Übungsaufgaben zur Vektorrechnung

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1 Übungsaufgaben zur Vektorrechnung Wolfgang Kippels. Oktober 8 Inhaltsverzeichnis Vorwort Einleitung Einfache Aufgaben. Aufgabe Aufgabe a Aufgabe b Aufgabe c Aufgabe d Aufgabe e Aufgabe Aufgabe Aufgabe a Aufgabe b Aufgabe c Aufgabe Aufgabe a Aufgabe b Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe a Aufgabe b Aufgabe Aufgabe Aufgabe 9a Aufgabe 9b Aufgabe

2 . Aufgabe Aufgabe a Aufgabe b Zusammengesetzte Aufgaben. Aufgabe Aufgabe Lösungen der einfachen Aufgaben 9. Aufgabe Aufgabe a Aufgabe b Aufgabe c Aufgabe d Aufgabe e Aufgabe Aufgabe Aufgabe a Aufgabe b Aufgabe c Aufgabe Aufgabe a Aufgabe b Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe a Aufgabe b Aufgabe Aufgabe Aufgabe 9a Aufgabe 9b Aufgabe Aufgabe Aufgabe a Aufgabe b Lösungen der zusammengesetzten Aufgaben 6. Aufgabe Aufgabe

3 Vorwort Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe. Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend beschriebenen Generationenvertrages : Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen (oder auch noch danach, geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die nachfolgende Generation weiter. Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine kleine an die folgende Adresse: Vielen Dank!

4 Einleitung Hier stehen einige Übungsaufgaben zu Grundlagen der Vektorrechnung. Die nötigen Erläuterungen und Erklärungen der Grundlagen dazu finden Sie hier: Einfache Aufgaben Lösen Sie die nachfolgenden Aufgaben. Die Lösungen befinden sich im übernächsten Hauptkapitel.. Aufgabe Sind die Vektoren linear abhängig (Aufg. a und b bzw. komplanar (Aufg. c bis e?.. Aufgabe a a ( (.. Aufgabe b a ( (.. Aufgabe c a c.. Aufgabe d a c.. Aufgabe e a c

5 . Aufgabe Bestimmen Sie den Parameter a so, dass die Vektoren komplanar sind! a a c. Aufgabe Stehen die Vektoren zueinander senkrecht (orthogonal?.. Aufgabe a a ( (.. Aufgabe b a ( (.. Aufgabe c a. Aufgabe Bestimmen Sie den Parameter x so, dass die Vektoren aufeinander senkrecht stehen!.. Aufgabe a a x.. Aufgabe b a x

6 . Aufgabe Ordnen Sie die fünf Vektoren nach der Länge der zugehörigen Pfeile! ( ( a 6 b c 8 d e 9.6 Aufgabe 6 Bestimmen Sie die Beträge der vier Vektoren! a ( ( 8 c d 6. Aufgabe Bestimmen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren!.. Aufgabe a.. Aufgabe b a a ( 9 6 ( Aufgabe 8 Bestimmen Sie die fehlende Komponente x so, dass sich ein Winkel von 6 zwischen den beiden Vektoren a und b ergibt! x a 6

7 .9 Aufgabe 9 Bestimmen Sie die Parameter x, y und z so, dass die drei Vektoren paarweise aufeinander senkrecht stehen!.9. Aufgabe 9a.9. Aufgabe 9b a a x x y y c c z 8 z. Aufgabe Bestimmen Sie einen Vektor d senkrecht zu a und b mit dem Betrag von c! 9 a c,. Aufgabe Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks zwischen den Endpunkten der drei Vektoren!.. Aufgabe a Gegeben sind drei Vektoren im R : a 6 c.. Aufgabe b Gegeben sind drei Vektoren im R : ( a ( 8 c ( 6

8 Zusammengesetzte Aufgaben. Aufgabe Gegeben sind die drei Vektoren: u a v c w mit u, v und w.. Sind die drei Vektoren komplanar? Begründen Sie Ihre Antwort durch eine Rechnung!. Berechnen Sie die Winkel α, β und γ, die die Vektoren miteinander bilden mit α b, c, β a, c und γ a, b!. Berechnen Sie die Länge des Vektors d mit d a + b + c!. Bestimmen Sie nun die Parameter u, v und w so, dass die Winkel α, β und γ jeweils rechte Winkel darstellen! 8

9 . Aufgabe Gegeben sind die Punkte P (, P ( und P (x 6. Der Vektor a verläuft von P nach P, der Vektor b von P nach P. Ausgehend von diesen drei Punkten soll ein Würfel entwickelt werden, dessen zweidimensionales Bild nebenstehend skizziert ist. a Bestimmen Sie den Parameter x so, dass sich zwischen a und b ein Rechter Winkel ergibt. P P P P 8 b a P P c P P 6 b Weisen Sie nach, dass die Vektoren a und b gleich lang sind. Gehen Sie dabei von x aus. c Bestimmen Sie einen Vektor c, der sowohl senkrecht auf a als auch auf b steht und die gleiche Länge wie a und b hat. d Bestimmen Sie den Punkt P, so dass die Punkte P, P, P, P ein Quadrat ergeben. (Das Quadrat ist im Bild gelb markiert. e Ergänzen Sie das Quadrat aus d zu einem Würfel mit den weiteren Eckpunkten P, P 6, P und P 8 gemäß dem obenstehenden Bild. Gehen Sie hierbei von c aus. f Um den dreidimensionalen Würfel zeichnen zu können, soll er auf die zweidimensionale Ebene abgebildet werden. Die Projektion erfolgt nach dieser Abbildungsvorschrift: x ( y x +,z y +,z z Bestimmen Sie zu jedem Punkt P... P 8 aus dem R (aus dem dreidimensionalen Raum den jeweils zugehörigen Punkt P... P 8 aus dem R (aus der zweidimensionalen Zeichenebene! g Berechnen Sie sie gelb markierte parallelogrammförmige Fläche auf der Zeichenebene (im R, die durch a und b aufgespannt wird! 9

10 Lösungen der einfachen Aufgaben. Aufgabe.. Aufgabe a Sind die Vektoren linear abhängig? ( a Lösung: linear abhängig. ( ( Ich berechne die Determinante det a, b. Ist sie Null, dann sind die Vektoren ( det a, b Die Determinante ist Null. Die Vektoren sind linear abhängig... Aufgabe b Sind die Vektoren linear abhängig? ( a Lösung: linear abhängig. ( ( Ich berechne die Determinante det a, b. Ist sie Null, dann sind die Vektoren ( det a, b Die Determinante ist nicht Null. Die Vektoren sind linear unabhängig. Alle Hintergrundinformationen zu Determinanten, was das ist und wie sie berechnet wird, ist hier zu finden:

11 .. Aufgabe c Sind die Vektoren komplanar? a c ( Lösung: Ich berechne die Determinante det a, b, c. Ist sie Null, dann sind die Vektoren komplanar. ( det a, b, c Die Determinante ist Null. Die Vektoren sind komplanar... Aufgabe d Sind die Vektoren komplanar? a c ( Lösung: Ich berechne die Determinante det a, b, c. Ist sie Null, dann sind die Vektoren komplanar. ( det a, b, c Die Determinante ist nicht Null. Die Vektoren sind nicht komplanar.

12 .. Aufgabe e Sind die Vektoren komplanar? a c ( Lösung: Ich berechne die Determinante det a, b, c. Ist sie Null, dann sind die Vektoren komplanar. ( det a, b, c + + Die Determinante ist nicht Null. Die Vektoren sind nicht komplanar.. Aufgabe Bestimmen Sie den Parameter a so, dass die Vektoren komplanar sind! a a c Lösung: Vektoren a, ( b und c komplanar det a, b, c Der fehlende Parameter ist: a ( det a, b, c a a + + a + a a 6 : ( a

13 . Aufgabe.. Aufgabe a Stehen die Vektoren zueinander senkrecht (orthogonal? ( ( a b Lösung: Die Bedingung für Orthogonalität lautet: a b. ( ( a b +.. Aufgabe b Die Vektoren sind nicht orthogonal. Stehen die Vektoren zueinander senkrecht (orthogonal? ( ( a b Lösung: Die Bedingung für Orthogonalität lautet: a b. ( ( a b ( + (.. Aufgabe c Die Vektoren sind orthogonal. Stehen die Vektoren zueinander senkrecht (orthogonal? a Lösung: Die Bedingung für Orthogonalität lautet: a b. a b ( + + ( + Die Vektoren sind orthogonal.

14 . Aufgabe.. Aufgabe a Bestimmen Sie den Parameter x so, dass die Vektoren aufeinander senkrecht stehen! a x Lösung: Die Bedingung für Orthogonalität lautet: a b. Der fehlende Parameter lautet: x.. Aufgabe b a b x + x + x + x Bestimmen Sie den Parameter x so, dass die Vektoren aufeinander senkrecht stehen! x a Lösung: Die Bedingung für Orthogonalität lautet: a b. Der fehlende Parameter lautet: x a b x x + + x : x

15 . Aufgabe Ordnen Sie die fünf Vektoren nach der Länge der zugehörigen Pfeile! ( ( a 6 b c 8 d e 9 Lösung: Die Länge des Pfeiles entspricht dem Betrag des Vektors. Daher bestimme ich zunächst die Beträge der Vektoren. a ( + 69 b 6 + ( 9, 8 c + ( , 96 d ( + + 9, 8 e + ( +, Durch Vergleich der Werte am besten der exakten mit Wurzel ergibt sich folgende Reihenfolge: b e c a d.6 Aufgabe 6 Bestimmen Sie die Beträge der vier Vektoren! a ( ( 8 c d 6 Lösung: a ( + ( 69 b ( + ( 8 c ( + + ( 69 d + ( a b c d

16 . Aufgabe.. Aufgabe a Bestimmen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren! ( ( a b 8 Lösung: Zur Lösung dient die Grundformel: a b cos a a b a b cos a a b : ( a b cos a a b b a b a a b b arccos a b ( ( a 8 b arccos ( + ( ( + ( 8 a + 6 b arccos a arccos a b, Der Winkel zwischen den Vektoren ist: a b, 6

17 .. Aufgabe b Bestimmen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren! 9 a Lösung: Zur Lösung dient die umgestellte Grundformel: a arccos a b a b a a b b arccos a b 9 6 a 6 8 b arccos ( 9 + ( ( a b arccos 9 6 a arccos a b 8, 8 Der Winkel zwischen den Vektoren ist: a b 8, 8

18 .8 Aufgabe 8 Bestimmen Sie die fehlende Komponente x so, dass sich ein Winkel von 6 zwischen den beiden Vektoren a und b ergibt! x a Lösung: Zur Lösung dient die Grundformel: a b cos a a b a b cos a ( b a b : a b ( x ( + + x + + cos 6 x + 6, x + ( x + 6 x + ( (x + 6 9x 6x + 6 x + 9x 6x + 6 x + 6x + 8 : ( x x 6 x / 9 6 ± x / 6 ± 6 x 6 x Im Verlauf der Lösung entstand eine Wurzelgleichung, die gelöst werden musste. Bekanntlich können dabei Pseudo-Lösungen entstehen, die aber die ursprüngliche Gleichung nicht erfüllen. Eine Probe mit beiden gefundenen Lösungskandidaten ist also unumgänglich. Probe mit x 6 : x + 6 (6 + 6? x +? 6 +? + 8

19 Probe mit x : x + 6 ( + 6? x +?? + Es gibt also nur eine Lösung, nämlich: x ( + 9

20 .9 Aufgabe 9.9. Aufgabe 9a Bestimmen Sie die Parameter x, y und z so, dass die drei Vektoren paarweise aufeinander senkrecht stehen! x a y c z Lösung: Um drei Parameter zu bestimmen, benötigen wir drei Gleichungen. Diese erhalten wir durch die Bedingung des paarweisen Senkrechtstehens. Die konkreten Werte werden eingesetzt. ( a b a b ( a c a c ( b c b c ( a b ( a c ( b c ( ( ( x x y y z z ( x y + ( x z ( + y z ( x y ( x z ( +y z Dieses Lineargleichungssystem kann nun mit einem beliebigen Lösungsverfahren gelöst werden. Man erhält die Lösungen: x y z Weitere Informationen zu möglichen Lösungsverfahren für Lineargleichungssysteme sind hier zu finden:

21 .9. Aufgabe 9b Bestimmen Sie die Parameter x, y und z so, dass die drei Vektoren paarweise aufeinander senkrecht stehen! x y a c 8 z Lösung: Um drei Parameter zu bestimmen, benötigen wir drei Gleichungen. Diese erhalten wir durch die Bedingung des paarweisen Senkrechtstehens. Die konkreten Werte werden eingesetzt. ( a b a b ( a c a c ( b c b c ( a b ( a c ( b c ( ( ( x x y y 8 z 8 z ( xy 9 ( x 98 + z ( y + 8 z ( xy ( x + z 98 ( y z 8 Da in Gleichung ( das Produkt xy vorkommt, handelt es sich nicht um ein lineares Gleichungssystem. Einige Lösungsverfahren müssen daher entfallen. Daher verwende ich das Einsetzungsverfahren, denn das funktioniert immer. Ich löse Gleichung ( nach z auf und setze das Ergebnis in Gleichung ( ein. Gleichung ( bleibt erhalten, da dort kein z vorkommt. y z 8 y z 8 y : ( z 6 + y

22 Eingesetzt in (: x + (6 + y 98 x y 98 8 x + y 8 Jetzt stelle ich diese Gleichung nach y um und setze das Ergebnis in ( ein. x + y 8 x y 8 x : y x Eingesetzt in (: xy x ( x x x x x ( x x + x / 6 ± 6 x / 6 ± x x Zu jedem x-wert gibt es passende y- und z-werte. y x y x z 6 + y z 6 + y Lösungen: x y z 6 und x y z 6

23 . Aufgabe Bestimmen Sie einen Vektor d senkrecht zu a und b mit dem Betrag von c! 9 a c, Lösung: Einen beliebigen Vektor senkrecht zu a und b findet man leicht mit Hilfe des Kreuzproduktes. Da er (vermutlich noch nicht die richtige Länge hat, nenne ich ihn nicht d sondern e. e a 9 ( ( b 9 ( ( ( 9 Jetzt wird der Betrag von c und e bestimmt. c + ( + (,,, 966 e , 96 Ich berechne das Verlängerungsverhältnis λ c (das in Wahrheit für eine Verkürzung e sorgt, mit dem e multipliziert werden muss, um d zu erhalten. λ c e, 69, Damit erhalten wir: d λ e,, Dies ist jedoch nicht die einzige Lösung. Auch der Vektor, der d genau entgegengesetzt ist, ist eine Lösung. Wir erhalten also: d, und d,

24 . Aufgabe Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks zwischen den Endpunkten der drei Vektoren!.. Aufgabe a Gegeben sind drei Vektoren im R : a 6 c Lösung: Zunächst müssen zwei Kantenvektoren des Dreiecks bestimmt werden. Den Kantenvektor von der Pfeilspitze von a zur Pfeilspitze von b nenne ich d, den Kantenvektor von der Pfeilspitze von a zur Pfeilspitze von c nenne ich e. d a + + b e a + c Zur Berechnung eines Parallelogramms kann das Kreuzprodukt verwendet werden. Die gesuchte Dreieckfläche ist dann die Hälfte davon. ( ( ( d e ( ( Jetzt muss der Betrag davon bestimmt werden: d e ( + + ( 6 Die gesuchte Dreieckfläche ist davon die Hälfte. A FE

25 .. Aufgabe b Gegeben sind drei Vektoren im R : ( a ( 8 c ( 6 Lösung: Zunächst müssen zwei Kantenvektoren des Dreiecks bestimmt werden. Den Kantenvektor von der Pfeilspitze von a zur Pfeilspitze von b nenne ich d, den Kantenvektor von der Pfeilspitze von a zur Pfeilspitze von c nenne ich e. ( ( ( ( d a b + ( + ( e a + c + ( 6 ( + 6 ( + Zur Berechnung eines Parallelogramms kann das Kreuzprodukt verwendet werden. Die gesuchte Dreieckfläche ist dann die Hälfte davon. Leider ist jedoch das Kreuzprodukt nicht im R sondern nur im R definiert. Man kann sich jedoch helfen, indem man an jeden Vektor eine dritte Dimension mit dem Wert anfügt. Damit erhalte ich: d e Jetzt kann das Kreuzprodukt berechnet werden: d e Jetzt muss der Betrag davon bestimmt werden: d e + + Die gesuchte Dreieckfläche ist davon die Hälfte. A FE (

26 6 Lösungen der zusammengesetzten Aufgaben 6. Aufgabe zu : Am einfachsten geht die Überprüfung mit Hilfe einer Determinante. ( det a, b, c ( det a, b, c ( Da die Determinatne det a, b, c ist, sind die Vektoren nicht komplanar. zu : b c α arccos b c arccos arccos ( + + ( + + ( arccos 8 arccos α,6 6

27 a c β arccos a c arccos arccos arccos arccos β 6, ( + + ( + + ( + + a b γ arccos a b arccos arccos arccos arccos 6 γ,8 ( + + ( + + ( + +

28 zu : d a + b + c d d ( d, + Die Länge von d beträgt ungefähr, Längeneinheiten. zu : Um drei Parameter zu bestimmen, benötigen wir drei Gleichungen. Diese erhalten wir durch die Bedingung des paarweisen Senkrechtstehens. Die konkreten Werte werden eingesetzt. ( a b a b ( a c a c ( b c b c ( a b ( a c ( b c ( ( ( u u v v w w ( u + v + ( u w ( + v + w ( u + v ( u + w 6 ( v + w 8

29 Das Gleichungssystem wird ein wenig geordnet, um eine bessere Übersicht zu bekommen. ( u +v ( u +w 6 ( v +w Im Prinzip kann das Gleichungssystem mit jedem beliebigen Verfahren gelöst werden. Es bietet sich hier jedoch besonders das Additions-/Subtraktionsverfahren an. Man kann nämlich Gleichung ( und ( so miteinander kombinieren, dass sofort die Variable w wegfällt. ( u +w 6 ( v +w ( u v Mit Gleichung ( und ( bleibt nun ein Gleichungssystem nur noch. Grades übrig. ( u +v ( u v Für den nächsten Reduktionsschritt kommt im Prinzip wieder jedes beliebige Lösungsverfahren in Betracht. Zur Abwechslung verwende ich jetzt das Einsetzungsverfahren. Gleichung ( lässt sich gut nach u umstellen. u + v v u v ( u + v Das Ergebnis wird in Gleichung ( eingesetzt. u v ( + v v 9v v + v : ( v Die Variable u erhalten wir, indem wir dieses Ergebnis in die umgestellte Gleichung ( einsetzen. u + v + Jetzt fehlt nur noch die Variable w. Mit Gleichung ( oder ( kann sie bestimmt werden. Ich wähle willkürlich Gleichung ( dafür aus. v + w bekannten Wert v einsetzen + w w Zusammenfassung der gesuchten Parameter: u v w Allgemeine Lösungsverfahren siehe z.b. hier: Details zum Additionsverfahren siehe hier: Details zum Einsetzungsverfahren siehe hier: 9

30 6. Aufgabe zu a Zweckmäßigerweise definiert man zu jedem Punkt P n (n n n einen Aufvektor n P n n, der vom Koordinatenursprung zum jeweiligen Punkt P n verläuft. n Damit können die Vektoren a und b wie folgt aufgestellt werden. a P P P P a b a b x 6 x x Diese Gleichung kann nach x aufgelöst werden. x (x + + x + x : x zu b Zunächst muss b bestimmt werden: x Gleiche Länge von Vektoren bedeutet gleiche Beträge. Daher werden die Beträge von a und b bestimmt. a a + a + a + + b b + b + b + + Damit ist der Nachweis erbracht, die Längen von a und b sind gleich.

31 zu c Es gibt zwei grundsätzlich verschiedene Lösungswege. Zum einen kann mit dem Kreuzprodukt, zum anderen mit dem Skalarprodukt gearbeitet werden. Lösungsvariante : Mit Hilfe des Kreuzproduktes wird ein Hilfs-Vektor h senkrecht zu a und b erzeugt. Dieser muss anschließend durch Multiplikation mit einem Skalar auf die richtige Länge gebracht werden. h a Die Länge dieses Hilfsvektors wird bestimmt: h h + h + h + ( + Damit kann der Verkürzungsfaktor λ bestimmt werden. c λ h c λ h λ : λ λ, ± Jetzt kann c bestimmt werden. Ich beginne mit λ. c λ h c c ( Mit λ ergibt sich der Gegenvektor von c, also: c c Beide Lösungen für c sind möglich und auch gleich richtig.

32 Lösungsvariante : festgelegt: Zunächst wird der gesuchte Vektor c mit seinen Komponenten c Drei Bedingungen müssen erfüllt werden: c c c ( c a ( c b ( c a Diese Bedingungen führen zu drei Gleichungen: c ( c Aus ( folgt sofort: ( c c c c ( c + c + c ( c + c + c ( c + c + c ( c + c + c c : c Das Ergebnis kann in beide anderen Gleichungen eingesetzt werden. ( c + c ( c + c Das Gleichungssystem ist nicht linear, daher kommt zur Lösung nur das Einsetzungsverfahren in Frage. Ich löse Gleichung ( nach c auf. c + c c c c : c c

33 Das Ergebnis wird in ( eingesetzt. c + c ( + c 9 6 c + c 6 9c + 6c c : c 6 c / ± c c Mit zwei Lösungen für c erhält man auch zwei Lösungen für c, wenn man die Ergebnisse in die umgestellte Gleichung ( einsetzt. c c c c ( Hiermit lauten die beiden Lösungen für c: c oder: c d P P + + Alternativ kann auch mit P P + a oder mit P P + a + b o. ä. gerechnet werden. 6 e P P + c P 6 P + c P P + c P 8 P + c

34 f Die Abbildung erfolgt nach der angegebenen Abbildungsvorschrift. ( ( P P +,, +,, P P P P P P P 8 P P P P P 6 P P 8 ( +, +, ( +, 6 +, 6 ( +, 6 +, 6 ( +, +, ( +, +, ( +, +, ( +, +, ( 8,, ( 8 ( 8 (,, (,, ( ( g Zur Flächenberechnung des Parallelogramms bietet sich das Kreuzprodukt an. Da es jedoch nur im R, nicht aber im R definiert ist, muss eine dritte Komponente mit jeweils dem Wert hinzugefügt werden. Zuvor müssen jedoch auch die zweidimensionalen Abbildungen a und b von a und b bestimmt werden. a a b ( +, +, ( +, +, ( (,,

35 Die zugehörigen erweiterten dreidimensionalen Vektoren heißen dann:, a und b, Das Kreuzprodukt kann gebildet werden. a, b,,,,, Die gesuchte Fläche ist hiervon der Betrag. A a b + +,, FE,