Physik für Biologen und Zahnmediziner

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1 Physik für Biologen und Zahnmediziner Kapitel 6: Drehimpuls, Verformung Dr. Daniel Bick 18. November 2016 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November / 27

2 Stoß auf Luftkissenschiene Vorher: m 1 v 1 v 2 m 2 p = m 1 v 1 p = m 2 v 2 Nachher: m 1 m 2 v 1 v 2 p = m 1 v 1 p = m 2 v 2 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November / 27

3 Zentraler elastischer Stoß: v 2 = 0 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November / 27

4 Zentraler elastischer Stoß: v 2 = 0 1 Energieerhaltung: 1 2 m 1v1 2 = 1 2 m 1v m 2v 2 2 v2 1 = v m 2 m 1 v Impulserhaltung: m 1 v 1 = m 1 v 1 + m 2v 2 v 1 = v 1 + m 2 m 1 v 2 v 2 1 = v m 2 m 1 v 2 2 = v m 2 m 1 v 1v 2 + m 2 m 1 v 2 2 = 2 m 2 m 1 v 1v 2 + v 2 = 2v 1 + m 2 v 2 v 1 = 1 m 1 2 v 1 = 1 ( 1 m ) 2 v 2 + m 2 v 2 = 1 2 m 1 m 1 2 ( m2 m 1 ( m2 m 1 ) 2 v 2 2 ) 2 v 2 2 ( 1 m 2 m 1 ( 1 + m 2 m 1 v 2 = 2m 1 m 1 + m 2 v 1 v 1 = m 1 m 2 m 1 + m 2 v 1 ) v 2 : m 2 m 1 v 2 ) v 2 = m 1 + m 2 2m 1 v 2 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November / 27

5 Übersicht 1 Drehungen Trägheitsmoment Rotationsbewegung mit Drehmoment Drehimpuls 2 Mechanik deformierbarer Körper Verformung Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November / 27

6 Trägheitsmoment Beispiel Ring/Scheibe Kinetische Energie eines rotierenden Körpers Erinnerung: E kin = 1 2 mv2 v v Ring: Betrag der Geschwindigkeit v ist gleich für jeden Massepunkt. Scheibe: Lediglich die Winkelgeschwindigkeit ω ist gleich: Trägheitsmoment I Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November / 27

7 Beispiele für Trägheitsmomente Dünner Ring m r 2 Vollzylinder 1 2 m r2 Hohlzylinder 1 2 m (r2 1 + r2 2 ) Kugel 2 5 m r2 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November / 27

8 Trägheitsmoment und Drehmoment Das Trägheitsmoment ist ein Maß dafür, wie schwer ein Körper in Drehung zu versetzen ist. Für eine punktförmige Masse gilt I = m r 2 Zusammenhang zwischen Drehmoment und Winkelbeschleunigung Dynamisches Grundgesetz der Rotation Analogie Translation Rotation Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November / 27

9 Rolle auf schiefer Ebene Welche Rolle ist schneller? Vollzylinder Hohlzylinder α h α h Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November / 27

10 Steinerscher Satz d m Das Trägheitsmoment eines Körpers bei Drehung um seine Symmetrieachse unterscheidet sich von dem bei Drehung um eine andere Achse. Beispiel: Ein rollender Körper dreht sich um seinen Auflagepunkt Das tatsächliche Trägheitsmoment kann mit dem Satz von Steiner berechnet werden: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November / 27

11 Rollreibung Rollreibung wirkt dem Drehmoment entgegen Analog zur Gleitreibung: M = µ roll F N α F H α F N Normalkraft F N Graviationskraft F g Hangabtriebskraft F H F g F N = F g cos(α) FH = F g sin(α) Bei welchem Winkel α fängt die Rolle an sich zu drehen? Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November / 27

12 Versuch: Drehstuhl Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November / 27

13 Drehimpuls Wir nehmen an, es liegt kein äußeres Drehmoment vor: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November / 27

14 Drehstuhl mit Kreisel Ein sich schnell in der Vertikalen rotierendes Objekt wird verdreht ω ω Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November / 27

15 Drehimpuls als Vektorgröße ω ist ein Axialvektor Auch L = I ω ist ein Axialvektor Ausserdem: d L dt = I d ω dt = I α = M Es gilt für einen Massepunkt: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November / 27

16 Vergleich Translation Rotation Ort Winkel Zeit Geschwindigkeit Beschleunigung Masse Kraft Kinetische Energie Impuls Zeit Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung Trägheitsmoment Drehmoment Rotationsenergie Drehimpuls Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November / 27

17 Vergleich Translation Rotation Ort s Winkel ϕ Zeit t Zeit t Geschwindigkeit Beschleunigung v = d s dt Winkelgeschwindigkeit ω = dϕ dt a = d v dt Winkelbeschleunigung α = d ω dt Masse m Trägheitsmoment I = i m i r 2 i Kraft F = m a Drehmoment M = I α Kinetische Energie E kin = 1 2 mv2 Rotationsenergie E Rot = 1 2 Iω2 Impuls p = m v Drehimpuls L = I ω Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November / 27

18 Übersicht 1 Drehungen Trägheitsmoment Rotationsbewegung mit Drehmoment Drehimpuls 2 Mechanik deformierbarer Körper Verformung Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November / 27

19 Aggregatzustände Festkörper Bestimmte Gestalt formstabil Bestimmtes Volumen volumenstabil Bei kleinen Kräften formelastisch Flüssigkeiten Festes Volumen volumenstabil Aber nicht formstabil Gase Nehmen zur Verfügung stehenden Raum ein Volumen leicht veränderbar Weder feste Gestalt noch festes Volumen Bildquelle Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November / 27

20 Übergang zwischen den Aggregatzuständen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November / 27

21 Verformung eines Festkörpers Ein fester Körper ist kein starrer Körper! Abstand der Bestandteile (Moleküle) ändert sich durch Einwirkung einer Kraft Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November / 27

22 Elastizität Verformung σ Verhältnis der ziehenden Kraft zur Querschnittsfläche: Spannung A B C Relative Längenänderung: Dehnung ɛ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November / 27

23 Elastizitätsmodul Im linearen Bereich gilt das Hookesche Gesetz ɛ σ Die Dehnung ist proportional zur Spannung Elastizitätsmodul E E ist ein Maß für die Festigkeit verschiedener Materialien Stahl Kupfer Blei Knochen 200 GN m GN m 2 16 GN m 2 9 GN m 2 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November / 27

+m 2. r 2. v 2. = p 1

+m 2. r 2. v 2. = p 1 Allgemein am besten im System mit assenmittelpunkt (centre of mass frame) oder Schwerpunktsystem (=m 1 +m ) r = r 1 - r =m 1 +m Position vom Schwerpunkt: r r 1 +m r v =m 1 v 1 +m v = p 1 + p ist die Geschwindigkeit

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