) #» W = M dϕ (3.81) ϕ 1 Für ein konstantes Drehmoment M ergibt sich daraus: W = M (ϕ 1 ϕ 2 ) (3.82) 1 Ein System mit Polarkoordinaten ist ein zweidimensionales Koordinatensystem, in dem jeder Punkt der Ebene durch den Abstand r von einem vorgegebenen festen Punkt (Pol) und dem Winkel ϕ zu einer festen Richtung festgelegt wird. Da der Pol auch der Ursprung des kartesischen Koordinatensystems ist, erfolgt die Umrechnung durch: x = r cos ϕ und y = r sin ϕ 2 Es gilt: a ( b c ) = b ( c a ) = ( c a ) b Version: 15. Februar

93 4. Mechanik starrer Körper Bis jetzt wurden nur idealisierte Körper behandelt. Die Körper wurden als Massenpunkt betrachtet und ihre räumliche Ausdehnung vernachlässigt. In den vorherigen Kapitel wurde die Translation und Rotation von einzelnen Massenpunkten behandelt. Es gibt jedoch physikalische Phänomene, die mit der räumlichen Ausdehnung eines Körpers zusammenhängen. Nachfolgend werden daher räumlich ausgedehnte Körper behandelt, die um einen Punkt oder eine Achse rotieren Modell eines starren Körpers Ein Körper mit der Masse M und dem Volumen V kann in viele kleine Volumeneinheiten V i zerlegt werden (Abbildung 4.1). Abbildung 4.1: Das Modell eines starren Körpers. Der ganze Körper setzt sich dann aus diesen Volumeneinheiten zusammen. Es gilt: 4.2. Freiheitsgrade N V = V i i=1 N M = m i i=1 In der Mechanik versteht man unter der Zahl der Freiheitsgrade eines Körpers die Anzahl von unabhängigen Parameter, die zur Festlegung der Lage und Orientierung eines Körpers im Raum notwendig sind. Ein frei im Raum beweglicher 87 Version: 15. Februar 2017

94 4. Mechanik starrer Körper Massenpunkt hat z. B. drei Freiheitsgrade. Die Anzahl der Freiheitsgrade eines starren Körpers ist in Abbildung 4.2 ersichtlich. Abbildung 4.2: Zur Ableitung der Zahl der Freiheitsgrade eines starren Körpers. Greift man sich willkürlich einen Massenpunkt M 1 heraus, so hat dieser drei Freiheitsgrade. Ein zweiter Massenpunkt M 2 kann sich dann lediglich auf einer Kugel um M 1 als Mittelpunkt bewegen, da der relative Abstand von M 1 und M 2 in einem starren Körper konstant ist. Der Körperpunkt M 2 besitzt demnach nur noch zwei Freiheitsgrade. Schließlich kann sich ein dritter Massenpunkt M 3 nur noch auf einem Kreis um die Verbindungslinie M 1 M 2 bewegen und liefert somit nur noch einen zusätzlichen Freiheitsgrad. Alle weiteren Punkte sind durch die herausgegriffenen drei Punkte festgelegt. Daher hat der frei bewegliche starre Körper = 6 Freiheitsgrade. Wird ein Körperpunkt festgehalten, so verbleiben nur noch 2 Freiheitsgrade, und bei einer vorgegebenen festen Drehachse lediglich ein einziger Freiheitsgrad. Die Bewegung eines starren Körpers kann in eine Translationsbewegung und eine Rotationsbewegung unterteilt werden. Bei einer Translation wird der Körper parallel zu sich selbst verschoben, d.h. alle Volumenteile werden um den gleichen Vektor verschoben. Bei der Rotation eines starren Körpers drehen sich alle Volumenelemente auf Kreisbahnen um eine feste Drehachse und zwar um den gleichen Winkel ϕ. Der Körper ändert zwar seine Orientierung im Raum, die Punkte auf der Drehachse bleiben aber raumfest. Abbildung 4.3: Translationsbewegung (a) und Rotationsbewegung (b) eines starren Körpers. Version: 15. Februar

95 4.3. Massenmittelpunkt und die Bewegunsgleichungen 4.3. Massenmittelpunkt und die Bewegunsgleichungen Um die Bewegung eines starren Körpers vollständig zu beschreiben, müssen die sechs Freiheitsgrade durch sechs Bewegungsgleichungen abgedeckt werden. Um diese zu finden, verwendet man ein im Bezugspunkt O liegendes raumfestes Koordinatensystem (x, y, z) und ein zweites im Körper verankertes körperfestes Koordinatensystem (x, y, z ). Abbildung 4.4.: (a) Koordinatensysteme zur Beschreibung der Bewegung. (b)berechnung des Schwerpunktes. Eine wesentliche Vereinfachung ist, aber keineswegs zwingend, wenn man als Bezugspunkt P im Körper den Massenmittelpunkt S wählt (siehe Abbildung 4.4). Man kann ihn mathematisch berechnen, indem man ein mit der Masse M gewichtetes Mittel der Orte r i von allen Massenelementen m i des Körpers bildet. Es gilt: r s = 1 M r s = 1 M N r i m i (4.1) i=1 r i dm (4.2) M Mit der Dichte ϱ ist dm = ρ dv und man erhält für Gleichung 4.2: r s = ϱ M V r dv (4.3) Der Massenmittelpunkt wir oft auch als Massenschwerpunkt (englisch: center of gravitiy) bezeichnet. Diese Bezeichnung kommt daher, dass wenn ein Körper 89 Version: 15. Februar 2017

96 4. Mechanik starrer Körper nur der Schwerkraft unterliegt und der Körper in diesem Punkt aufgehängt oder unterstützt wird, er sich anschließend nicht bewegt oder dreht. Die Translationsbewegung v S des Massenmittelpunktes und damit aller Massenelemente m i des Körpers ist: v S = d r S (4.4) dt Abbildung 4.5: Die Bewegung eines starren Körpers als Überlagerung von Translation (Geschwindigkeit v S ) und Rotation (Winkelgeschwindigkeit ω) mit dem Massenmittelpunkt S als Bezugspunkt. Der Gesamtimpuls p des Körpers als Integration über alle Einzelimpulse m i v i ist gleich dem Impuls p s der Gesamtmasse M und der Geschwindigkeit v S des Schwerpunktes: p s = M v S (4.5) Eine äußere Kraft F A die am Körper angreift führt zu einer Änderung des Impulses p s : F A = d p s (4.6) dt Gleichung 4.6 ist die Bewegungsgleichung für die Translationsbewegung des starren Körpers. Als Vektorgleichung fasst sie drei unabhängige Bewegungsgleichungen für die drei Freiheitsgrade der Translation zusammen. Sie besagt, dass die mit dem Massenmittelpunkt S beschriebene Translationsbewegung so erfolgt, wie wenn die äußere Kraft am Massenmittelpunkt angreifen würde und die Gesamtmasse des Körpers dort vereinigt wäre. Die Bewegungsgleichung für die Rotationsbewegung wird mit Hilfe des zweiten im Körper verankerten Koordinatensystems (x, y, z ) beschrieben. Mit S als Bezugspunkt ist das Gesamtdrehmoment M S der äußeren Kräfte gleich der Summe der Einzelmomente r i d F, wobei d F die am Massenelement dm angreifende äußere Kraft darstellt. Es gilt: #» M S = N r i d F (4.7) i=1 Version: 15. Februar

97 4.4. Äußere Kräfte am starren Körper Entsprechend liefert die Summation bzw. Integration über die Einzeldrehimpulse für den Gesamtdrehimpuls im x, y, z Bezugssystem: L s = = = i=1 i=1 M r i d p i (4.8) ( r i v i ) dm (4.9) ( r v ) d m (4.10) Wichtig ist, dass für Gleichung 4.10 der Massenmittelpunkt S als Bezugspunkt gilt. Dadurch ist diese Gleichung unabhängig von der Translationsbewegung v S des Massenmittelpunkts S und nimmt diese einfache Form an. Die Rotation wird durch die Winkelgeschwindigkeit ω beschrieben und es gilt Gleichung 2.34: v = ω r (4.11) Aufgrund der Definition des Massenmittelpunktes können dort angreifende äußere Kräfte den Rotationszustand des Körpers nicht verändern, da sie wegen des fehlenden Hebelarms kein Drehmoment ausüben. Der Massenmittelpunkt eines Körpers muss nicht im Inneren des Körpers liegen. Z. B. liegt der Massenmittelpunkt eines Bumerangs oder eines Hochspringers außerhalb der jeweiligen Körper. Ist der Körper aber konvex, so liegt der Massenmittelpunkt niemals außerhalb Äußere Kräfte am starren Körper Bei einem Massenpunkt ist die Wirkung einer an ihm angreifenden äußeren Kraft F a eindeutig durch Richtung und Größe von F a bestimmt. Bei einem starren Körper genügen diese Angaben nicht, es muss zusätzlich der Angriffspunkt P der Kraft bekannt sein, um die Bewegungsänderung des Körper durch die äußere Kraft zu berechnen (siehe Abbildung 4.6). Für äußere Kräfte die an einem starren Körper angreifen gelten folgende Aussagen: Äußere Kräfte, die an einem starren Körper angreifen sind linienflüchtig. Dies bedeutet, dass man bei einem starren Körper eine äußere Kraft beliebig längs ihrer Wirkungslinie verschieben kann, ohne dass sich der Bewegungszustand des Körpers ändert. 91 Version: 15. Februar 2017

98 4. Mechanik starrer Körper Abbildung 4.6: Die beiden Kräfte F 1 und F 2 sind gleich groß, haben aber verschiedene Angriffspunkte P 1 und P 2. Wenn sie einzeln am Körper angreifen bewirken sie daher eine unterschiedliche Bewegung des Körpers. Abbildung 4.7: Linienflüchtigkeit einer Kraft am starren Körper. Für die Wirkung eines Systems von äußeren Kräften auf einen starren Körper sind nur die resultierende Kraft F res und das resultierende Drehmoment M res entscheidend. Der Angriffspunkt von F res am strarren Körper kann irgendwo längs ihrer Wirkungslinie angenommen werden. Er muss nicht im Schnittpunkt C der Wirkungslinien der Einzelkräfte liegen. Abbildung 4.8: Die resultierende Kraft F res an einem starren Körper. Version: 15. Februar

99 4.4. Äußere Kräfte am starren Körper Alle Kräftesysteme mit gleicher resultierenden Kraft F res sind in ihrer Wirkung auf den Körper äquivalent. Die Bewegungsänderung eines ausgedehnten starren Körpers durch den Einfluss einer äußeren Kraft lässt sich immer zusammensetzen aus der Translation des Schwerpunktes und der Rotation des Körpers um den Schwerpunkt. Abbildung 4.9: Aufteilung einer im Punkt P des Körpers angreifenden äußeren Kraft F A in ein Kräftepaar F 2 F A und und eine am Schwerpunkt angreifende Kraft F 1. In Abbildung 4.9 soll nur die äußere Kraft F A am Körper im Punkt P angreifen. Nun fügt man zwei weitere gleich große aber entgegengesetzte Kräfte F 1 und F 2 zum System hinzu, welche beide im Schwerpunkt S am Körper angreifen. Diese beiden Kräfte ändern den Bewegungszustand des Körpers nicht, da sie beide am gleichen Punkt S angreifen und ihre Resultierende F 1 + F 2 = 0 ergibt. Die Wirkungslinien der beiden gleich großen aber entgegengesetzten Kräfte F 2 und F A liegen parallel zueinander. Ein solches Kräftesystem wird Kräftepaar genannt. Ein starrer Körper erfährt durch die Wirkung eines Kräftepaares keine Translationsbewegung. Ein solches Kräftepaar übt jedoch ein Drehmoment M auf den Körper aus. Bezogen auf den beliebig gewählten Ursprung O in Abbildung 4.9 wirken durch die beiden Kräfte F 2 und F A die Drehmomente: M 2 = r OS F 2 (4.12) M A = r OP F A (4.13) Mit F 2 = F A erhält man für das gesamte Drehmoment #» M = #» M 2 + #» M A : M = ( r OP r OS ) F A (4.14) M = r SP F A (4.15) 93 Version: 15. Februar 2017

100 4. Mechanik starrer Körper Die Kraft F 1 welche am Schwerpunkt des Körpers angreift, führt zu einer Beschleunigung des Schwerpunktes. Wie schon anfangs erwähnt, kann man zusammenfassen: Eine an einem starren Körper nicht im Schwerpunkt S angreifende äußere Kraft F A bewirkt: ein Drehmoment, bezogen auf den Schwerpunkt S. eine Beschleunigung des Schwerpunktes. Der Körper erfährt also durch diese Kraft eine Translation seines Schwerpunktes S und eine Rotation um S Rotation um eine ortsfeste Achse Rotiert ein Körper um eine nach Lage und Orientierung fest vorgegebene Achse, so bewegt sich ein beliebiger Punkt P im Körper auf einer Kreisbahn. Unter einer festen Achse versteht man z.b. eine gelagerte Drehachse. Durch die feste Drehachse ist der Körper gegenüber einer freien Achse in seinen Bewegungsmöglichkeiten eingeschränkt. Er kann nur um die Drehachse rotieren und diese kann sich zusätzlich im Raum eine Translationsbewegung ausführen Trägheitsmoment Bei einer vorgegebenen ortsfesten Drehachse kann ein Körper als einzige Bewegung eine Rotation um diese Achse ausführen. Wählt man als Bezugspunkt einen beliebigen Punkt P auf der Drehachse, dann ist dieser ortsfest. Nach Abbildung 4.10 bewegt sich bei der Rotation jedes Massenelement dm mit dem Ortsvektor r auf einer raumfesten Kreisbahn um die Drehachse. Die Drehachse geht dabei durch den Mittelpunkt der Kreisbahn und steht senkrecht zur Bahnebene. Abbildung 4.10: Der Drehimpuls des starren Körpers bei fester Drehachse. Version: 15. Februar

101 4.5. Rotation um eine ortsfeste Achse Mit dem Impuls p i = v dm gilt für den Drehimpuls L i des Massenelementes dm: L i = r p i (4.16) Durch Zerlegen des Vektors r in eine Komponente r und r senkrecht und parallel zur Drehachse erhält man: L i = ( r + r ) p i (4.17) = r p i + r p i (4.18) Da v p i und v ω ist, liegt p i ω. Daher liegt ( r p i ) ω und ( r p i ) ω. Man kann daher für Gleichung 4.18 schreiben: L i = r p i + r p i (4.19) = L i + L i (4.20) Der Drehimpuls L i eines Massenelementes dm hat nach Gleichung 4.20 sowohl eine Komponente L i parallel als auch eine Komponente L i senkrecht zur Drehachse. Bei einer gleichförmigen Rotation mit ω = konst. ist die Komponente L i konstant, die Komponente L i dreht sich jedoch mit der Winkelgeschwindigkeit ω um die Drehachse. Mit p i = v dm und durch Integration der einzelnen Massenpunkte dm über die Gesamtmasse M erhält man den Gesamtdrehimpuls L: L = L = M M ( L i + L i ) = ( r v ) dm + M M L i + M L i (4.21) ( r v ) dm (4.22) L = L + L (4.23) Damit ist der Drehimpuls L konst und nicht parallel zu ω und liegt nicht parallel zur Drehachse. Es gibt jedoch für jeden Körper drei besondere Drehachsen, für welche die Komponente L = 0 werden und L = L ω wird (siehe Abschnitt 4.5.3). Für die Komponente L ergibt sich mit v = ω r und r = r + r : L = = = M M M r v dm (4.24) r ( ω r ) dm (4.25) r ( ω [ r + r ]) dm (4.26) 95 Version: 15. Februar 2017

102 4. Mechanik starrer Körper Da ω und r senkrecht zueinander stehen, wird ω r = 0. Gleichung 4.26 vereinfacht sich dann zu: L = L = M M r ( ω r ) dm (4.27) ω ( r r ) r ( ω r ) 1 (4.28) Da ω und r senkrecht zueinander stehen, wird Gleichung 4.28 dadurch zu: L = M r 2 ω dm (4.29) Da bei der Rotation eines starren Körpers alle Massenelemente die gleiche Winkelgeschwindigkeit ω besitzen, kann ω vor das Integral gezogen werden. L = ω M r 2 dm (4.30) Das Integral in Gleichung 4.30 wird als Trägheitsmoment J des Körpers bezüglich der Drehachse definiert. Es gilt: J Def. = V r 2 dm (4.31) Bei fester Drehachse ist r konstant und deshalb ist das Trägheitsmoment eines starren Körpers ebenfalls konstant. Das Trägheitsmoment beschreibt die Massenverteilung des Körpers um die Drehachse. Man beachte: Ein und derselbe Körper hat aber für verschiedene Drehachsen unterschiedliche Trägheitsmomente. Die Einheit des Trägheitsmomentes ist: [J] = kg m 2 (4.32) 1 Graßmannscher Entwicklungssatz : ( b ) a c = b ( a c ) ( c a ) b Version: 15. Februar

103 4.5. Rotation um eine ortsfeste Achse Rotationsenergie Ein starrer Körper, der sich mit einer Winkelgeschwindigkeit ω um eine ortsfeste Achse dreht, besitzt eine kinetische Energie, die sogenannte Rotationsenergie. Um diese zu berechnen, betrachtet man zunächst ein kleines Massenelement dm, welches sich mit der Geschwindigkeit v i im Abstand r = r i um die Drehachse bewegt (siehe Abbildung 4.11). Seine kinetische Energie E kin mi berechnet sich zu: E kindm = 1 2 dm v2 i (4.33) E kindm = 1 2 dm r ω2 (4.34) Abbildung 4.11: Zur Berechnung der Rotationsenergie. Die Gesamtenergie des rotierenden Körpers ergibt sich dann aus der Integration über die Gesamtmasse M: E rot = E kindm (4.35) M E rot = 1 2 ω2 M r 2 dm (4.36) Mit dem Trägheitsmoment J erhält man für die Rotationsenergie des Körpers: E rot = 1 2 J ω2 (4.37) 97 Version: 15. Februar 2017

104 4. Mechanik starrer Körper Beispiel für Rotationsenergie: Eine Scheibe (Radius r = 10 cm) ist in ihrem Mittelpunkt drehbar auf einer Achse befestigt. Das Massenträgheitsmoment der Scheibe bezüglich dieser Drehachse beträgt J = 0, 9 kg m 2 Um die Scheibe ist ein Seil mit vernachlässigbarer Masse gewunden, an dessen Ende eine Masse m = 10 kg befestigt ist. Unter dem Einfluss der Erdanziehung setzt sich das System aus Masse und Scheibe aus dem Stillstand in Bewegung. Welchen Wert besitzt die Rotationsenergie W rot der Scheibe nach t 1 = 15 s? r 0 a x F G Abbildung 4.12.: Übersichtsskizze mit positiven Bezugsachse Die Gewichtskraft F G = m g führt zu einer Beschleunigung a von Masse und Scheibe und dadurch zu einer Translationsbewegung der Masse m und einer Rotationsbewegung der Scheibe. Es ist darauf zu achten, dass die Beträge der vektoriellen Größen in Richtung der negativen Bezugsachse mit einem negativen Vorzeichen versehen. Das zweite Axiom von Newton ergibt für diese Aufgabe: Für die Beschleunigung ergibt sich: F G = m a + J r 2 a m g= m a + J r 2 a a= m m J r 2 g= = 0, 1 g 10 kg g 0,9 kg m2 10 kg (10 cm) 2 Da das System aus dem Stillstand sich anfängt zu bewegen, gilt für die Geschwindigkeit der Masse die Formel:v(t) = a t. Die Rotationsenergie W rot berechnet sich mit Hilfe von Gleichung 4.37 und dem Zusammenhang ω(t) = v(t) r zu: W rot = 1 2 J (ω(t) ) 2 = 1 ( ) v(t) 2 2 J = 1 r 2 0, 9 kg m2 ( ) 0, 1 g t 2 10 cm Version: 15. Februar

105 4.5. Rotation um eine ortsfeste Achse Mit dieser Formel ergibt sich für die Rotationsenergie W rot nach der Zeitdauer vont = 10 s: W rot = 1 ( 0, 1 g 10 s 2 0, 9 kg m2 10 cm = 4330 Nm ) Hauptträgheitsachsen Hauptträgheitsachsen oft auch Hauptachsen genannt, sind besondere Rotationsachsen eines starren Körpers. Unabhängig von der Gestalt des Körpers, stehen die Hauptträgheitsachsen immer senkrecht aufeinander und verlaufen durch den Schwerpunkt des Körpers. Hauptachsen zeichnen sich dadurch aus, dass bei Rotation um eine dieser Hauptachsen die Drehimpulskomponente L in Gleichung 4.23 den Wert Null besitzt und damit der Gesamtdrehimpuls L = L ist. Besitzt ein Körper eine Symmetrieachse, dann fällt diese mit der Hauptachse zusammen. Bei einer Kugel ist jede Achse die durch den Mittelpunkt geht eine Hauptachse. Abbildung 4.13: Hauptachsen vom Körpern Hauptträgheitsmomente Die zu den Hauptträgheitsachsen gehörenden Trägheitsmomente heißen Hauptträgheitsmomente. Die Hauptträgheitsmomente einfacher geometrischer Körper sind in der nachfolgenden Tabelle angeben. 99 Version: 15. Februar 2017

106 4. Mechanik starrer Körper Figur Körper Trägheitsmoment Kugel,massiv J X = J Y = J Z = 2 5 m r2 dünne Kugelschale J X = J Y = J Z = 2 3 m r2 Quader J X = 1 m 12 (b2 + h 2 ) J Y = 1 m 12 (l2 + h 2 ) J Z = 1 m 12 (l2 + b 2 ) dünner Ring J X = m r 2 J Y = J Z = 1 2 m r2 Vollzylinder dünne Scheibe dünner Stab J X = 1m 2 r2 J Y = J Z = 1m 4 r2 + 1 m 12 l2 J X = 1m 2 r2 J Y = J Z = 1m 4 r2 J X = 1 2 m r2 J Y = J Z = 1 12 m r2 Hohlzylinder J X = 1 2 m (r2 a + r 2 i ) J Y = J Z = 1 4 m ( r 2 a + r 2 i l2) dünnwandiger Hohlzylinder J X = m r 2 J Y = J Z = 1 4 m ( 2r 2 a l2) Tabelle 4.1.: Hauptträgheitsmomente von symmetrischen Körpern. Version: 15. Februar

107 4.5. Rotation um eine ortsfeste Achse Steinerscher Satz Ist das Haupträgheitsmoment eines Körpers um eine Achse durch den Schwerpunkt bekannt, so kann das Trägheitsmoment um eine andere parallel verschobene Achse mit Hilfe des Steinerschen Satzes bestimmt werden. Abbildung 4.14 zeigt einen Körper der sich um die Z D -Achse dreht, welche um den Abstand d parallel verschoben zur Schwerpunktsachse Z S liegt. Abbildung 4.14: Zur Herleitung des Steinerschen Satzes. Das zur Drehachse Z D gehörende Trägheitsmoment des Körpers berechnet sich zu: J ZD = R 2 dm (4.38) Mit R 2 = (d + x) 2 + y 2 wird aus Gleichung 4.38: M m [ J ZD = (d + x) 2 + y 2] dm (4.39) = M ( x 2 + y 2) dm + 2 d M x dm + d 2 M dm (4.40) Da r 2 = x 2 +y 2 gilt, ist das erste Integral in Gleichung 4.40 gleich dem Haupträgheitsmoment J Z bei einer Rotation des Körpers um seine Schwerpunktsachse Z S. Nach Gleichung 4.3 berechnet sich die Lage des Schwerpunktes in x-richtung zu: x s = 1 M M x dm (4.41) Da sich der Ursprung des verwendeten Koordinatensystems im Schwerpunkt des Körpers befindet, ist x s aus Gleichung 4.41 Null, daher hat das zweite Integral 101 Version: 15. Februar 2017

108 4. Mechanik starrer Körper in Gleichung 4.40 ebenfalls den Wert Null. Das dritte Integral schließlich ist die Gesamtmasse M des Körpers. Für das Trägheitsmoment J ZD der Rotationsachse Z D kann also geschrieben werden: Allgemein ausgedrückt erhält man: J ZD = J Z + d 2 M (4.42) J D = J S + d 2 M (4.43) Das Trägheitsmoment J D eines Körpers bei Rotation um eine beliebige Achse Z D ist gleich dem Trägheitsmoment J S um eine zu Z D im Abstand d parallele Achse Z S durch den Schwerpunkt S plus dem Trägheitsmoment der in S vereinigten Gesamtmasse m bezüglich der Rotationsachse D Rotation um freie Achsen Wenn bei der Rotation des Körpers die Rotationsachse mit einer Hauptträgheitsachse zusammenfällt, dann kann man die Achsenlager entfernen und der Körper rotiert frei, ohne seinen Rotationszustand zu verändern. Man nennt die Hauptträgheitsachsen deshalb auch freie Achsen. Die Rotation eines starren Körpers um seine freien Achsen unterscheidet sich hinsichtlich der Stabilität der Rotationsbewegung. Während die Rotation um die Achsen mit dem größten und dem kleinsten Hauptträgheitsmoment stabil ist, ist die Rotation um die Achse mit dem mittleren Hauptträgheitsmoment labil. Eine beliebig kleine Störung lässt den Körper aus der Rotation um diese Achse herauskippen. Dabei kann es vorkommen, dass bei der Rotation eines Körpers um freie Achsen die Rotationsachse selbst ihre Richtung im Raum im Laufe der Zeit ändert, sodass die Bewegung eines beliebigen Punktes des starren Körpers im Allgemeinen eine komplizierte Bahnkurve durchläuft. Im Nachfolgenden werden nur rotationssymmetrische Körper betrachtet, sogenannte Kreisel, die um eine Symmetrieachse rotieren. Die Symmetrieachse wird in diesem speziellen Fall auch als Figurenachse bezeichnet. Körper sind rotationssymmetrisch, wenn eine Drehung um jeden beliebigen Winkel um eine Symmetrieachse den Körper auf sich selbst abbildet Kräftefreier Kreisel Rotiert ein Kreisel um seine Figurenachse, dann zeigen Drehimpuls L und Drehachse in die gleiche Richtung. Ohne äußeres Drehmoment bleibt der Drehimpuls Version: 15. Februar

109 4.6. Rotation um freie Achsen zeitlich konstant, in diesem Falle hat der Körper eine raumfeste Drehachse, um die er mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω rotiert. Ein solcher Kreisel, ohne äußeres Drehmoment wird kräftefreier Kreisel genannt. Abbildung 4.15 zeigt einen kräftefreien Kreisel. Hier wurde eine Scheibe so montiert, dass ihre Drehachse AB sich frei um die horizontale X-Achse und vertikale Z-Achse bewegen kann. Abbildung 4.15: Freie Aufhängung eines Kreisels. Daher ist der Drehimpuls des Systems parallel zur Drehachse. Die wird durch eine sogenannte kardanische Aufhängung oder kardanische Lagerung erreicht. Diese Lagerung besteht aus zwei sich schneidenden, zueinander rechtwinkligen Drehlagern. Wenn dieser Kreisel durch den Raum bewegt wird, kann beobachtet werden, dass die Drehachse AB und damit auch der Drehimpuls L immer in die gleiche Richtung weist. Dies impliziert, durch Gleichung 3.77 dass kein Drehmoment M auf das System ausgeübt wird. Durch einen kurzen Stoß kann dafür gesorgt werden, dass Figurenachse, Drehachse und Drehimpulsachse nicht mehr räumlich zusammenfallen. Die Bewegung des Kreisels wird komplizierter. Die Drehachse als auch die Figurenachse führen dann um die raumfeste Drehimpulsachse eine sogenannte Nutationsbewegung aus Kreisel mit äußerem Drehmoment Auf den Kreisel in Abbildung 4.16 wirkt die Schwerkraft F G und damit ein Drehmoment M = r F G. Durch dieses Drehmoment erfährt der Drehimpuls des Kreisels in der Zeit dt eine Veränderung d L: d L = #» Mdt (4.44) Da das Drehmoment M senkrecht zum Drehimpuls L liegt, ist auch die Änderung d L senkrecht zu L. Der Drehimpulsvektor L ändert deshalb seine Richtung, aber nicht seinen Betrag. Für den Betrag des Drehmomentes ergibt sich: M = F G r sin Φ (4.45) 103 Version: 15. Februar 2017

110 4. Mechanik starrer Körper Abbildung 4.16: Kreisel, der durch seine Gewichtskraft einem äußeren Drehmoment unterliegt. Die Figurenachse ändert mit der Drehimpulsachse ihre räumliche Lage. Beide vollführen mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit Ω eine Drehung um die z- Achse (siehe Abbildung 4.16). Diese Bewegung wird als Präzession des Kreisels bezeichnet. Innerhalb der Zeitspanne t ändert sich der Drehimpulsvektor um den Winkel θ. Es gilt: θ = L L = M t L (4.46) Dann ist die Winkelgeschwindigkeit Ω : Ω = θ t = M L = M J ω (4.47) Abrollbewegung Unter einer Abrollbewegung versteht man eine Bewegung, bei der sich ein Körper auf einer Unterlage schlupffrei, d.h. ohne zu gleiten abrollt. Bei dieser Bewegung handelt es sich um ein gekoppelte Translations -und Rotationsbewegung. Abbildung 4.17: Abrollbewegung auf einer schiefen Ebene. Version: 15. Februar

111 4.6. Rotation um freie Achsen Die Geschwindigkeit v eines jeden Massenelementes ist dabei gegeben durch: Mit dem Schwerpunkt als Bezugspunkt ergibt sich: v = v S + v rot (4.48) v = v S + ω r (4.49) Ein schlupffreies Abrollen des Körpers erfordert, dass die Relativgeschwindigkeit am Punkt P zwischen Mantelfläche und Untergrund Null ist. Dadurch ergibt sich: Für die kinetische Energie E kin gilt: v = 0 = v s + ω R (4.50) v s = ω R (4.51) E kin = E trans + E rot (4.52) = 1 2 m v J S ω 2 (4.53) = 1 2 m ω2 r J S ω 2 (4.54) = 1 2 ( m r 2 + J S ) ω 2 (4.55) 105 Version: 15. Februar 2017

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113 5. Gravitation Als Gravitation bezeichnet man die gegenseitige Anziehung von Körpern allein aufrund ihrer Masse. Die Gravitation ist eine Eigenschaft aller Massen. Abbildung 5.1: Wirkung der Gravitation. Sie nimmt mit zunehmender Entfernung der Massen ab, besitzt aber unbegrenzte Reichweite. Anders als elektrische oder magnetische Kräfte lässt sie sich nicht abschirmen. Die Gravitation der Erde bewirkt, dass alle Körper nach unten zum Erdmittelpunkt beschleunigt werden, sofern sie nicht daran gehindert werden Newtonsches Gravitationsgesetz Das newtonsche Gravitationsgesetz wurde von Isaac Newton 1686 formuliert: Die zwischen zwei Massen bestehenden Anziehungskräfte sind an jeder Masse betragsmäßig identisch. Der Betrag ist zu den beiden Massen direkt zum Quadrat der Entfernung umgekehrt proportional. Mathematisch formuliert erhält man: F M(r) = γ m M e r 2 r (5.1) Die auf beiden Massen wirkenden Kräfte sind entgegengesetzt gleich groß und zeigen in die Richtung des jeweils anderen Massenmittelpunktes. Der in Gleichung 5.1 auftretende Proportionalitätsfaktor γ heißt Gravitationskonstante. Der Wert dieser Konstante war Newton noch unbekannt und wurde erst später bestimmt. Der Wert der Gravitationskonstanten beträgt: m3 γ = 6, (5.2) kg s Version: 15. Februar 2017

114 5. Gravitation 5.2. Keplersche Gesetze Die drei Keplerschen Gesetze sind nach dem Astronomen und Naturphilosophen Johannes Kepler benannt worden. Er fand diese fundamentalen Gesetzmäßigkeiten für die Umlaufbahnen der Planeten um die Sonne, welche eine genaue Vorausberechnung der Planetenbahnen zulassen. 1. Keplersches Gesetz Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. Abbildung 5.2: Erstes Keplersches Gesetz. 2. Keplersches Gesetz Der Ortsvektor r (t) von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen. Abbildung 5.3: Zweites Keplersches Gesetz A 1 = A 2. Nach dem zweiten Keplerschen Gesetz werden in gleichen Zeitintervallen Ellipsensektoren mit gleichem Flächeninhalt überstrichen. Für ein genügend kleines Zeitintervall dt kann der überstrichenen Ellipsenbogen ds = P t1 P t1 + t = v dt durch eine Gerade annähert werden, so dass ein Dreieck SP t1 P t1 + t entsteht (siehe Abbildung 5.4). Für 0 berechnet sich die Fläche zu: da = 1 2 r v dt sin(α) (5.3) Version: 15. Februar

115 5.2. Keplersche Gesetze Abbildung 5.4: Zweites Keplersches Gesetz und Drehimpulserhaltung. Da nach dem zweiten Keplerschen Gesetz ist: da dt = konstant = 1 2 r v sin(α) (5.4) = 1 2m r p (5.5) = 1 L (5.6) 2m Das 2. Keplersche Gesetz sagt daher aus, dass der Drehimpulsbetrag zeitlich konstant ist. Aus dem 1. Keplerschen Gesetz folgt, dass auch seine Richtung konstant ist, weil sie immer senkrecht auf der Bahnebene steht. 3. Keplersches Gesetz T1 2 T2 2 = a3 1 a 3 2 (5.7) Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Bahnhalbachsen. Abbildung 5.5: Drittes Keplersches Gesetz. 109 Version: 15. Februar 2017