Wie fällt ein Körper, wenn die Wirkung der Corioliskraft berücksichtigt wird?

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1 Wie fällt ein Körper, wenn die Wirkung der Corioliskraft berücksichtigt wird? Beim freien Fall eines Körpers auf die Erde, muss man bedenken, dass unsere Erde ein rotierendes System ist. Um die Kräfte, die in solchen Systemen auftreten, besser verstehen zu können, wollen wir kurz schildern wie sich die Bewegung eines Teilchens in einem Bezugssystem, das gegenüber einem Inertialsystem beschleunigt ist, darstellt: Stellen wir uns einfach zwei Personen vor, Max und Moritz. Max befindet sich auf einem Karussell, Moritz steht draußen. Die beiden beschreiben nun getrennt voneinander denselben physikalischen Vorgang, nämlich einen Punkt und dessen Bewegung innerhalb ihres Koordinatensystem. Wir nehmen nun an, dass Moritz sich dabei auf ein Inertialsystem bezieht das ist ein solches, in dem das 1. Newtonsche Axiom gilt (also: Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Translation, sofern er nicht durch einwirkende Kräfte zur Änderung seines Zustands gezwungen wird....was übrigens erstmals von Galilei im Jahre 1638 formuliert wurde). Max benutzt ein Koordinatensystem, das relativ zu jenem von Moritz rotiert. Dabei nehmen wir an, dass die Koordinatenursprünge sowie die Drehachsen übereinstimmen. Folgende unterschiedliche Sichtweisen treten dabei zu Tage: MAX MORITZ Beschreibung des Ortes eines Punktes Wie sieht es nun aus, wenn sich dieser Punkt bewegt? Zunächst wollen wir die Situation betrachten, wenn Max' Koordinatensystem um einen Winkel α verdreht ist.

2 Wie würden die beiden nun eine Teilchenbewegung beschreiben? in Abhängigkeit von der Zeit; das sähe dann jeweils so aus: Durch die drei Funktionen: Durch die drei Funktionen: Mit der zweiten Ableitung nach der Zeit bekommen wir: die Beschleunigung Wir haben es hier noch immer mit zwei Inertialsystemen zu tun. D.h., wenn sich ein Teilchen kräftefrei bewegen würde, würde die Beschleunigung in beiden System 0 sein. Nun wird es spannender. Max' System rotiert jetzt, und zwar mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω. Die Punktkoordinaten in solche einem rotierendem System würden nun so aussehen: Jetzt betrachten wir wieder eine Teilchenbewegung: Die Zeitabhängigkeit auf der rechten Seite hat nun zwei Ursprünge: 1) die Bewegung des Teilchens 2) die Rotation von Max' Koordinatensystem

3 Wir berechnen nun wieder die Beschleunigung im rotierenden System: Transformation der Komponenten Coriolis- Zentrifugaldes Beschleunigungsvektors beschleunigung beschleunigung (=gleich wie im 'nur verdrehten' System) Der große Unterschied liegt also daran, in welchem System sich ein Betrachter befindet. In Moritz' Inertialsystem (wo ja das 1. Newtonsche Axiom angewandt werden darf) bewegt sich ein kräftefreies Teilchen gleichförmig. In Max' rotierendem System hingegen, verschwindet die zweite Zeitableitung nicht es ist daher kein Inertialsystem. Die Corioliskraft tritt NUR in Nicht-Inertialsystemen auf, und zwar immer dann, wenn sich ein Teilchen (Körper) relativ zu einem rotierendem System bewegt! Sie ist eine der sogenannten Trägheits- oder Scheinkräfte. Im Unterschied zu diesen, treten eingeprägte Kräfte (wie beispielsweise die Gravitationskraft oder die Coulombkraft) immer auf. Wie ist nun der Zusammenhang zu einem frei fallenden Körper gegeben? Die Erde ist ja ebenfalls ein rotierendes System. Wie fällt nun ein Körper, wenn die Wirkung der Corioliskraft berücksichtigt wird? Ein frei fallender Körper wird also nicht nur durch die Schwerkraft beschleunigt, sondern erfährt auch die Coriolisbeschleunigung Die Gesamtbeschleunigung eines frei fallenden Körpers lautet daher:

4 Wir können ein Koordinatensystem auf der Erde so orientieren, dass die x-achse nach Osten, die y-achse nach Norden und die z-achse nach oben zeigen. Wenn wir uns nun an einem Ort mit der geographischen Breite φ befinden, dann ist: Die Komponenten obiger Bewegungsgleichung lauten also: Anfangsbedingungen: Höhe aus der der Körper fällt: Fall aus der Ruhe: Für: Ablenkung aus der lotrechten Bahn

5 Näherung: Betrachten wir nochmals die einzelnen Komponenten obiger Bewegungsgleichung: Normalerweise fallen Körper mit solchen Geschwindigkeiten, dass der ω-term hier getrost vernachlässigt werden kann. Wir erhalten dann die übliche Zeitabhängigkeit von z beim freien Fall: ω klein x und y (+ ihre Zeitableitungen) ebenfalls klein Größter Beitrag der Corioliskraft ist z-anteil auf der rechten Seite von.. Wir setzen für z(t) = - gt ein, vernachlässigen den y-term und erhalten folgende Differentialgleichung: Durch zweimaliges Integrieren erhalten wir: Die Hauptablenkung ist in Richtung Osten! Ausgehend von der Fallzeit ergibt sich folgende Ablenkung in Richtung Osten: Anm.: Ganz ähnlich wäre es auch, wenn ich einen Gegenstand in die Luft werfe. Während der Aufwärtsbewegung würde eine Ablenkung nach Westen stattfinden; bei der Abwärtsbewegung eine Ablenkung nach Osten. Die Aufwärtsablenkung würde aber nicht ganz kompensiert werden von der Abwärtsablenkung daher gäbe es insgesamt eine Ablenkung nach Westen.

6 Tipps für den Schulunterricht zur Corioliskraft: page01.cfm?chapter_no=visualization Literaturnachweis: Embacher, Franz Elemente der theoretischen Physik. Wiesbaden, Vieweg+Teubner Feynman, Richard (2.ed). Autor. Übersetzung der engl. Originalausgabe 'The Feynman Lectures on Physics, Vol. I. München, Oldenbourg Wissenschaftsverlag. Orear, Jay Physik. New York, Macmillan Publishing