2. Beschleunigte Bezugssysteme, starrer Körper und Himmelsmechanik

Transkript

1 2. Beschleunigte Bezugssysteme, starrer Körper und Himmelsmechanik 2.1. Trägheits- bzw. Scheinkräfte Die Bewegung in einem beschleunigen Bezugssystem lässt sich mit Hilfe von sogenannten Scheinkräften beschreiben. Dazu betrachten wir zuerst ein ruhendes System KS und ein beschleunigtes System KS, welcher linear mit a beschleunigt wird. In den Koordinaten von KS führt der eigentlich ruhende Nullpunkt von KS eine beschleunigte Bewegung durch. Für den Beobachter in KS scheint deshalb eine Kraft auf den Nullpunkt zu wirken. F = m a. Besonders wichtig sind die Trägheitskräfte von gleichförmigen Drehbewegungen: Auf m wirkt die Kraft F = m a mit a = v }{{} const. d dtêtang = vω( ê r )= Rω 2 ê r Für einen Beobachter im Massenpunkt scheint aber eine Kraft nach außen zu wirken. Allgemein: Zerlegung in Tangential- und Normalbeschleunigung: dabei ist ρ der lokale Krümmungsradius. Allgemeine Scheinkräfte (ohne Ableitung) a(t) =ê t dv dt + v2 ρ ên a = a ω ( ω r ) 2 ω v wobei gestrichene Vektoren in der Basis des rotierenden Systems und ungestrichene in denen des 13

2 2. Beschleunigte Bezugssysteme, starrer Körper und Himmelsmechanik Ruhesystem dargestellt sind. Man sieht folgende Beiträge: 1. a reale Kräfte 2. a F = ω ( ω r ) Zentrifugalbeschleunigung 3. a C = 2( ω v ) Coriolisbeschleunigung. Diese treten in KS als Kräfte in Erscheinung. Anschauliches Beispiel zur Zentrifugalbeschleunigung: Der ruhende Punkt bewegt sich in KS Anschauliches Beispiel zur Coriolisbeschleunigung Hier bewegt sich der Ball weiterhin mit v = ωr, der Erdboden aber nur mit v = ωr Der Ball scheint in Richtung der Drehung beschleunigt zu sein. 14

3 2.2. Rotierende Körper 2.2. Rotierende Körper Starrer Körper Bisher wurden nur Massenpunkte betrachtet. Bei diesen war nur die Translationsbewegung zu beachten. Bei ausgedehnten Körpern kann es auch eine rotierende Bewegung geben. Zur Behandlung von Rotationsbewegungen führen wir das Ideal eines starren Körpers ein; das ist ein ausgedehnter, nicht verformbarer Körper. (z.b. ein System von Massenpunkten mit konstanter relativer Lage zueinander) Außerdem führen wir den Drehimpuls ein: L = r p = m r v = m r ( ω r) = Θ ω L = mrv sin ϕ = mr 2 sin 2 ϕω = mr 2 ω =Θω Dabei ist Θ das Trägheitsmoment oder allgemeiner der Trägheitstensor. Wir betrachten zuerst ein paar Beispiele: Beispiel 1 Homogene Scheibe mit Kraft auf Mittelpunkt keine Rotation Beispiel 2 Inhomogene Scheibe Wirkt bei der inhomogenen Scheibe eine Kraft auf den geometrischen Mittelpunkt, kommt es zu einer kombinierten Translations- und Rotationsbewegung. (anschaulich kann man sich überlegen, dass die schwerere Hälfte aufgrund iher größeren Trägheit zurückbleiben muss.) Weitere Feststellung: Wenn der Angriffspunkt in Richtung der Kraft verschoben wird, entsteht die gleiche Bewegung. Dies wird als Linienflüchtigkeit bezeichnet. Zu einer reinen Drehbewegung muss die Kraft durch eine andere kompensiert werden. 15

4 2. Beschleunigte Bezugssysteme, starrer Körper und Himmelsmechanik Wir erhalten F = F Allgemein muss (für jede Komponente des Vektors) gelten F i = Drehmoment Zur quantitativen Betrachtung definieren wir das Drehmoment i M = r F Dies ist sinnvoll, da die Bewegung offensichtlich von der Kraft und ihrem Ansatzpunkt abhängt. Aus der Linienflüchtigkeit schließen wir, dass die Kraft nur von r abhängt, das erreichen wir durch das Kreuzprodukt. Wie ändert sich nun der Drehimpuls? Wir bilden die Ableitung d L dt = r d p dt + d r (m r) } dt {{} 0 = r F = M = }{{} Θ ω konstant Die Änderung des Drehimpulses ist das Drehmoment. Ist F oder r gleich Null, so ist die Ableitung von L gleich Null und L konstant, dies bezeichnet man als Drehimpulserhaltung Rotationsenergie und Trägheitsmoment Werfen wir noch einen Blick auf die Energie. Da die Rotation eine Beweung der einzelnen Elemente ist, können wir rechnen: E rot = i 1 2 m iv 2 i = i 1 2 m i(r i ω) 2 = ω2 2 Θ { }}{ m i ri 2 = 1 2 Θω2 i Ist die Dichte als Funktion ρ( r ) gegeben, so erhält man Θ durch Integration: Θ= ρ( r )r dx 2 dy dz K Da häufig runde Körper behandelt werden, ist es manchmal besser, in anderen Koordinaten zu rechnen Zylinderkoordinaten Θ= ρ(r, ϕ, z)r 2 rdrdϕdz 16

5 2.2. Rotierende Körper Kugelkoordinaten Θ= ρ(r, θ, ϕ)r 2 r2 sin θdrdθdϕ Dabei ist r der Abstand von r zur Drehachse. Ein weiteres Hilfsmittel zur Berechnung von Trägheitsmomenten ist der Satz von Steiner Es gilt für das Trägheitsmoment: Dabei ist M die Gesamtmasse. Für die Leistung gilt: P = dw dt = d dt Θ A =Θ Sp + Md 2 ( ) 1 2 Θω2 =Θω ω = ω L = ωm Achtung: Der Drehimpuls ist nicht absolut festlegbar! Im Allgemeinen ist auch L nicht parallel zu ω 17

6 2. Beschleunigte Bezugssysteme, starrer Körper und Himmelsmechanik Man beachte, dass bei inhomogenen Körpern gilt L = Θ ω Eine weitere Eigenschaft des Drehimpulses ist, dass er sich in 2 Komponenten zerlegen lässt: Eigendrehimpuls Bahndrehimpuls Bemerkung: Massenpunkte haben keinen Eigendrehimpuls Hebelgesetz 18

7 2.2. Rotierende Körper Keine Bewegung, wenn M 1 + M 2 = 0 r 1 m 1 g + r 2 m 2 g = 0. Das heißt: r 1 = r 2 m 2 m Translationsbewegung starrer Körper Frage: wie ändert sich die Bewegung des Schwerpunktes, wenn auf denen bestimmten Ort eine Kraft wirkt? Es gilt wie bisher F = m ges a sp obwohl zusätzlich eine Drehbewegung entsteht! Rollbedingung Für einen rollenden Körper gilt ωr = v M, wobei v M die Schwerpunktsgeschwindigkeit ist. Falls v konstant ist, erhalten wir die Beziehung v M = x t Bedingung für das Rollen: v M = Rω Herleitung: Die Zeit für eine vollen Umlauf ist gegeben durch 2πR v M = s t 2πR v M = T (I) Wegen s Boden = S Kugel Winkelgeschwindigkeit Daraus erhalten wir T (I) = 2πR v M ω = 2π T (II) = 2π ω (II) ωr = v M 19

8 2. Beschleunigte Bezugssysteme, starrer Körper und Himmelsmechanik Rotation um feste Achsen Bisher: Betrachtung der Rotation eines freien Körpers Jetzt: Verhalten, wenn der Körper an einem Punkt oder einer Achse fixiert wird (ohne Behinderung einer Rotation um diesen Punkt). Rotation um die feste Achse, damit müssen auch alle Größen auf diese Achse bezogen werden! Trägheitsmoment durch Satz von Steiner L = r F 0 Garnrolle Als Drehachse muss hier der Auflagepunkt betrachtet werden. Die Rolle bewegt also bei F 1 und F 2 in unterschiedliche Richtungen. Bemerkung: Die Bewegung ändert sich, wenn die Kraft größer als die Reibung wird. Übersicht: Translation und Rotation Translation r Ort v = r Geschwindigkeit a = v Beschleunigung F Kraft p = m v Impuls m Masse E kin = 1 2 mv2 kinetische Energie P = Fv Leistung Rotation ϕ Winkel ω = ϕ Winkelgeschwindigkeit ω = ϕ Winkelbeschleunigung M Drehmoment L = r p Drehimpuls Θ Trägheitsmoment E rot = 1 2 Θω2 Rotationsenergie P = Mω Leistung 20

9 2.2. Rotierende Körper Bewegungsgleichungen des starren Körpers Ein freier Körper hat 6 Freiheitsgrade. Um die Bewegung vollständig zu beschreiben braucht man also 6 Gleichungen. Diese werden von den Vektorgleichungen F = m a = p und M =Θ ω = L geliefert. Ein weiteres Hilfsmittel stellt die Energie dar. Die Rotations- und Translationsbewegung beeinflussen sich ohne weitere Bedingungen (z.b. Rollen) nicht untereinander. Nutation und Präzession Abschneiden des Fadens m a s = F G?? Nein. Denn auch L = M (für jede Komponente!) muss für das Gesamtsystem gelten. Dies lässt sich auch aus Newtonschen Gleichungen herleiten. Sei P der Nullpunkt des Systems, dann gilt M = r F Dreifingerregel für das Kreuzprodukt DaM L ist L = const. Der Richtung von M entspräche eine Kippbewegung nach unten. Die Änderung des Drehimpulses ruft jetzt nach M = d L ein neues Drehmoment hervor, das dt zu einer Drehung um die Aufhängung führt. Außerdem ändert sich mit der Richtung von L auch die Richtung von M. 21

10 2. Beschleunigte Bezugssysteme, starrer Körper und Himmelsmechanik Die Rotation um die Aufhängung erfolgt mit: ω p dϕ dt = M L = M Θω F = rmg Θω F Die Bewegung bezeichnet man als Präzession. Nutation Bei einer Trennung von ω und L (z.b. durch einen Schlag) läuft die Drehachse von ω um die konstante Drehimpulsachse ( L = 0) Himmelsmechanik Gravitationsgesetz Messung durch die Gravitationsdrehwaage. F G = G m 1m 2 r 12 = F r12 2 r 21 g = G M E 12 RE 2 Da die Erde keine genaue Kugel, sondern am Äquator breiter ist, entsteht ein Drehmoment auf die Erde, das zu einer Präzession führt T = 2π ω p 25800a. Für kleine Abstände ist E = mgh = h mgdz, mit mg als vom Abstand unabhängige Kraft. 0 Für große Abstände ist F 1 also r 2 E pot = F d r = G M [ ] Em 1 dr = GM p p r 2 E m =0 G M Em r p p Fluchtgeschwindigkeit (für ein nicht angetriebenes Objekt) E pot ( ) + E }{{} kin ( ) }{{} 0 0 = E } kin,0 {{} 1 2 mv2 F + E pot,0 }{{} G M E m R E 2GME v F = = 2gR E 11, m R E s Für einen Satelliten auf einer Kreisbahn gilt F zentrifugal = F G. Bei R E gilt: a zentrifugal = g = v2 R E v = gr E 8 km s 22

11 2.3. Himmelsmechanik Die Keplerschen Gesetze 1. Planetenbahnen sind Ellipsen mit der Sonne in einem Brennpunkt a, b Halbachsen ε = 1 a a2 b 2 Exzentrizität ε für Planeten ist sehr klein fast Kreisbahnen Für unterschiedliche Werte für ε erhalten wir folgende Fälle: ε<1ellipsen (z.b. wiederkehrende Kometen) ε =1Parabel ε>1hyperbel 2. Der Fahrstrahl eines Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen da dt = 1 L 2M = const pl Dies folgt aus der Drehimpulserhaltung 3. Die Quadrate der Umlaufzeiten verhalten sich wie die dritte Potenz der großen Halbachsen a, d.h. T 2 a 3 = const Für kreisförmige Bahnen erhalten wir mit F G = F Zentrifugal : Gm pl M sonne R 2 = m pl 4π 2 T 2 R (= m plω 2 R) T 2 R 3 = 4π2 GM Sonne = const 23