Übungsblatt IX Veröffentlicht:

Transkript

1 Pendel Eine Kugel der Masse m und Geschwindigkeit v durchschlägt eine Pendelscheibe der Masse M. Hinter der Scheibe hat die Kugel die Geschwindigkeit v/2. Die Pendelscheibe hängt an einem steifen Stab der Länge l mit vernachlässigbarer Masse. Zunächst hat die Kugel eine schnelle starke Wechselwirkung mit der Pendelscheibe, sie durchschlägt sie schnell und gibt ihr ihre horizontale Geschwindigkeit. Dann schwingt die Scheibe nach oben und führt die vertikale Kreisbewegung aus. Da bei der Wechselwirkung keine externen Kräfte wirken bleibt der Impuls erhalten. Die gesamte horizontale Impuls vor der Kollision ist P 0x = mv + 0 = mv, Wenn die Scheibe nach dem Stoß die Geschwindigkeit v b hat, ist der Gesamtimpuls Impulserhaltung (P 0x = P fx ) führt zu Also ( ) v P fx = m + Mv b, 2 ( ) v mv = m + Mv b, 2 v b = mv 2M. Betrachten Sie nun den Weg der Pendels nach oben. Da keine dissipative Kraft wirkt, ist die mechanische Energie erhalten. Wenn wir die Höhe vom untersten Punkt des Pendels aus messen, ist die potentielle und kinetische Energie und Somit ist die Gesamtenergie U 0 = 0, K 0 = 2 Mv2 b, E 0 = 2 Mv2 b. / 0

2 Nehmen Sie nun an am obersten Punkt hat die Masse M die Geschwindigkeit v top wie in Abbildung (a) zu sehen ist. Die Höhe der Scheibe ist 2l und somit ist ihre die potentielle Energie M g(2l). Die Gesamtenergie ist dann E f = 2 Mv2 top + 2Mgl, Mittels Energieerhaltung E 0 = E f findet man 2 Mv2 b = 2 Mv2 top + 2Mgl. Um einen Ausdruck für v top zu finden betrachten sie die am höchsten Punkt auf M wirkende Kräfte (siehe Abbildung (a) unten). Gravitation zieht mit einer Kraft von M g nach unten. Zusätzlich kann es noch eine Kraft durch den Stab geben (da die Scheibe an einem Steifen Stab aufgehängt wurde und so ein Objekt Kraft ausüben kann). Die Kraft wird durch T repräsentiert. Die Scheibe bewegt sich auf einer Kreisbahn mit (momentaner) Geschwindigkeit v top. Also ist die Nettokraft nach unten Mv 2 top/l: Mg T = Mv2 top, l In Abhängigkeit von T kann v top jeden beliebigen Wert annehmen. Also auch null. Welche Bedingung ergibt ein möglichst kleines v? Man sieht, dass wenn v größer wird v b ebenfalls größer wird (die Anfangsgeschwindigkeit der Scheibe). Es ist möglich, dass v top null ist, was den kleinsten Wert für v ergibt. In diesem Fall schafft es die Masse M gerade so nach oben. Hat es den obersten Punkt einmal erreicht zieht die Gravitation ihn weiter. Setzt man v top = 0, erhält man oder 2 Mv2 b = 2Mgl v b = 4gl, Benutzt man nun noch die Gleichung aus der Impulserhaltung (d.h v b = mv 2M ), bekommt man mv 2M = 4gl, Somit ist die minimale Geschwindigkeit v, die für eine volle Kreisbewegung nötig ist 4M gl m. 2 / 0

3 Abbildung : (a) Eine Kugel durchschlägt eine Pendelscheibe und die Scheibe schwingt einen kompletten Kreis. (b) Oben: zwei Blöcke gleicher Masse befinden sich auf einer horizontalen reibungsfreien Fläche in Ruhe. Die Blöcke sind mit einer Feder vernachlässigbarer Masse verbunden. Unten: Eine Kraft F wirkt auf den linken Block und bewegt ihn um eine Distanz x in der selben Zeit bewegt sich der recht Block um die Distanz x 2. 2 Kraft auf Feder Zwei Blöcke gleicher Masse befinden sich auf einer horizontalen reibungsfreien Fläche in Ruhe. Die Blöcke sind mit einer Feder vernachlässigbarer Masse verbunden, wie in Abbildung (b) zu sehen ist. Wenn die Feder in der Gleichgewichtslage ist, ist die Distanz zwischen den beiden Blöcken l. In einem Zeitintervall von t wirkt eine Kraft F auf den linken Block und verschiebt ihn um eine Distanz x, wie in Abbildung (b) unten zu sehen ist. In dem selben Zeitintervall bewegt sich der rechte Block um die Distanz x 2. Am Ende des Zeitintervalls hört die Kraft F wieder auf zu wirken. (a) Das System aus den Blöcken und der Feder ist nicht isoliert, da durch die Kraft F Arbeit an ihm verrichtet wird. In dem Zeitintervall t bewegt sich der Schwerpunkt um eine Distanz 2 (x +x 2 ). Da die angewane Kraft konstant ist, ist auch die Beschleunigung des Schwerpunkts konstant. Er kann als Teilchen mit konstanter Beschleunigung modelliert werden. Benutzt man I = P findet man F t = 2m(v cm 0) = 2mv cm, Da der Schwerpunkt als Teilchen mit konstanter Beschleunigung beschrieben wird, ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit das Mittel aus Anfangsgeschwindigkeit (die null ist) und Endgeschwindigkeit v cm. Man kann dann das Zeitintervall in Abhängigkeit von v cm schreiben als t = 2 (x + x 2 ) v cm,aver = 2 (x + x 2 ) 2 (0 + v cm) = x + x 2, v cm 3 / 0

4 einsetzen in obere Gleichung liefert ( ) x + x 2 F = 2mv cm, v cm Also ist die Geschwindigkeit des Schwerpunkts v cm = F ( ) x + x 2. 2m (b) Die Vibrationsenergie ist die Gesamtenergie des Systems abgesehen von der kinetischen Energie die durch die Translation des Schwerpunkts entsteht. Um die Vibrationsenergie zu bestimmen benutzt man Energieerhaltung. Die kinetische Energie des Systems ist K = K cm + K vib, wobei K vib die kinetische Energie der Blöcke durch ihre Vibrationen relativ zum Schwerpunkt ist. Die Potentielle Energie des Systems ist U vib, was in der Feder gespeicherte Energie ist, wenn die Blöcke nicht gerade eine Entfernung l zueinander haben. Somit ist K cm + K vib + U vib = W oder K cm + E vib = W, wobei E vib = K vib + U vib. Am Anfang ist die kinetische Energie und und die Vibrationsenergie null. Daher ist K cm + E vib = W = F x, Also ist die Vibrationsenergie E vib = F x K cm = F x 2 (2m)v2 cm, Durch einsetzen der Werte erhält man ( ) x x 2 E vib = F. 2 3 Rakete im All/Veränderliche Masse I Eine Rakete im All hat eine Geschwindigkeit von m/ s relativ zur Erde. Die Rakete soll beschleunigt werden und Treibstoff wird mit einer Geschwindigkeit von m/ s relativ zur Rakete entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung ausgestoßen. Wenn normale Fahrzeuge (z.b. Autos) angetrieben werden, ist die antreibende Kraft Reibung. Im Falle des Autos wird die 4 / 0

5 antreibende Kraft von der Straße auf das Auto ausgeübt. Eine Rakete im Weltall hat allerdings keine Straße um sich abdzurücken. Die Beschleunigung einer Rakete baut auf Impulserhaltung angewan auf ein Teilchensystem auf. Das System besteht aus der Rakete und dem Treibstoff. Wenn sich eine Rakete im freien Raum befindet, ändert sich ihr Impuls wenn Treibstoff in Form von Abgasen ausgestoßen werden. Da die Gase ein Impuls haben wenn sie ausgestoßen werden, erhält die Rakete ein Ausgleichsimpuls in die entgegengesetzte Richtung. Somit wird die Rakete als Resultat des Stoßes,oder Schubs, des Gases beschleunigt. Im freien Raum bewegt sich der Schwerpunkt des Systems (Rakete und ausgestoßenes Gas) gleichmäßig, unabhängig von dem Antriebsprozess. Angenommen zu einer Zeit t ist der Impuls der Rakete plus ihres Treibstoffs (M + m)v, wobei v die Geschwindigkeit der Rakete relativ zur Erde ist wie in Abbildung 2 dargestellt ist. Über ein kurzes Zeitintervall t stößt die Rakete Treibstoff einer Masse m aus. Am Ende des Zeitintervalls ist die Masse der Rakete M und ihre Geschwindigkeit v + v, dabei ist v die Geschwindigkeitsänderung der Rakete. Wenn der Treibstoff mit einer Geschwindigkeit von v e relativ zur Rakete ausgestoßen wird (der Index e steht für exhaust, und v e heißt gewöhnlich exhaust speed), ist die Geschwindigkeit des Treibstoffs relativ zur Erde v v e. Berechnet man nun den gesamten Anfangsimpuls und Endimpuls erhält man (M + m)v = M(v + v) + m(v v e ) oder M v = v e m. Für t gegen null, kann man schreiben v = dv und m = dm. Weiterhin entspricht ein Zunahme in Abgasmasse dm einer entsprechenden Abnahme in Raketenmasse, also m = M. Beachten Sie, dass dm negativ ist, da es eine Massenabnahme repräsentiert, also ist dm eine positive Zahl. Benutzt man Mdv = v e dm, erhält man durch Integration erhält man dv = v e dm M, v f v 0 = v e ln ( M0 wobei M 0 und M f die Anfangs- und Endmasse der Rakete sind. M f ). 5 / 0

6 (a) Benutzt man obere Gleichung erhält man die Geschwindigkeit wenn die Rakete ihre halbe Masse hat (M f = 0.5 M 0 ): v f = v 0 + v e ln ( M0 M f ) = ( )m/s + [(4 0 3 ) (ln 2)]m/s m/s. (b) Der Schub der Rakete ist die von dem ausgestoßenen Gas ausgeübte Kraft. Mittels Newtons II Axiom und oberer Gleichung findet man Thrust = M dv ( ) = dm v e. Beachten Sie, dass der Schub zunimmt, wenn der exhaust speed und die Änderungsrate der Masse (auch burn rate) zunimmt. Durch einsetzen der Werte erhält man ( ) dm Thrust = v e = (6 0 4 )N. Abbildung 2: Zu einem Zeitpunkt t hat die Rakete und ihr Treibstoff (mit Masse M + m) Die Geschwindigkeit v. Während eines kurzen Zeitintervalls t stößt die Rakete Treibstoff der Masse m aus. Am Ende des Zeitintervalls ist die Masse der Rakete M und ihre Geschwindigkeit v + v. 4 Veränderliche Masse II Sand fällt von einem stationären Trichter mit einer Rate von 5kg/ s auf ein Förderband. Das Förderband wird über reibungsfreie Rollen geführt. Ein Motor zieht das Band mit einer konstanten Kraft F ext dadurch bewegt sich das Fließband mit einer Geschwindigkeit von 0.75 m/ s(abbildung 3). 6 / 0

7 (a) Die Änderungsrate des horizontalen Impulses des Sands: Die Masse des Sandes, die in der Zeit auf das Förderband fällt ist dm = dm, wobei dm die gegebene Rate ist, mit der der Sand auf das Band fällt. In guter Näherung kann man annehmen, dass der Anfangsimpuls des in der Zeit auf das Band gefallenen Sandes null ist. Erst wenn der Sand das Band berührt ändert er seinen Impuls. Da die Änderung entlang des Bandes ist (x - Richtung), wird die Impulsänderung des Sandes dp x = v x dm 0 dm = v x dm, wobei v x die Geschwindigkeit des Förderbandes ist. Somit ist die Änderungsrate des Impulses dp x = v x dm = (0.75)m/s (5)Kg/s = 3.75N. (b) Die Reibungskraft ausgeübt vom Band auf den Sand: Es wirken insgesamt drei Kräfte auf den Sand, allerdings wird nur die Reibungskraft nicht ausgeglichen. Die netto Kraft ist somit der Reibungskraft. Somit ist nach Newtons II Axiom die x - Komponente der (gesamten) Reibungskraft 3.75 N. (c) Die externe Kraft F ext : Nach Newtons III Axiom, übt der Sand eine entgegengesetzte Kraft mit einer x - Komponente von N auf das Band aus. Nach Newtons II Axiom ist die netto Kraft auf das Band null. Somit muss der Motor eine Kraft mit einer x - Komponente von 3.75 N auf das Band ausüben. (d) Die von F ext in s verrichtete Arbeit: Man die Arbeit direkt mit der Definition ausrechnen. Beachten Sie dabei, dass die Kraft konstant ist W = F ext dx = = F ext v x t = 2.8J. F ext dx 7 / 0

8 (e) Die vom Sand aufgrund seiner horizontalen Bewegung benötigte kinetische Energie pro Sekunde: Die Änderungsrate der kinetischen Energie des Sandes kann abgeleitet werden aus dk tot 2 = dm v2 x 0 = 2 dm v2 x =.4J/s Da die Rate Zeitunabhängig ist, ist die Veränderung der Kinetischen Energie des Sandes K tot = dk tot t =.4J. (f) Warum sind die Antworten auf (d) und (e) unterschiedlich: Die Veränderung der kinetischen Energie eines Systems hängt ab von innerer und äußerer Wechselwirkung. Wenn der Sand auf das Band fällt wirken Reibungskräfte vom Band auf den Sand und umgekehrt, bis sich der Sand mit der gleichen Geschwindigkeit wie das Band bewegt (inelastischer Stoß), die Vom Band zurückgelegte Distanz ist größer als die vom Sand. Daher ist die interne Arbeit negativ. Mit Energieerhaltung findet man W int = K tot W ext = (.4 2.8)J.4J. Abbildung 3: Sand aus einem stationären Trichter fällt ein ein Förderband. 5 Impuls und Projektil Eine 8 g Kugel wird in einen 2.5kg Block geschossen, der zunächst in Ruhe an der Kante eines reibungsfreien Tischs der Höhe m steht, wie in Abbildung 4 (a) zu sehen. Die Kugel bleibt im Block stecken und der Block landet 2 m vom Tisch entfernt auf dem Boden. Nach dem Stoß erfährt das gesamte System eine konstante Beschleunigung. Man kann die Geschwindigkeit v 0 des Systems direkt nach dem Stoß mit der Anfangsgeschwindigkeit der Kugel v b mittels Impulserhaltung verbinden. mv b + 0 = (m + M)v 0, 8 / 0

9 Somit ( m + M v b = m ) v 0, Um die Position des Blocks nach dem Stoß zu bestimmen kann man die zweidimensionalen Bewegungsgleichungen für konstante Beschleunigung benutzen. Als Koordinatenursprung verwendet man den Stoßpunkt. and y(t) = 2 gt2 x(t) = v 0 t. Wenn das System den Boden erreicht nehmen die Koordinaten folgende Form an y = h = - m (und x = R = 2 m). Durch einsetzen des Werts kann die Zeit t bestimmt werden, die das System braucht um den Boden zu erreichen t = 2y g = 0.45s, Durch einsetzen dieses Wertes in die Bewegungsgleichung für die x - Richtung, sieht man, dass v 0 = R t = 4.44m/s, Benutzt man dieses Ergebnis nun in Verbindung mit der Gleichung aus der Impulserhaltung erhält man ( m + M v b = m ) v m/s. Abbildung 4: (a) Eine Kugel wird in einen an der der Kante eines reibungsfreien Tischs stehen Block geschossen. (b) Eine Kette der Länge L und Gesamtmasse M berührt gerade so mit dem unteren Ende einen Tisch und wird dann fallengelassen. 9 / 0

10 6 Kraft auf Kette Eine Kette der Länge L und Gesamtmasse M wird aus der Ruhe losgelassen. Das untere Ende berührt zu beginn gerade eben einen Tisch (vgl. Abb. 4 (b)). Lasst uns annehmen die Kette besteht aus Massenelementen dm dm = M L dx, wobei dx ein Längenelement ist. Die Kraft um die Kette (Massenelement) zu stoppen ist F = dp = v dm, Einsetzen von dm ergibt F = v M L ( ) dx = M L v2, Nachdem die Kette eine Distanz x gefallen ist, ist die Geschwindigkeit der fallenden Kette (und damit auch des Massenelements was gestoppt werden soll) v 2 = 2gx, so dass F = 2Mg x L, Der Teil der Kette, des schon auf dem Tisch liegt übt nur eine Gewichtskraft aufgrund seines Gewichts aus (somit auch der Tisch auf die Kette) F 2 = Die gesamte momentane Kraft ist dann ( ) M xg = Mgx L L, F = F + F 2 = 3Mgx L. Beachten Sie, dass wenn x = L (Kette ist die gesamte Länge gefallen) die Gesamtkraft ist dreimal so groß wie die normale Gewichtskraft der Kette. 0 / 0