Überlagerung von Wellen Interferenz

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1 Überlagerung von Wellen Interferenz Breiten sich in einem Medium zwei oder mehrere mechanische Wellen aus, so können diese Wellen, wenn sie aufeinander treffen miteinander wechselwirken. Man spricht hierbei von Überlagerung bzw. Interferenz von Wellen. Damit sich die Wellen überlagern können müssen zwei Voraussetzungen gegeben sein: 1. Die Wellen müssen gleichen Typs sein (z.b. Transversalwellen). 2. Die Wellen müssen im gleichen Medium sein (z.b. Wasser). Zur Vereinfachung sollen zwei weitere Voraussetzungen gelten: 3. Die Wellen müssen in derselben Schwingungsebene schwingen. 4. Die Wellen besitzen die selbe Wellenlänge. Überlagerung von Störungen : Treffen zwei Störungen unter Annahme der obigen Voraussetzungen in einem Medium aufeinander, so können sich die Störungen gegenseitig überlagern. Man nennt diesen Effekt Interferenz von Wellen. Besitzen die Wellen wie in der Zeichnung die gleiche Amplitude so addieren sich dort, wo sie aufeinander treffen ihre Amplituden. Nach dem Superpositionsprinzip laufen die Störungen danach unbeeinflusst mit ihrer anfänglichen Amplitude weiter.

2 Sind die Amplituden der Störungen jedoch entgegengesetzt ausgerichtet, so heben sich die Auslenkungen dort wo sie aufeinandertreffen gegenseitig auf. Man spricht deshalb von einer Auslöschung der Welle. Definition: Interferenz Als Interferenz von Wellen bezeichnet man die Überlagerung von Wellen die dieselbe Schwingungsebene und dieselbe Wellenlänge besitzen. Im Folgenden wird nun zwischen drei Fällen der Interferenz von Wellen unterschieden: 1. Fall: Konstruktive Interferenz Zwei Wellen breiten sich in derselben Richtung aus und sind an jeder Stelle des Trägermediums in Phase. In Phase bedeutet, dass ein Wellenberg der einen Welle genau mit einem Wellenberg der anderen Welle übereinstimmt. Gleiches gilt für die Wellentäler und sämtliche anderen Punkte der Welle.

3 Sind diese Bedingungen erfüllt, so ist zu beobachten, dass sich beide Wellen gegenseitig verstärken. Die Auslenkungen der Wellen addieren sich an jeder Stelle, so dass die Amplitude der resultierenden Welle der Summe der Einzelamplituden entspricht: Für die resultierende Welle ergibt sich somit: Da sich die Wellen gegenseitig verstärken spricht man hier von konstruktiver Interferenz. 2. Fall: Destruktive Interferenz Zwei Wellen breiten sich in derselben Richtung in einem Trägermedium aus, besitzen jedoch eine Phasenverschiebung von. Die Wellen breiten sich somit gegenphasig aus. Das heißt, dass in diesem Fall ein Wellenberg der einen Welle, gerade mit einem Wellental der anderen Welle übereinstimmt und umgekehrt. Die Auslenkung der resultierenden Welle erhält man erneut durch Addition der Auslenkungen der einzelnen Wellen:

4 Für die resultierende Welle ergibt sich somit: Diese relativ komplizierte Formel kann mit einem Additionstheorem für trigonometrische Funktionen vereinfacht werden. Allgemein gilt das Additionstheorem: Hiermit kann nun der zweite Summand der resultierenden Welle geschickt zerlegt werden: Mit und ergibt sich der vereinfachte Term: Für die resultierende Welle ergibt sich schließlich: Die Amplitude der resultierenden Welle ergibt sich also durch Subtraktion der Einzelamplituden. Man spricht deshalb von destruktiver Interferenz. Sind die Amplituden der Einzelwellen außerdem gleich groß so löschen sich die beiden Wellen gegenseitig aus. Zusammenfassung: Ist der Gangunterschied (Phasenunterschied) ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge so verstärken sich die Wellen maximal. Ist der Gangunterschied hingegen ein ganzzahliges Vielfaches einer halben Wellenlänge so schwächen sich die Wellen maximal.

5 Maximale Verstärkung: mit Maximale Schwächung: mit 3. Fall: Stehende Wellen Zwei Wellen mit gleicher Amplitude breiten sich in entgegengesetzter Richtung (gegenläufig) in einem Trägermedium aus. Hierbei entstehen sog. stehende Wellen. Bei stehenden Wellen gibt es Stellen an denen die Auslenkung der Oszillatoren zu jedem Zeitpunkt gleich Null ist. Diese Stellen heißen Knoten der Schnelle oder Bewegungsknoten (kurz: Knoten). Zwischen den Knoten schwingen die Oszillatoren auf und ab. Ziel der nachfolgenden Überlegung ist es, eine Gleichung zur Beschreibung von stehenden Wellen aufzustellen und die Stellen an denen sich Knoten ausbilden zu berechnen: Mit ergibt sich

6 Dieser Term lässt sich nun stark vereinfachen, da zwei Summanden zusammengefasst werden können und sich zwei Summanden gegenseitig aufheben. Für die stehende Welle ergibt sich eine Wellengleichung die aus einem zeitabhängigen Faktor und einem ortsabhängigen Faktor zusammengesetzt ist. Ersetzt man nun durch den Platzhalter so erhält man die vereinfachte Wellengleichung. Um nun die Position der Knoten berechnen zu können wird die Auslenkung gleich Null gesetzt, da die Auslenkung der Oszillatoren an den Knoten zu jedem Zeitpunkt gleich Null ist: An den Stellen ist die Auslenkung der Oszillatoren zu jedem Zeitpunkt Null. Dort liegen die Knoten der stehenden Welle, deren Abstand beträgt.