Raimond Dallmann. Baustatik 1. Berechnung statisch bestimmter Tragwerke. 5., aktualisierte Auflage

Transkript

1 Raimond Dallmann Baustatik Berechnung statisch bestimmter Tragwerke., aktualisierte uflage

2 .3 leichgewicht am Punkt 9 F + F 3 Hinweis: Da die Länge des Richtungsvektors beliebig ist, wurde für n nicht sondern gewählt, um nur,, glatte Zahlen zu erhalten. Es ergeben sich zwei leichungen mit zwei Unbekannten: F + 3F 40 F + F 30 Durch Einsetzen in eine der usgangsgleichungen erhalten wir F 0,77. Die berechneten Werte haben keine unmittelbare mechanische Bedeutung, sondern sind nur Faktoren für die gewählten Richtungsvektoren. Die Beträge der gesuchten Kräfte folgen aus der Beziehung: Für das vorliegende Beispiel ergibt sich: Die Kraftvektoren sind: Multiplikation der zweiten Zeile mit 3 und ddition zur ersten Zeile ergibt: F + 3 F F 0 F 3,846 F F F F n n n + 9 n F 3, ,7 kn F 0, ,06 kn F F 3,846 F F 3 0,77 3 7,69 9,3 3,3 0,77 und.3 leichgewicht am Punkt Nach bschnitt.6 ist ein zentrales Kräftesstem im leichgewicht, wenn die Resultierende des Kräftesstems gleich null ist. R F i 0 (.) Die Resultierende eines zentralen Kräftesstems ergibt sich zeichnerisch aus der Konstruktion des Kraftecks. elangt man mit der Spitze des letzten Kraftvektors wieder an den nfangspunkt des ersten Kraftpfeils, so verbleibt keine Resultierende. Das Krafteck ist geschlossen. Rechnerisch folgt aus l. (.) der obigen Bedingung, dass alle Komponenten der Resultierenden gleich null sein müssen. us dieser Bedingung ergeben sich in der Ebene zwei skalare leichungen: F i 0, F i 0 Für den Fall des räumlichen zentralen Kräftesstems kommt als dritte leichung noch F zi 0 hinzu. Ist ein zentrales Kräftesstem gegeben, lässt sich durch Reduktion feststellen, ob eine Resultierende verbleibt oder ob diese gleich null ist, also leichgewicht herrscht. Die ufgabenstellung sieht in der Regel aber anders aus. Es sind einige Kräfte gegeben und einige Kräfte sind unbekannt. Die Fragestellung ist nunmehr, wie groß diese unbekannten Kräfte sind, damit leichgewicht vorhanden ist. Die gegebenen Kräfte sind die auf einen Körper einwirkenden ktionskräfte, die unbekannten die Reaktionskräfte. Beispiel.3 Die in Bild.8 dargestellte Skizze ist das statische Sstem einer Konstruktion. Es besteht aus zwei Stäben, die im Punkt durch ein elenk verbunden sind. Beide Stäbe sind am anderen Ende so befestigt, dass sie sich frei verdrehen können. Solch eine Befestigung nennt man (gelenkiges) uflager, es wird durch ein Smbol dargestellt. Die elenke werden als völlig reibungsfrei und die Stäbe als gewichtslos vorausgesetzt. Dieses statische Sstem stellt also das Ergebnis einer Idealisierung dar.

3 0 Das zentrale Kräftesstem Die Stäbe können durch den beidseitig gelenkigen nschluss nur Kräfte in Richtung ihrer chse übertragen. Die ufgabe besteht nun darin, die röße dieser Kräfte zu ermitteln. Bild.8 usleger mit ewichtskraft Um die Stabkräfte berechnen zu können, müssen diese zunächst durch nwendung des Schnittprinzips sichtbar gemacht werden. Dies geschieht mit einem gedanklichen Schnitt durch beide Stäbe, durch den der Punkt vom Rest des Sstem völlig abgetrennt wird, siehe Bild.9. Durch das Zertrennen eines Stabes werden die Bindungen zwischen den beiden Stabteilen zerstört. Die zerstörten Bindungen werden durch von außen wirkende Kräfte ersetzt. Da diese Kräfte durch einen Schnitt sichtbar gemacht werden, nennt man sie Schnittkräfte. Bild.9 uflager Reaktionen Schnittbild Stäbe (beidseitig elenke) übertragen nur Kräfte in Richtung ihrer chse 0 kn 4 m Schnittkräfte 0 kn ktion Nach dem Reaktionsaiom sind Schnittkräfte immer gleich groß und von entgegengesetzter Richtung. Die Kraft, die im Punkt angreift (zieht), ersetzt die Wirkung, die der abgetrennte obere Teil des Stabes auf den unteren ausübt. Es wirken nun im Punkt die beiden freigelegten unbekannten Schnittkräfte und sowie die vorgegebene Kraft. Die drei Kräfte bilden ein zentrales Kräftesstem, da sie sich alle im Punkt schneiden. Die röße der Kräfte soll nun so bestimmt werden, dass der Punkt in Ruhe bleibt, also leichgewicht herrscht. Dies ist dann der Fall, wenn die Resultierende des Kräftesstems, also die Summe aller drei Kräfte, gleich null ist. Zeichnerische Lösung: Um die Kräftesumme zeichnerisch zu bilden, müssen alle drei Kraftpfeile nach ihrer Richtung und Länge hintereinander gezeichnet werden. Da nur die Kraft bekannt ist, muss sie zuerst gezeichnet werden. n die Spitze dieser Kraft wird nun die nächste Kraft gezeichnet, wobei es gleichgültig ist, ob zunächst oder gewählt wird. Von beiden Kräften ist nur die Richtung bekannt, sie ergibt sich aus dem Lageplan durch die eometrie der Stäbe. Wir wählen zunächst und zeichnen die Wirkungslinie dieser Kraft durch die Spitze von, siehe Bild.0. 0 kn Lageplan Richtung von Krafteck Bild.0 Konstruktion des Kraftecks, Schritt Da die Resultierende gleich null sein muss, müssen wir mit der Spitze der dritten Kraft zum nfangspunkt von gelangen, damit sich das Krafteck schließt. Die bekannte Wirkungslinie von wird darum aus dem Lageplan parallel durch diesen Punkt verschoben, wie in Bild. dargestellt ist. 0 kn Lageplan Bild. Konstruktion des Kraftecks, Schritt Richtung von Richtung von Krafteck kn us dem Schnittpunkt der beiden Wirkungslinien folgt die röße und der Richtungssinn der gesuchten Kräfte nach Bild.. Die Pfeilrichtungen der Kräfte ergeben sich dadurch, dass ein einheitlicher Umfahrungssinn vor- Kräftemaßstab Kräftemaßstab kn

4 .3 leichgewicht am Punkt handen ist, dies entspricht der Definition der Vektoraddition. Es dürfen daher niemals zwei Pfeilspitzen zusammenstoßen. 0 kn Lageplan Bild. Konstruktion des Kraftecks, Schritt 3 Beginnt man, statt wie oben dargestellt, die Konstruktion mit der Richtung von, so ergibt sich das Krafteck in Bild.3, wie leicht nachvollziehbar ist. Bild.3 lternative Konstruktion des Kraftecks Die röße der Kräfte erhält man wiederum durch Messung und Umrechnung mithilfe des Kräftemaßstabs: Das Vorzeichen wird ermittelt, indem die Pfeilrichtung aus dem Krafteck mit der angesetzen Zugkraft aus dem Lageplan verglichen wird. Bei Übereinstimmung handelt es sich um eine Zugkraft, sonst um eine Druckkraft. ist demnach eine Zugkraft, eine Druckkraft. Rechnerische Lösung: Für die rechnerische Behandlung wird das in Bild.4 dargestellte Koordinatensstem mit Ursprung im Punkt zugrunde gelegt. Bild.4 Freigeschnittener Knoten Krafteck 3, cm kn, kn 0,7 cm,8 cm kn 0 kn 0,7 cm n n Kräftemaßstab kn Die Kräfte werden als Vektoren in diesem Koordinatensstem dargestellt. Die Richtung der Kraftvektoren und ist durch die eometrie der Stäbe vorgegeben. Die unbekannten Stabkräfte werden wiederum als Produkt aus Betrag und Einheitsrichtungsvektor dargestellt. Der Betrag wird so bestimmt, dass leichgewicht herrscht. Die leichgewichtsbedingung lautet: F n + n + 0 Es ist für die Zahlenrechnung wieder praktischer, die Kraft durch einen beliebigen Richtungsvektor zu beschreiben: 0 n n S mit n n S S n Damit folgt: S n 0 + n + 0 S + S Es ergeben sich also zwei skalare leichungen für die Unbekannten S und. us der zweiten Zeile erhält man sofort S 0. Die Unbekannte tritt in der zweiten Zeile nicht auf, da nur in horizontaler Richtung wirkt und daher keine Komponente in vertikaler Richtung besitzt. folgt durch Multiplikation von S mit dem Betrag des Richtungsvektors. S n 0,36 kn Durch Einsetzen von S in die erste Zeile erhält man S 0 S 0 0 kn Das negative Vorzeichen von bedeutet, dass entgegen der angesetzten Richtung wirkt, es handelt sich daher um eine Druckkraft. Die bei der Lösung der ufgabe auftretenden skalaren leichungen für die Unbekannten S und haben die Bedeutung, dass die Summe der Kraftkomponenten in horizontaler (erste Zeile) und in vertikaler Richtung (zweite Zeile) gleich null sein müssen.

5 Das zentrale Kräftesstem Betrachten wir noch einmal den freigeschnittenen Punkt in Bild.4. Die beiden leichgewichtsbedingungen lassen sich auch anschreiben, indem die Stabkraft in Richtung der Koordinatenachsen zerlegt wird. z C D F kn 30 kn 0 kn Die Bedingung F 0 cos 0 ergibt: und die Bedingung F 0: sin 0 Die Winkelfunktionen können wir aus der Stabgeometrie durch Katheten und Hpotenuse ausdrücken. m B sin und cos Damit folgt für die beiden leichungen: Bild. Räumliches Dreibein Um die Stabkräfte berechnen zu können, müssen sie durch nwendung des Schnittprinzips sichtbar gemacht werden. Dies erfolgt durch einen Schnitt um den Punkt D. Die unbekannten Stabkräfte werden als Zugkräfte angesetzt. Mit der bkürzung S S erhält man: D F S 0 S 0 Diese leichungen sind mit denen identisch, die sich aus der Vektordarstellung ergaben. Beispiel.4 Für das in Bild. dargestellte räumliche Dreibein sind die Stabkräfte,, und infolge der gegebenen Einzelkraft F zu berechnen. Die Richtung der Stäbe ist durch die folgenden Punkte gegeben: Bild.6 Freigeschnittener Knoten D Die leichgewichtsbedingung lautet: F F 0 S n + S n + S 3 n 3 + F 0 Um die Richtung der Kraftvektoren zu beschreiben, ist es zweckmäßig, einen Vektor zu wählen, der vom Punkt D zu dem entsprechenden uflagerpunkt geht. Dieser Vektor ergibt sich aus der Differenz der Koordinaten des uflagerpunktes und des Punktes D. m, B m, C 4 m, D m 3 0 S + S 3 + S

6 ufgaben. bis.3 3 Das leichungssstem lässt sich übersichtlich in Matrizendarstellung schreiben. Die Lösung folgt z. B. durch nwendung des außschen Eliminationsverfahrens und ist hier nicht dargestellt S S S 3 Die Stabkräfte erhalten wir durch Multiplikation der S i - Werte mit dem Betrag des Richtungsvektors. Negative Werte sind Druckkräfte, positive Werte Zugkräfte. ufgaben 6, S S S 3 7,6 kn,48 8 6,68 kn 7,4 38,33 kn 6,43,48 7,4 ufgabe. Für das in Bild.8 dargestellte Sstem sind die Stabkräfte und infolge der angegebenen Einzelkraft zeichnerisch und rechnerisch zu ermitteln. 0 0 kn 3,7 m Bild.8 ufgabe.3 Für das in Bild.9 in rund- und ufriss dargestellte räumliche Dreibein sind die Stabkräfte bis infolge der angegebenen Einzelkraft zu ermitteln., ufgabe. Für das in Bild.7 dargestellte ebene, zentrale Kräftesstem ist die Resultierende nach röße und Richtung zeichnerisch und rechnerisch zu ermitteln. 30 kn z 0kN 3 m 40kN kn 30 kn 30kN 3kN m S3 z, Bild.7 Bild.9