Lagerreaktionen und Schnittgrößen eines verzweigten Gelenkrahmens

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1 . Aufgabe Lagerreaktionen und Schnittgrößen eines verzweigten Gelenkrahmens Geg.: Kräfte F, F = F, F Streckenlast q F a Moment M = Fa Maß a 5 F Ges.: a) Lagerreaktionen in B, C und Gelenkkräfte in G, b) Schnittgrößenverläufe analytisch, c) Schnittgrößenverläufe grafisch, d) Ort und Größe des betragsmäßig größten Biegemoments.

2 Lösung a) Lagerkräfte in B, C und Gelenkkräfte in G Freischnitte mit eingetragenen Lagerreaktionen und Gelenkkräften F F q F a 5 F F M Fa Gleichgewichtsgleichungen : F F qa F 0 () : F F 0 () Bv Gv Lager- und Gelenkkräfte : F F F 0 () : F F 0 (5) Bh Gh B : F a F a F a (6) : Gv F Gh F a q a 0 Gv () : F F F Cv Gv () : F F q a F 6 F F Bv Gv Cv Ch () C : F a M 0 (6) 5 () : FGh FGv F F qa F F 5 F F F F F () : Bh Gh (5) : F F F Ch M F a Gh Gv Gv Gh

3 b) Schnittgrößenverläufe analytisch Freischnitte mit eingetragenen Schnittreaktionen Schnitt 0 s a Gleichgewichtsgleichungen : FL F 0 : X: FQ qs F 0 s b 0 M q F s 5 FL F F F qs F Q s F a s Mb q F s s Fs a! FQ 0 sex a M s b ex 8 F a Fa Schnitt 0 s a : FL FCh 0 FL FCh F : FQ FCv 0 FQ FCv F X: M F s M b FCv s Fs b Cv 0 Schnitt 0 s a : FL FCh 0 FL FCh F : FQ FCv 0 FQ FCv F X: Mb FCv ( a s) Mb FCv ( a s ) M M 0 F a s Schnitt 0 s a : FL FBv 0 FL FBv F : FQ FBh 0 FQ FBh F X: M b FBhs 0 Mb FBhs Fs

4 c) Schnittgrößenverläufe grafisch Längskraftverlauf Querkraftverlauf Biegemomentenverlauf d) Ort und Größe des betragsmäßig größten Biegemomentes b max M M s a Fa b 6

5 . Aufgabe Ermittlung von Stabkräften und Längenänderungen der Stäbe Geg.: Längen a ; L,5 a, L a Streckenlast q 0 Dehnsteifigkeiten EA, EA EA, EA EA Temperaturdifferenz T > 0 Wärmeausdehnungskoeffizient Der Stab wird nicht erwärmt. Der Stab kann einer Temperaturdifferenz um T unterliegen. Vorausgesetzt wird, dass der Balken starr ist und die Beträge der Längenänderungen der Stäbe klein gegenüber der Stablängen sind ( L i << L i i =, ). Anmerkung: Die Lagerreaktionen in B sollen nicht berechnet werden. Ges.: a) Stabkräfte in den Stäben und mit Erwärmung des Stabes b) Längenänderung der Stäbe und mit Erwärmung des Stabes c) Stabkräfte in den Stäben und ohne Erwärmung des Stabes Lösung: Freischnitt: Gleichgewicht: B : FS a FS a q0a a 0 () System ist einfach statisch unbestimmt. FSil i Formänderungs-Beziehung: li i Tl i i (i =, ) EA i

6 Verformungsbetrachtung: a a Berechnung für a): Einsetzen in (): Stabkräfte: Berechnung für b): Längenänderung: Berechnung für c): mit l und l : l l FS l FS l Tl EA EA FS,5 a FS a Ta EA EA 8 8 FS FS T EA 8 8 FS a T EA a FS a q0a FS q0a T EA 9 6 FS q0a T EA FS q0a T EA 9 9 q0a 8 T EA 9 q0a 6 l a a Ta 9 EA 9 EA 9 EA 9 9 q0a 6 T EA 9 q0a l a a Ta Ta 8 EA 9 EA 8 EA 9 Stabkräfte: FS F 9 q a 8 q a 9 0 S 0 8

7 . Aufgabe Normalspannungsberechnung bei gerader Biegung mit Längskraft Geg.: Maß c, Länge L = 00c Streckenlast q 0, Kraft F = 00q 0 L Ges.: a) Maß e für die Lage des Flächenschwerpunktes des gegebenen Querschnittes b) Flächenmomente. Ordnung bezüglich der Achsen x und y des Schwerpunktes für gegebenen Querschnitt Lösung: Speziell für Einspannquerschnitt (z = L) d) Werte der Schnittgrößen e) Normalspannungsverteilung zz ( y) f) Ort und Größe der betragsmäßig größten Normalspannung a) Flächenschwerpunkt: xs 0 ysi Ai ys A y e,5c S,5c 9c

8 b) Flächenmomente. Ordnung i A y A i y Si Si i I xxi I yyi ysi A i Si x A i 5c 0,5c,5c c c c c,5c 7c 5 c 8 c c 5 c 5 c 0 c 8c 0 8 c 9 c 0 9c,5c 5 c 5 c 5 c 0 Flächenmomente für x y -Koordinatensystem: 5 5 Ixx Ixxi ysi Ai c c 5c 5 I 0,5 yy I yyi xsi Ai c c Transformation mit Satz von Steiner: xx xx S 5,5 9,75 yy yy S,5 I I y A c c c c I I x A c I 0 wegen Symmetrie xy d) Freischnitt und Gleichgewicht: M b F Q q 0 F L z 0 z L : FQ q0 z 0 FQ ( z L) q0l 00q0c : F F 0 L z B : Mb q0 z F ( z L) F 00q L 00 q c L 00 Mb( z L) q L q c

9 e) Normalspannungsverteilung FL Mbx zz y A I zz zz xx q0c q c y 9c,75c q0 q0., 8,98 y c c zz P P z y f) Betragsmäßig größte Spannung bei Punkt P q q zz y,5c., 8,98,5.69,6 c c oder P q0 q0 zz y,5c., 8,98,5 6,7 c c q0 zz.69,6 für y,5c max c 0 0 5

10 . Aufgabe Verformungsermittlung mittels der Differenzialgleichung der elastischen Linie für einen abgewinkelten Träger Geg.: Streckenlast q 0= konst. Maß b Biegesteifigkeit EI = konst. Ges.: a) Lagerreaktionen b) Verschiebung und Verdrehung der biegesteifen Ecke bei D Lösung: Freischneiden, Gleichgewicht: : F F 0 BH C F q b 0 : BV 0 9 B : M B q0b FC b 0 Einfach statisch unbestimmt, Statisch Unbestimmte : F C FBV q0b F F BH C 9 M B q0b FC b Schnittgrößen (Freischnitte): Momentenbilanzen: : M b FC z 0 : Mb q0z FC b 0 M b FC z Mb FC b q z 0

11 Gleichung der elastischen Linie: EIv '' Mb F z C ' EIv FC z C EIv FC z C z C 6 EIv '' Mb FC b q0z ' EIv F Cbz q0z C 6 z EIv FC b q z C z C 0 Rand- und Übergangsbedingungen: v z 0 0 () v z b () 0 ' ' 0 v z b v z () v z b 0 () ' v z b 0 (5) () C 0 () F b C b 0 6 C C F b 6 C () 5) FC b FC b C C 6 FC b q0 7b FC b 0 6 F b C 0 9 FC b q0b 7 9 FC q0b C q0b und C b 9 () q0b q08b q0b b C C 8 7 q 0 b C q0b 0 Lagerreaktionen: 7 FC q0b 0 7 FBH q0b 0 FBV q0b M B q0b q0b q0b q b 0 0

12 Verschiebung bei D: C q0b vdv v z 0,05 EI EI v v z b DH Verdrehung von D: 0 ' C q0b D v z 0 0,5 EI EI 7

13 5. Aufgabe Aus zwei Profilen und zusammengesetzter prismatischer Träger, einseitig eingespannt und durch Momente M T, M T und die Kraft F belastet. Geg.: Momente M T = 00 Nm, M T = 00 Nm Kraft F = 0 kn Längen l m, l 0,5 m 5 Elastizitätsmodul E,0 MPa Querkontraktionszahl 0, Querschnittsabmessungen d = 0 mm, d = 0 mm Ges.: a) Ort und Betrag der maximalen Torsionsschubspannung b) Relativverdrehung des Querschnittes D bezüglich des Querschnittes A c) Ort und Betrag der maximalen Normalspannung d) Ort und Betrag der maximalen Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese Lösung: Freischnitte: Gleichgewicht: : Mt MT M T 0 : Mt M T 0 Mt MT M T 00Nm Mt M T 00 Nm : FL F 0 : FL F 0 FL F 0kN FL F 0kN

14 a) Maximale Torsionsschubspannung Mt max W t Mt mit Wt d 5.0,mm Wt 6 00Nm 56,6MPa 5.0,mm Mt mit Wt d.570,8mm Wt 6 00 Nm 6,7MPa.570,8 mm max 6,7MPa in Profil mit d am Außenrand b) Relativverdrehung Mtl AD AB BD mit ; GI M l M l AD AB BD GI GI AD t It t t t t d und E G 00 Nm 0,5m 0, 00 Nm m 0, 5 5,0 MPa 0 mm,0 MPa 0 mm AD 0,09 0,067 0,0869 AD,9 c) Maximale Normalspannung FL 0kN z 8,MPa A 0 mm FL 0kN z 6,7MPa A 0 mm 6,7 MPa in Profil mit d max d) Maximale Vergleichsspannung V z 0,0MPa V z 7,MPa 7,MPa in Profil mit d am Außenrand Vmax 0