Ferienkurs Experimentalphysik 1

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1 Ferienkurs Experimentalphysik 1 Julian Seyfried Wintersemester 2014/2015 1

2 Seite 2 Inhaltsverzeichnis 1 Klassische Mechanik des Massenpunktes Gleichförmig beschleunigte Bewegungen Kräfte Gravitation Reibungskraft Kreisbewegungen Keplersche Gesetze Drehmoment und Drehimpuls Bezugs- und Koordinatensysteme Galilei-Transformation Beschleunigte Bezugsysteme A Aufgaben 9 A.1 Schiefer Wurf A.2 beschleunigte Kreisbewegung B Musterlösung 10 B.1 Schiefer Wurf B.2 Beschleunigte Kreisbewegung

3 Seite 3 1 Klassische Mechanik des Massenpunktes In diesem Kapitel behandeln wir die Mechanik von nicht-ausgedehnten Objekten. Wir nehmen an, dass sich die Gesamtmasse auf einen Punkt konzentriert. Die folgenden Betrachtungen behandeln Bewegungen im Mehrdimensionalen und werden daher vektoriell gerechnet. Bei eindimensionalen Aufgaben, wie z.b. dem freien Fall, ist eine skalare Betrachtung ausreichend. Wir geben die Position des Massenpunktes mit dem sog. Ortsvektor an: x(t) r(t) = y(t) (1) z(t) Die Geschwindigkeit v(t) erhält man analog zum Eindimensionalen: v(t) = d r(t) dt := r(t) ẋ(t) = ẏ(t) (2) ż(t) Der Geschwindigkeitsvektor ist immer tangential zur Bahn. Die Gesamtgeschwindigkeit eines Körpers zum Zeitpunkt t 0 ist gegeben durch: v(t 0 ) := v(t 0 ) = ẋ(t 0 ) 2 + ẏ(t 0 ) 2 + ż(t 0 ) 2 (3) Die Geschwindigkeit eines Körpers ist also anschaulich die Länge des Geschwindigkeitsvektors. Des Weiteren können wir die Beschleunigung berechnen: a(t) = d v(t) ẍ(t) = d2 r(t) dt dt 2 := r(t) = ÿ(t) (4) z(t) Falls die Beschleunigung bekannt ist, so erhält man die Geschwindigkeit über: v(t) v(t 0 ) = Auf die gleiche Art und Weise erhält man: r(t) r(t 0 ) = t t 0 dt a(t ) (5) t t 0 dt v(t ) (6) In den meisten Fällen wählt man t 0 =0 und nennt v(t 0 ) und r(t 0 ) v 0 bzw. r 0. Diese beiden Größen beschreiben meist den Startpunkt und die Anfangsgeschwindigkeit.

4 Seite Gleichförmig beschleunigte Bewegungen Mit den oben beschriebenen Grundlagen betrachten wir nun einen gängigen Spezialfall: die gleichförmig beschleunigte Bewegung. In diesem Fall gilt: a x a(t) = a = a y (7) a z Mit Gleichung (5) erhält man: a x t + v x0 v(t) = a y t + v y0 (8) a z t + v z0 Und mit Gleichung (6) erhält man schließlich: 1 2 a x t 2 + v x0 t + x 0 r(t) = 1 2 a y t 2 + v y0 t + x 0 (9) 1 2 a z t 2 + v z0 t + x 0 Wir erhalten die schon aus der Schule bekannten Bewegungsgleichungen getrennt für jede Dimension. In diesem Spezialfall ( in Experimentalphysik 1 werden auch nur solche Fälle betrachtet) sind die Bewegungen in den drei Raumrichtungen unabhängig voneinander. Die Gesamtbewegung ist eine Überlagerung dieser drei Bewegungen (Superpositionsprinzip). Als Beispiel wird ein schiefer Wurf betrachtet. 1.2 Kräfte Nachdem wir uns mit beschleunigten Bewegungen beschäftigt haben, wenden wir uns nun der Ursache von Beschleunigungen zu: den Kräften. Die grundlegende Beschreibung erfolgt mit den Newtonschen Axiomen: 1. Ein Körper bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit und Richtung fort oder verharrt in Ruhe, sofern keine resultierende Kraft auf ihn wirkt 2. m d2 r dt 2 = F = m d v dt = d p dt 3. Actio=Reaction: F 21 = F 12 Man erkennt, dass sich für den Fall konstanter Kraft und Masse eine gleichförmige Beschleunigung ergibt und somit eine Bewegung wie in Kapitel 1.1 beschrieben.

5 Seite Gravitation Auf Newton geht auch das Gravitationsgesetz zurück: F G = G m1 m 2 r r 3, (10) wobei G = 6, 67 m3 Gravitationskonstante genannt wird. Das negative Vorzeichen kgs 2 bedeutet, dass die Kraft anziehend wirkt. Im Bereich der Erdoberfläche kürzt man das Gesetz ab: F G = m g e r (11) mit g = G m Erde r 2 Erde = 9, 81 m s Reibungskraft Die Reibungskraft zwischen zwei übereinander gleitenden Oberflächen wird Gleitreibung genannt: F R,G = µ G F N v (12) v Man bezeichnet die dimensionslose Größe µ G als Gleitreibungszahl. F N bezeichnet die Normalkraft, also die Kraft. die der gleitende Körper senkrecht zur Oberfläche ausübt. Der letzte Faktor ist der Einheitsvektor entgegen der Bewegungsrichtung, d.h. die Reibung wirkt immer der Bewegung entgegen. Des Weiteren gibt es noch die sog. Haftreibung, die überwunden werden muss, damit der Körper zu gleiten beginnen kann: F R,H = µ H F N (13) Die Haftreibungszahl µ N ist üblicherweise größer als die Gleitreibungszahl. Die Haftreibung wirkt immer entgegen der Richtung, in die die Bewegung statt finden würde. 1.3 Kreisbewegungen Im Folgenden betrachten wir Kreisbewegungen in der xy-ebene um den Ursprung, d.h. die z-komponente des Ortsvektors bleibt konstant und wird daher im Folgenden nicht betrachtet. Der Radius r(t) := r = x(t) 2 + y(t) 2 ist bei einer Kreisbewegung konstant. Die einzige sich verändernde Größe ist der Winkel ϕ, den wir wie üblich bezüglich der x-achse wählen in mathematisch positiver Richtung(gegen den Uhrzeigersinn). Es ist sinnvoll den Ortsvektor bei Kreisbewegungen in Polarkoordinaten zu schreiben: ( ) cos(ϕ(t)) r(t) = r (14) sin(ϕ(t))

6 Seite 6 Die Geschwindigkeit erhalten wir wie gewohnt durch Ableiten: v(t) = r dϕ(t) ( ) ( ) sin(ϕ(t)) sin(ϕ(t)) := r ω dt cos(ϕ(t)) cos(ϕ(t)) (15) Dazu wurde die Winkelgeschwindigkeit ω := ϕ definiert. Nochmaliges Ableiten ergibt: ( ) a(t) = r ω 2 cos(ϕ(t)) = ω 2 r(t) (16) sin(ϕ(t)) Analog zur Beschleunigung wird auch die Winkelbeschleunigung α := ω = ϕ definiert. Betrachten wir nun die Geschwindigkeit v(t) der Kreisbewegung. Unter Benutzung von sin(x) 2 + cos(x) 2 = 1 erhalten wir: Für die Beschleunigung gilt: v(t) = ω r = konstant (17) a(t) = ω 2 r = v2 r = konstant (18) Da a im Fall konstanter Geschwindigkeit v senkrecht auf v entspricht a der Zentripetalbeschleunigung. Eine Umdrehung ist vorbei, wenn ein Winkel von 2π durchlaufen wurde, daher gilt für die Umlaufzeit T : T = 2π (19) ω Die Frequenz f der Bewegung ist der Kehrwert der Umlaufzeit: f = 1 T = ω 2π (20) Beispiel: beschleunigte Kreisbewegung 1.4 Keplersche Gesetze Johannes Kepler veröffentliche drei Gesetze mit denen er in richtiger Weise die Bewegung der Planeten um die Sonne beschrieb: 1. Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren gemeinsamen Brennpunkt die Sonne steht 2. Ein von der Sonne zum Planeten gezogener Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen (folgt aus Drehimpulserhaltung) 3. T 2 a 3 = konstant

7 Seite Drehmoment und Drehimpuls Wir vervollständigen unsere Betrachtungen von Drehbewegungen mit Drehmoment und Drehimpuls. Der Drehimpuls eines Teilchens ist allgemein gegeben durch: L = r p = m ( r v) (21) Im Falle einer Kreisbewegung ( r v) genügt meist folgende Formel: L = m r v (22) Analog zur Kraft, welche den Impuls verändert, bewirkt das Drehmoment eine Veränderung des Drehimpulses: M = d L ( d r ) dt = p + r dt ( d p ) = r F dt (23) Wirkt die Kraft senkrecht auf r, so gilt in diesem Fall: M = r F 2 Bezugs- und Koordinatensysteme Die Wahl des richtigen Bezugssystems kann die Berechnung vieler Probleme stark vereinfachen. Es lohnt sich daher vor Beginn einer Aufgabe sich kurz Gedanken darüber zu machen, welches Bezugs- bzw. Koordinatensystem man verwendet. So legt man z.b. bei einem schiefen Wurf das Koordinatensystem so, dass die x- Achse mit dem Boden zusammenfällt und das Koordinatenursprung in den Füßen des Werfers ruht. Man könnte natürlich auch den Ursprung seines Koordinatensystem in die Sonne legen. In diesem Fall muss man jede Ortsangabe bezüglich der Sonne machen und in diesem Bezugssystem die Bewegung der Erde um die Sonne sowie die Rotation der Erde berücksichtigen. In vielen anderen Fällen ist die Wahl des Koordinatensystems nicht so trivial. 2.1 Galilei-Transformation Die Galilei-Transformation beschreibt den Wechsel zwischen Koordinatensystem, die sich mit einer konstanten Geschwindigkeit zueinander bewegen. Im Folgenden entfernt sich das gestrichene System mit Geschwindigkeit u vom unterstrichenem System. Zum Wechsel der Koordinatensysteme verwendet man folgende Transformation (Galilei- Transformation). x (t) = x(t) u x t (24)

8 Seite 8 y (t) = y(t) u y t (25) z (t) = z(t) u z t (26) Die Zeit vergeht in beiden Systemen gleich schnell, ebenso sind Kräfte gleich stark. Die Galilei-Transformation ist nur bei langsamen Geschwindigkeit gültig( u < 0.1 c). Bei höheren Geschwindigkeiten wird die Galilei-Transformation durch die Lorentz- Transformation ersetzt (Näheres im 2. Semester bei Besprechung der speziellen Relativitätstheorie). 2.2 Beschleunigte Bezugsysteme In beschleunigten Bezugssystemen sind im Gegensatz zur obigen Betrachtung die Kräfte nicht gleich. Um diesen Effekt zu kompensieren führt man sog. Scheinkräfte ein, die diesen Effekt kompensieren. Zwei bekannte Scheinkräfte sind die Corioliskraft: F C = 2 m ( v ω) (27) und die Zentripetalkraft: F Z = m ω ( ω r) (28)

9 Seite 9 A Aufgaben A.1 Schiefer Wurf Ein Stein wird mit Geschwindigkeit v 0 = 36 km h unter einem Winkel von θ = 45 gegenüber der Horizontale aus einer Höhe h = 1, 8m geworfen. Berechnen sie die maximale Höhe und Wurfweite. A.2 beschleunigte Kreisbewegung Du fährst auf einem beliebten Münchner Volksfest mit einem Fahrgeschäft, dass die Fahrgäste auf Kreisbahn bewegt( z.b. Musikexpress, Zugspitzbahn uvm.). Unser betrachtetes Fahrgeschäft "Rotator des Todes"beschleunigt 30s lang den Fahrgast mit einer konstanten Winkelbeschleunigung von α = 1, 8. Der Fahrgast befindet sich s 2 5m vom Mittelpunkt des Fahrgeschäfts entfernt. Wir legen den Mittelpunkt des Koordinatensystems in die Mitte ( des) Fahrgeschäfts. Zum Beginn der Rotation befindet 0 sich der Fahrgast am Ort r = m. 5 Beschreibe die Situation in Polarkoordinaten und gib ϕ(t) für die ersten 45s an. Wir lauten die Koordinaten des Fahrgastes nach diesen 45s. Geben sie die Geschwindigkeit v des Fahrgastes nach 45s und ob der Fahrgast diese Fahrt überleben kann.

10 Seite 10 B Musterlösung B.1 Schiefer Wurf Zuerst verwandeln wir den Text in eine Bewegungsgleichung: r = ( ) ( x(t) = y(t) cos(θ) v 0 t 1 2 g t2 + sin(θ) t + h = ) ( 10 2 m s t 4, 905 m t s 2 m 2 s t + 1, 8m (29) Nun berechnen wir die maximale Höhe. Mathematisch gesprochen bestimmen wir das Extremum von y(t), daher verlangen wir ẏ(t) = 0. Physikalisch gesprochen ist im höchsten Punkt die Geschwindigkeit in y-richtung gerade 0, weil der Stein umdreht. Wir erhalten also: ẏ(t) = g t + sin(θ) v 0 = 0 (30) t = sin(θ) v 0 g Physikalisch macht diese Formel Sinn. Je höher meine Anfangsgeschwindigkeit ist desto mehr Zeit vergeht bis zum höchsten Punkt. Umgekehrt verringert sich diese Zeit mit steigender Erdbeschleunigung. Wir setzen das bestimmte t nun in y(t) ein und erhalten: y max = 4, 35m. Nun bestimmen wir die maximale Wurfweite. Dazu berechnen wir im 1. Schritt die Dauer des Wurfes, d.h. die Zeit bis der Stein den Boden berührt. Mathematisch suchen wir die Nullstelle von y(t). Diese lässt sich leicht mit Hilfe der "Mitternachtsformel"bestimmen: t max 1, 66s. Dieses Ergebnis setzen wir nun in x(t) ein und erhalten x max = 11, 75m. ) (31) B.2 Beschleunigte Kreisbewegung Zuerst beschreiben wir die Situation wie verlangt in Polarkoordinaten: ( ) cos(ϕ(t)) r(t) = r, (32) sin(ϕ(t)) mit r = 5m. Aus den Anfangskoordinaten sehen wir, dass der Winkel ϕ zu Beginn 90 betragen muss. Es ist üblich Rechnung im Bogenmaß und nicht Gradmaß durchzuführen. Wir können daher nun ϕ(t) angeben: ϕ(t) = 1 2 α t2 + ϕ 0 = 0, 005 π t 2 + π 2 (33)

11 Seite 11 Nun können wir die Koordinaten des Fahrgastes nach 45s bestimmen. Zuerst erhalten wir ϕ(45s) = 85 8 π. Nun erhalten wir: ( ) 1, 9 r(45s) = m (34) 4, 6 Um die Geschwindigkeit des Fahrgastes zu erhalten benötigen wir seine Winkelgeschwindigkeit ω. ω(t) = ϕ(t) = 0, 01 rad s π t (35) Mit ω(45s) = 0, 45π rad s erhalten wir die Geschwindigkeit über: v(45s) = ω(45s) r = 7, 1 m s (36) Die Beschleunigung beträgt: a = v2 r = 10, 1m s 2 (37) Diese Beschleunigung ist für Menschen ohne große Probleme zu überleben. Das Fahrgeschäft trägt also seinen Namen wohl nur aus Marketing-Gründen.