Vektorielle Addition von Kräften

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Karlheinz Bieber
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1 Vektorielle Addition von Kräften (Begleitende schriftliche Zusammenfassung zum Online-Video) Was wir bisher betrachtet haben: (a) Kräfte wirken entlang derselben Wirkungslinie (parallel oder antiparallel) Rechnerische Lösung: F ges = F 1 + F F n (n N) Beispiel: Zwei Kräfte F 1 und F 2 greifen an einem Körper K wie folgt an. F 2 K F 1 Frage: Wie groß ist die Gesamtkraft und in welche Richtung bewegt sich K? Voraussetzungen zur Lösung: Sinnvoller Maßstab, etwa: 1 cm 1 N Koordinatensystem: Sinnvollerweise sei der Koordinatenursprung in den Angriffspunkt K gelegt. Lösung: Länge der Kraftpfeile bestimmen und in Kraft übersetzen F 1 = 4,5 N, F 2 = 2,6 N Gesamtkraft berechnen: F ges = F 1 + F 2 = 4,5 N + ( 2,6 N) = 1,9 N K bewegt sich in Richtung von F 1. F 2 K F 1 F ges

(b) Kräfte wirken entlang unterschiedlicher Wirkungslinien Zeichnerische Lösung: Gesamtkraft in Zwei-Kräfte-System ergibt sich als Diagonale eines Parallelogramms, das durch die Teilkräfte gebildet

2 (b) Kräfte wirken entlang unterschiedlicher Wirkungslinien Zeichnerische Lösung: Gesamtkraft in Zwei-Kräfte-System ergibt sich als Diagonale eines Parallelogramms, das durch die Teilkräfte gebildet wird. Bisher: Rechnerische Lösung nicht möglich, da wir kein Werkzeug kennen, die Richtungsabhängigkeit der Kräfte zu berücksichtigen. Wir wissen, dass Kräfte vektorielle Größen sind. Beachte also die Richtungsabhängigkeit. Ein Vektor ist ein mathematisches Objekt, das aus endlich vielen (n N) Einträgen, den sog. Komponenten besteht. Ein Kraft-Vektor berücksichtigt die verschiedenen Richtungsbeiträge einer wirkenden Kraft. Jede Vektor-Komponente gibt also an, wie stark die Kraft in eine bestimmte Richtung wirkt. Für ein zweidimensionales Problem bzw. Kraftsystem (Kräfte wirken in einer Fläche) besteht der Vektor aus zwei Komponenten, nämlich für die räumliche x- und y-richtung. Ein zweidimensionaler Kraftvektor sieht folgendermaßen aus: F = ( F x F y ) Das F kennen wir bereits; der Pfeil ist symbolisch und deutet an, dass die Größe F vektoriell ist. Der geklammerte Ausdruck ist die Vektordarstellung der Kraft. Die Vektorkomponenten sind F x und F y. Die Komponenten selbst tragen keinen Pfeil über dem Buchstaben, da sie selbst die Richtungsabhängigkeit beinhalten.

3 Gesamtkraft eines n-dimensionalen Kräfte-Systems Greifen an einem Körper K n (n N) Kräfte an, so berechnet sich die Gesamtkraft folgendermaßen: F ges = F 1 + F F n Achtung: Diese Gleichung ist nicht äquivalent zu oben, wo sich die Gesamtkraft als Summe der Beträge der Teilkräfte ergab. Hier handelt es sich um eine Vektorgleichung. Wir dürfen nicht einfach die Kraftbeträge addieren, um den Betrag der Gesamtkraft zu berechnen. Beispiel: Gegeben seien zwei Kräfte F 1 = ( 3 2 )N, F 2 = ( 1 4 )N. Gesucht ist die Gesamtkraft F ges. Lösung Ansatz: F ges = F 1 + F 2 Einsetzen: F ges = ( 3 2 ) N + ( 1 4 ) N Addition der Vektoren erfolgt komponentenweise (zeilenweise): F ges = ( 3 2 ) N + ( 1 N + ( 1) N ) N = (3 4 2 N + 4 N ) = ( ) N = (2 6 ) N Bei der Addition (und Subtraktion) darf man die Vektoren zu einem Vektor zusammenschreiben. Zahlen und Einheiten, die in beiden Komponenten vorkommen, darf man hinter den Vektor schreiben. Interpretation: Die Gesamtkraft F ges = ( 2 ) N hat zwei Richtungsanteile: 2 N wirken in x-richtung, 6 6 N wirken in y-richtung. Graphisch kann man die Komponenten eines Vektors als Koordinaten eines Punktes zuordnen.

4 Fሬ 1 = ൬ 3 2 ൰ N Koordinatenursprung liegt im Angriffspunkt! Fሬ 2 = ൬ 1 4 ൰ N ሬ ൬ 2 ൰ F ges = F ges = F x 2 + F y 2 Also: F ges = (2 N) 2 + (6 N) 2 = 4 N N 2 = 40 N 2 6,3 N Schriftliche Zusammenfassung auf Bearbeite zur Nachbereitung die in der Zusammenfassung gestellten Übungsaufgaben (nächste Seite!).

5 Übungsaufgaben zur vektoriellen Kräfteaddition 1. Gegeben seien die folgenden zwei Kräfte: F 1 = ( 4 2 ) N, F 2 = ( 1 3 ) N (a) Bestimme rechnerisch die Gesamtkraft. (b) Zeichne die beiden Kräfte in das Koordinatensystem (siehe unten; Achsen beschriften!, 1cm sei 1N) ein und bilde die Gesamtkraft zeichnerisch. Überprüfe anschließend, ob die Koordinaten der Spitze des Kraftpfeils, der zur Gesamtkraft gehört, mit den in (a) berechneten Kraftkomponenten übereinstimmen. (Hoffentlich ja!) (c) Zusatz: Berechne den Betrag der Gesamtkraft. Bestimme anschließend den Betrag der Gesamtkraft zeichnerisch und vergleiche beide Werte. 2. Bestimme rechnerisch die Gesamtkraft in folgendem Kräftesystem: F 1 = ( 0 2 ) N, F 2 = ( 3 4 ) N, F 3 = ( 1 8 ) N 3. Bestimme rechnerisch die Kraft F 2 so, dass gilt: Bestimme also die Komponenten von Fሬሬሬሬ. 2 ( 2 6 ) N + ൬F 2,x ൰ = ( 2 F 2,y 5 ) N

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