Aufgabe 1 - Lagerreaktionen

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1 KLAUSUR Technische Mechnik (. Semester Prof. Volker Ulricht Duer: 10 min. Aufge Σ Punkte Aufge 1 - Lgerrektionen D F D Gegeen: Längen, =, Streckenlst, Krft F D, Moment Lgerrektionen ei und llgemein. Lgerrektionen für die Zhlenwerte: = 100 mm, = 10 N mm, F D = 10 3 N, = 10 Nm. F x Fy F D F D x : F x + F = 0 F x = F y : F y F D = 0 F y = + F D : F + F D = 0 F = ( + F D ( F x = F = ,1 F y = ( N = 3000 N N = 3000 N

2 Aufge - Schnittgrößenverläufe, Spnnungserechnung Freischnitt F h F Fh v L M L F h F Fh v L M L Querschnitt: D F FDh Dv Gegeen: Längen L,, Krft F, Moment M = F L, Streckenlst = F L Lsten F h = 10F, F h = 30F, F v = F, M = 11M Lgerrektionen F Dh = 0F, F Dv = 4F, = M efindet sich ds System im sttischen Gleichgewicht? eweisen Sie Ihre Aussge. Schnittgrößenverläufe nlytisch. c Grfische Drstellung der Schnittgrößenverläufe. d Ort und Größe des etrgsmäßig größten iegemoments M mx. e Für L = 10 3 mm, = 50 mm, F = 10 3 N Ort und Größe der etrgsmäßig größten Normlspnnung σ mx, die us dem iegemoment M resultiert. Ds System efindet sich im sttischen Gleichgewicht, d die Summe ller Kräfte in x- und y-richtung sowie die Summe ller Momente null ergit, resultierende Kräfte und Momente lso verschwinden: x : F h + F Dh F h = 10F + 0F 30F = 0 y : F Dv F v L = 4F F F = 0 D: M L F v 5 L = 11M M 4M 5M = 0 F h F Fh v L M L F FDh Dv (I M 1 F z 1 h FL F Q (II M F Q F z L F F Dv Dh (I x : F h + F L = 0 F L = F h = 10F y : z 1 F Q = 0 F Q = z 1 = F : z 1 M 1 = 0 M 1 = z 1 = M (II x : F Dh F L = 0 F L = F Dh = 0F ( z1 L ( z1 L y : F Dv + F Q = 0 F Q = F Dv = 4F : M F Dv z = 0 M = + F Dv z = M + 4M ( z L

3 c, d Längs- und Querkrft sowie iegemoment: { 10F z 1 [0; L] F L = 0F z [0; L] { F ( z 1L z 1 [0; L] F Q = 4F z [0; L] { M ( z 1L z 1 [0; L] M = M + 4M ( z L z [0; L] F L F F Q F 4 10 D D 0 M M 1 D Aus der grfischen Drstellung des iegemoments liest mn : M mx = 10M m Punkt, d.h. für z 1 = L zw. z = L 10 e Ort und Größe der etrgsmäßig größten Normlspnnung: σ mx = M mx y mx mit I xx = (3 I xx 1 σ mx = 10M 15M = 4 3 σ mx = 3 = 15F L N 50 3 = 40 MP mm Normlspnnungsverluf m Punkt : = 3 4, y mx = = σ neutrle Fser Die etrgsmäßig größte Normlspnnung tritt m Ort des größten iegemoments, d.h. m Punkt uf der Oer- zw. Unterseite des lkens uf.

4 Aufge 3 - iegeverformung F Dv FDh D Gegeen: Längen, =, iegesteifigkeit EI, Kräfte F Dv = F Dh = F ereichseinteilung und Koordintensysteme für die Differentilgleichungen der elstischen Linie. Anzhl der Rnd- und Üergngsedingungen (egründen Sie Ihre Aussge. c Rnd- und Üergngsedingungen d Differentilgleichungen der elstischen Linie. Anmerkung: Diese Differentilgleichungen sollen nicht integriert werden. v 1 z 1 v z D ereich (I von nch Koordintensystem {z 1, v 1 } mit z 1 [0; ] ereich (II von D nch Koordintensystem {z, v } mit z [0; ], c Ds System enthält ufgrund der Einspnnung drei uneknnte Größen, welche us den drei ilnzgleichungen erechnet werden können. Es ist demzufolge sttisch eindeutig estimmt. Für die eiden ereiche erhält mn zwei Rndedingungen m Punkt sowie zwei Üergngsedingungen n der Stelle, mit denen sich die vier Integrtionskonstnten der Differentilgleichungen ermitteln lssen. Die Rnd- und Üergngsedingungen luten: d F h M Fv v 1 (z 1 = 0 = 0 v (z = = 0 v 1(z 1 = 0 = 0 v (z = = v 1(z 1 = F Dv F Dh D (I F h z 1 M Fv F Q M 1 F L (II F Dv M F L z F Q F Dh x : F h + F Dh = 0 F h = F Dh = F y : F v + F Dv = 0 F v = F Dv = F : M F Dh F Dv = 0 M = F ( + = 3F (I : M + F h z 1 M 1 = 0 M 1 = F ( + z 1 = (3 z 1 F (II : M F Dv z = 0 M = F z EI v 1 = M 1 = (3 z 1 F EI v = M = z F

5 Aufge 4 - Vergleichsspnnungen Gegeen: Längen, =, Krft F, Kreisuerschnitt mit Durchmesser d Ort und Größe der mximlen Vergleichsspnnung F σ V,mx nch der Gestltsänderungsenergiehypothese Vergleichsspnnung σ V,mx für die Zhlenwerte = 100 mm, d = 10 mm, F = 100 N, Die mximlen Vergleichsspnnungseträge treten im Querschnitt n der Einspnnstelle n den eiden im ild gekennzeichneten Punkten uf. σ V,mx = F σ V,mx = 3F σ V,mx = iegemoment M = F W = Ixx y mx σ = M 3F W = Torsionsmoment M T = F = πd4 64 d = πd3 3 W T = πd3 16 τ T = M T 16F W T = ( σ + 3τ T = σ τt = 3F ( σ = 64F π 10 3 N mm = 640 MP 03, 7 MP π

6 Aufge 5 - Flächenmomente zweiter Ordnung y S c x Gegeen: Längen, =, c = 5 6 Lge des Schwerpunktes S Flächenmomente zweiter Ordnung I xx und I yy ezüglich des Schwerpunktkoordintensystems, Zerlegung der zusmmengesetzten Fläche in mehrere Teilflächen mit eknntem Schwerpunkt und eknnten Flächenmomenten: y S c x y y y S S S 3 x I xx = h3 1, I yy = h3 1 I xx = h3 36, I yy = h3 36 i A i x S,i y S,i x S,i A i y S,i A i x S,i y S,i x S,i A i y S,i A i I xx,i I yy,i Σ x S A = i y S A = i I xx = i I yy = i x S,i A i = 0 x S = 0 y S,i A i = y S = 3 7 I xx,i + i I yy,i + i ( 89 ys,ia i = ( 19 x S,iA i = = = 7 7 4