Kinematik des starren Körpers

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1 Technische Mechanik II Kinematik des starren Körpers Prof. Dr.-Ing. Ulrike Zwiers, M.Sc. Fachbereich Mechatronik und Maschinenbau Hochschule Bochum WS 2009/2010

2 Übersicht 1. Kinematik des Massenpunktes 2. Kinematik des starren Körpers Beschreibung von Starrkörperbewegungen Ebene Bewegung - Momentanpol - Gangpolbahn und Rastpolbahn Räumliche Bewegung 3. Kinetik des Massenpunktes 4. Kinetik des starren Körpers 5. Stossprobleme Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 2/23

3 Beschreibung von Starrkörperbewegungen 1/6 Grundlegende Begriffe Starrer Körper Idealisierung eines realen Körpers, nach der die elastische Verformung des Körpers nicht berücksichtigt wird Starrkörperbewegung Allgemeine Bewegung eines starren Körpers, die sich stets als Überlagerung einer translatorischen und einer rotatorischen Bewegung darstellen lässt Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 3/23

4 Beschreibung von Starrkörperbewegungen 2/6 Grundlegende Begriffe (Forts.) Translation Alle Punkte eines Körpers erfahren die gleiche Verschiebung Rotation Alle Punkte eines Körpers bewegen sich mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit entlang von Kreisbahnen um eine gemeinsame Achse Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 4/23

5 Beschreibung von Starrkörperbewegungen 3/6 Grundlegende Begriffe (Forts.) Freiheitsgrad Bewegungsmöglichkeit eines Körpers (bzw. eines Systems), die unabhängig von anderen Bewegungen ausgeführt und durch eine unabhängige Koordinate beschrieben werden kann freie Objekte Freiheitsgrade Massenpunkt Starrer Körper in der Ebene 2 im Raum 3 in der Ebene 3 im Raum 6 Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 5/23

6 Beschreibung von Starrkörperbewegungen 4/6 Drehung um eine feste Achse z Geschwindigkeit von Punkt P v = ω r, r = OP O r Allgemeine Darstellung P v = ω QP x α y Q ω v Bei Drehung um eine feste Achse erfährt jeder Punkt eines starren Körpers die gleiche Winkelgeschwindigkeit. Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 6/23

7 Beschreibung von Starrkörperbewegungen 5/6 Allgemeine Bewegung Ortsvektor zu Punkt B v B B ω r B = r A + s AB s AB v A Geschwindigkeitsvektor r B A ṙ B = ṙ A + ṡ AB z v B = v A + ṡ AB? ṡ AB = ω s AB x y v B = v A + ω s AB r A Beschleunigungsvektor a B = a A + ω s AB + ω (ω s AB ) Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 7/23

8 Kinematik des starren Körpers Beschreibung von Starrkörperbewegungen 6/6 Allgemeine Bewegung (Forts.) Momentanpol Zeitlich veränderlicher Drehpunkt, dessen augenblickliche Geschwindigkeit Null ist v B ω allg.: v B = v A + ω s AB B hier: v A = v M = 0 v B v B = ω s MB x z y M B Mit Hilfe des Momentanpols ist es möglich, jede beliebige Starrkörperbewegung als reine Rotation um diesen Punkt aufzufassen. Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 8/23

9 Kinematik des starren Körpers Ebene Bewegung 1/7 Grafische Bewegungsanalyse v B ω M ω v B B B B Translation + Rotation um B = Rotation um M 0 = v B + ω s BM Lage des Momentanpols s BM = ω v B ω 2 Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 9/23

10 Ebene Bewegung 2/7 Grafische Bewegungsanalyse (Forts.) Darstellung im raumfesten Koordinatensystem r OM = ([r OK +s KM ] e x )e x +([r OK +s KM ] e y )e y Rastpolbahn v B B... körperfesten Koordinatensystem e s KM = (s KM e ξ )e ξ + (s KM e η )e y η M r OM s KM eη K A e ξ v A Gangpolbahn O e x Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 10/23

11 Ebene Bewegung 3/7 Grafische Bewegungsanalyse (Forts.) Rastpolbahn Bahn des Momentanpols von einem Beobachter gesehen, der sich an einem raumfesten Punkt befindet (globale Darstellung) Gangpolbahn Bahn des Momentanpols von einem Beobachter gesehen, der sich mit dem Starrkörper bewegt (lokale Darstellung) Bei einer ebenen Bewegung rollt die Gangpolbahn auf der Rastpolbahn ab! Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 11/23

12 Ebene Bewegung 4/7 Grafische Bewegungsanalyse (Forts.) Beispiel: Abrutschende Leiter A M(t 0 ) Rastpolbahn Gangpolbahn M(t 1 ) v A v S B v B Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 12/23

13 Ebene Bewegung 5/7 Grafische Bewegungsanalyse (Forts.) Beispiel: Rollendes Rad Gangpolbahn v S v S ω M(t 0 ) ω M(t 1 ) Rastpolbahn Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 13/23

14 Ebene Bewegung 6/7 Drehung des Koordinatensystems [ xp ] [ ] [ ] cos ϕ sin ϕ ξp = y P sin ϕ cos ϕ η P }{{}}{{}}{{} r P = R r P η Aktive Drehung: r P = R r P Passive Drehung: r P = R 1 r P ξ r P ξ P Eigenschaften der Rotationsmatrix η P det(r) = 1 ϕ R T R = RR T = I x P x R 1 = R T y y P P Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 14/23

15 Ebene Bewegung 7/7 Verwendung der Rotationsmatrix Ortsvektor r P = r 0 + s 0P = r 0 + R s 0P Geschwindigkeitsvektor v P = v 0 +ω s 0P = v 0 +Ṙ s 0P (ṡ 0P = 0) Zeitableitung der Rotationsmatrix Ṙ = dr dr = ϕ dt dϕ Zusammenhang zwischen Ṙ und ω s 0P Darstellung im raumfesten x, y-kos s 0P Darstellung im körperfesten ξ, η-kos P η s 0P r P 0 y r 0 x ω ξ ϕ ṘR T s 0P = ω s 0P Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 15/23

16 Räumliche Bewegung 1/8 Beschreibung der Position und Orientierung von starren Körpern Die Konfiguration eines starren Körpers im Raum ist durch sechs Koordinaten eindeutig definiert: drei Translationskoordinaten, z. B. x, y, z Ortsvektor r 0 drei Rotationskoordinaten, z. B. ψ, θ, φ Rotationsmatrix R Position eines Körperpunktes P y 3 s 0P ω r P = r 0 + s 0P = r 0 + R s 0P Eine beliebige Orientierung kann durch drei aufeinander folgende Drehungen beschrieben werden z 0 r P r 0 z 3 0 x 3 x 0 y 0 Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 16/23

17 Räumliche Bewegung 2/8 Beschreibung von Drehbewegungen Drehungen um endliche Winkel sind nicht kommutativ! z z z 90 x y x 90 y x y z z z 90 x y x y x 90 y Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 17/23

18 Räumliche Bewegung 3/8 Beschreibung von Drehbewegungen (Forts.) Parametrierung mit Euler-Winkeln 1. Drehung um z 0 cos ψ sin ψ 0 0 R 1 = sin ψ cos ψ Drehung um x R 2 = 0 cos θ sin θ 0 sin θ cos θ 3. Drehung um z 2 cos φ sin φ 0 2 R 3 = sin φ cos φ z 3 = z 2 x 0 θ z 0 ψ z 1 = z 0 φ θ φ x 2 = x 1 y 2 ψ y 1 x 3 y 3 y 0 Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 18/23

19 Räumliche Bewegung 4/8 Beschreibung von Drehbewegungen (Forts.) Parametrierung mit Euler-Winkeln (Forts.) s 0 = 0 R 3 s 3 s 0 Darstellung im x 0, y 0, z 0 -KOS s 3 Darstellung im x 3, y 3, z 3 - KOS Konstruktion der Rotationsmatrix 0 R 3 0 R 3 = 0 R 1 1 R 2 2 R 3 cos ψ sinψ 0 = sinψ cos ψ = cos θ sinθ 0 sinθ cos θ cos φ sinφ 0 sinφ cos φ cos ψ cos φ sin ψ cos θ sin φ cos ψ sin φ sin ψ cos θ cos φ sin ψ sin θ sin ψ cos φ + cos ψ cos θ sin φ sin ψ sin φ + cos ψ cos θ cos φ cos ψ sin θ sin θ sin φ sin θ cos φ cos θ Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 19/23

20 Räumliche Bewegung 5/8 Beschreibung von Drehbewegungen (Forts.) Parametrierung mit Euler-Winkeln (Forts.) Singuläre Stellung: θ = nπ, n = 0, ±1, ±2,... R θ=0 = = cos ψ cos φ sinψ sinφ cos ψ sinφ sinψ cos φ 0 sinψ cos φ + cos ψ sinφ sinψ sin φ + cos ψ cos φ cos(ψ + φ) sin(ψ + φ) 0 sin(ψ + φ) cos(ψ + φ) keine Unterscheidung der Winkel ψ und φ möglich! Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 20/23

21 Räumliche Bewegung 6/8 Beschreibung von Drehbewegungen (Forts.) Parametrierung mit Kardan-Winkeln 1. Drehung um z 0 cos θ sin θ 0 0 R 1 = sin θ cos θ z 3 z 2 z 0 z 1 = z 0 2. Drehung um y 1 cos ψ 0 sin ψ 1 R 2 = sin ψ 0 cos ψ 3. Drehung um x R 3 = 0 cos φ sin φ 0 sin φ cos φ φ ψ x 0 φ θ ψ θ y 2 = y 1 x 1 y 0 x 3 = x 2 Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 21/23 y 3

22 Räumliche Bewegung 7/8 Beschreibung von Drehbewegungen (Forts.) Parametrierung mit Kardan-Winkeln (Forts.) s 0 = 0 R 3 s 3 s 0 Darstellung im x 0, y 0, z 0 -KOS s 3 Darstellung im x 3, y 3, z 3 - KOS Konstruktion der Rotationsmatrix 0 R 3 0 R 3 = 0 R 1 1 R 2 2 R 3 cos θ sinθ 0 cos ψ 0 sinψ = sinθ cos θ sinψ 0 cos ψ = cos φ sinφ 0 sinφ cos φ cos ψ cos θ sin φsin ψ cos θ cos φ sin θ cos φsin ψ cos θ + sin φsin θ cos ψ sin θ sin φsin ψ sin θ + cos φcos θ cos φsin ψ sin θ sin φcos θ sin ψ sin φcos ψ cos φcos ψ Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 22/23

23 Räumliche Bewegung 8/8 Beschreibung von Drehbewegungen (Forts.) Parametrierung mit Kardan-Winkeln (Forts.) Singuläre Stellung: ψ = π 2 + nπ, n = 0, ±1, ±2,... R ψ= π 2 = = 0 sin φcos θ cos φsinθ cos φcos θ + sinφsin θ 0 sin φsinθ + cos φcos θ cos φsinθ sin φcos θ sin(θ φ) cos(θ φ) 0 cos(θ φ) sin(θ φ) keine Unterscheidung der Winkel θ und φ möglich! Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 23/23