Mechanik I. Statik und Festigkeitslehre

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1 Mechanik I Statik und estigkeitslehre Bernd Binninger Institut für Technische Verbrennung RWTH-achen

2 Inhaltsverzeichnis 1 Statik Kraft Wirkungslinie Zentrales Kräftesstem Zusammenfassung und Zerlegung von zentralen Kräften Berechnung der Resultierenden eines zentralen Kräftesstems Zerlegen einer Kraft in der Ebene Gleichgewicht eines zentralen Kräftesstems Gleichgewicht von zwei Kräften, deren Wirkungslinie sich schneiden Gleichgewicht haltende Kraft eines zentralen Kräftesstems Wechselwirkungsgesetz Schnittprinzip ufgabenstellung und bstraktion Nichtzentrale Kräftessteme Zusammensetzen von ebenen Kräften mit verschiedenen ngriffspunkten Kräfte mit parallelen oder fast parallelen Wirkungslinien Gleichgewicht von drei Kräften in der Ebene: Dreikräftesatz Gleichgewicht von vier Kräften in der Ebene Räumliches Kräftesstem Moment einer Kraft bezüglich eines Punktes Das Kräftepaar Parallelverschieben einer Kraft Zusammenfassen von Momenten von Einzelkräften Zusammenfassen von Kräften und Momenten Gleichgewicht des starren Körpers Ebene Lagerungen Statische Bestimmtheit von Lagerungen Lagerungen im dreidimensionalen Raum Kräftemittelpunkt und Schwerpunkt Definition des Kräftemittelpunktes Berechnung des Schwerpunktes Reibung Haftreibung und Gleitreibung Seilreibung Schnittlasten Schnittlasten in ebenen Balken Verallgemeinerung für beliebig verteilte Lasten von ebenen Balken Schnittlasten in ebenen Rahmen Schnittlasten in Wellen rbeit rbeit von Kräften rbeit von Momenten rbeit der an einem starren Körper angreifenden Kräfte und Momente Prinzip der virtuellen rbeit Gleichgewichtslage und Stabilität

3 2 estigkeitslehre Spannungsvektor Einachsiger Spannungszustand Ebener Spannungszustand Hauptspannungen und Hauptspannungsrichtungen Räumlicher Spannungszustand Deformationzustand und Spannungs-Dehnungs-Beziehung Einachsiger Spannungszustand und Dehnung Reiner Schub und Scherung Superpositionsprinzip Räumlicher Deformationszustand Beziehung zwischen Elastizitäts-, Schubmodul und Querkontraktionszahl Verschiebung Zusammenhang von Dehnung und Verschiebung eines räumlichen Elementes Volumenänderung Gerader Stab Wärmedehnung achwerke Statisch bestimmtes achwerk Statisch unbestimmtes achwerk usnahmefachwerk lächentragwerke Gleichförmig belastete Scheibe Rohr unter Überruck und zlindrischer Kessel Balkenbiegung Spannungs-, Dehnungsverteilung und Krümmungsradius Differentialgleichung der elastischen Linie lächenträgheitsmomente einfacher und zusammengesetzter Querschnittsflächen Berechnung von Biegelinien Übertragung bereits bekannter Ergebnisse auf andere ragestellungen Kombinierte Problem mit Balken und Stäben

4 1 Statik 1.1 Kraft olgende Eigenschaften bestimmen eine Kraft: Größe (engl. magnitude) Richtung (engl. direction) Richtungssinn (engl. sense) ngriffspunkt (engl. application point) Der Kraftvektor ist damit ein gebundener Vektor: smbolisch Einheit der Kraft: 1 Newton = 1 N = 1 kg m/s 2 Lageplan Kraftplan ngriffspunkt P Wirkungslinie (Richtung) Maßstab: 1 N Dargestellt ist eine Kraft mit einem Betrag von 2 N, die unter einem bestimmten Winkel nach rechts oben weist (Richtungssinn der Kraft). Im Lageplan oder reischnittdiagramm (engl. free-bod diagram) wird eine maßstäbliche Darstellung der Geometrie mit dem Kraftangriffspunkts P, der Wirkungslinie (Richtung) und dem Richtungssinn der Kraft gegeben. Der Lageplan und auch das reischnittdiagramm (siehe auch bschnitt 1.4) sind Voraussetzung jeder Lösung von ufgaben der Statik, aber auch in der estigkeitslehre und in der Dnamik in den aller meisten ällen. Wir wollen deshalb schon an dieser Stelle einführen, auch wenn wir etwas vorgreifen müssen, was in einem Lageplan oder einem reischnittdiagramm einzutragen ist. Darstellung des Körpers schematisch, für grafische Lösungen unbedingt maßstäblich Eintragung aller bekannten und unbekannten Kräfte und aller bekannten und unbekannten Momente in geometrisch richtiger nordnung Bei der grafischen Lösung von ufgaben der Statik tritt dem Lageplan ein Kraftplan zur Seite. Im Kraftplan wird unter Berücksichtigung von Richtung und Richtungssinn der Kraft zusätzlich die Größe des Kraftvektors maßstäblich wiedergegeben. Der Kraftplan nimmt durch Parallelverschiebung von Richtung und Richtungssinn der Kräfte aus dem Lageplan auf diesen Bezug.) 2

5 1.1.1 Wirkungslinie In der Statik werden nur starre Körper betrachtet, das sind solche, die sich unter Belastung überhaupt nicht verformen. Unter der Voraussetzung, dass der Körper starr ist, kann der Kraftangriffspunkt der Kraft entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden, ohne dass sich die Belastung des Körpers ändert. Damit ist in der Statik die Kraft kein streng gebundener Vektor, sondern wird zu einem linienflüchtigen Vektor. Umgekehrt folgt: Zwei Kräfte gleicher Größe und gleichem Richtungssinn auf derselben Wirkungslinie sind statisch äquivalent. Beispiel für statisch äquivalente Belastung: Lageplan 1 Wirkungslinie W 2 P 1 P 1 P 2 Wirkungslinie W 1 P 2 2 Die beiden Belastungsfälle sind statisch äquivalent, falls für die Kräfte gilt: 1 = 2 und die Wirkungslinien der Kräfte gehen jede durch beide Punkte P 1 und P 2. Übung a) Nennen Sie Beispiele, in denen eine Kraft nicht entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden kann, ohne dass dies unterschiedliche uswirkungen auf den belasteten Körper hat. Betrachten sie die beiden bbildungen eines gehaltenen Balles. b) Welche unterschiedliche Qualität haben die beiden Beispiele? c) Was sagen die Beispiele über das Parallelverschieben einer Kraft aus? 1.2 Zentrales Kräftesstem Schneiden sich die Wirkungslinien aller Kräfte in einem einzigen Punkt, so bilden die Kräfte ein zentrales Kräftesstem. 3

6 Lageplan 1 W 2 W 3 P 2 3 Übung Warum ist darin der Spezialfall enthalten, dass die Kräfte einen gemeinsamen Kraftangriffspunkt besitzen? W 1 4

7 1.2.1 Zusammenfassung und Zerlegung von zentralen Kräften Zentrale Kräftessteme können statisch äquivalent durch ihre Resultierende ersetzt werden. Lageplan 1 1 W 2 Kraftplan 3 W Rt W 3 P 2 R R t W R W 1 Lageplan 2 Lageplan 3 W R P P R t W Rt R 1 Die Kräfte des zentralen Kraftsstems werden aus dem Lageplan 1 in den Kraftplan übertragen (Parallelverschiebung), wobei zur Darstellung ihrer Größe ein gemeinsamer Maßstab gewählt wird. Die Vektoraddition kann dann durch Hintereinanderhängen der Kraftvektoren diurchgeführt werden. Man ermittelt damit die Richtung der Wirkungslinie der Resultierenden, den Richtungssinn und die Größe der Resultierenden. Dieser Zusammenhang kann smbolisch durch die Gleichung R = formuliert werden. Im Lageplan 2 werden die Kräfte statisch äquivalent durch die Resultierende ersetzt. Dazu wird die Richtung der Wirkungslinie der Resultierenden aus dem Kraftplan übertragen. Die Wirkungslinie der Resultierende geht außerdem durch den gemeinsamen Schnittpunkt der Wirkungslinien der ursprünglichen Kräfte. Die nzahl der Kräfte ist dabei nicht beschränkt. Es können auch Teilresultierende gebildet werden. Entsprechend stellt die Situation des Lageplans 3 mit 1 und R t = auch eine statisch äquivalente dar. 5

8 1.2.2 Berechnung der Resultierenden eines zentralen Kräftesstems smbolisch: R = n i=1 i ür ein kartesischen Koordinatensstems mit den Einheitsvektoren i, j, und k: Kräfte: i = i i + i j + iz k, i = 1,..., n Resultierende: R = R i + R j + R z k mit: R = n i, i=1 R = n i, i=1 R z = n iz i=1 Dies sieht man auch am Krafteck des Kraftplans unseres vorigen zweidimensionalen Beispiels sofort ein: Kraftplan 2 3 R 1 W R erner Betrag der Resultierenden: R = R 2 + R 2 + R 2 z Richtungssinn: cos α = R R, cos β = R R, cos γ = R z R 6

9 1.2.3 Zerlegen einer Kraft in der Ebene Schneiden sich die Wirkungslinie W der Kraft und zwei weitere Wirkungslinien W 1 und W 2 in einem gemeinsamen Punkt P, so lässt sich der Prozess der Zusammensetzung von Kräften zu einer Resultierenden eindeutig umkehren. Die Kraft übernimmt die Rolle der Resultierenden. Grafische Lösung Lageplan 1 Kraftplan Lageplan 2 W 2 W 2 W 2 W P 2 P W 1 W 1 W 1 us dem Krafteck im Kraftplan ergeben sich dabei eindeutig der Richtungssinn und die Größe der gesuchten Kräfte 1 und 2, so dass diese in den Lageplan 2 anstelle der Kraft eingetragen werden können. Sie belasten den Körper statisch äquivalent. Zusammenfassung der Lösungssschritte für die grafische Lösung: 1. Erstellen eines Lageplans, in dem die Wirkungslinien W 1 und W 2 eingetragen werden 2. Übertragung der Kraft in einen maßstäblichen Kraftplan 3. Parallelverschiebung der Wirkungslinien der gesuchten Kräfte in den Kraftplan 4. Konstruktion des Kraftecks estlegung des Richtungssinns, der Richtung und der Größe der gesuchten Kräfte. 7

10 Rechnerische Lösung usgangspunkt für die Bestimmung der Kräfte ist auf jeden all wieder ein Lageplan. In diesem Lageplan werden die beiden gesuchten Kräfte auf ihren Wirkungslinie platziert und zwar mit einem beliebig angenommenem Richtungssinn. Wir wollen Sie deshalb in unserem Beispiel von den grafisch bestimmten Kräften unterscheiden und mit einem Stern kennzeichnen: 1 und 2. W Lageplan 1 * P β 1 2 * β 2 α W 2 Darin tauchen vier unbekannte Koordinaten auf. W 1 ür die rechnerische Bestimmung stehen nun zunächst folgende Gleichungen zur Verfügung: = = Da die Richtungen der Kräfte 1 und 2 vorgegeben sind, lassen sich wegen der bekannten Richtung der Wirkungslinien zwei weitere Gleichungen formulieren, die die Koordinaten i i ins passende Verhältnis zueinander setzen, so dass die Kräfte in jedem all (unabhängig vom Vorzeichen der Komponenten) die Richtung der Wirkungslinien haben. i = 1, 2 oder alter- Es gilt zum Beispiel für den Winkel mit der -chse: tan β i = i, i nativ: 1 = 1 cos β 1, 1 = 1 sin β 1 2 = 2 cos β 2, 2 = 2 sin β 2 ür die gegebene Kraft gilt entsprechend: = cos α, = sin α. Man erhält endgültig zwei Gleichungen für die Unbekannten 1 und 2 nämlich cos α = 1 cos β cos β 2 sin α = 1 sin β sin β 2 8

11 Man überzeuge sich nun davon, dass sich nach usrechnung bei unserem Beispiel folgende Vorzeichen ergeben: 1 < 0 und 2 > 0! Das heißt, dass die Kraft auf der Wirkungslinie W 1 genau den entgegengesetzten Richtungssinn aufweist, wie im Lageplan zunächst angenommen, die Kraft auf der Wirkungslinie W 2 jedoch dem angenommenen Richtungssinn folgt. Daher folgern wir 1 = 1 und 2 = 2 genau in Übereinstimmung mit der grafischen Lösung. Zusammenfassung der Lösungssschritte für die rechnerische Lösung: 1. Erstellen eines Lageplans, in dem die Wirkungslinien W G1 und W G2 eingetragen werden 2. Wahl eines rechtwinkligen, -Koordinatensstem 3. Eintragung der unbekannten Kräfte in den Lageplan mit der vorgeschriebenen Richtung, aber beliebigem Richtungssinn 4. uswertung der Gleichung = 1 + 2, die die ufteilung der Kraft in zwei beliebige Kräfte 1 und 2 beschreibt, für die - und -Richtung 5. ufstellen weiterer Gleichungen, die Ruichtung und Richtungssinn der im Lageplan definierten unbekannten Kräfte berücksichtigt 6. Lösen des Gleichungssstem für die Koordinaten oder die skalaren aktoren der unbekannten Kräfte. 9

12 1.2.4 Gleichgewicht eines zentralen Kräftesstems Ein zentrales Kräftesstem ist dann im Gleichgewicht - so als ob keine Kräfte wirken -, wenn die Resultierende aller Kräfte verschwindet. smbolisch: rechnerisch: R n = i = 0 i=1 n i = 0, i=1 n i = 0, i=1 n iz = 0 i=1 Grafisch bedeutet dies, dass das Krafteck des Kraftplans einen geschlossenen Kurvenzug darstellt. Lageplan 1 W 2 Kraftrplan W 3 2 P W 1 10

13 1.2.5 Gleichgewicht von zwei Kräften, deren Wirkungslinie sich schneiden Wir betrachten nun als Spezialfall ein zentrales Kraftsstem mit nur zwei Kräften an einem starren Körper (Lageplan 1). Einerseits dürfen wir die Kräfte entlang ihrer Wirkungslinie verschieben (Lageplan 2). ür Gleichgewicht (Lagepläne 3 und 4) müssen die beiden Kräfte entgegengesetzt gleich groß sein. Es muss dazu neben der Richtung (gemeinsame Wirkungslinie) auch die Größe und der Richtungssinn der beiden Kräfte angepasst werden. Im Lageplan 4 wird davon Gebrauch gemacht, dass die orm des starren Körpers keine Rolle spielt. Wir können uns deshalb den starren Körper auf das unbedingt Notwendige reduziert vorstellen, nämlich eine einfache starre Verbindung der beiden Kraftangriffspunkte (zum Beispiel stabförmig). Wir folgern, dass jedes starre Bauteil, auf das nur zwei Kräfte einwirken, immer dann im Gleichgewicht ist, wenn die Kräfte auf einer gemeinsamen Wirkungslinie durch die Kraftangriffspunkte liegen und entgegengesetzt gleich groß sind. Ein solches Bauteil wird im olgenden als Stab bezeichnet. Lageplan 1 Lageplan P 1 P 2 P P 2 2 Lageplan 3 Lageplan 4 P 1 P 2 Übung Welche der vier Lagepläne sind untereinander statisch äquivalent? 11

14 1.2.6 Gleichgewicht haltende Kraft eines zentralen Kräftesstems In einem vorigen Beispiel haben wir die Resultierende mehrer Kräfte eines zentralen Käftesstems ermittelt: R n = i. i=1 ügen wir eine weitere Kraft hinzu - die gleichgewichtshaltende Kraft -, die genau entgegengesetzt gleich groß zur Resultierenden R ist, dann schließt diese Kraft das Krafteck: smbolisch: R n = i n i R = 0. i=1 i=1 Die Gleichgewichtshaltende Kraft ist deshalb gegeben durch G = R, so dass sich Gleichgewicht einstellt: n i + G = 0. i=1 ür den starren Körper ist dies ununterscheidbar von dem all, dass überhaupt keine Kraft an ihm angreift (Lageplan 3). Lageplan 1 1 W 2 Kraftplan 3 W 3 2 P R G W R W 1 Lageplan 2 Lageplan 3 G P P R 12

15 Beispiel Ein starrer Körper nach Skizze wird durch zwei Kräfte 1 und 2 belastet. Es sollen durch grafische Lösung zwei Gleichgewichtshaltende Kräfte G1 und G2 gefunden werden mit horizontaler und vertikaler Richtung. W 2 W 1 P 1 2 Grafische Lösung Lageplan W 2 W 1 Kraftplan 1 2 W G2 1 P 2 W G2 G2 G1 W G1 W G1 Die Größe der Krafte G1 und G2 können im maßstäblichen Kraftplan abgelesen werden. Übung Lösen Sie die ufgabe des vorstehenden Beispiels auch rechnerisch! 13

16 1.3 Wechselwirkungsgesetz Drittes Newtonsches Gesetz: actio = reactio (Kraft und Gegenkraft) Jeder Körper, der eine Kraft auf einen anderen ausübt, erfährt eine gleich große Kraft mit entgegengesetztem Richtungssinn (Gegenkraft). Pendelversuch mit sich abstoßenden (oder sich anziehenden) Körpern gleichen Gewichts: s 1 s 2 Kraftplan für die abstoßenden Kräfte 1 = 2 = G 1 = 2 = G Wegen s 1 = s 2 (Beobachtung) gilt in obigem Lageplan (Smmetrieforderung): 1 = 2 smbolisch: 1 = 2 = Die Gültigkeit des Wechselwirkungsgesetzt ist im Hinblick auf das später einzuführende Schnittprinzip von entscheidender Bedeutung. Übungen a) Diskutieren Sie folgenden Witz: Junge, was fällt dir ein die Katze am Schwanz zu ziehen! Mama, ich halte ganz still, ziehen tut die Katze! b) Im abgebildeten Relief sehen Sie den historischen Versuch von Otto von Guericke zum Luftdruck. Welche nzahl von Pferden belastet mit ihrer gemeinsamen Zugkraft die Verbindungsstelle zwischen den Halbkugeln? c) Machen Sie sich Gedanken, ob durch ein mit dem obigen vergleichbares Pendeleperiment mit G 1 G 2 und Messung der uslenkung der Pendel ebenso die ussage 1 = 2 = gefolgert werden kann! 14

17 1.4 Schnittprinzip Bei Berührung von Körpern untereinander üben diese Kräfte aufeinander aus. Diese sind innere Kräfte des Sstems. Diese inneren Kräfte müssen wegen der Gültigkeit des Wechselwirkungsprinzips entgegengesetzt gleich sein. Die Wechselwirkungskräfte üben also, betrachten wir das Sstem aus den Körper in seiner Gesamtheit, keine resultierende Kraft auf das Sstem aus. Daraus folgt unmittelbar, dass wir die Kräfte bei Betrachtung des Gesamtsstems nicht berechnen können. Zur Berechnung der Wechselwirkungskraft zerlegen wir deshalb das Sstem in geeignete Teilssteme, wie für die Berührung der beiden Körper im Punkt B in der nebenstehenden Darstellung ausgeführt. In den so entstehenden Lageplänen der Teilssteme Körper I und Körper II wird die Wechselwirkungskraft nun als Schnittkraft zur äußeren Kraft und kann bei der Betrachtung der Belastung jedes Teilkörper berücksichtigt werden. Es ist anschaulich, dass die Größe und der Richtungssinn der Wechselwirkungskraft die Reaktion in den uflagern an den Gelenken in Zusammenwirken mit den anderen belastenden Kräften bestimmt. uch uflagerkräfte des Beispiels sind innere Kräfte. Um sie zu definieren und zu berechnen müssen deshalb die Körper vollständig von ihrer Umgebung getrennt werden. Dies führt auf das außerordentlich hilfreiche reischnittdiagram (engl. free-bod diagram) Da nun das uflager unten links ebenfalls abgetrennt worden ist, müssen dort die geeigneten Wirkungen der Umgebung auf unser Teilsstem eingetragen werden. Diese sind von der rt des uflagers abhängig - hier ist ein Gelenk gegeben - und sollen im olgenden diskutiert werden. Wir lassen dies hier zunächst offen, gekennzeichnet durch ein ragezeichen, und widmen uns dieser und ähnlicher ragen weiter unten im bschnitt B II I 2 Lageplan Körper I 1 I Lageplan Körper II 2 3 II geschlossene Kontrollfläche 3 B 1 II I 2 reischnitt Körper I 1 I? 2 15

18 1.5 ufgabenstellung und bstraktion Wir haben bereits in den vorigen bschnitten oft nur ebene Probleme betrachtet. ür den Wissenschaftler und Ingenieur ist es wichtig, die komplee Realität sinnvoll soweit zu vereinfachen, dass sie einer mathematischen und technischen Lösung zugängig wird. Dies erfordert ein notwendiges Maß an Vereinfachung und bstraktion. Reale Situation in drei Dimensionen bstraktionsschritte 1. Zweidimensionales Modell anhängendes schweres Gewicht 2. Einführung reibungsfreier Gelenke und masseloser Stäbe W S1 Stab 1 W G W S2 Gelenk Stab 2 G Die Rechtfertigung solcher Vereinfachungen kann nur im Kontet mit dem nwendungsfall erfolgen. 16

19 Beispiel achwerk Ein achwerk gegebener Geometrie aus zwei Stäben nach Skizze wird durch eine bekannte Kraft belastet. Gesucht sind die Kräfte S 1 und S 2 in den Stäben 1 und 2 durch grafische und rechnerische Lösung. 1 2 α β C Grafische Lösung: B Die Lösung beginnt mit dem estlegen und Zeichnen eines geeigneten reischnitts, hier des Gelenkknotens bei C. Kontrollsstem um C Lageplan des freigeschnittenen Gelenkknotens C B 1 2 α β C W S1 C W S2 W Kraftplan zum reischnitt W S2 Lageplan (vervollständigt) W S1 C S 1 S 1 S 2 S 2 W Wir wir uns in bschnitt klargemacht haben, geben die Stäbe die Richtung der Wirkungslinien der Kräfte vor. Die Wirkungslinien können daher im reischnitt eingetragen und im dazugehörigen Kraftplan zur Zerlegung der belastenden Kraft herangezogen werden. Die Gleichgewichtsforderung - geschlossenes Krafteck - legt im nächsten Schritt den Richtungssinn und die Größe der Stabkräfte eindeutig fest. Die so ermittelten Stabkräfte können qualitativ in den reischnitt übertragen werden. Man erkennt, dass der Stab 1 auf Zug ( Zugstab) und der Stab 2 auf Druck ( Druckstab) belastet wird, was auch der Intuition entspricht. 17

20 Rechnerische Lösung: Die Lösung beginnt ebenfalls mit dem estlegen und Zeichnen eines geeigneten reischnitts des Gelenkknotens bei C. Zusätzlich wird ein geeignetes rechtwinkliges Koordinatensstem in den Lageplan eingetragen und es werden unbekannte Kräfte S 1 und S 2 1) eingezeichnet, die den Richtungen der Wirkungslinien folgen. Der Richtungssinn der Kräfte S 1 und S 2 kann beliebig gewählt werden 2). Kontrollsstem um C Lageplan des freigeschnittenen Gelenkknotens C 1 2 α β C S 1 * C B * S 2 W Die Gleichgewichtsforderung - S 1 + S 1 + = 0 - wird nun für die beiden Koordinatenrichtungen ausgewertet: i = 0 : S1 S 2 cos α cos β = 0 i = 0 : S2 sin α sin β = 0 Dies sind zwei Gleichungen für die beiden Unbekannten S1 und S 2. usrechnung liefert: S 2 = sin β sin α,, S 1 = cos α sin β sin α cos β sin α = sin(β α) sin α Jedes Ergebnis sollte auf seine Plausibiliät abgeklopft werden. Dazu eignen sich insbesondere einfache Spezialfälle. Wählen wir zum Beispiel β = 0 oder β = π (die Kraft folgt der Richtung der Wirkungslinie des Stabes 1) ergibt sich: S 1 = oder S 1 =, S 2 = 0 Entsprechend für β = α oder β = α + π (die Kraft folgt der Richtung der Wirkungslinie des Stabes 2) ergibt sich: S 1 = 0, S 2 = oder S 2 = oder Diskussion und Überprüfung der Vorzeichen der usrechnung für verschiedene Winkel β der angreifenden Kraft. Mit sin α > 0 ergibt sich: S 1 > 0 (Zugstab) für β α < π also β < π + α, S 1 < 0 (Druckstab) für β > π + α S 2 < 0 (Druckstab) für 0 < β < π, S 2 > 0 (Zugstab) für π < β < 2π Man prüft die Stimmigkeit leicht, wenn man Kraftecke für diese Winkelbereiche zeichnet. Insbesondere ergibt sich für den Winkel β der ufgabenstellung, dass immer gilt: S 1 = S 1 und S 2 = S 2 1) Der hochgestellte Inde dient lediglich zur Unterscheidung der durch die grafische Lösung bereits festgelegten Kräfte S 1 und S 1. Wir erwarten in diesem all natürlich, dass S 1 = S 1 und S 2 = S 2 sind. 2) Es ist zweckmäßig als Standard für Stäbe stets Zugkräfte anzunehmen. Dieses Vorgehen wird in der estigkeitslehre im Zusammenhang mit den zu berücksichtigenden Stabdehnungen plausibel. 18

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22 1.6 Nichtzentrale Kräftessteme Wir wollen uns im olgenden auf zweidimensionale oder ebene Probleme beschränken, zu deren Beschreibung zwei Koordinaten ausreichen Zusammensetzen von ebenen Kräften mit verschiedenen ngriffspunkten Die grafische Lösung erfolgt in mehreren Teilschritten. Da die Wirkungslinien nach Voraussetzung in einer Ebene liegen schneiden diese sich, wenn sie nicht gerade zueinander parallel verlaufen. Je zwei Kräfte bilden also ein zentrales Kräftesstem und können im Kraftplan zu einer Teilresultierenden zusammengefasst werden. Größe und Wirkungslinie der Teilresultierenden werden im zugehörigen Krafteck ermittelt. Der ngriffspunkt der Teilresultierenden R 13 ist im Beispiel der Schnittpunkt der Wirkungslinien der zusammengefassten Kräfte 1 und 3 im Lageplan 1. Damit liegt die Lage der Wirkungslinie der Teilresultierenden im Lageplan fest. Im Beispiel sind zunaächst die Krafte 1 und 3 zur Resultierenden R 13 zusammengefasst worden und anstelle der drei Kräfte ist die Teilresultierende R 13 und die Kraft 2 im statisch äquivalenten Lageplan 2 eingetragen. Im nächsten Schritt wird die verbleibende Kraft 2 mit der Teilresultierende R 13 zur Resultierenden R aller Kräfte zusammengefasst. Das Krafteck liefert wieder die Wirkungslinie und die Größe der resultierenden Kraft R. Im Lageplan 3 ist statisch äquivalent die Lage und der Richtungssinn der Resultierenden, die die vorgegebenen Kräfte ersetzt, eingetragen. Dabei ist die Lage der Wirkungslinie durch den Schnittpunkt D bestimmt. Lageplan 1 1 W 2 Kraftplan W 3 2 C B 3 W 3 1 R R 13 2 W 2 W R W 1 W 1 3 W R13 Lageplan 2 Lageplan 3 W 2 D R 13 D 2 R W R W R13 20

23 Übung Vergewissern Sie sich, dass die Reihenfolge der Zusammenfassung der Kräfte für das Endergebnis keine Rolle spielt! Was passiert bei anderer Reihenfolge mit der Lage des letzten Schnittpunktes D? 21

24 1.6.2 Kräfte mit parallelen oder fast parallelen Wirkungslinien Im vorigen Beispiel mussten wir parallele Wirkungslinien ausschließen. Die vorstehende Konstruktion wird schon bei fast parallelen Kräften wegen schleifender Schnitte unhandlich in der Durchführung. Wir wollen für solche älle ein geeignetes grafisches Verfahren nachholen. usgangspunkt ist die Situation in Lageplan 1. Statisch äquivalent zu dieser Belastung kann Lageplan 2 gezeichnet werden, bei dem ein Paar entgegengesetzt gleicher, geeigneter großer Hilfskräfte H und H auf einer gemeinsamen Wirkungslinie hinzugefügt wird (Gleichgewichtsgruppe). Je eine der Kräfte 1 und 2 wird im Kraftplan mit einer Hilfskraft zu einer Teilresultierenden zusammengefasst. Die Zusammenfassung der Teilresultierenden im Kraftplan zur gesuchten Resultierenden R liefert Wirkungslinie, Größe und Lage der gesuchten Resultierenden (Schnittpunkt C). Bemerkung: Das Verfahren lässt sich für viele (fast) parallele Kräfte elegant zum sogenannten Seileckverfahren ausbauen, bei dem die Einzelschritte der Konstruktion elegant zusammengefasst werden. Lageplan 1 Lageplan H B 2 H W 1 W 2 W 1 W 2 Kraftplan Lageplan 3 H W R R 1H 1 R 1H R 2H R B R 2H 2 C H R W R 22

25 1.6.3 Gleichgewicht von drei Kräften in der Ebene: Dreikräftesatz ür zwei Kräfte hatte wir in bschnitt gefunden, dass diese im Gleichgewicht sind, wenn sie entgegengesetzt gleich groß sind und auf derselben Wirkungslinie liegen. Dies gilt sowohl für ein zentrales, automatisch auch für ein nichtzentrales Kräftesstem. Lagepläne Kraftplan 1 1 P W ür das Gleichgewicht von drei Kräften gelten folgende Bedingungen: 1. die resultierende Kraft verschwindet = 0 2. die drei Kräfte müssen in einer Ebene liegen und ihre Wirkungslinien müssen sich in einem Punkt schneiden 2 W Nachweis: Wir fassen zwei der Kräfte zusammen, dazu müssen sich ihre Wirkungslinien schneiden: = R 12. Die beiden Kräfte und deren Resultierende liegen in einer Ebene. Die Resultierende R 12 bildet mit der dritten Kraft ein nichtzentrales Kräftesstem zweier Kräfte, für dessen Gleichgewicht notwendig ist, dass die beiden Kräfte auf ein und derselben Wirkungslinie liegen. Dazu muss die dritte Kraft in derselben Ebene wie die ersten beiden Kräfte liegen und ihre Wirkungslinie durch den Schnittpunkt der Wirkungslinie der ersten beiden Kräfte gehen. Gleichgewicht erfordert ferner, dass R = 0. 23

26 Lageplan 1 W 1 Kraftplan 2 W R R 12 W 3 W 2 1 W 3 W 2 2 W 1 Lageplan 2 3 R 12 24

27 Erstes Beispiel zum Dreikräftesatz: Gelenkig gelagerter Balken Ein gelagerter Balken ist links und rechts reibungsfrei gelenkig gelagert, wobei am rechten Gelenk einen Stab als Stütze fungiert (Pendelstütze). Der Balken wird durch eine Kraft belastet. Der Lageplan des Problems ist gegeben. ür Gleichgewicht sind die Kräfte an den Gelenken und C gesucht. C B Lösung: Lageplan mit reischnittkontur C B Lageplan des reischnitts S W Kraftplan C W C C W W C W C ußer der gegebenen Kraft greifen an den Gelenken und C Kräfte am Balken an (sein Gewicht wird vernachlässigt). Insgesamt handelt es sich also um drei Kräfte, und C, die im Gleichgewicht stehen sollen. Das Problem ist eben, so dass wir wissen, dass die drei Kräfte sich in einem Punkt schneiden. Die Wirkungslinie der Kraft ist bekannt, diejeniger der Kraft bei C muss der chse des Stabes folgen. Damit ist der gemeinsame Schnittpunkt S festgelegt. Die Wirkungslinie der Kraft muss also nicht nur durch des Gelenk bei sondern auch durch diesen Schnittpunkt laufen. ür Gleichgewicht muss im Kraftplan daher die Kraft in zwei Kräfte zerlegt werden, deren Wirkungslinien bekannt sind und die ein geschlossenes Krafteck bilden. Die Größe der Kraft und C liest man im maßstäblichen Krafteck ab. 25

28 Übung: Schneiden Sie die Pendelstütze frei und bestimmen Sie grafisch die Kraft bei B! us welchem Grund muss die Gelenkraft bei C die Richtung der chse der Pendelstütze annehmen? 26

29 Zweites Beispiel zum Dreikräftesatz: Reibungsfreie Umlenkrolle Eine Umlenkrolle für ein Seil ist bei reibungsfrei gelenkig gelagert. m Seil greifen Zugkräfte S 1 und S 2 an, wobei die Seilkraft S 1 gegeben sein soll. S 1 S 2 Der Lageplan des Problems ist gegeben. ür Gleichgewicht ist die Seilkraft S 2 zu bestimmen. Lösung: Lageplan mit reischnittkontur S 1 S 2 Lageplan des reischnitts Kraftplan W W S2 S W S1 S1 S 1 S 2 = S 1 S 2 S 2 Die Rolle ist freizuschneiden. Neben den beiden Seitkräften greift am Gelenk bei die uflagerkraft an. Die Seile geben die Wirkungslinie der Seilkräfte vor. Diese Wirkungslinien schneiden sich im Punkt S. Die Wirkungslinie der uflagerkraft muss als dritte Kraft ebenfalls durch diesen Schnittpunkt gehen. Da die Kontur der Rolle ein Kreis ist, halbiert die Wirkungslinie der uflagerkraft den Winkel zwischen den Seilkräften. Im Kraftplan entsteht ein gleichschenkliges Dreieck mit der Kraft auf der Basis des Dreiecks. Unabhängig von der Größe der Seilkraft S1 gilt aus Smmetriegründen: S 1 = S 2. Eine reibungsfrei gelagert Umlenkrolle lenkt daher die Richtung der Seilkräfte lediglich um, ohne ihre Größe zu verändern. Bei einer nichtreibungsfrei gelagerten Rolle, wird die Drehbewegung im Lager behindert. Daher können die Seilk rafte voneinander verschieden sein. 27

30 Drittes Beispiel zum Dreikräftesatz: a b Ebenes achwerk C Gegeben ist der Lageplan eines achwerks aus vier Stäben. m Gelenk greift ein einzelner Stab an, am Gelenk bei B zwei Stäbe. Das Sstem wird belastet durch eine Kraft, die am gemeinsamen Gelenkpunkt der Stäbe 1 und 2 angreift. h B 2 1 β ür Gleichgewicht sind die uflagerkräfte bei und B und die Stabkräfte S 1 und S 2 gesucht. Lösung: Lageplan mit reischnittkonturen I und II Lageplan reischnitt I B 2 C 1 II I W B 1 2 α C S W B W I Durch den reischnitt I kann mit dem Dreikräftesatz die Richtung der Kraft bei B bestimmt werden. Der Kraftplan liefert durch die Zerlegung von die Kräfte bei und B. Demnach wird das Lager bei auf Zug belastet, das Lager bei B auf Druck. Die Größe der Kräfte lässt sich aus dem maßstäblichen Kraftplan ablesen. Durch den reischnitt II werden die Stabkräfte S 1 und S 2 bestimmbar. Es ergibt sich aus dem Kraftplan, dass der Stab 1 ein Zugstab ist, der Stab 2 dagegen ein Druckstab. Die Größe der Kräfte lässt sich wieder aus dem maßstäblichen Kraftplan ablesen. Kraftplan zum reischnitt I W W B Lageplan reischnitt II W S2 B Kraftplan zum reischnitt II W S1 S 1 W S1 W S2 S 2 28

31 Übung: Zeichnen Sie für das vorstehende Problem den Lageplan für einen reischnitt, der durch die Gelenke bei und B und die Stäbe 1 und 2 schneidet! Vergewissern Sie sich, dass die Stabkräfte und die Lagerkräfte auch für dieses Teilsstem ein geschlossenes Krafteck bilden und Gleichgewicht auch für dieses Teilsstem herrscht! 29

32 Rechnerische Lösung Es sind wie bei der grafischen Lösung geeignete reischnitte festzulegen. Wir wählen für jeden reischnitt rechtwinklige Koordinatenssteme und soweit bekannt werden die Wirkungslinien der Kräfte eingetragen. Dies sind neben den gegebenen Kräften tpischerweise die Stabkräfte. Einfache freigeschnittene Stäbe liegen beim reischnitt I am uflager und beim reischnitt II für die Stäbe 1 und 2 vor. m Gelenk des uflagers B laufen die Kräfte zweier Stäbe zusammen und bilden eine Resultierende, die im llgemeinen weder die Richtung des einen noch des anderen Stabes hat (kein Nullstab bei B). ür die rechnerische Löesung setzen wir deshalb unbekannte Komponenten in - und -Richtung an. Da wir in der grafischen Lösung schon die Kräfte, B sowie S 1, S 2 definiert haben wollen wir bei den hier neu getroffenen Definitionen der Unbekannten wieder einen Inde zur Unterscheidung anheften. ür die Stäbe wählen wir die Richtungen wieder als Zugstäbe, aus der Intuition oder der bereits durchgeführten grafischen Lösung oder einer eventuellen, überschlägigen grafischen Lösungsskizze, wissen wir dann, dass sich olgendes ergeben sollte: Richtung der Kraft bei : =, Kraftkomponenten bei B: B > 0 und B > 0, Stab 1 ist Zugstab S 1 > 0 und Stab 2 ist Druckstab S 2 < 0. a h 2 B Lageplan mit reischnittkonturen I und II 1 B 2 Lageplan reischnitt I W * α C C C b 1 β W B S II I W I Gleichgewichtsbedingungen für reischnitt I: i = 0 : + B cos β = 0 (1) i = 0 : +B sin β = 0 (2) B * B * Dies sind zwei Gleichungen für die drei Unbekannten. Lageplan reischnitt II Eine fehlende Gleichung liefert der Dreikräftesatz mit der Bedingung für die Richtung der Kraft bei B: B B = h a + b + h cot β (3) Da wegen Gl. (2) B > 0 für den gegebenen Richtungssinn von herauskommt, wird mit Gl. (3) auch wie erwartet B > 0 und aus Gl. (2) folgt > 0. S 2 * S 1 * W S2 W S1 30

33 Gleichgewichtsbedingungen für reischnitt II: i = 0 : i = 0 : +S 1 b h 2 + b 2 sin β = 0 S 1 = + S 1 h h 2 + b 2 S 2 cos β = 0 S 2 = h 2 + b 2 b sin β > 0 (4) ( ) h sin β + cos β b (5) Das Vorzeichen von S 2 richtet sich nach dem Vorzeichen der Klammer und damit nach dem Verhältnis von h/b. Dies wird auch aus dem Krafteck des Kraftplans für reischnitt II ersichtlich: S 2 < 0 falls cot β > h b. 31

34 1.6.4 Gleichgewicht von vier Kräften in der Ebene Drei Kräfte in der Ebene können nur dann im Gleichgewicht sein, wenn sie ein zentrales Kräftesstem bilden (Drei-Kräfte-Satz). Vier Kräfte brauchen dagegen kein zentrales Kräftesstem mehr zu bilden, jedoch müssen die Teilresultierenden aus je zwei Kräften entgegengesetzt gleich groß sein und auf einer gemeinsamen Geraden durch die Schnittpunkte der Wirkungslinien der die Teilresultierenden bildenden Kräfte liegen (Zurückführung des Problems auf das Gleichgewicht zweier Kräfte). Die so definierte Gerade wird Culmannnsche Gerade genannnt. R 13 = R 24 = = 0 und M = 0 R 13 = R 24! = R Lageplan 1 Culmannsche Gerade W 4 W 2 Kraftplan C W 1 C R 13 1 W R 24 2 Lageplan 2 W 4 C 2 W 2 R W 1 R C 1 W 3 32

35 Übung a) Überzeugen Sie sich, dass, wenn eine Kraft nach Größe und Richtung und die Wirkungslinien der anderen drei Kräfe gegeben sind, auch die Größen der anderen drei Kräfte eindeutig festgelegt sind! b) Überzeugen Sie sich, dass die Culmannsche Gerade von der Wahl der Teilresultierenden abhängt. Überzeugen Sie sich, dass es aber für das Ergebnis unerheblich ist, mit welchen Kräften die Teilresultierenden gebildet werden! Beispiel Die uflagerreaktionen bei, B, C sind für die Belastung des Körpers durch die eingetragene Kraft zu ermitteln. B C Lageplan mit reischnittkontur B C Lageplan des reischnitts Kraftplan Culmannsche Gerade Culmannsche Gerade C B W W B B W C C 33

36 Bemerkung: Die Konstruktion der Culmannschen Gerade führt das Vier-Kräfte-Problem auf das Gleichgewicht zweier Kräfte zurück. Man kann sich den Körper durch einen Stab ersetzt denken, der die Schnittpunkte, die die Culmannsche Gerade festlegen, verbindet. m Stabende müssen die Kräfte für Gleichgewicht den Richtungssinn der Stabachse besitzen. Dies wurde in der geometrische Bedingung der Gl. (3) verwertet und bestimmt hier den Richtungssinn der Teilresultierenden auf der Culmannschen Gerade. Wird die Kraftrichtung der Stabachse nicht angepasst, so ergibt sich die abgebildetet Situation. Kraftplan Lageplan Lageplan (Körper reduziert zum Stab) 1 W 2 1 W z z W 1 2 W 1 2 Stabachse bzw. Culmannsche Gerade Die Betrachtung der Kraftecks im Kraftplan reicht offensichtlich für das Gleichgewicht eines nichtzentralen Kräftesstems nicht aus. lle Kräfte, die gleiche Richtung haben und entgegengesetzt gleich sind, erfüllen die Bedingung = 0. Der Lageplan zu dem Kraftplan für = 0 zeigt anschaulich, dass der Körper nicht im Gleichgewicht ist. Intuitiv vermutet man, dass der Körper bei der Belastung durch die beiden Kräfte in eine Drehbewegung versetzt wird. Die Lage der Wirkungslinie zueinander entscheiden mit über das Gleichgewicht. Die Information des Ortes im Raum kann im Kraftplan jedoch nicht berücksichtigt werden. Die zugrunde liegende Problematik wird im nächsten bschnitt durch eine weitere Gleichgewichtsbedingung ersetzt, die ein neues Konzept erfordert, nämlich das Konzept des Momentes einer Kraft. Mit dem Konzept des Momentes wird diese räumliche Information mit verarbeitet. Mit ihm kann die grafische und die rechnerische Behandlung von Gleichgewichtsproblemen wesentlich vereinfacht und insbesonders auch räumliche Probleme einer eleganten Lösung zugänglich gemacht werden. erner wird dann auch die ussage das drei Kräfte in der Ebene nur dann im Gleichgewicht sein können, wenn sie sich in einem Punkt schneiden (Drei-Kräfte-Satzes) neu begründet. 34

37 1.7 Räumliches Kräftesstem 1.8 Moment einer Kraft bezüglich eines Punktes Gib mir einen festen Punkt und ich werde dir die Welt aus den ngeln heben. Mit diesem Satz beschrieb rchimedes das von ihm entdeckte Hebelgesetz. Er schuf damit die theoretische Grundlage für die spätere Entwicklung der Mechanik 3). Wir wollen das Hebelgesetz und die Untersuchung des Gleichgewichts am Hebel nutzen, um das Moment einer Kraft einzuführen. l 1 l 2 ür den waagerecht stehenden Waagebalken der bbildung wissen wir aus der Erfahrung, dass die Waage ausbalanciert ist, falls jeweils das Produckt aus Kraft und Hebelarm gleich groß ist: 1 l 1 = 2 l Oder anders ausgedrückt: die lächen der beiden eingetragenen Rechtecke müssen für Gleichgewicht gleich groß. W 1 W 2 Wir wollen eine bkürzung einführen und das Produkt l := M nennen. ür Gleichgewicht gilt also, dass M 1 = M 2 Wir wissen, dass Kräfte statisch äuivalent sind, wenn sie entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden. Damit ist auch der schrägstehende Waagebalken wieder im Gleichgewicht, denn die Parallelogramme besitzen die gleichen lächeninhalte wie die Rechtecke (zum Beispiel l 1 = r 1 sin α 1 ). 1 2 Die lächen der Parallelogramme können wir elegant durch den Betrag des Vektorproduktes r 2 ausrechnen. r = r sin α r 1 α 1 α 2 2 Wir führen einen neuen Vektor, den Momentenvektor durch M := r ein. Der Richtungssinn des Vektors M gibt dabei die Drehrichtung der Kraft an (Rechte-Hand- Regel). Wir können das Gleichgewicht jetzt so formulieren: 1 M 1 = M 2 ür Gleichgewicht liefert also der Vektorplan für die Momentenvektoren ein geschlossenes Vektoreck: M1 + M 2 = 0 3) rchimedes selbst entwickelte aus dem Hebelgesetz bereits die wissenschaftlichen Grundlagen der Statik für statisch bestimmte Ssteme. 35

38 Der Momentenvektor M steht senkrecht auf der Ebene, die durch r und aufgespannt wird. ür kartesische Koordinatenssteme können wir die Vektoren folgendermaßen angeben: M M = M r r = r = M = r z r z M = r z r z M z r z z M z = r r Die Komponenten erhält man beispielsweise mit der Methode des zklisches Vertauschen der Indizes,, z mit der Vorzeichenregel: M = +r z r z M = +r z r z z + z - M z = +r r Die Indizes der Spalten tauschen sich offensichtlich zklisch positiv. Beispiele: 1. Eine Umkehrung der Kraftrichtung, bewirkt eine Umkehr des Momentes: = M = M 2. Man sieht auch sofort, dass für ebene Probleme mit r = (r, r, 0) und = (,, 0) der Momentenvektor entweder in positive oder negative z-richtung weist: M 0 M = = 0 M M z r r 3. Zwei Kräfte 1 und 2 besitzen bezüglich eines beliebig gewählten Bezugspunktes die Momente: M 1 = r 1 1, M2 = r 2 2. Die Vektoraddition der Momente liefert ein resultierendes Moment M res = M 1 + M 2 = r r 2 2. Da wir eine Resultierende aus den Kräften bilden können, = R und mit der Resultierenden R ein Moment M R = r R R bezüglich des Bezugspunktes, stellt sich die rage, ob das resultierende Moment M res und das Moment der Resultierenden M R miteinander in Verbindung gebracht werden und dadurch eine ussage über r R gemacht werden kann. 4. Eine Verfielfachung des bstands des Kraft vom Drehpunkt r = c r mit beliebiger Konstanten c vervielfacht das Moment: r = c r M = c M Das Moment einer Kraft hängt damit vom Bezugspunkt ab. Diese ussage führt uns unmittelbar zu den beiden folgenden bschnitten. 36

39 Übung Ändert das Verschieben der Kraft auf ihrer Wirkungslinie das Moment der Kraft bezüglich eines beliebig gewählten Bezugspunktes? Zeigen Sie dazu, dass die Momente M 1 = r 1 und M 2 = r 2 gleiche Richtung und gleiche Größe haben: M 1 = M 2! z W r 2 r 1 P Das Kräftepaar Wir betrachten nun zwei Kräfte von denen wir fordern, dass sie entgegengesetzt gleich groß sind: 1 =! 2 =. Kraftplan Lageplan Sie mögen aber auf zwei um den bstand l parallelverschobenen Wirkungslinien W 1 und W 2 liegen. 1 W 2 Wir wählen einen beliebigen Bezugspunkt P und berechnen das resultierende Moment dieses Kräftepaares zu: 1 2 l M res = M 1 + M 2 = r r 2 2 z W 1 2 = ( r 1 r 2 ) = r mit M res = l Wir erkennen, dass ein Kräftepaar keine resultierende Kraft erzeugt. Trotzdem ist der Körper nicht im Gleichgewicht, denn das Kräftepaar erzeugt ein resultierendes Moment. Dieses Moment ist unabhängig vom Bezugspunkt P. Es hängt lediglich von der Richtung und vom bstand der Wirkungslinien der Kräfte des Kräftepaares ab und ist frei verschiebbar nicht nur entlang seiner Wirkungslinie, sondern auch parallel dazu. Das Moment wird deshalb freies Moment genannt. Ein Kräftepaar ist demnach statisch äquivalent zu einem freien Moment. Das Kräftepaar ist also auch frei verschiebbar in der Ebene, die es aufspannt. z r r 1 r 2 P l Es gilt die ussage: Zwei Kräftepaare 1, 1 und 2, 2 sind statisch äquivalent, wenn sie das gleiche Moment besitzen: r 1 1 = M 1 M 2 = r 2 2. z 37

40 Übung: Zwei Kräftepaare 1, 1 und 2, 2 sind statisch äquivalent, wenn 1 r 1 sin α 1 = 2 r 2 sin α 2, wobei die α i, i = 1, 2 die eingeschlossenen Winkel bei Drehung der Vektoren r i, i = 1, 2 in den Richtungssinn der Vektoren i, i = 1, 2 bedeuten Parallelverschieben einer Kraft ür eine starren Körper kann eine Kraft statisch äquivalent entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden. Dieses Verschieben auf der Wirkungslinie ändert nicht das Moment der Kraft beüglich irgendeines Bezugspunktes. Ein Verschieben parallel zur Wirkungslinie jedoch, ändert die Belastung des Körpers, da sich hierdurch das Moment der Kraft ändert. Das Moment einer Einzelkraft ist im Gegensatz zum Moment eines Kräftepaares ein gebundenes Moment. Mit Hilfe des Begriffes Kräftepaar lassen sich Einzelkräfte statisch äquivalent parallelverschieben. Die Kraft im linken Lageplan soll in den Punkt P parallel verschoben werden. H = z z z P P P r M W H = W W Zur Lösung des Problems wird statisch äquivalent eine Gleichgewichtsgruppe aus zwei entgegengesetzt gleich großen Hilskraäften H und H auf der parallelen Wirkungslinie durch den Punkt P hinzugefügt. Die Kraft H = übernimmt die Rolle der Kraft, die verbleibenden Kräfte H und bilden ein Kräftepaar. Dieses Kräftepaar ist statisch äquivalent mit einem freien Moment. Das Parallelverschieben der Kraft bleibt also nicht wirkungslos. Greift im Punkt P an, so kommt ein Versatzmoment M = r hinzu. Bestandsaufnahme für Kräfte und Momente an starren Körpern: Kräfte können statisch äquivalent entlang ihrer Wirkungslinie beliebig verschoben werden Kräfte können statisch äquivalent parallel zu ihrer Wirkungslinie verschoben werden, wenn des gebundene Moment der Kraft bezüglich der parallelen Wirkungslinie als freies Moment (Versatzmoment) hinzugefügt wird. 38

41 Das Moment einer Kraft ist ein gebundenes Moment (vom Bezugspunkt abhängig) Das Moment eines Kräftepaares ist ein freies Moment (vom Bezugspunkt unabhängig) Kräftepaare und freie Momente sind statisch äquivalent 39

42 1.8.3 Zusammenfassen von Momenten von Einzelkräften Die Summe der Momente von Einzelkräften um einen beliebigen Bezugspunkt ist gleich dem Moment der Resultierenden um diesen Punkt. Lageplan 1 Lageplan 2 Vektorpläne (3D) W 3 W 2 z P W 1 P z 2 P 3 M P1 M P2 M P3 1 M Pres R M P2 M P1 MP3 Lageplan 3 Lageplan 4 M Pres z P R z P r R R Im Lageplan 1 ist ein dreidimensionales Kräftesstem gegeben (die Wirkungslinien müssen sich nicht notwendig schneiden). Wir können alle Kräfte in den Punkt P verschieben und dort zur Resultierenden R zusammenfassen. Dadurch erscheint im llgemeinen ein Versatzmoment M Pi für jede Kraft i. Die Versatzmomente repräsentieren die Momente der Kräfte um den Punkt P, ihre Summe das resultierende Moment der Kräfte bezüglich P: 3 3 M Pres = M Pi = r i i r R bestimmbar. 1 1 Die Kräfte in P lassen sich zur Resultierenden R zusammenfassen. Wird diese Resultierende soweit verschoben, dass ein Versatzmoment von M Pres entsteht, so erhalten wir die Situation von Lageplan 4. Das Moment der Resultierenden bezüglich des Punktes P ist dann genauso groß wie das Moment der Einzelkräfte bezüglich des Punktes P. M Pres = 3 r i i = r R R. 3, R = i. 1 1 Damit ist der bstand der Wirkungslinie der Resultierenden vom Punkt P definiert: l R = r R sin α R. 40

43 Wir haben mit dieser romel die umständliche grafische Konstruktion zur Platzierung der Resultierenden im Lageplan des Beispieles eines zweidimensionalen nichtzentralen Kräftesstem aus einem früheren bschnitt durch ein rechnerisches Verfahren ersetzt, das zudem auch noch den dreidimensionalen all erfasst. Beispiel Wir greifen nochmals die ufgabe?? auf, um nun die elegantere Lösung durchzuführen, die den Momentenbegriff nutzt. Lageplan 1 Lageplan W R 2 P l 1 l 2 2 W 1 W 2 W 1 W 2 Kraftplan H Lageplan 3 W R R R 1H 1 P l R R 2H 2 H R W R Nach Wahl eines im Prinzip beliebigen Bezugspunkte P können im Lageplan die bstände der Wirkungslinien der Kräfte 1 und 2 gemessen werden. Der bstand der Wirkunglinie errechnet sich aus 1 l l 2 = R l R, wobei die Größe der resultierenden Kraft wie bisher aus dem Kraftplan bestimmt wird. Im Vergleich zu?? entfällt die Einführung von Hilfskräften und die Ermittlung der Schnittpunkte der Wirkungslinien, die bei vielen Kräften ein schrittweises Vorgehen wie im Beispiel?? notwendig macht. Übung 41

44 Die Wahl des Bezugspunktes ist beliebig. Deshalb stellen sich folgende ragen: Kann der Schnittpunkt so gewählt werden, dass die Lösung mit weniger ufwand erzielt werden kann? Welche allgemeine Regel für die günstigste Wahl des Bezugspunktes kann daraus abgeleitet werden? 42

45 1.8.4 Zusammenfassen von Kräften und Momenten Im llgemeinen greifen an einem Körper nicht nur Kräfte (nnahme: nzahl sei n) sondern auch Momente an (nnahme nzahl sei m). Solche Momente sind immer durch Kräftepaare darstellbar und deshalb freie Momente. Die Zusammenfassung von Kräften haben wir bereits in bschnitt?? ausführlich besprochen. Ihre Summe führt auf den Begriff der Resultierenden: n i = R i=1 Entsprechend können auch die freien Momente zusammengefasst werden zu einem resultierenden Moment: m M j j=1 Da auch die Kräfte bezüglich eines Bezugspunktes P Momente besitzen ergibt sich für das resultierende Moment n M P,res = r i m i + M j i=1 Ein beliebiges Sstem von Kräften lässt sich auf eine Resultierende R im Punkt P und eine resultierendes Moment MP,res bezüglich des Punktes P reduzieren. Die Wahl des Bezugspunktes ist prinzipiell beliebig. j=1 Übung Überlegen sie sich warum folgende ussage gilt: Wenn Resultierende und resultierendes Moment bezüglich eines Bezugspunktes verschwinden, dann gilt immer, dass Resultierende und resultierendes Moment auch für alle anderen denkbaren Bezugspunkte verschwinden. 43

46 1.9 Gleichgewicht des starren Körpers Mit dem Momentenbegriff können wir die Gleichgewichtsbedingung für ganz allgemeine Belastungszustände vervollständigen. Ein starrer Körper befindet sich im Gleichgewicht, falls die Resultierende aller angreifenden Kräfte verschwindet n i = R = 0 i=1 und falls für einen beliebig gewählten Bezugspunkt auch das resultierende Moment verschwindet: n r i m i + M j = M P,res = 0. i=1 ür ein kartesisches Koordinatensstem lauten diese Bedingungen: j=1 n i = R = 0, i=1 n i = R = 0, i=1 n iz = R z = 0 i=1 M P,res, = 0, M P,res, = 0, M P,res,z = 0 Insgesamt stehen zur Lösung dreidimensionale Problemstellungen sechs Gleichungen zur Verfügung. ür ebene Probleme reduzieren sich die Bedingungen auf drei. Es verbleiben, wenn die, -Ebene gewählt wird n i = R = 0, i=1 n i = R = 0, M P,res,z = 0 i=1 lternativ können auch mehrere Bezugspunkte gewählt werden und die Bilanzen für die Kraftkomponenten ersetzen. n i = R = 0 i=1 oder n i = R = 0, M P1,res,z = 0, M P2,res,z = 0 i=1 Wenn drei verschiedene Bezugspunkte gewählt werden, die nicht auf einer Gerade liegen M P1,res,z = 0, M P2,res,z = 0M P3,res,z = 0 Durch geschickte Wahl der Bezugspunkte lässt sich der Lösungsaufwand oft deutlich eingrenzen. naloges gilt auch in drei Dimensionen. Übung Weisen Sie die Äquivalenz der verschiedenen Gleichungsssteme für das Gleichgewicht ebener Körper nach! Warum dürfen die Punkte für das Gleichgewicht ebener Körper nicht auf einer Gerade liegen? 44

47 Bemerkung: In den Gleichgewichtsbedingungen drücken sich unmittelbar die nzahl der reiheitsgrade eines starren Körpers aus. Die freie Bewegung eines starren Körpers im Raum kann durch Verschiebung ( Translation) in drei Raumrichtungen und durch Drehung ( Rotation) um drei chsen eindeutig beschrieben werden 4). Dazu ist die ngabe von sechs Koordinaten nötig. Drei Koordinaten entfallen auf die translatorische Bewegung. In einem kartesischen Koordinatensstem sind dies die -, - und z-koordinate. Zur Beschreibung der Rotation können als beschreibende Koordinaten drei Winkel angegeben werden. ür Gleichgewicht muss die Bewegungsfreiheit des Körpers vollständig eingeschränkt werden. Dazu sind eine ausreichende, minimale nzahl von Kräften und/oder Momenten notwendig, die im llgemeinen über die Umgebung durch sogenannte Lager aufgebracht werden ( Lagerreaktionen). Werden einem starren Körper mehr als die minimal notwendigen Lagerreaktionen angeboten, dann reichen die hier vorgestellten Gleichungen zur eindeutigen Bestimmung der Lagerreaktionen nicht aus. Ein solches Problem wird statisch unbestimmt genannt. Die Lagerreaktionen sind erst berechenbar, wenn die nnahme der Starrheit des Körpers fallen gelassen wird und Verformungen zugelassen werden ( estigkeitslehre). Das heißt im Umkehrschluss aber auch, dass statisch unbestimmte Lagerungen im llgemeinen allein durch ihre nwesenheit Verformungen im Körper durch innere Spannungen hervorrufen können, ohne dass überhaupt äußere Kräfte angreifen. Diese inneren Spannungen können erhebliche Werte annehmen und die Lebensdauer einer Konstruktion erheblich reduzieren. 4) Verformbare Körper haben weitere reiheitsgrade wie um Beispiel elastische Schwingungen. 45