Studiengang: Semester: WS 09/10. Algebra Serie: 1. Thema: Vektoralgebra

Transkript

1 Studiengang: PT/LOT/PVHT Semester: WS 9/ Algebra Serie: Thema: Vektoralgebra. Aufgabe Seien a, b und c Vektoren der Ebene. Veranschaulichen Sie durch eine Skizze das: Assoziativgesetz: a + b + c = a + b + c 2. Aufgabe Die Vektoren a, a 2, a 3 seien als Linearkombination der Vektoren e und e 2 wie folgt darstellbar. a = 3 e e 2, a 2 = 2 e + e 2, a 3 = e e 2. Stellen Sie den Vektor x = a + 2 a 2 2 a 3 als Linearkombination der Vektoren e und e 2 dar. Zeigen Sie, dass die Vektoren a, a 2, a 3 linear abhängig sind! 3. Aufgabe Wir betrachten zwei kartesischekoordinatensysteme (x,y- Koordinaten und u,v-koordinaten), die um 5 ± gedreht sind. Die Koordinateneinheitsvektoren bzgl. der x,y-achse werden mit e x und e y bezeichnet und entsprechend bzgl. der u,v-achse mit e u und e v. Stellen Sie den bezüglich der x,y - Koordinaten gegebenen Vektor a = 2 e x + e y als Linearkombination durch die Basisvektoren e u und e v, dar. Hinweis: vgl. auch Aufgabe 2.. Aufgabe Folgt aus der linearen Unabhängigkeit von a und b die linearen Unabhängigkeit von a+ b und a b? 5. Aufgabe StellenSie folgende Vektoren in der Form a = α e, mit j ej = dar. a) a 2 A, b) b = 3 e e 2 +8 e 3 6. Aufgabe Woliegt die Spitze des Vektors, der im Punkt P (7; 3; 2) angreift, in Richtung auf P 2 (6; ; ) zeigt und die Länge s = 5 hat?

2 7. Aufgabe µ µ 3 2 Man stelle den Vektor c = als Linearkombination der beiden Vektoren a = µ und b = dar! Veranschaulichen Sie sich den Sachverhalt auch an einer Skizze! - 8. Aufgabe An einem Seil hängt eine Last, die eine Kraft L von N ausübt. Auf die Seile wirken die Zugkräfte F und G. Im statischen Gleichgewicht gilt: L = F + G. Berechnen Sie die Zugkräfte F und G 9. Aufgabe Ein Gerüst, bestehend aus zwei geraden, unterschiedlich langen verbundenen Balken und trage eine Last von 27kN. Die beiden Balken sollen stufenförmig au iegen. (vgl. Skizze) Welchen Druckkräften sind die beiden Balkenquerschnitte ausgesetzt? Wie groß sind die senkrecht gerichteten Au agedruckkräfte sowie die waagerecht wirkenden Seitendrücke in den Au agepunkten der (gewichtslos gedachten) Balken?. Aufgabe Bilden Sie mit den Vektoren a A, b 3 A, c 2 die folgenden Skalarprodukte: a) a b b) ( a 3 b) ( c). Aufgabe Welchen Winkel schließen die Vektoren a und b ein? a) a 3 A, b A, b) a = e x 2 e y + 5 e z, b = ex e z Aufgabe Berechnen Sie: A a) den Winkel α zwischen der Raumdiagonalen und einer der sich daran anschließenden Kanten eines Würfels. b) den Winkel β zwischen der Raumdiagonalen und einer der sich daran anschließenden Flächendiagonalen eines Quadrates der Würfelober äche. 3. Aufgabe

3 Berechnen Sie die Komponente des Vektors b in Richtung des Vektors a, wobei a 2 2. Aufgabe A, und b 5 3 A, Welche Bedingungen müssen die Vektoren a und b erfüllen, damit c = a + b und d = a b senkrecht aufeinander stehen? 5. Aufgabe Seien a, b linear unabhängige Vektoren der Ebene. Stellen Sie die orthogonalen Einheitsvektoren e, e 2 mittels der Vektoren a, b dar. 6. Aufgabe Begründen Sie, dass ein Vektor a, der orthogonal zu allen Vektoren x ist (d.h. 8 x : a x = ), der Nullvektor sein muß ( a = ) 7. Aufgabe Bilden Sie mit den Vektoren a A, b die folgenden Vektorprodukte: a) a b b) ( a b) (3 c) 8. Aufgabe Gegeben sind die Vektoren a = A, c 2 3 A, b A, c 9 y z Wie müssen y und z bestimmt werden, damit c orthogonal zu a und b ist. 9. Aufgabe Liegen die Vektoren a, b, c in einer gemeinsamen Ebene? a 3 A, b 2 3 A, c 3 A Aufgabe Bestimmen Sie die Schnittgerade und den Schnittwinkel der beiden Ebenen: 3(x 2)+ (y 5) + 2(z 6) = und 2(x ) +3(z ) = 2. Aufgabe Unter Zugrundelegung eines kartesischen Bezugssytems sind im R 3 zwei PunkteP (,2, ), P 2 (, 3,2), sowie eine Gerade g mit der x y A 3 3 A+t@ 3 A, z 2 t ist beliebig reell, gegeben. P 3 sei derjenige Punkt auf g, für den das Dreieck mit den Eckpunkten P,P 2,P 3 minimalen Flächeninhalt hat. Wie lauten die Koordinaten von P 3 2 g und wie groß ist der Inhalt des ächenkleinsten Dreiecks? A.

4 22. Aufgabe Wir betrachten einen Winkelhebel mit dem Drehpunkt im Koordinatenursprung (vgl. Skizze) Es seien P = ( 6.;.5) cm, P 2 = (.; 7.) cm F A = F A = 2. N, F B = F B =. N Bestimmen Sie F C = F C so, dass Gleichgewicht herrscht. 23. Aufgabe Auf eine Ebene E mit der Normalen n fällt im Punkt P ein Lichtstrahl, dessen Richtungssinn durch den Vektor a festgelegt sei. Bestimmen Sie den Richtungsvektor x des re ektierten Lichtstrahls. 2. Aufgabe In jedem Speichenre ektor eines Fahrrades, in jedem Autorücklicht und in dem Laserre ektor auf dem Mond ist das Prinzip des Eckenspiegels oder Tripelspiegels zu nden.. Ein Lichtstrahl tri t auf eine Fläche des Eckenspiegels, der Strahl wird so re ektiert, dass er auf eine zweite Fläche tri t und über die Re ektion an der dritten Fläche tritt der Lichtstrahl wieder parallel zum Eingangsstrahl aus dem Eckenspiegel. Beweisen Sie diese Behauptung unter Verwendung des Ergebnisses von Aufgabe Aufgabe Wie lautet die Gleichung der Projektion der Geraden r = Koordinatenebenen in parameterfreier 2 3 A Aufgabe Die Punkte P (,,), P 2 (,, ) und P 3 ( 2,, ) spannen eine Ebene E auf. A auf die

5 Geben Sie E in der Form a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b an und bestimmen Sie den Abstand q des Punktes Q(, 5,3) von dieser Ebene. 27. Aufgabe Geben Sie eine parameterfreie Gleichung der Ebene an, bezüglich der die Punkte P (,, ) und Q(,, ) spiegelbildlich liegen. Lösungen: 2) x = 3 e + 3 e 2 3) a = 3 2p 2 eu 2p 2 ev ) Ja 5) a) a 7 5 p 53 B,28 A 3 p 2 C 53 A, p 3 53 b) b = 9,3 (,38 e,2 e 2 +, 88 e 3 ) 7) c = 2 3 a b 9) F I = 5 p 2 kn ^ F II = 3 p µ 5 kn! 3 kn F I =,! µ 3 kn F 6 kn II = 2 kn ) a) b) 288 ) a) ϕ = 79, 92 b) ϕ = 57, 9 2) a ) α = 5, 7 ± b) β = 35, 26 ± 3) b a 22/9 22/9 A /9 ) j aj = b 8) 58 N bzw. 73 N 7) a) 8) y = 6 z = 67 9) ja 2) Schnittgerade: r(λ) 59/3 A + λ@ 3 5 A 5/3 2 Schnittwinkel: ϕ = 27,2 22) F C = F C = 5,69 N 5) e = a b b e e j aj, e 2 = b b 2 A 93 9 A 9 6 2) A = 2p 2 FE 23 x = a 2( a n) n 25) x 2y = 8; 3y + z = 5; 3x +2z = 26) E : x+ 2y z =. q = 2 p 6 ¼,9 27) x 2z =