Einführung in die Statik und räumliche Kraftsysteme

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1 Leseprobe Kirbs Einführung in die Statik und räumliche Kraftsysteme TECHNISCHE MECHANIK Studienbrief Auflage 2008 HOCHSCHULVERBUND DISTANCE LEARNING

2 Impressum Verfasser: Prof. Dr.-Ing. Jörg Kirbs Professor für Technische Mechanik / Festigkeitslehre und FEM-Anwendung im Fachbereich Maschinenbau an der Hochschule Merseburg Der Studienbrief führt die beiden Studienbriefe Einführung in die Statik ( ) und Das räumliche Kraftsystem ( ) zusammen. Die Inhalte wurden auf der Grundlage des Curriculums für das Studienfach Technische Mechanik verfasst. Die Bestätigung des Curriculums erfolgte durch den Fachausschuss Grundständiges Fernstudium Wirtschaftsingenieurwesen, dem Professoren der folgenden Fachhochschulen angehörten: HS Anhalt, FHTW Berlin, TFH Berlin, HTWK Leipzig, HS Magdeburg-Stendal, HS Merseburg, HS Mittweida, FH Schmalkalden, FH Stralsund, TFH Wildau und WH Zwickau. 3. Auflage 2008 ISBN Redaktionsschluss: Mai 2008 Studienbrief by Service-Agentur des Hochschulverbundes Distance Learning. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere das Recht der Vervielfältigung und Verbreitung sowie der Übersetzung und des Nachdrucks, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form ohne schriftliche Genehmigung der Service-Agentur des reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Service-Agentur des (Hochschulverbund Distance Learning) Leiter: Dr. Reinhard Wulfert c/o Agentur für wissenschaftliche Weiterbildung und Wissenstransfer e. V. Magdeburger Straße 50, Brandenburg Tel.: kontakt-hdl@aww-brandenburg.de Fax: Internet:

3 Inhalt Formelzeichen...4 Einleitung...5 Literaturempfehlung Einführung in die Statik Begriffe, Definitionen Die Kraft Der starre Körper Äquivalenz und Resultierende von Kräften Das Gleichgewicht Lehrsätze der Statik Gleichgewichtssatz Reaktionssatz Verschiebungssatz Parallelogrammregel Das Schnittprinzip Das zentrale räumliche Kraftsystem Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften Graphische Lösung Analytische Lösung Kräftegleichgewicht Das allgemeine räumliche Kraftsystem Das Moment einer Kraft bezüglich eines Punktes Gleichgewicht von Kräften und Momenten Berechnung von räumlichen Auflagerreaktionen Schnittgrößen des räumlichen Balkens Übungsaufgaben...30 Lösungshinweise zu den Übungsaufgaben...31 Literaturverzeichnis... 33

4 Einführung in die Statik und räumliche Kraftsysteme Formelzeichen Bedeutung Formelzeichen Einheitenzeichen Physikalische Einheit Längenabmessungen a, b, c mm Millimeter Betrag der Kraft bzw. Kraftvektor F bzw. F N Newton Komponenten einer Kraft F x, F y, F z N Resultierende von Kräften F R N Stab- oder Seilkraft F s N eingeprägte Kraft F i N Statisches Moment um den Bezugspunkt 0 M 0 Nm Newtonmeter Komponenten des statischen Momentes M 0x, M 0y, M 0z Nm Biegemomente M by, M bz Nm Torsionsmoment M t Längskraft N N Querkräfte Q y, Q z N Linienlast q N/mm Newton/Millimeter Ortsvektor r m Meter Projektion des Ortsvektors r auf die x-y-ebene 2 2 l = x + y m Schnittpunkt i S i Winkelbezeichnungen, x, y, z,, oder rad Summe aller Kräfte in der gekennzeichneten Richtung Summe aller Momente in der gekennzeichneten Richtung " x : I x :

5 17 Entsprechend der drei Achsrichtungen werden nun die Gleichgewichtsbedingungen formuliert: Die Winkel α und β zwischen den Kräften und den Achsrichtungen lassen sich hierbei leicht aus den geometrischen Verhältnissen in Bild 1.2 ermitteln: 3 x: 2 F + F S3 sin β,. z: F S1 + F S2 sin α, " y: F + F S2 cos α + F S3 cos β (Die Richtung des zu bildenden Gleichgewichtes muss nicht mit der positiven Achsrichtung übereinstimmen.). Mit α = β = 45 ergibt sich für die drei unbekannten Stabkräfte: F S1 = F F S2 = 2F F = 2 2F S3 3 Das allgemeine räumliche Kraftsystem 3.1 Das Moment einer Kraft bezüglich eines Punktes Genau wie beim ebenen Kraftsystem wird auch hier das statische Moment einer Kraft immer bezüglich eines Drehpunktes 0 definiert. Dies soll am Beispiel von Bild 2.1 demonstriert werden: z F 0 γ r l γ x y M 0 y x Bild 3.1 Statisches Moment der Kraft F bezüglich des Punktes 0 Das statische Moment ist genau wie die Kraft ein Vektor. Es ist definiert als Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von Ortsvektor r und Kraft F. Merksatz M 0 = r x F (3.1)

6 18 Einführung in die Statik und räumliche Kraftsysteme Damit ergibt sich der Betrag aus: M 0 = r F γ = F l (3.2a) Die Richtung von M 0 ist mit Gleichung (2.1) ebenfalls gegeben: M 0 steht senkrecht auf der Ebene, die von r und F aufgespannt wird derart, dass r, F und M 0 ein Rechtssystem bilden. Zur Unterscheidung von der Kraft wird das Moment mit einem Doppelpfeil gekennzeichnet. Merksatz Zur Bestimmung der Drehrichtung wird die Rechte-Hand-Regel genutzt: Zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung des Doppelpfeils, so geben die übrigen Finger die Drehrichtung des Momentes an. Hinweis: Da im Weiteren nur der Betrag des Momentes von Interesse ist, soll im folgenden Text auf die Vektordarstellung verzichtet werden. Ähnlich wie die Kraft lässt sich auch das Moment in Komponenten zerlegen (siehe Bild 2.2): z F M 0y 0 α α y M 0 M 0x l x x y Bild 3.2 Komponentenzerlegung des statischen Momentes M 0 M 2 = M 0x 0 sin α = F l sin α = F y M 0y = M 0 cos α = F l cos α = F x M 0z M = M 2 + M 2 + M 2 (3.2b) 0 0x 0y 0z Diese Komponenten können auch als Momente der Kraft bezüglich der Achsen x, y und z gedeutet werden. Im vorliegenden Fall ist M 0z das Moment der Kraft F bezüglich der Achse z gleich null.

7 19 Es gilt allgemein: Schneidet eine Kraft F eine Achse oder verläuft ihre Wirkungslinie parallel zu dieser, so ist das Moment der Kraft bezüglich dieser Achse gleich Null. Merksatz Bei Schwierigkeiten mit dem räumlichen Vorstellungsvermögen stellt die Anwendung dieses Satzes eine wesentliche Erleichterung zur Ermittlung der statischen Momente dar. 2.2 Gleichgewicht von Kräften und Momenten Nach der Definition des statischen Momentes einer Kraft bezüglich eines Punktes sind nun die Grundlagen gelegt, um die Gleichgewichtsbedingungen des allgemeinen räumlichen Kraftsystems zu formulieren: n ix i= 1 n i= 1 n i= 1 n i= 1 n i= 1 n i= 1 symbolisch: F 5 x: Fiy " y: Fiz - z: M x0: * i0x Mi0y I y0: M z0: i0z * Lies: Summe aller Momente um die x-achse durch den Punkt 0 ist gleich 0. (3.3) Auch hier gibt es unendlich viele weitere Gleichgewichtsbedingungen, jedoch sind immer nur genau sechs von diesen linear unabhängig. Das bedeutet, dass nur sechs Unbekannte aus den räumlichen Gleichgewichtsbedingungen ermittelt werden können. Ein freier starrer Körper hat im Raum sechs Freiheitsgrade (drei Verschiebungsund drei Verdrehfreiheitsgrade). Bei einem statisch bestimmten System treten genau die sechs unbekannten Lagerkräfte auf, die aus dem Gleichgewicht ermittelt werden können. Oftmals bietet es für die Ermittlung der Unbekannten rechentechnische Vorteile, ausschließlich Momentengleichgewichte um verschiedene Bezugspunkte zu verwenden.

8 20 Einführung in die Statik und räumliche Kraftsysteme Dies soll am folgenden Beispiel veranschaulicht werden: Beispiel B 3.1 Aufgabe: Bild 2.3 und 2.4 zeigen einen von sechs Stabstützen gestützten und durch drei Einzelkräfte belasteten Quader. Zur Ermittlung der unbekannten Stützkräfte könnten drei Kräftegleichgewichte und drei Momentengleichgewichte verwendet werden. Dies führt auf ein Gleichungssystem von sechs Gleichungen mit sechs Unbekannten, wobei in der Regel in jeder Gleichung mindestens zwei Unbekannte auftauchen. C 6 F 1 F 3 F 2 c B 4 2 A 1 3 b a 5 Bild 3.3 Räumlich gestützter Körper

9 21 z x y C F s6 F 1 F 3 F 2 c B F s4 F s2 A a F s1 Fs3 b F s5 Bild 3.4 Schnittskizze zu Bild 2.3 Lösung: Durch geschickte Wahl der Gleichgewichte kann man aber erreichen, dass in jeder Gleichung nur eine Unbekannte vorhanden ist und sich der Rechenaufwand dadurch wesentlich reduziert. Mögliche Gleichgewichtsbedingungen für diesen Fall sind: xa: F s5 b F 2 c + F 3 b za: F s4 a F 1 b zc: F s2 a F 1 b + F 2 a xb: F s3 b + F 2 c H yb: F s6 c F s3 a + F 1 c F 3 a H yc: F s1 c F s3 a F 3 a.

10 22 Einführung in die Statik und räumliche Kraftsysteme Wenn man das Gleichungssystem kontinuierlich von oben nach unten auflöst, steht in jeder Zeile nur eine Unbekannte und es ergeben sich folgende Lösungen: c F = F F b F s5 2 3 b = F a s4 1 b F = F F a F s2 1 2 c = F b s3 2 a a F = F F + F b c s a a F = F + F b c s1 2 3 Mit Hilfe der drei Kräftegleichgewichte entlang der Achsen x, y, z besteht die Möglichkeit der Ergebniskontrolle. 3.3 Berechnung von räumlichen Auflagerreaktionen Neben der Stabstütze gibt es noch eine Vielzahl anderer räumlicher Lagertypen, von denen an dieser Stelle jedoch nur zwei genannt werden sollen: Dies sind das räumliche feste Lager und die räumliche Einspannung. Das Bild 2.5 zeigt eine symbolische Darstellung des räumlichen festen Lagers. Dieses Lager kann Kräfte in allen drei Richtungen (x, y, z) aufnehmen, jedoch bleibt damit die freie Verdrehbarkeit um alle drei Achsen unbehindert. Dieses Lager wird als dreiwertiges Lager bezeichnet. oder Bild 3.5 Symbolische Darstellung des räumlichen festen Lagers Die räumliche Einspannung (Bild 2.6) kann sowohl Kräfte als auch Momente in allen drei Richtungen aufnehmen; somit sind alle Verschiebungen und Verdrehungen verhindert. Man spricht hierbei auch von einer sechswertigen Lagerung. Zur Berechnung der Auflagerreaktionen wird das betreffende System von seiner Lagerung freigeschnitten und die möglichen Kräfte und Momente werden an Stelle der Lagerung angetragen. Diese werden dann mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen ermittelt.

11 23 Bild 3.6 Symbolische Darstellung der räumlichen Einspannung B 3.2 Aufgabe: Für den in Bild 2.7 dargestellten eingespannten abgewinkelten Träger sind die Auflagerreaktionen zu ermitteln! Beispiel F 3 F 1 A. a b F 2. c Bild 3.7 Fest eingespannter abgewinkelter Träger Lösung: Beim Freischneiden ist die Wahl des Richtungssinns der Auflagerreaktionen willkürlich. Er muss nicht mit den positiven Achsrichtungen übereinstimmen (vgl. Bild 2.8). M Az F Az F 3 F 1 M Ay F Ay. F Ax a b F 2 M Ax. c z y x Bild 3.8 Schnittskizze zu Bild 2.7

12 24 Einführung in die Statik und räumliche Kraftsysteme Zur Ermittlung der unbekannten Kräfte und Momente an einer Einspannung ist es rechentechnisch immer sinnvoll, die drei Kräftegleichgewichte in den Achsrichtungen und die drei Momentengleichgewichte um den Punkt der Einspannung zu verwenden. Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen: " y: F 2 F Ay 5 x: F Ax + F 3 - z: F Az F 1 H ya: M Ay + F 1 c xa M Ax F 1 a + F 2 b za: M Az F 3 a F 2 c Daraus ergeben sich folgende Auflagerreaktionen: F Ay = F 2 F Ax = F 3 F Az = F 1 M Ay = F 1 c M Ax = F 1 a F 2 b M Az = F 3 a + F 2 c 3.4 Schnittgrößen des räumlichen Balkens Im Zusammenhang mit dem ebenen Kraftsystem wurden in Kothe (2001b) die Schnittgrößen des ebenen Balkens behandelt. Zu den dortigen drei Schnittgrößen Längskraft N, Querkraft Q und Biegemoment M kommen beim räumlichen Balken noch drei weitere hinzu. Bild 2.9 zeigt die Definition der Schnittgrößen des räumlich belasteten Balkens am positiven und negativen Schnittufer. M bz M bz M by N M t M t N x y z M by Q y Q z Schnitt Q y Q z Positives Schnittufer Negatives Schnittufer Bild 3.9 Definition der Schnittgrößen des räumlich belasteten Balkens (Index b für Biegung; Index t für Torsion)

13 25 Hierzu sind mehrere Anmerkungen notwendig: 1. Die Schnittgrößen des ebenen Balkens sind in denen des räumlichen Balkens enthalten (wobei Q = Q z und M = M by ). Im Unterschied zum ebenen Balken können jetzt zwei Querkräfte (Q y, Q z ) und zwei Biegemomente (M by, M bz ) vorhanden sein. 2. Die Momente M by und M bz verursachen eine Biegung des Balkens um die y- bzw. z-achse; sie werden daher zusätzlich mit dem Index b (b von Biegung) versehen. Das Moment um die x-achse verursacht eine Verdrehung um die Längsachse des Balkens. Diese Verdrehung wird als Torsion bezeichnet; deswegen der Index t. Beim ebenen Balken ist diese Unterscheidung nicht notwendig, da dort nur ein Moment vorhanden ist, das als Biegemoment wirkt. 3. Am positiven Schnittufer wirken alle Schnittgrößen in positiver Achsrichtung, mit einer Ausnahme: Das Biegemoment M bz wirkt in negativer Achsrichtung. Diese Ausnahmeregelung soll im Folgenden begründet werden: Wenn man nur die x-z-ebene betrachtet (Bild 2.10), erhält man die Schnittgrößen des ebenen Balkens. Bild 3.10 Betrachtung der x-z-ebene Hierfür gilt die differentielle Beziehung (s. Kothe, 2001b): dmby Q z =. dx Die Querkraft in z-richtung Q z ist gleich der ersten Ableitung des Biegemomentes in y-richtung nach der x-koordinate. Um diese Beziehung zwischen Querkraft und Biegemoment auch in der x y Ebene wirksam werden zu lassen (Bild 2.11), muss das Biegemoment M bz in der angegebenen Richtung wirken.

14 26 Einführung in die Statik und räumliche Kraftsysteme Bild 3.11 Betrachtung der x-y-ebene Hinweis: In vielen Lehrbüchern wird der Einfachheit halber jedoch auf diese Ausnahmeregelung verzichtet, so dass alle Schnittgrößen am positiven Schnittufer in positiver Achsrichtung wirken. Aus mechanischer Sicht ist diese Vorgehensweise nicht sinnvoll! Am Beispiel des Abschnittes 2.3 (Bild 2.7) soll nun die Berechnung der Schnittgrößen am räumlich belasteten Balken demonstriert werden. Beispiel B 3.3 Aufgabe: Berechnung der Schnittgrößen am räumlich belasteten Balken (s. Bild 2.7). Lösung: Zunächst wird der abgewinkelte Träger in drei Bereiche eingeteilt (Zur Definition der Bereiche, siehe Kothe, 2001b.). Für jeden dieser Bereiche wird ein (lokales) Koordinatensystem definiert und ein gedanklicher Schnitt durchgeführt (Bild 2.12 ff.). Bild 3.12 Definition der (lokalen) Koordinatensysteme der Bereiche 1 bis 3 Die Achsen x i sollen grundsätzlich in Richtung der Balkenachsen eingeführt werden. Die übrigen Achsen sind beliebig. Dabei ist es unerheblich, ob das System beginnend mit der Einspannung oder vom freien Ende aus abgearbeitet wird. Es sollte jedoch darauf geachtet werden, dass die einzelnen x Koordinaten nicht gegenläufig zueinander definiert werden! Oft beginnt man bei einem eingespannten Balkensystem am freien Ende, da in diesem Falle zur Schnittgrößenberechnung die vorherige Auflagerberechnung nicht notwendig ist.

15 27 Die Berechnung der Schnittgrößen in den Bereichen 1 bis 3 erfolgt nun mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen: Bild 3.13 Bereich 1 (0 x 1 c) Bereich 1: 0 x 1 c 5 : N 1 S 1 : M t1. : Q y1 + F 1 ; Q y1 = F 1 S 1 : M by + F 2 x 1 M by1 (x 1 ) M by1 (x 1 = c) = F 2 c " : Q z1 + F 2 ; Q z1 = F 2 H S 1 : M bz1 + F 1 x 1 M bz1 (x 1 ) M bz1 (x 1 = c) = F 1 c

16 28 Einführung in die Statik und räumliche Kraftsysteme Bild 3.14 Bereich 2 (0 x 2 b) Bereich 2: 0 x 2 b - : N 2 F 1 ; N 2 = F 1 S 2 : M t2 F 2 c ; M t2 = F 2 c! : Q y2 F 2 ; Q y2 = F 2 H S 2 : M by2 + F 1 c ; M by2 = F 1 c 5 : Q z2 S 2 : M bz2 F 2 x 2 M bz2 (x 2 ) M bz2 (x 2 = b) = F 2 b

17 29 Bild 3.15 Bereich 3 (0 x 3 a) Bereich 3: 0 x 3 a! : N 3 F 2 ; N 3 = F 2 H S 3 : M t3 + F 1 c ; M t3 = F 1 c. : Q y3 + F 1 ; Q y3 = F 1 S 3 : M by3 + F 3 x 3 + F 2 c M by3 (x 3 ) M by3 (x 3 = a) = F 2 c = F 3 a F 2 c 5 Q z3 + F 3 ; Q z3 = F 3 S 3 : M bz3 F 2 b + F 1 x 3 M bz3 (x 3 ) M bz (x 3 = a) = F 2 b = F 2 b F 1 a Auf die graphische Darstellung der Schnittgrößen, wie im ebenen Fall, soll hier wegen der Unübersichtlichkeit verzichtet werden. Sind einzelne Bereiche des Trägersystems durch eine Linienlast belastet, gelten für die Linienlast in y-richtung, Q y und M bz einerseits sowie für die Linienlast in z-richtung, Q z und M by andererseits die gleichen Zusammenhänge wie beim ebenen Fall (vgl. Kothe, 2001a). Das bedeutet im Einzelnen (Kothe, 2001b): dq dx y dm dx bz dq = qy x und = qz x dx z ( ) ( ) dmby = Qy = Q dx Diese Zusammenhänge können wieder zur Bestimmung der Querkraft- und Momentenverläufe genutzt werden. z