TECHNISCHE MECHANIK A (STATIK)

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1 Probeklausur im Fach TECHNISCHE MECHANIK A (STATIK) Nr. 6 Matrikelnummer: Vorname: Nachname: Ergebnis Klausur Aufgabe: Summe Punkte: 29, , Davon erreicht Punkte: Gesamtergebnis Klausur Testate Summe NOTE Bearbeitungszeit: Hilfsmittel: 120 Minuten - Taschenrechner, programmierbar oder nicht programmierbar - Gebundenes Vorlesungsmanuskript der Veranstaltung Technische Mechanik A (Statik) mit handschriftlichen Notizen Seite 1 von 16

2 . Aufgabe 1 (29,5 Punkte) Das rechts dargestellte Flugzeugmodell soll in einem Windkanal untersucht werden. Das Flugzeugmodell besteht aus einem kreisrunden starren Körper, an dem die Flügel A-B und C-D angeschweißt sind. Die Flügel können als Balken angesehen werden. Weiterhin ist das Flugzeug über den Balken E-F mit der Decke des Windkanals verbunden. Auf die Flugzeugflügel wirken die von null auf q 0 ansteigenden linear veränderlichen Streckenlasten, sowie die beiden Kräfte F. Es soll zur Bestimmung der Auflagerreaktionen in E a) das / die erforderliche/n Freikörperbild/er gezeichnet, b) die entsprechenden Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt werden und c) die Auflagerreaktionen in E mit den Gleichgewichtsbedingungen aus Aufgabenteil b) berechnet werden. Für den Aufgabenteil d) sind die Auflagerreaktionen in E als gegeben anzunehmen! Übernehmen Sie den Richtungssinn und die Orientierung der Auflagerreaktionen aus Aufgabenteil a)! d) Bestimmen Sie rechnerisch den Normalkraft-, Querkraft- und Momentenverlauf im Balken zwischen den Punkten C-D und E-F in Abhängigkeit der gegebenen Größen. Verwenden Sie dazu die gegebenen Koordinatensysteme. Gegeben: a, F, q 0, nur in Aufgabenteil d) zusätzlich: Auflagerreaktionen in E Lösung a) Freikörperbild(er): Seite 2 von 16

3 Name: Lösung b) Gleichgewichtsbedingungen: F = 0: F F + E x + Rq 1 + Rq 2 sin(60 ) = 0 (1) F = 0: E z Rq 2 cos (60 ) = 0 (2) Matrikel-Nr.: M 0 = 0: M E + E z 3a + F 5 a Rq 2 1 2a + Rq 2 2a F sin (60 ) 5 a = 0 (3) 2 Mit Rq 1 = 1 2 3a q 0 = 3 2 a q 0 Rq 2 = 1 2 3a q 0= 3 2 a q 0 aus (1) E x = 2F 3 2 a q a q = 2F 3 2 q 0 a( ) aus (2) E z = 3 2 aq = 3 4 aq 0 aus (3) M E = 9 4 a2 q 0 F 5 2 a + 3a2 q 0 3a 2 q 0 + F a = 9 4 q 0a F a( 3 2 1) Lösung c) Ergebnisse (1,5 Punkte): E x = 2F 3 2 q 0 a( ) E z = 3 4 aq 0 M E = 9 q 4 0a F a( 3 1) 2 2 Seite 3 von 16

4 . Lösung d) Freikörperbild(er) mit Bereichs-/Gültigkeitsangabe(n): Bereich I: 0 < x 2 < 2a Bereich II: 0 < x 1 < 3 2 a Bereich III: 3 2 a < x 1 < 3a Seite 4 von 16

5 Name: Lösung d) Gleichgewichtsbedingungen für Schnittreaktionen: Matrikel-Nr.: Bereich I: F = 0: N(x 2 ) E x = 0 F = 0: Q(x 2 ) + E z = 0 M s = 0: M(x 2 ) + M E + E z x 2 = 0 Bereich II: F = 0: Q(x 1 ) + Rq 2 = 0 F = 0: N(x 1 ) = 0 M s = 0: M(x 1 ) + Rq 2 1 x 3 1 = 0 mit Rq 2 = 1 2 x 1 q(x 1 ) q(x 1 ) = q 0 3a x 1 Bereich III: F = 0: Q(x 1 ) + Rq 2 F sin(60 ) = 0 F = 0: N(x 1 ) + F cos(60 ) = 0 M s = 0: M(x 1 ) + Rq 2 1 x 3 1 F sin(60 ) (x 1 3 a) = 0 2 mit Rq 2 = 1 2 x 1 q(x 1 ) q(x 1 ) = q 0 3a x 1 Lösung d) Ergebnisse: (keine graphische Darstellung erforderlich): Bereich I: N(x 2 ) = E x ; Q(x 2 ) = E z ; M(x 2 ) = M E E z x 2 Bereich II: N(x 1 ) = 0 ; Q(x 1 ) = 1 6a q 0 x 1 2 ; M(x 1 ) = 1 18a q 0 x 1 3 Bereich III: N(x 1 ) = F 2 ; Q(x 1) = 1 6a q 0 x F 3 2 ; M(x 1) = 1 18a q 0 x F 3 2 (x a) Seite 5 von 16

6 . Aufgabe 2 (7 Punkte) An zwei mit einem Gelenk verbundene gerade Balken wurde der rechts dargestellte Normal- und Querkraftverlauf im Bereich 0 < x < 4a ermittelt. a) Welche Lagerungsart muss mindestens an der Stelle x = 0a vorhanden sein? b) Welches der abgebildeten Freikörperbilder führt zu dem gegebenen Normal- und Querkraftverlauf? c) Geben Sie, in Abhängigkeit Ihrer Wahl in b), das Biegemoment an der Stelle x = 2a an. Lösung a): Die Lagerung an der Stelle x = 0a muss mindestens Lösung b): einem Loslager, x einem Festlager oder einer festen Einspannung entsprechen. x Lösung c): M(x = 2a) = 0 Nm Seite 6 von 16

7 Name: d) Bestimmen Sie den Momentenvektor M O der Kraft F bezogen auf den Punkt O. Matrikel-Nr.: Gegeben: 2 10 F 20 F, r 20 a Lösung d): 10 2 M 0 = rxf = ( 20) a x ( 20) F M O = ( 160) F a 160 e) Gegeben ist das unten dargestellte Blech mit konstanter Dicke und homogener Dichteverteilung. Sie wollen das Blech in der dargestellten Position mit einem Kranhaken anheben. An welcher der drei Ösen A, B oder C bringen Sie den Kranhaken an, damit das Blech in der angehobenen Position, wie dargestellt, hängen bleibt? Kreuzen Sie Ihre Lösung in der Skizze an. Lösung e): x Seite 7 von 16

8 . Aufgabe 3 (17 Punkte) Die rechts dargestellte Brücke besteht aus zwei im Gelenk G verbundenen Stabtragwerken. Das System wird durch die gezeigten drei Kräfte belastet. Mittels der Festlager in A und B und des Loslagers in C wird die Brücke im Gleichgewicht gehalten. a) Markieren Sie alle Nullstäbe in der Skizze rechts (ohne Begründung). b) Berechnen Sie die Gelenkreaktionen im Gelenk G. (Tipp: Wählen Sie geschickt die Momentengleichgewichtsbedingungen) c) Berechnen Sie außerdem die Stabkraft S 1 im Stab 1. Für den Aufgabenteil d) ist die Stabkraft S 1 im Stab 1 als gegeben anzunehmen! d) Ermitteln Sie die Stabkräfte S 4, S 5, S 6 in den Stäben 4, 5 und 6. Tipp: Aufgabenteil d) kann unabhängig von den Ergebnissen aus den Aufgabenteilen a) bis c) gelöst werden. Gegeben: a, F, nur in Aufgabenteil d) zusätzlich: Stabkraft im Stab 1 Lösung b) Freikörperbild(er): Seite 8 von 16

9 Name: Lösung b) Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Gelenkreaktionen: M c = 0: 3F 1,5a + G y 7 2 a + F 5 2 a + F a = 0 (1) M I = 0: F 2 a + G 2 y 2a G x a = 0 (2) Matrikel-Nr.: aus (1) G y = F F F = 9 2 F F 7 2 aus (2) G x = F F F = 18 2 F F 7 2 Lösung b) Ergebnisse (1 Punkt): G x = 18 2 F F ; G 7 2 y = 9 2 F F 7 2 Seite 9 von 16

10 . Lösung c) Freikörperbild(er): Lösung c) Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung Stabkraft S 1 : M B = 0: S 1 5 a + F a + G 2 y a = 0 S 1 = F 2 G 5 y 2 = F F + 2 F S 1 = 4 2 F + F 35 5 Lösung c) Ergebnis (0,5 Punkte): S 1 = 4 2 F + F 35 5 Seite 10 von 16

11 Name: Lösung d) Freikörperbild(er) zur Bestimmung der Stabkräfte: Matrikel-Nr.: Lösung d) Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Stabkräfte: M I = 0: S 6 a + F a + S 1 5 a = 0 2 M II = 0: S 1 3 a S 2 4 a = 0 F = 0: S F S 1 = 0 Lösung d) Ergebnisse (1,5 Punkte): S 4 = S S 5 = 2 2 (F + S 1) S 6 = F S Seite 11 von 16

12 . Aufgabe 4 (10 Punkte) Die rechts dargestellte Aufhängung in einer räumlichen Ecke besteht aus den Stäben I, II und III. Im Gelenk A ist eine Lampe mit der Masse m über das Seil IV befestigt. a) Ermitteln Sie die Seilkraft S IV im Seil IV. b) Zeichnen Sie das / die zur Berechnung der Stabkräfte S I, S II und S III erforderliche(n) Freikörperbild(er). c) Bestimmen Sie die Einheitsvektoren in Richtung der Seil- und Stabkräfte S I, S II, S III, S IV mit Hilfe der gegebenen geometrischen Größen und ermitteln Sie in Abhängigkeit der noch unbekannten Beträge der Seil- und Stabkräfte S I, S II, S III und S IV die Vektoren dieser Kräfte. (Hinweis: S I = e I S I,...). d) Stellen Sie das vektorielle Kräftegleichgewicht zur Bestimmung der Beträge der Stabkräfte S I, S II und S III auf. e) Berechnen Sie die Beträge der Stabkräfte S I, S II und S III. Gegeben: m, g, a Lösung a): S IV m g = 0 => S IV = m g Lösung b) Freikörperbild(er): Seite 12 von 16

13 Name: Lösung c) Einheitsvektoren: Matrikel-Nr.: 2a 2 1 e I = ( 3a) = 1 ( 3 14 a 14 a 1 2a 2 1 e II = ( 3a) = 1 ( 3 14 a 14 a 1 2a 1 e III = ( 2a 9 a a 0 e IV = 1 ( 0 a a ) => S I = e I S I ) => S II = e II S II 2 ) = 1 ( ) => S III = e III S III 3 0 ) = ( Lösung d) Kräftegleichgewicht: ) => S IV = e IV S IV F = 0: S I + S II + S III + S IV = ( ) S I + 1 ( 3) S 14 II + 1 ( 2) S 3 III + ( 0) S IV = ( 0) F x = 0: 2 S 14 I 2 S 14 II 2 S 3 III = 0 (1) F y = 0: 3 14 S I 3 14 S II S III = 0 (2) F z = 0: (1)+(2) 1 S 14 I + 1 S 14 II + 1 S 3 III S IV = 0 (3) 1 14 S I 5 14 S II = 0 S I in (1) einsetzen S I = 5 S II 2 ( 5) S 14 II 2 S 14 II 2 S 3 III = 0 S III = 18 S 14 II S I, S III, S IV in (3) einsetzen 1 ( 5) S 14 II + 1 S 14 II 6 S 14 II m g = 0 S II = m g Lösung e) Ergebnisse (1,5 Punkte): S I = 14 m g S II = 14 m g S III = 18 m g Seite 13 von 16

14 . Aufgabe 5 (9,5 Punkte) Die Masse m 1 liegt auf einer reibungsbehafteten Unterlage mit dem Haftreibungskoeffizient µ 0. An ihr ist die Masse m 2 über einen Seilmechanismus verbunden. Das Seil wird über eine freidrehbare Umlenkrolle und eine reibungsbehaftete Kuppe mit dem Reibkoeffizient µ S geführt. Für welche Massenverhältnisse m 1 / m 2 ist das System im Gleichgewicht? Gegeben: g, µ 0, µ S Lösung; alle benötigten Freikörperbilder und Gleichgewichtsbedingungen: FKB I) F = 0: m 2 g + S 3 = 0 S 3 = m 2 g (1) Seilreibung an Kuppe: S 3 > S 2 S 3 = S 2 e μ s α (2) mit α = π 2 Seite 14 von 16

15 Name: Lösung; alle benötigten Freikörperbilder und Gleichgewichtsbedingungen (Fortsetzung): Matrikel-Nr.: FKB III) F = 0: S 1 + S 2 S = 0 S = 2 S 2 (3) M 0 = 0: S 1 r S 2 r = 0 S 1 = S 2 FKB IV) F = 0: S H 1 = 0 (4) F = 0: m 1 g + N 1 = 0 (5) H 1 = μ 0 N 1 (6) aus (6) mit (4) (5) S = μ 0 m 1 g (6*) aus (3) mit (2) S = 2 S 3 e μ s α mit (1) S = 2 m 2 g e μ s α (3*) (3*) in (6*) einsetzen 2 m 2 g e μ s α = μ 0 m 1 g m 1 m 2 = 2 e μs α μ 0 Ergebnis (2 Punkte): m 1 m 2 = 2 μ 0 e μ s α Seite 15 von 16

16 . Aufgabe 6 (7 Punkte) Der nebenstehende Körper konstanter Dichte ist aus zwei Quadern zusammengesetzt. Berechnen Sie in dem gegebenen Koordinatensystem die Volumenschwerpunktskoordinaten! Gegeben: a Lösung: x si = V i x si V i, y si = V i y si V i, z si = V i z si V i i V i x si y si z si V i x si V i y si V i z si 1 32a 3 4a 2 20a a 7 2 a 2a a 2 2a 128a 4 16a 4 130a 4 70a 4 Summe 52a 3 258a 4 86a 4 104a 4 64a 4 40a 4 x s = 258a4 52a 129 = a = 4,962 a 3 26 y s = 86a4 = 43 52a 3 26 z s = 104a4 52a 3 = 2a a = 1,654a Ergebnisse Volumenschwerpunktskoordinaten: x s = a, y s = a, z s = 2a Seite 16 von 16