Angewandte Aufgaben für lineare Gleichungen

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1 Vorbereitungskurs Mathematik für die FHNW-Aufnahmeprüfung Seite 1/5 Angewandte Aufgaben für lineare Gleichungen Gleichungen sind ein Hilfsmittel, mit dem schwierige Probleme systematisch in lösbare Teilprobleme zerlegt werden können. Man gibt der unbekannten Grösse einen Namen und schreibt auf, was diese Grösse für Beziehungen mit anderen (bekannten) Grössen hat - man tut, wie wenn man sie kennen würde. Steht die Gleichung einmal, muss man nur noch richtig rechnen, um zur Lösung zu gelangen. Der Lösungsvorgang gliedert sich in folgende Schritte: a) Aufgabe verstehen b) Unbekannte Grösse für Gleichung wählen c) Gleichung aufstellen. Dabei wird die in der Aufgabe gegebene Information sorgfältig in mathematische Ausdrücke übersetzt. Am Schluss nochmals kontrollieren! d) Gleichung lösen e) Resultat in die ursprüngliche Aufgabe einsetzen und Richtigkeit überprüfen. f) Kontrollieren, was in der Aufgabe gefragt ist! Das muss nicht dasselbe sein wie die Lösung der Gleichung. Tips: Aufgaben, in denen die Zeit vorkommt, löst man häufig am besten über die Geschwindigkeit bzw. Leistung. Geschwindigkeiten addieren sich bei gleichzeitiger Tätigkeit, Ausführungszeiten nicht! Bei Mischungsrechnungen die Gleichung für die Menge eines der reinen Inhaltsstoffe aufstellen. 1. Ein Vater ist 40 Jahre alt, sein Sohn 16 Jahre. In wie vielen Jahren wird der Vater doppelt so alt sein wie sein Sohn? x: Anzahl Jahre Gleichung: 40 + x = 2 (16 + x), Lösung x = 8 2. Eine 42-jährige Mutter hat eine 12-jährige Tochter. In wievielen Jahren wird die Mutter dreimal so alt sein wie ihre Tochter? x: Anzahl Jahre Gleichung: 42 + x = 3 (12 + x), Lösung x = 3 3. Ein Rechteck hat einen Umfang von 240 mm. Die Länge ist um 34 mm grösser als die Breite. Wie lang sind die Seiten des Rechtecks? x: Breite, dann ist die Länge x + 34 Gleichung: 2 (x + (x + 34)) = 240, Lösung x = 43, Seiten 43mm und 77mm. 4. In einem Rechteck hat die Seite a eine Länge von 7 cm. Verkürzt man a um 2 cm und verlängert gleichzeitig b um 2 cm, verkleinert sich die Fläche um 2 cm². Wie lang war Seite b im ursprünglichen Rechteck? Ursprüngliches Rechteck: Seiten a = 7 und b = x, Fläche 7x. Fläche nach der Veränderung: (7 2) (x + 2) = 7x - 2, Lösung x = 6 5. Ein Fisch von 54 kg wird in 3 Teile zerlegt. Der Kopf wiegt 10 kg, der Rumpf doppelt so viel wie Kopf und Schwanz zusammen. Wie schwer ist jeder Teil? Kopf = 10, Schwanz = x, Rumpf = 2 (10 + x) Gleichung: 10 + x + 2 (10 + x) = 54, Lösung x = 8

2 Vorbereitungskurs Mathematik für die FHNW-Aufnahmeprüfung Seite 2/5 6. Ein Kunde erhält 5% Rabatt. Gäbe es nur 4% Rabatt, müssten 2.50 mehr bezahlt werden. Wie teuer war die Ware? x: Preis Gleichung: 0.95x = 0.96x, Lösung x = Eine Hausfrau kauft für total 5 Franken je 1 kg Kartoffeln, Aepfel und Bohnen. Die Aepfel kosten 8x und die Bohnen 3½x so viel wie die Kartoffeln. Wieviel kostet 1 kg jeder Sorte? x: Preis der Kartoffeln Gleichung: 8x + 3.5x + x = 5, Lösung x = 0.40, etc. 8. Ein Mann kauft 15 kg Nägel und 1 kg Schrauben für total Franken. 1 kg Schrauben kostet 2½ mal soviel wie 1 kg Nägel. Wieviel kostet 1 kg jeder Sorte? x: Preis der Nägel Gleichung: 15x + 2.5x = 87.50, Lösung x = 5, etc. 9. Der Weg von A nach D über B und C ist 90 km lang. B liegt von C 5x so weit entfernt wie B von A, C liegt von D 4x so weit entfernt wie A von B. Wie weit ist A von B entfernt? x: Entfernung AB Gleichung: x + 5x + 4x = 90, Lösung x = Ein Brückenpfeiler ist 24 m lang. Der Teil, der im Erdboden versenkt ist, ist doppelt so lang, der aus dem Wasser herausragende Teil fünfmal so lang wie der Teil, der sich im Wasser befindet. Wie tief ist der Fluss? x: Teil im Wasser Gleichung: 2x + x + 5x = 24, Lösung x = Zwei Radfahrer A und B fahren von den Orten P und Q, deren Entfernung 140 km beträgt, mit konstanter Geschwindigkeit einander entgegen. A legt in der Stunde 12.5 km zurück, B 15.5 km. Nach wie viel Stunden Fahrt kreuzen sie einander? Wie weit liegt dieser Punkt von P entfernt? x = Zeit in h bis Treffen, Weg = Geschwindigkeit Zeit Gleichung: 12.5x x = 140, Lösung x = 5, = 62.5km 12. Zwei Autos fahren von München und dem 360 km entfernten Mannheim gleichzeitig ab und einander entgegen. Das Münchner Auto legt in der Stunde 120 km zurück, das Mannheimer Auto 105 km. Nach wie viel Stunden Fahrt kreuzen sie einander? Wie weit liegt dieser Punkt von München entfernt? x: Zeit in h bis Treffen, Weg = Geschwindigkeit Zeit Gleichung: 120x + 105x = 360, Lösung x = 1.6 1h 36min, = 192km 13. Ein Schiff verlässt um 8 Uhr den Hafen mit einer Geschwindigkeit von 32 km/h. 4½ Stunden später fährt ein zweites Schiff mit 35 km/h dem ersten hinterher. Um welche Zeit holt das zweite Schiff das erste ein, und wie weit ist dieser Punkt vom Hafen entfernt? Gleich ist die bis zum Einholen zurückgelegte Distanz. Zurückgelegter Weg = Geschwindigkeit Zeit. x: Fahrzeit in h des ersten Schiffes bis zum Einholen Gleichung: 32x = 35 (x 4.5), Lösung x = 52.5, 12:30 2 Tage später, 1680km

3 Vorbereitungskurs Mathematik für die FHNW-Aufnahmeprüfung Seite 3/5 14. Ein Schiff verlässt einen Hafen in Japan mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 40 km/h, um einen Hafen in Südamerika in 8900 km Entfernung anzulaufen. Von diesem Hafen fährt 1 Tag und 6 Stunden später ein Schiff mit 50 km/h auf der gleichen Route nach Japan. Wie viele Tage und Stunden nach Abfahrt des ersten Schiffes sind die Schiffe 500 km voneinander entfernt? x: Fahrzeit in h des ersten Schiffes bis zur Entfernung 500km vom anderen Schiff Gleichung: 40x (x 30) = 8900, Lösung x = Tage 14h 15. Zwei Männer gehen jeden Tag von A nach B zur Arbeit. Der erste legt pro Minute 66 m zurück, der zweite 80 m. Der erste geht 10 Minuten früher fort. Kann der zweite den ersten einholen? Wenn ja, nach wie vielen Minuten? x: Marschzeit des zweiten Mannes bis zum Einholen in min Gleichung: 80x = 66 (x + 10), Lösung x = 47.14min (gerundet) 16. In einen Wasserbehälter münden drei Zuflussrohre. Das erste Rohr allein füllt den Behälter in 10 Minuten, das zweite allein in 18 Minuten, das dritte allein in 22 Minuten. In welcher Zeit wird der Behälter gefüllt, wenn alle drei Rohre gleichzeitig offen sind? x: Zeit (min) bei allen drei Rohren Leistung des ersten Rohres: 1/10 Behälter/min Leistung des zweiten Rohres: 1/18 Behälter/min Leistung des dritten Rohres: 1/22 Behälter/min Leistung zusammen: 1/x Behälter/min Gleichung: 1/10 + 1/18 + 1/22 = 1/x, Lösung x = 990/ (gerundet) 17. Ein Behälter fasst 860 l und hat 3 Zuflüsse A, B und C. A liefert in 2 Minuten 17.2 l, B in 3 Minuten 12.9 l und C in 14 Minuten 43 l. Wie lange dauert es für alle Zuflüsse zusammen, bis der Behälter voll ist? x: Zeit (min) bei allen drei Rohren Leistung des Rohres A: 17.2/2 l/min Leistung des Rohres B: 12.9/3 l/min Leistung des Rohres C: 43/14 l/min Gleichung: (17.2/ /3 + 43/14) x = 860, 15.97x = 860, Lösung x = min (gerundet) 18. Ein Wasserbehälter hat zwei Zuflüsse A und B und einen Abfluss C. A allein füllt den Behälter in 80 Minuten, B in 90 Minuten. C entleert den vollen Behälter in 60 Minuten. Wie lange dauert der Füllvorgang bei geöffnetem Abfluss? x: Zeit in min für Füllvorgang Leistung des Rohres A: 1/80 Behälter/min Leistung des Rohres B: 1/90 Behälter/min Leistung des Ablaufs C: 1/60 Behälter/min Leistung zusammen: 1/x Behälter/min Gleichung: 1/80 + 1/90-1/60 = 1/x, Lösung x = 144 Diese Aufgabe kann auch ohne Gleichung gelöst werden, indem man berechnet, welcher Bruchteil des Behälters pro min mehr ein- als ausfliesst.

4 Vorbereitungskurs Mathematik für die FHNW-Aufnahmeprüfung Seite 4/5 19. Ein Wasserbehälter fasst 30 l. Er ist 30 cm breit und 50 cm lang. Wieviel Wasser enthält er, wenn der Wasserspiegel vom Boden 10 cm weiter entfernt ist als von der Oberkante? 1l 1dm³. Der Behälter ist 30/3/5 = 2dm tief. x: Entfernung des Wasserspiegels von der Oberkante in cm Entfernung vom Boden in cm: x + 10 Höhe 20cm, also Gleichung (x + 10) + x = 20, Lösung x = 5, 22.5l. 20. Der Kohlenvorrat für eine Anzahl Heizkessel reicht 5 Wochen. Werden drei Kessel ausser Betrieb genommen, reicht der Vorrat für 7½ Wochen. Wieviele Kessel sind im ganzen vorhanden? (Tip: wie lange für 1 Kessel?) x: Anzahl Kessel Kessel Wochen = konstant, Für 1 Kessel reicht der Vorrat für 5x Wochen. Gleichung 5x = 7.5 (x 3), Lösung x = Ein Bauer muss 38 Kühe wegen Futtermangels verkaufen, weil der Vorrat sonst statt für 8 Wochen nur für 6 Wochen gereicht hätte. Wie viele Kühe besass er? x: Anzahl Kühe Kühe Wochen = konstant. Für x Kühe reicht es für 6 Wochen, für x - 38 Kühe für 8 Wochen. Gleichung 6x = 8 (x 38), Lösung x = Diese Aufgabe weglassen! Um Meerestiefen zu messen, wird das Echolot benutzt. Der Schallerreger befindet sich auf der einen Bordseite, der Schallempfänger auf der anderen Bordseite; die Schiffsbreite beträgt 16 m. Der Schall pflanzt sich im Wasser mit einer Geschwindigkeit von 1510 m/s fort. Wie gross ist die Wassertiefe für eine Laufzeit von 0.1 Sek.? Zurückgelegter Weg in 0.1sec: 151m Das ist die 2x die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit der halben Schiffsbreite als einer Kathete und der Wassertiefe als der anderen. x: Wassertiefe Gleichung: 8² + x² = (151/2)², Lösung x = 75 (gerundet) 23. Ein Mann braucht 21 Tage, um eine Flasche auszutrinken. Wenn ihm seine Partnerin dabei hilft, ist die Flasche nach 14 Tagen leer. Wie lange hätte die Frau allein? x: Anzahl Tage der Frau Tages-Trinkleistung des Mannes: 1/21 Tages-Trinkleistung der Frau: 1/x Gleichung: 1/21 + 1/x = 1/14, Lösung x = A braucht für eine bestimmte Arbeit allein 8 Tage, B 9 Tage, C 10 Tage und D 11 Tage. Wie lange dauert es, wenn alle vier gleichzeitig arbeiten? x: Zeit zusammen Gleichung: 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 = 1/x, Lösung 2.34 Tage (gerundet) 25. Eine Arbeit wird von Arbeiter A allein in 7 Tagen 4 Stunden, von A und B zusammen in 3 Tagen ausgeführt. Wie lange hätte B allein? (1 Tag = 8 Stunden) x: Zeit von B Gleichung: 1/60 + 1/x = 1/24, Lösung x = 40h 3 Tage 4h

5 Vorbereitungskurs Mathematik für die FHNW-Aufnahmeprüfung Seite 5/5 26. Hans braucht für eine Arbeit 9 Tage. Nachdem er schon 4 Tage allein gearbeitet hat, hilft ihm Fritz, und nach 2 Tagen ist alles fertig. Wie lange würde Fritz allein für die ganze Arbeit brauchen? x: Zeit von Fritz Leistung Hans: 1/9 Arbeiten/Tag, Arbeitszeit Hans: = 6 Tage Leistung Fritz: 1/x Arbeiten/Tag, Arbeitszeit Fritz 2 Tage Gleichung: 6 1/ /x = 1 Arbeit, Lösung x = Wieviel Wasser muss 200 g einer 30%-igen Salzlösung zugesetzt werden, damit der Salzgehalt 17% beträgt? x: Wassermenge in g Salzmenge: = 0.17 (200 + x), Lösung x = 153g (gerundet) alternativ: Wassermenge: x = 0.83 (200 + x) 28. Ein Apotheker will aus 5 l 90%-igem Alkohol und 10 l 45%-igem Alkohol durch Hinzufügen von Wasser 42%-igen Alkohol herstellen. Wieviel Wasser muss er zusetzen? x: Wassermenge in l Alkoholmenge: = 0.42 ( x), Lösung x = 6.43 (gerundet) alternativ: Wassermenge: x = 0.58 ( x) 29. Mischt man 12 l Wasser mit 15 l Alkohol, so ist die Mischung 32%-ig. Wie stark war der benutzte Alkohol? x: Konzentration Alkoholmenge: 15x = 0.32 ( ), Lösung x = 0.576, also 57.6% 30. Wie viel 72%-igen Alkohol muss man mit 435 cm³ 32%-igem Alkohol mischen, um 42%-igen Alkohol zu erhalten? x: Menge in cm³ Alkoholmenge: 0.72x = 0.42 (x + 435), Lösung Ein Drogist hat 1.5 l Eierlikör mit 20% Alkoholgehalt. Wieviele cm³ 96%-igen Alkohol muss er zusetzen, damit der Eierlikör 35%-ig wird? x: Menge in cm³ Alkoholmenge: x = 0.35 ( x), Lösung (gerundet) 32. Wieviel Säure der Dichte 1.15 g/cm³ und wieviel Säure mit 1.2 g/cm³ ergeben zusammen 2.5 l mit 1.17 g/cm³? Dichte = Gewicht/Volumen. x: Menge Säure mit 1.15 g/cm³ in cm³ Dann ist die Menge der anderen Säure 2500 x. Das Gewicht bleibt erhalten: Gleichung 1.15x (2500 x) = , Lösung x = 1500