I.3 Inertialsysteme. Galilei-Transformationen

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1 I.3 Inertialsysteme. Galilei-Transformationen 17 I.3 Inertialsysteme. Galilei-Transformationen Das erste und das zweite Newton sche Gesetz beruhen auf der Existenz von besonderen Bezugssystemen, nämlich von den Inertialsystemen. Sei angenommen, dass ein solches Inertialsystem B I existiert. Dann gibt es noch eine ganze Klasse anderer Inertialsysteme B, in denen die Gesetze der Newton schen Mechanik die gleiche Form annehmen, und zwar alle Bezugssysteme, die mit B I durch eine Galilei-Transformation verknüpft sind. In diesem ganzen Abschnitt werden Ortsvektoren bezüglich eines festen Koordinatensystems in B I bzw. B mit r bzw. r bezeichnet. Dementsprechend steht x bzw. x für die Trajektorie eines Massenpunktes bezüglich B I bzw. B. Für jede Klasse von einfachen Galilei-Transformationen und zwar Translationen ( I.3.1), Galilei-Boosts ( I.3.2) und Drehungen ( I.3.3) werden wir zeigen, dass die Beschleunigungen d 2 x/ 2 im Inertialsystem B I und d 2 x / 2 im Bezugssystem B gleichzeitig verschwinden. Schließlich wird das Verhalten von Kräften unter Galilei- Transformationen diskutiert ( I.3.5). I.3.1 Translationen Eine erste Klasse von einfachen Transformationen zwischen Inertialsystemen oder genauer gesagt, zwischen Systemen von kartesischen Koordinaten, in deren Nullpunkte Inertialbeobachter ruhen besteht aus den Translationen, entweder im Raum oder in der Zeit. I.3.1 a Räumliche Translationen Betrachten wir zunächst den Fall eines Bezugssystem B bzw. eines Koordinatensystems in B, das sich aus dem Inertialsystem B I bzw. aus dem Koordinatensystem in B I durch eine räumliche Translation um einen festen Vektor a ableiten lässt. Dann sind die Koordinaten r bzw. r eines Punkts P bezüglich B I bzw. B über die Beziehung r = r a (I.24) verknüpft (vgl. Abb. I.2). Der gleiche Zusammenhang gilt für die Bahnkurven x bzw. x eines bewegten Massenpunkts. Somit gilt trivial nach Zeitableitung d x = d x, d 2 x 2 = d2 x 2. Wenn keine Kräfte auf den Massenpunkt wirken, so dass x = 0, dann ist auch x = 0. Umgekehrt führt x = 0 zu x = 0, d.h. das erste Newton sche Gesetz (I.13) gilt genau dann in B, wenn es im Inertialsystem B I gilt. x 3 B I r P O x 2 a r B x 1 O x 2 Abbildung I.2

2 18 Newton sche Mechanik Bemerkung: Führt man zwei Translationen (um Vektoren a und b) hintereinander aus, so ist die resultierende Transformation ebenfalls eine Translation, und zwar um den Vektor a + b. I.3.1 b Translationen in der Zeit Sei jetzt angenommen, dass das Bezugssystem B bezüglich des Inertialsystems B I ruht, und dass die gleichen Raumkoordinaten in B als in B I verwendet werden, d.h. r = r für Ortsvektoren. Dagegen unterscheidet sich der in B gewählte Nullpunkt der Zeit t = 0 von dem Nullpunkt t = 0 in B I : t = t τ. (I.25) Dies entspricht einer zeitlichen Translation, so wie Gl. (I.24) eine räumliche Translation darstellt. Unter Verwendung der Kettenregel gilt dann für die Zeitableitungen in jedem Bezugssystem (3) d = d = d, und eine ähnliche Gleichung für die zweite Ableitungen. Insbesondere ist d 2 x/ 2 = 0 genau äquivalent zu d 2 x(t )/ 2 = 0. Bemerkung: Gleichung (I.25) bedeutet nicht nur, dass die Beobachter in B I und B unterschiedliche Nullpunkte der Zeit genommen haben, sondern auch, dass die Zeit gleich schnell in beiden Bezugssystemen vergeht. Das heißt, hier wird t = αt τ mit α = 1 betrachtet. I.3.2 Eigentliche Galilei-Transformationen Ein Bezugssystem B bewege sich gegenüber dem Inertialsystem B I mit konstanter Geschwindigkeit. Der Einfachheit halber wird angenommen, dass die an B I und B gebundenen Beobachter Koordinatensysteme verwenden, deren Ursprungspunkte zur Zeit t = 0 übereinstimmen, während deren Achsen parallel sind, wie in Abb. I.3 dargestellt wird. Dann gilt für die Koordinaten eines bestimmten Punkts P in den beiden Bezugssystemen r = r ut. (I.26) Eine solche Transformation zwischen Bezugssystemen wird eigentliche Galilei-Transformation oder auch Galilei-Boost genannt. x 3 B I r P O x 2 ut r B x 1 O x 2 Abbildung I.3 (3) Die hier benutzte Notation bedeutet, dass für jede Funktion f(t ) = ϕ ( t(t ) ) die Gleichung df(t )/ = dϕ/ gilt.

3 I.3 Inertialsysteme. Galilei-Transformationen 19 Die Beziehung (I.26) führt für die Bahnkurven x bzw. x eines bewegten Massenpunkts P sofort zu d x = d [ ] d x d 2 x x ut = u und 2 = d2 x 2. Die erstere Gleichung bedeutet, dass die Beobachter in B I und B einem bewegten physikalischen System unterschiedliche Geschwindigkeiten zuordnen. Dagegen sind die durch die beiden Beobachter gemessenen Beschleunigungen gleich. Falls keine Kräfte auf P wirken, so dass x = 0 in B I, dann gilt ebenfalls x = 0 in B, d.h. was in einem der Bezugssystem als kräftefrei aussieht, wird auch im anderen Bezugssystem als kräftefrei gesehen. Bemerkung: Genau wie bei Translationen führt die Hintereinanderausführung zweier Galilei-Boosts zu einem neuen Galilei-Boost. I.3.3 Drehungen Die letzte Klasse einfacher Galilei-Transformationen besteht aus den Drehungen, um jede beliebige Achse im Raum. Sei somit angenommen, dass die Beobachter in B I und B Koordinatensysteme benutzen, deren Achsen gegenüber einander um einen konstanten Winkel θ gedreht sind. Dagegen stimmen die Ursprungspunkte der Koordinatensysteme miteinander überein. B I B r θ e R Abbildung I.4 In diesem Fall lassen sich Ortsvektoren bezüglich B bzw. ihre Koordinaten aus denen bezüglich B I durch eine konstante 3 3-Drehmatrix R erhalten: (4) r = R r. (I.27a) Äquivalent lässt sich diese Beziehung komponentenweise schreiben: x i = R i jx j, (I.27b) mit R i j für i, j {1, 2, 3} den Matrixelementen von R. Bemerkung: Bei der hier betrachteten Drehung sowie bei den Translationen in I.3.1 oder den Galilei-Boosts in I.3.2 handelt es sich um eine sog. passive Transformation. Im Gegensatz zu einer aktiven Drehung wird der betrachtete Massenpunkt nicht gegenüber anderen Objekten gedreht; hier wird der Beobachter oder äquivalent das Bezugs- bzw. Koordinatensystem, in dem der Massenpunkt beschrieben wird, gedreht. (4) Vgl. Anhang B über Drehmatrizen.

4 20 Newton sche Mechanik Beziehung (I.27a) bzw. (I.27b) gilt auch für die Bahnkurve eines Massenpunkts bezüglich jedes der Bezugssysteme bzw. für die Komponenten der Bahnkurve. Da die Beziehung zwischen Bahnkurven linear und zeitunabhängig ist, gibt sie nach zweifachen Zeitableitung bzw. d 2 x 2 d 2 x i 2 = R d2 x 2 d 2 x j = R i j 2. Somit führt x = 0 zu x = 0. Da jede Drehmatrix invertierbar ist, gilt die Implikation auch in der umgekehrten Richtung. Bemerkung: Wie bei Translationen oder Galilei-Boosts ist das Produkt zweier Drehmatrizen, entsprechend der Verkettung der assoziierten Drehungen, wieder eine Drehmatrix. Dabei ist aber das Produkt zweier Drehmatrizen im Allgemeinen nicht-kommutativ, d.h. die Reihenfolge, in der die Drehungen aufeinander folgen, ist wichtig. I.3.4 Allgemeine Galilei-Transformationen Generell sind die Galilei-Transformationen G die linearen Abbildungen (t, x) G(t, x) = (t, x ) zwischen den Zeiten und Positionen gemessen in zwei unterschiedlichen Inertialsystemen. In I.3.1 I.3.3 wurde gezeigt, dass räumliche oder zeitliche Translationen, Galilei-Boosts und Drehungen Beispiele solcher Galilei-Transformationen sind. Allgemeiner definiert jedes Produkt d.h. Hintereinanderausführung von Translationen im Raum oder in der Zeit, Galilei-Boosts und Drehungen eine allgemeine Galilei-Transformation. Dabei hängt die resultierende Transformation von der Reihenfolge der Transformationen ab, genau wie es schon bei Drehungen der Fall ist. Umgekehrt kann man zeigen, dass jede Galilei-Transformation zwischen Inertialsystemen sich als Verkettung von Translationen, Drehungen und Galilei-Boosts zerlegen lässt. Schließlich ist das Produkt zweier Galilei-Transformationen wieder eine Galilei-Transformation. Somit bilden diese Transformationen mit diesem Produkt mathematisch eine sog. Gruppe. (5) Dabei benutzt man auch, dass es ein neutrales Element für das Produkt gibt, und zwar die Identitätstransformation, dass jeder Galilei-Transformation eine inverse Transformation zugeordnet werden kann, und schließlich dass das Produkt assoziativ ist. Da das Ergebnis eines Produkts von der Reihenfolge der Multiplikanden abhängt, wird die Gruppe als nicht-kommutativ oder äquivalent nicht-abelsch (f) bezeichnet. Bemerkung: Die Translationen im Raum oder in der Zeit, die Drehungen und die Galilei-Boosts bilden jeweils Untergruppen der Galilei-Gruppe. I.3.5 Kräfte und Galilei-Transformation In den vorigen Paragraphen wurde nur das Verhalten des Ortsvektors und seiner Ableitungen unter Galilei-Transformationen von einem Inertialsystem zu einem anderen betrachtet. Daraus folgt, dass wenn die Beschleunigung x eines Massenpunktes in einem Inertialsystem B I verschwindet, dann gilt x = 0 für einen Beobachter, dessen Koordinatensystem mit dem in B I über eine Galilei- Transformation zusammenhängt. Um zu zeigen, dass das zweite Newton sche Gesetz (I.14) ebenfalls in beiden Bezugssystemen B I und B gleichzeitig gilt, soll noch das Transformationsgesetz für Kräfte präzisiert werden. Dafür soll man die Form der Kraft genauer berücksichtigen. (5) Diese Gruppe wird manchmal mit Gal(3) bezeichnet. (f) N. H. Abel,

5 I.4 Beschleunigte Bezugssysteme. Scheinkräfte 21 Kräfte der Form F = F e F relativ zu B I, mit konstantem Betrag F und einer festen Richtung e F im Raum, transformieren sich unter Drehungen genau wie Ortsvektoren indem e F für einen Inertialbeobachter in B gedreht aussieht, während sie unter Translationen oder Lorentz-Boosts invariant bleiben. Somit gilt die Gleichung m x = F sowohl in B I als (mit gestrichenen, transformierten Vektoren) in B. Ein Beispiel für eine solche Kraft ist die Schwerkraft m g in einem homogenen Schwerefeld. Realistische ortsabhängige Kräfte hängen nicht vom Ortsvektor des Körpers ab, auf den sie ausgeübt werden, sondern nur von seinem Abstandsvektor von einem anderen Körper. Dies ist z.b. der Fall der Newton schen Gravitationskraft zwischen zwei Massenpunkten. Dieser Abstandsvektor, und somit die Kraft, bleibt unverändert unter Translationen oder Lorentz- Boosts, während es sich unter Drehungen genau wie ein Ortsvektor bzw. eine Beschleunigung verhält. Wieder gilt m x = F sowohl in B I als in B. Bei geschwindigkeitsabhängigen Kräften ist eine zusätzliche Fallunterscheidung nötig. Bei Reibungskräften, wie z.b. der Stokes schen Reibung (I.15c), ist die relevante Geschwindigkeit diejenige relativ zum Ruhesystem eines Mediums z.b. der Luft oder Flüssigkeit, durch welche der Körper sich bewegt. Diese Relativgeschwindigkeit ändert sich nicht, bis auf Änderungen der beobachteten Richtung, unter den Transformationen der I.3.1 I.3.3, so dass die Gleichung m x = F die gleiche Form in B I und in B annimmt. Der Fall der Lorentz-Kraft ist mehr problematisch. In Abwesenheit eines elektrischen Feldes E lautet sie F = q v B, mit B einem statischen magnetischen Feld. Dabei ist v die Geschwindigkeit der bewegten Punktladung relativ zum Bezugssystem, in dem E = 0 und B stationär ist. In Bezugssystemen, die sich relativ zu diesem Bezugssystem mit einer Geschwindigkeit u bewegen, nehmen E und B unterschiedliche Forme an, wie man im Rahmen der Elektrodynamik nachprüfen kann. Die Felder ändern sich dabei so, dass die Lorentz-Kraft, einschließlich des Terms mit E, (in Betrag) invariant bleibt. Dies gilt zumindest annähernd, solange u klein ist, und zwar gegenüber dem Vakuumlichtgeschwindigkeit. Für entsprechende Galilei-Boosts erhält die Gleichung m x = F die gleiche im gleichförmig bewegten Bezugssystem als in einem Inertialsystem. Eigentlich transformieren sich die Gleichungen der Elektrodynamik unter Galilei-Boosts nicht, wie sie sollten, damit Galilei-Transformationen die richtigen Transformationen zwischen Inertialsystemen darstellen. Auf dieses Thema wird in Kap. V weiter eingegangen. Abgesehen vom oben erwähnten Problem mit der Lorentz-Kraft nimmt die mathematische Formulierung (I.14) des zweiten Newton schen Gesetzes die gleiche Form in allen Bezugssystemen an, die sich aus einem Inertialsystem über eine Galilei-Transformation ableiten lassen. Deshalb sind diese Bezugssysteme auch Inertialsysteme. I.4 Beschleunigte Bezugssysteme. Scheinkräfte Im vorigen Abschnitt wurde gesehen, dass ein Bezugssystem B, das sich relativ zu einem Inertialsystem B I gleichförmig und geradlinig bewegt, oder dessen Koordinaten konstant verschoben oder gedreht gegenüber solchen von B I sind, ebenfalls ein Inertialsystem ist. In diesem Abschnitt wird wieder ein Inertialsystem B I betrachtet, in denen die Newton schen Gesetze des Abschn. I.2 gelten. Dann bezeichnet B ein zweites Bezugssystem in beschleunigter Bewegung gegenüber B I. Wie wir sehen werden ist ein solches Bezugssystem kein Inertialsystem.

6 22 Newton sche Mechanik Ortsvektoren bezüglich eines festen Koordinatensystems in B I bzw. B werden mit r bzw. r bezeichnet. Wiederum steht x bzw. x für Bahnkurven bezüglich B I bzw. B. Sei Σ ein physikalisches System, modelliert durch einen Massenpunkt mit träger Masse m. Laut dem zweiten Newton schen Gesetz (I.14) gilt im Inertialsystem B I m d2 x 2 = F, (I.28) mit F der (möglicherweise zeitabhängigen) Resultierenden der physikalischen Kräfte auf Σ. Im Folgenden wird die in B beobachtete Beschleunigung d 2 x / 2 für unterschiedliche Bewegungen von B berechnet, und zwar erstens für den Fall eines linear beschleunigten Bezugssystems ( I.4.1), dann für ein rotierendes Bezugssystem ( I.4.2). In beiden Fällen weicht d 2 x / 2 von der im Inertialsystem beobachteten Beschleunigung d 2 x/ 2 ab: die zusätzlichen Terme, multipliziert mit m, lassen sich als auf Σ wirkende Scheinkräfte interpretieren. I.4.1 Linear beschleunigte Bezugssysteme Betrachten wir zunächst den Fall eines Bezugssystems B, das sich relativ zum Inertialsystem B I mit einer zeitabhängigen Geschwindigkeit u bewegt, wobei die Richtung von u konstant bleibt, so dass die Bewegung linear ist. Der Einfachheit halber wird angenommen, dass die an B I und B gebundenen Beobachter Koordinatensysteme verwenden, deren Ursprungspunkte zur Zeit t = 0 übereinstimmen, und deren Achsen parallel sind (Abb. I.5). Dann gilt für die Positionen eines bestimmten Punkts P bezüglich der beiden Bezugssysteme r = r t 0 u(t ), (I.29) wobei der zweite Term (ohne das Minus-Zeichen) die Verschiebung zur Zeit t des Ursprungspunkts O vom Koordinatensystem in B darstellt. x 3 B I r P O x 2 r B x 1 t 0 u(t ) O x 2 Abbildung I.5 Falls B konstant beschleunigt ist, so gilt u = at + u(0) und somit ( ) 1 r = r 2 at2 + u(0)t. Beziehung (I.29) gilt auch zwischen den in B I und B gemessenen Bahnkurven x und x eines Massenpunkts. Eine erste Zeitableitung liefert dann d x = d x u, (I.30)

7 I.4 Beschleunigte Bezugssysteme. Scheinkräfte 23 entsprechend einem Additionstheorem für Geschwindigkeiten. Dann gibt eine zweite Ableitung d 2 x 2 = d2 x 2 d u. (I.31) In Abwesenheit von physikalischen Kräften, d.h. wenn F = 0, gilt im Inertialsystem B I laut den ersten zwei Newton schen Gesetzen d 2 x/ 2 = 0. Dagegen ist d 2 x / 2 im Allgemeinen gemäß Gl. (I.31) ungleich Null: für einen Beobachter im Bezugssystem B ist die Beschleunigung eines bezüglich B I ruhenden, d.h. eigentlich kräftefreien, Massenpunkts x = u, was der Beobachter als Antwort des Massenpunkts zur Anwendung einer Scheinkraft m u interpretiert. Da ein kräftefreier Massenpunkt relativ zu B nicht ruht, sondern sich bewegt, ist jenes Bezugssystem kein Inertialsystem. I.4.2 Rotierende Bezugssysteme Jetzt wird angenommen, dass das Bezugssystem B gegenüber dem Inertialsystem B I rotiert. Dabei können sowohl die (momentane) Achse der Rotation als auch die Rotationsgeschwindigkeit von B bezüglich B I von der Zeit abhängen. Der Einfachheit halber wird angenommen, dass die Koordinatensysteme in B und B I den gleichen Ursprungspunkt haben. Somit lassen sich Vektoren in B aus denen bezüglich B I durch eine zeitabhängige Drehmatrix R B /B I SO(3) erhalten [vgl. Gl. (I.27a)]; z.b. gilt für den Ortsvektor eines Punkts r = R B /B I r. (I.32a) Im Folgenden wird es günstiger sein, die Bahnkurve eines Massenpunkts bezüglich B I durch jene relativ zu B auszudrücken. Da die Drehmatrix R B /B I eine orthogonale Matrix ist, ist sie automatisch invertierbar, woraus r = [R B /B I ] 1 r R r (I.32b) folgt, wobei die kürzere Notation R für die inverse Drehmatrix eingeführt wurde. (6) Diese Beziehung gilt nicht nur für den Ortsvektor, sondern für jeden Vektor. Somit gilt für die in B I und B beobachteten Bahnkurven x = R x (I.33a) (6) Es wird der Leserin empfohlen, sich die etwa abstrakten Berechnungen dieses Paragraphen anhand eines Beispiels klarer zu machen. Z.B. kann man annehmen, dass B mit konstanter Rotationsgeschwindigkeit ω 0 um die x 3 -Achse des Koordinatensystems von B I rotiert. Die Beziehung zwischen den Basisvektoren der beiden Koordinatensysteme lautet dann e 1 cos(ω 0t) sin(ω 0t) 0 e 2 e 3 = sin(ω 0t) cos(ω 0t) e 1 e 2 e 3 oder äquivalent, nach Transposition ( ( ) cos(ω 0t) sin(ω 0t) 0 e1 e 2 e 3 ) = e1 e 2 e 3 sin(ω 0t) cos(ω 0t) Für die Koordinaten eines Vektors in B und B I gilt [vgl. Gl. (I.32a)] cos(ω 0t) sin(ω 0t) 0 x 1 x 1 x 2 = sin(ω 0t) cos(ω 0t) 0 x 2 R B x 3 /B I x 2. x 3 Daraus folgt x 1 cos(ω 0t) sin(ω 0t) 0 x 2 = sin(ω 0t) cos(ω 0t) 0 x mit R der in Gl. (I.32b) eingeführten Drehmatrix. x 2 R x 2

8 24 Newton sche Mechanik und gleichfalls für die Kräfte vgl. die Diskussion in I.3.5. F = R F, (I.33b) I.4.2 a Bewegungsgleichung in einem rotierenden Bezugssystem Leitet man zunächst die Beziehung (I.33a) nach der Zeit ab, so ergibt sich unter Verwendung der Produktregel d x Dabei ist dr/ die Zeitableitung dr = dr x + R d x. (I.34) R(t+δt) R 1 [ = lim = lim R(t+δt)R 1 ] 1 3 R (I.35) δt 0 δt δt 0 δt mit 1 3 der 3 3-Einheitsmatrix, wobei das Produkt zweier Drehmatrizen R(t+δt)R 1 D selbst eine Drehmatrix ist. Im Limes δt = 0 gilt D = 1 3. Somit lässt sich D bei kleinem δt als D = Ωδt + O ( (δt) 2) (I.36) schreiben, mit Ω einer 3 3-Matrix. Genauer muss der Betrag des Produkts aus δt mit irgendeinem der Matrixelemente von Ω klein gegenüber 1 sein. Bei Gl. (I.36) handelt es sich eigentlich um eine Taylor-Entwicklung, wobei Ω die Zeitableitung von D ist. Diese Näherung kann in Gl. (I.35) eingesetzt werden, woraus sich dr = ΩR (I.37) ergibt. Da D eine Drehmatrix ist, gilt DD T = D T D = 1 3. Die Transposition der Gl. (I.36) gibt D T = Ω T δt + O ( (δt) 2), woraus DD T = [ Ω+Ω T] δt+o ( (δt) 2) folgt. Dies ist gleich 1 3 bis auf Terme der Ordnung (δt) 2 oder höher vorausgesetzt Ω T = Ω, d.h. wenn Ω eine antisymmetrische Matrix ist. Diese lässt sich dann parametrisieren als 0 ω 3 ω 2 Ω = ω 3 0 ω 1 (I.38) ω 2 ω 1 0 oder äquivalent [Ω] ij = ɛ ijk ω k für jede Zeit t, mit ω 1, ω 2, ω 3 drei reellen Zahlen. (7) Mit dieser Parametrisierung gilt für jeden Vektor a mit Komponenten (a 1, a 2, a 3 ) 0 ω 3 ω 2 a 1 ω 2 a 3 ω 3 a 2 Ω a = Ω = ω 3 0 ω 1 a 2 = ω 3 a 1 ω 1 a 3, ω 2 ω 1 0 a 3 ω 1 a 2 ω 2 a 1 (7) Für das in Fußnote (6) eingeführte Beispiel gilt cos(ω 0δt) sin(ω 0δt) 0 D R(t+δt)R 1 = sin(ω 0δt) cos(ω 0δt) Somit ist in diesem Fall [vgl. Gl. (I.36)] 0 ω 0 0 Ω = ω δt 0 und der über die Parametrisierung (I.38) assoziierte Vektor ist ω = ω 0 e 3. 1 ω 0δt 0 ω 0δt

9 I.4 Beschleunigte Bezugssysteme. Scheinkräfte 25 d.h. Ω a = ω a (I.39) mit ω dem Vektor mit Komponenten ( ω 1, ω 2, ω 3 ). Die physikalische Bedeutung dieses Vektors wird am Ende dieses Paragraphen diskutiert. Wie wir dort sehen wird, macht ω Sinn, wenn er als Vektor im Inertialsystem B I angesehen wird. Ersetzt man die Ableitung dr/ in Gl. (I.34) mit Hilfe von Gl. (I.37), so kommt d x = ΩR x + R d x = ω [ R x ] + R d x, (I.40) wobei die zweite Gleichung aus Beziehung (I.39) folgt. Sei jetzt ω R 1 ω. Unter Verwendung der Identität ( ) ( ) ( ) R a R b = R a b, (I.41) die für jede Drehmatrix R und jedes Paar von Vektoren a, b gilt, kann man dann [ d x = R ω x + d x ] schreiben. (I.42) Beweis der Identität (I.41): es seien {a i } bzw. {b i } die kartesischen Koordinaten von a bzw. b und R i j die Matrixelemente von R. Dann gilt [( ) ( )] R a R i b = ɛi j k Rj j aj R k kb k. Andererseits ist die Determinante der Drehmatrix R durch det R = ɛ l j k Rl 1 R j 2 Rk 3 gegeben, wobei eigentlich det R = 1. Äquivalent gilt nach einer Permutation 1 l, 2 j, 3 k der Matrixspalten ɛ ljk det R = ɛ l j k Rl l R j j Rk k, wobei ɛ ljk das Signum der Permutation ist. Multipliziert man diese Gleichung mit R i l und summiert man über l, so kommt ɛ ljk R i l = ɛ l j k Ri l Rl l Rj j Rk k. Dabei ist Rl l das l l-element der Matrix R, d.h. auch das ll -Element der transponierten Matrix R T, so dass R i l Rl l, mit Summe über l, das i l -Element des Produkts RR T = 1 3 ist. Somit gilt ɛ ljk R i l = ɛ l j k δi l R j j Rk k = ɛ i j k Rj j Rk k. Schließlich findet man [( R a ) ( R b )] i = ɛi j k Rj j aj R k k b k = ɛ ljk R i la j b k = [ R ( a b )] i, entsprechend dem gesuchten Ergebnis. Das wiederholte Ableiten von Gl. (I.42) nach der Zeit liefert dann d 2 x 2 = dr [ ω x + d x ] [ d ω + R x + ω d x + d2 x ] 2. Für den ersten Term im rechten Glied können Gl. (I.37), (I.39) und (I.41) wieder benutzt werden: [ dr ω x + d x ] [ = ΩR ω x + d x ] { [ = ω R ω x + d x ]} = [ R ω ] { [ R ω x + d x ]} { [ = R ω ω x + d x ]}.

10 26 Newton sche Mechanik Somit ergibt sich insgesamt d 2 { x d 2 x 2 = R 2 + ω [ ω x ] + 2 ω d x + d ω } x. (I.43) Unter Berücksichtigung des zweiten Newton schen Gesetzes (I.28) lässt sich der Term auf der linken Seite als F/m umschreiben. Dabei kann man F mithilfe der Gl. (I.33b) ersetzen. Nach Anwendung von R 1 auf die daraus folgende Gleichung erhält man schließlich m d2 x 2 = F m ω [ ω x ] 2m ω d x m d ω x. (I.44) Die drei letzten Terme auf der rechten Seite sind wieder Scheinkräfte, die zur im Bezugssystem B gemessenen Beschleunigung beitragen. Bemerkung: Alle drei neuen Scheinkräfte in Gl. (I.44) sind proportional zur trägen Masse m, so wie die in I.4.1 gefundene Scheinkraft in einem linear beschleunigten System. Aus diesem Grund werden Scheinkräfte auch manchmal Trägheitskräfte genannt. Wegen der nach heutigem (Herbst 2015) Wissenstand gültigen Proportionalität zwischen schwerer und träger Masse ist auch die Schwerkraft proportional zu m. Daher kann die Schwerkraft zumindest mathematisch als eine Scheinkraft betrachtet werden, die sich über eine passende Wahl von Bezugssystem annullieren lässt was die grobe Grundidee von der Allgemeinen Relativitätstheorie darstellt. Bevor wir die drei Scheinkräfte in Gl. (I.44) weiter diskutieren, sollte die Bedeutung des darin auftretenden Vektors ω bzw. von ω festgestellt werden. Zu diesem Zweck kann Gl. (I.40) für den Fall eines bezüglich B ruhenden Massenpunkts geschrieben werden. Für d x / = 0 gilt nämlich d x = ω [ R x ] = ω x. (I.45) Das heißt, die (Rate der) Änderung der in B I gemessenen Position x ist senkrecht auf x und auf den Vektor ω. Diese Gleichung beschreibt eine (instantane) Rotationsbewegung bezüglich B I um eine Achse, die durch den Ursprungspunkt des Koordinatensystems geht und entlang der Richtung von ω liegt. Dazu kann man anhand eines Beispiels (8) sehen, dass die zugehörige Rotationsgeschwindigkeit d.h. die Rate der Änderung des Winkels von x bezüglich einer festen Richtung genau durch den Betrag ω gegeben wird. Entsprechend diesen Eigenschaften heißt der Vektor ω Winkelgeschwindigkeit. I.4.2 b Zentrifugalkraft Der zweite Term auf der rechten Seite von Gl. (I.44) ist die Zentrifugalkraft F zentrifugal m ω [ ω x ]. (I.46) Zerlegt man den Ortsvektor x in die Summe aus einem Vektor x parallel zur Winkelgeschwindigkeit ω und einem Vektor x senkrecht darauf, so trägt nur x zum geklammerten Kreuzprodukt bei, und man findet F zentrifugal = m ω 2 x. Somit ist die Zentrifugal kraft orthogonal zur Richtung der instantanen Achse der Rotationsbewegung, wie in Abb. I.6 dargestellt wird. (8)... wie jenes aus der Fußnote (6)! Vgl. den entsprechenden Ausdruck von ω in Fußnote (7).

11 I.5 Mehrteilchensysteme 27 ω F zentrifugal ω x x x x Abbildung I.6 Zentrifugalkraft Diese Scheinkraft wird auch durch Körper gespürt, die bezüglich des beschleunigten Bezugssystems B ruhen, falls sie nicht auf der Achse der Rotationsbewegung sitzen d.h. für x 0. I.4.2 c Coriolis-Kraft Die zweite in Gl. (I.44) auftretende Scheinkraft ist die Coriolis (g) -Kraft F Coriolis 2m ω v (I.47) mit v d x / der Geschwindigkeit im nicht-inertialsystem B. Diese Scheinkraft ist offensichtlich senkrecht sowohl auf v als auf ω, und wirkt nicht auf Körper, die sich parallel zur instantanen Achse der Drehbewegung bewegen. Ein an die Erde gebundenes Bezugssystem B ist wegen der Erdrotation in Drehbewegung relativ zu entfernten Galaxien. Somit erfahren Körper, die auf der Erde sich bewegen, eine Coriolis-Kraft. Diese dafür sorgt, dass horizontale Bewegungen, wie von z.b. Strömen in Ozeanen oder von Wolken, auf der Nord- bzw. Südhalbkugel nach rechts bzw. links abgelenkt werden. I.4.2 d Euler-Kraft Der letzte Term in Gl. (I.44) ist die Euler (h) -Kraft F Euler m d ω x. (I.48) Diese Scheinkraft tritt nur auf, wenn die Winkelgeschwindigkeit sich zeitlich ändert, entsprechend einer Änderung entweder der Rotationsgeschwindigkeit d.h. des Betrags ω oder der Drehachse, oder natürlich von beiden. Dabei spielt der Bewegungszustand bewegt oder ruhend des Körpers relativ zum beschleunigten Bezugssystem keine Rolle. Falls die Rotationsachse konstant bleibt, so dass ω parallel zu ω ist, findet man sofort, dass die Euler-Kraft tangential zur Bahnkurve des Körpers ist. (g) G. Coriolis, (h) L. Euler,